Đề thi Olympic 27/4 môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Phú Mỹ

Với mong muốn giúp các bạn có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi sắp tới. TaiLieu.VN xin gửi đến các bạn ‘Đề thi Olympic 27/4 môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Phú Mỹ’. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27/4 NĂM HỌC 2022-2023 THỊ XÃ PHÚ MỸ MƠN: TỐN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 21 tháng 02 năm 2023 Bài (5,0 điểm): x a) Cho x + = = x2 + Tính giá trị biểu thức A x2 b) Phân tích đa thức x3 − x − thành nhân tử c) Xác định số hữu tỷ p q để đa thức x3 + px + q chia hết cho đa thức x − x − Bài (2,5 điểm):  − x3  − x2 Cho biểu thức = − x: C   1− x  1− x − x + x a) Rút gọn biểu thức C 2  b) Tính giá trị biểu thức C  x −  = 3  Bài (3,0 điểm): a) Giải phương trình: x − 2022 x − 2021 x − 2020 x −1 x + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ + + = 2023 2022 2023 b) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức xy − x + y = Bài (3,0 điểm): a) Chứng minh n(n + 11) chia hết cho với n ∈ Z b) Trong 43 học sinh làm kiểm tra, khơng có học sinh bị điểm 2, có học sinh đạt điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên) Tìm giá trị lớn biểu thức c) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x + y + = P = ( x3 + y ) + ( x + y ) + 10 xy Bài (5,0 điểm): Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE ACFG Vẽ hình bình hành EAGK Chứng minh rằng: a) AK = BC b) AK ⊥ BC c) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui Bài (1,5 điểm): Trên đường thẳng cho điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự AB = CD Cho M điểm khơng nằm đường thẳng AB Chứng minh rằng: MA + MD > MB + MC Hết Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ ký giám thị PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27/4 NĂM HỌC 2022-2023 THỊ XÃ PHÚ MỸ MÔN: TOÁN LỚP Ngày thi: 21 tháng 02 năm 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP I Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý học sinh phải trình bày, học sinh giải theo cách khác mà đủ bước cho điểm tối đa 2) Điểm toàn tổng điểm ý, câu khơng làm trịn II Đáp án thang điểm: Bài Câu Nội dung trình bày Điểm Bài (5,0 điểm): x a) Cho x + = Tính giá trị biểu thức A = x2 + x2 b) Phân tích đa thức x3 − x − thành nhân tử c) Xác định số hữu tỷ p q để đa thức x3 + px + q chia hết cho đa thức x − x − a)  1 A = x + =  x +  − ⋅ x ⋅ = 32 − = x  x x (1.5đ) x3 − x − = ( x3 − x ) + ( x − x ) + ( x − ) b) (2.0đ) = x ( x − ) + x( x − 2) + 2( x − 2) = ( x − 2) ( x2 + x + 2) Gọi thương chia x3 + px + q cho x − x − Q(x) Do dư nên ta có: (5.0đ) c) (1.5đ) 1,0 0,5x2 0,5 x − x − = ( x − 3)( x + 1) 0,5x3 x + px + q =    ( x − x − 3).Q( x) 0,25 Hay x3 + px + q =  ( x − 3)( x + 1).Q( x) Vì đẳng thức với x nên cho x = 3, x = −1 ta được: 27 + p + q =0 3 p + q =−27  p =−7 ⇔ ⇔  −1 − p + q =0 − p + q = q =−6 Vậy với p= -7; q= -6 x3 + px + q chia hết cho x − x − Bài (2,5 điểm):  − x3  − x2 Cho biểu thức = C  − x:  1− x  1− x − x + x 0,75 a) Rút gọn biểu thức C 2  b) Tính giá trị biểu thức C  x −  = 3  ĐKXĐ: x ≠ ±1 0,25  − x3  − x2 = − x: C   1− x  1− x − x + x  (1 − x)(1 + x + x )  (1 − x)(1 + x) = − x:  a) 1− x   (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) (1.5đ) 1.25 + x) (1 + x ) : (1 +(1x−)(1x)(1 − 2x + x ) = (1 + x ) : −1 x = (1 + x ) (1 − x) = 2  x = 1( KTMÐK ) 2  x− = ⇔ x − =± ⇔  Ta có    x = (TMÐK ) 3  (2.5đ) b) (1.0đ) 0,25 Với x = , ta có:       10 20 C =1 +    1 −  = =       27 2 20  Vậy  x −  = C = 