SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi : TỐN (Chun) Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày : 14-16/2/2022 Câu (2,0 điểm) a) Khơng dùng máy tính bỏ túi, rút gọn biểu thức : A 507 13 48 25 3 b) Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn x x y y Câu (1,0 điểm) P : y x2 d : y ax b Cho parabol đường thẳng Tìm hệ số a; b biết d 3 A 1; P qua điểm có điểm chung với Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình 3 x x x x x b) Giải hệ phương trình 2 x y x y xy 2 x y x y xy Câu (2,0 điểm) nội tiếp đường trịn Dựng đường kính Cho tam giác nhọn NP đường trịn (O) vng góc với BC M (P nằm cung nhỏ BC ) Tia phân giác ABC cắt AP I ABC AB AC O a) Chứng minh PI PB b) Chứng minh IMB INA Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC cân A có tâm đường trịn ngoại tiếp O Lấy điểm D bên tam giác ABC cho BDC 2BAC (AD khơng vng góc với BC ) a) Chứng minh bốn điểm B, C , D, O nằm đường tròn b) Chứng minh OD đường phân giác BDC tổng BD CD hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P 1 2 2 4 x y 4 y z z x2 ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Khơng dùng máy tính bỏ túi, rút gọn biểu thức : A 507 13 48 25 Ta có 13 48 13 A 13 25 15 26 507 13 3 32 32 3 d) Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn x x y y Ta có : x3 x y y x3 y x y x y a ¡ x y x xy y x y 2 x xy y x y * * x y 1 x y y x y 1 y y 3 y y 1 y y 1;0 y 1 x y x x 1 x; y a; a ; 1; ; 0; 1 Vậy nghiệm nguyên phương trình Câu (1,0 điểm) P : y x2 d : y ax b Cho parabol đường thẳng Tìm hệ số a; b 3 A 1; d P biết qua điểm có điểm chung với 3 3 A 1; a b b a d : y ax a d : y ax b 2 Vì qua Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x ax 3 a x ax a * 2 Để (P) (d) có điểm chung phương trình (*) có nghiệm kép a6b a 4.2 a a 8a 12 2 a b 2 Vậy a; b 2; 1 ; 6; 2 Câu (2,0 điểm) c) Giải phương trình 3 x x x x x 3 x 2x x x2 6x 3 x 2x x x x x x x 2x 3 x 3 2 x x 1 x 2 x x 2x x 3 x x 3 x 3 x x Vậy x 1; x nghiệm phương trình d) Giải hệ phương trình x y x y xy 2 4 x y x y xy x y x y x y x y Đặt x y a, x y b , ta có hệ a 2b a b a b (a b) a b b 2a b 2a b 2a x a b y a b a b b 1 b 3 x b a a 3; b 3 a 2b y b 2a x a b a b 1 y b b Vậy 1 9 ; , ; 5 5 x; y Câu (2,0 điểm) nội tiếp đường tròn Dựng đường Cho tam giác nhọn kính NP đường trịn (O) vng góc với BC M (P nằm cung nhỏ BC ) Tia phân giác ABC cắt AP I ABC AB AC c) Chứng minh PI PB Ta có : O PBC » sd PC CBI ABC 2 (chắn cung PC), (BI phân giác ABC ) PBI PBC CBI BAI » sd PC ABC 1 2 » » ), ABI ABC sd PB PB 2 (góc nội tiếp chắn (BI phân giác ABC ) BIP BAI ABI » sd PB ABC 2 » » » Mà NP BC nên P điểm BC PB PC 3 Từ (1), (2),(3) PBI BIP BPI cân P PB PI (dfcm) d) Chứng minh IMB INA Vì NP đường kính (O) nên NBP 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tam giác NBP vng B có BM NP ta có : PM PN PB (hệ thức lượng) PM PN PI IPM chung ; PM PI PI PN Xét PMI PIN có : PM PI PMI ∽ PIN PMI PIN IMN NIA PI PN Mà chắn nửa đường tròn) IMB INA(dfcm) IMN IMB 90 BC NP , NIA INA 90 (Do ANP 90 : góc nội tiếp Câu (2,0 điểm) ABC cân A có tâm đường tròn ngoại tiếp O Cho tam giác nhọn Lấy điểm D bên tam giác ABC cho BDC 2BAC (AD khơng vng góc với BC ) c) Chứng minh bốn điểm B, C , D, O nằm đường trịn » Ta có BOC 2BAC (góc tâm góc nội tiếp chắn BC ) BDC 2BAC ( gt ) BOC BDC Xét tứ giác BODC có BOC BDC , mà góc liền kề tứ giác BODC nội tiếp điểm B, O, D, C thuộc đường tròn d) Chứng minh OD đường phân giác BDC tổng BD CD hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD BDC M BC Gọi DM phân giác tam giác AO kéo dài cắt BC H AH BC (do tam giác ABC cân A) Tứ giác BODC nội tiếp nên ODB OCB BDM 1 BDC BOC HOC 2 (OB=OC nên tam DM phân giác BDC nên giác OBC cân O, OH vừa đường cao vừa đường phân giác) Mà OCB HOC 90 AH BC ODM ODB BDM 90 OD DM OD đường phân giác BDC +) Kéo dài BD cắt đường trịn (O) N Dựng AI vng góc với OD I » Ta có BDC BOC sd BC BDC DNC DCN (góc ngồi DNC ) » sd BC (góc nội tiếp chắn cung BC) » DNC DCN sd BC DNC cân D nên DN DC DNC DB DC DB DN BN Dựng đường kính BK đường trịn (O) Có BKN » » » sd BN sd BC sdCN 2 1 » » AOI HOD HOC COD BOC CBD sd BC sdCN 2 BKN AOI AIO 90 AI OD , BNK 90 AIO BNK (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét AOI BKN có : BKN AOI ; AIO BNK AOI ∽ BKN BN BK R BN AI BD CD AI (dfcm) AI AO R Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P 1 2 2 4 x y 4 y z z x2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có : x2 y x2 y 2x y Tương tự 1 2 4 x y x y 1 1 1 ; 2 2 4 y z y z 1 z x z x 1 1 1 P x y 1 y z 1 z x 1 Đổi biến x; y; z a3 ; b3 ; c abc 1 1 1 3 3 x y y z z x a b b c c a3 3 Ta có a b ab a b a b a b (luôn đúng) 1 abc c a b ab a b ab a b abc ab(a b c) a b c a b ; 3 Tương tự : b c a b c c a a b c 1 c a b P 2 abc abc a bc Max P x y z