27 3  0,25x2 0,25 Bài (3,0 điểm): a) Giải phương trình: x − 2022 x − 2021 x − 2020 x −1 x + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ + + = 2023 2022 2023 b) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức xy − x + y = x − 2022 x − 2021 x − 2020 x −1 x + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ + + = 2023 2022 2023 Bài a) (3.0đ) (1,5đ)  x − 2022   x − 2021   x −1   x  ⇔ − 1 +  − 1 + ⋅⋅⋅⋅  − 1 +  − 1 =      2022   2023  x − 2023 x − 2023 x − 2023 x − 2023 + + ⋅⋅⋅ + + =0 2022 2023 1   ⇔ ( x − 2023) ⋅ 1 + + ⋅⋅⋅ + +  =0 2022 2023   0,5 ⇔ 0,5 mà + 1 + ⋅⋅⋅ + + ≠0 2022 2023 ⇔ x − 2023 = ⇔x= 2023 0,25x2 Vậy tập hợp nghiệm phương trình S = {2023} xy − x + y = ⇔ xy − x + y = 0,25 ⇔ x(2 y − 1) + (2 y − 1) = 0,25x2 ⇔ (2 y − 1).(2 x + 1) = b) 2 x + = (Vì x nguyên dương nên 2x + ≥ 3) 2 y − = (1,5đ)   x = ⇔ y =1 Vậy cặp số nguyên dương (x; y) = (2; 1) 0,25x2 0,25 Bài (3,0 điểm): a) Chứng minh n(n + 11) chia hết cho với n ∈ Z b) Trong 43 học sinh làm kiểm tra, khơng có học sinh bị điểm 2, có học sinh đạt điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên) Tìm giá trị lớn biểu thức c) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x + y + = P = ( x3 + y ) + ( x + y ) + 10 xy a) (1.0đ) (3.0đ) b) Ta có n ( n + 11) = n3 + 11n = n3 − n + 12n = n ( n − 1)( n + 1) + 12n 0,5 Vì n ( n − 1)( n + 1) 12n 0,25 Nên n ( n − 1)( n + 1) + 12n  hay n(n + 11) 0,25 Vì có 43 học sinh làm kiểm tra, khơng có học sinh bị điểm 2, có học sinh đạt điểm 10 0,5 Nên có 41 học sinh phân thành loại điểm (từ đến 9) Giả sử loại điểm điểm khơng q học sinh lớp (1.0đ) có: 0,25 5.8 = 40 học sinh, học sinh so với 41 Theo nguyên lý Dirichlet tồn học sinh có điểm kiểm tra 0,25 P = ( x3 + y ) + ( x + y ) + 10 xy = ( x + y ) − xy ( x + y ) + ( x + y ) − xy + 10 xy = ( −4 ) − xy ( −4 ) + ( −4 ) + xy 0,5 c) = 28 xy − 80 = 28 x ( −4 − x ) − 80 (1.0đ) = −28 ( x + x + ) + 32 = −28 ( x + ) + 32 Vì P = −28 ( x + ) + 32 ≤ 32 Nên GTLN P 32, đạt x = y = −2 0,5 Bài (5,0 điểm): Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE ACFG Vẽ hình bình hành EAGK Chứng minh rằng: a) AK = BC b) AK ⊥ BC c) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui HV (5,0đ) Chứng minh: AK = BC Xét °AEK °BAC, có: a) (2.0đ) b) EA = AB (gt); EK = AC (=AG) 0,75   (vì bù với EAG ) AEK = BAC  °AEK = °BAC (c.g.c) 0,75  AK = BC (hai cạnh tương ứng) (đpcm) 0,5 Chứng minh: AK ⊥ BC (2.0đ) Gọi H giao điểm AK BC 0,75  = KAG  (so le trong, EK // AG) Ta có EKA = EKA ACH (vì °AEK = °BAC) =  KAG ACH  =900 ⇒   =900  + HAC Mặt khác: KAG ACH + HAC = Vì °AHC, có  ACH + HAC 900 (cmt)  °AHC vuông H  AH ⊥ BC hay AK ⊥ BC (đpcm) 0.75 0,5 Chứng minh: Các đường KA, BF, CD đồng qui Gọi I giao điểm CK BF Chứng minh: °AKC = °CBF (c.g.c) c) (1.0đ)  mà  =   ACK = BFC ACK + KCF 900 0,5  + KCF =  BFC 900 °ICF vuông I  BF ⊥ KC Chứng minh tương tự: CD ⊥ KB 0,25 Vì KA, BF, CD ba đường thẳng chứa ba cao °KBC nên ba đường thẳng đồng qui (đpcm) 0,25 Bài (1,5 điểm): Trên đường thẳng cho điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự AB = CD Cho M điểm khơng nằm đường thẳng AB Chứng minh rằng: MA + MD > MB + MC HV (1.5đ) Chứng minh: MA + MD > MB + MC Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Ta có AB = CD (gt)  I trung điểm đoạn thẳng AD Gọi N điểm đối xứng với điểm M qua I  NA = MD, NB = MC 0,5 0,5  MA + MD = MA + NA = MA + EA + EN mà °MEA có MA + EA > ME (BĐT tam giác) ME = MB + BE 0,25  MA + MD > MB + BE + EN mà °BEN có BE + EN > NB (BĐT tam giác) 0,25  MA + MD > MB + NB  MA + MD > MB + MC (đpcm)