SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2 điểm) 1 x −2 6x P= − − ÷ ÷ x −1 x + x x − x + x ÷ x −1 a) Cho biểu thức Tìm số nguyên x để P nhận giá trị nguyên x, y , z b) Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện , với xy + yz + zx = 12 ( 12 + y ) ( 12 + x ) + y ( 12 + x ) ( 12 + z ) + z ( 12 + x ) ( 12 + y ) x x > 0; x ≠ 1; x ≠ 2 12 + x 2 12 + y Chứng minh 12 + z = 24 Câu (0,5 điểm) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số, lấy ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để lấy số phương khơng vượt q 2022 Câu (2 điểm) a) Theo kế hoạch công nhân phải làm 54 sản phẩm thời gian dự định Do yêu cầu đột xuất, người phải làm 68 sản phẩm nên người làm tăng thêm sản phẩm cơng việc hoàn thành sớm so với dự định 20 phút Hỏi theo dự định người phải làm sản phẩm, biết người làm khơng q 12 sản phẩm b) Cho phương trình x − ( m − 1) x + m − = ( 1) hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Câu (3,5 điểm) Cho tam giác điểm BC b) Chứng minh tứ giác c) Chứng minh d) Tiếp tuyến A thỏa mãn ABC không cân ( AB < AC ) tam giác DMEF IOMK ABC nội tiếp đường tròn (O), ba đường cao I, M cắt H Gọi AEF cắt đường tròn ( O) trung điểm K (K khác A) nội tiếp hình thang cân KF HE = KE.KF K đường tròn ngoại tiếp tam giác TM , AH , EF để phương trình (1) có 2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác a) Chứng minh tứ giác m x + x = x1 x2 + 2 − x1 x2 AD, BE , CF ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB ) AH (với m tham số) Tìm đồng quy AEF cắt T Chứng minh Câu (1,0 điểm) a, b, c a) Cho số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : ab bc ac + + ≤ a+b b+c a+c a, b, c b) Cho số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn biểu thức a b c + + a + bc b + ac c + ab Câu (1,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) n P = n ( 13n + 1) ( 2n + 1) biểu thức x + y + x = ( xy + y + ) thỏa mãn chia hết cho ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) c) Cho biểu thức 1 x −2 6x P= − − ÷ ÷ x −1 x +1 9x x − 6x + x ÷ x −1 x x > 0; x ≠ 1; x ≠ , với Tìm số nguyên để P nhận giá trị nguyên 1 x −2 6x P= − − ÷ ÷ x −1 x +1 9x x − 6x + x ÷ x −1 ) ( x − 1) ( x − 1) = x − x − − x + ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1) = = ( x − 1) ( x + 1) x ( x − 1) x − = 6x − Do ( x +1 − x∈¢ d) nên để Cho P ∈ ¢ ⇔ x − 1∈ U (4) = { ±1; ±2; ±4} ⇒ x − 1∈ { 1; 2; 4} ( x > 1) ⇒ x ∈ { 2;3;5} (tmdk ) x, y , z số thực dương thỏa mãn điều kiện ( 12 + y ) ( 12 + x ) + y ( 12 + x ) ( 12 + z ) + z ( 12 + x ) ( 12 + y ) x Ta có : xy + yz + zx = 12 12 + x 2 12 + y 2 12 + z 2 = 24 Chứng minh xy + yz + zx = 12 ⇔ 12 + x = x + xy + yz + zx ⇔ 12 + x = ( x + y ) ( x + z ) Tương tự ta có : , : ( 12 + y ) ( 12 + z ) + y ( 12 + x ) ( 12 + z ) + z ( 12 + y ) ( 12 + x ) x 12 + y = ( x + y )( y + z ); 12 + z = ( z + y ) ( x + z ) =x 2 12 + x ( y + z) 2 12 + y ( x + z) +y +z ( y + x) 12 + z = x( y + z) + y ( x + z) + z ( y + x) = ( xy + yz + zx ) = 2.12 = 24 Câu (0,5 điểm) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số, lấy ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để lấy số phương không vượt 2022 Không gian mẫu : Theo đề ta có : { 1000;1001; ;9999} ⇒ n = 9000 1000 ≤ n ≤ 2022 ⇒ 322 ≤ n ≤ 442 , nên số số phương : 13 9000 44 − 32 + = 13 Vậy xác suất cần tìm : Câu (2 điểm) c) Theo kế hoạch công nhân phải làm 54 sản phẩm thời gian dự định Do yêu cầu đột xuất, người phải làm 68 sản phẩm nên người làm tăng thêm sản phẩm cơng việc hồn thành sớm so với dự định 20 phút Hỏi theo dự định người phải làm sản phẩm, biết người làm không 12 sản phẩm = Đổi 20 phút x Gọi số sản phẩm người phải làm theo kế hoạch (sản phẩm) Điều kiện : x ∈ ¥ *, x ≤ 12 Thời gian dự định người hồn thành cơng việc : Thực tế làm : x+3 54 x (giờ) (sản phẩm) Thời gian thực tế người hồn thành cơng việc Theo đề ta có phương trình : 68 x+3 (giờ) x = 9(tm) 54 68 − = ⇔ ⇔ x + 54 x − 486 = ⇔ x x+3 x = −54(ktm) Vậy theo kế hoạch người phải sản phamat d) Cho phương trình x − ( m − 1) x + m − = ( 1) trình (1) có hai nghiệm phân biệt x − ( m − 1) x + m − = ( 1) x1 , x2 (với m tham số) Tìm thỏa mãn ∆ = ( m − 1) − ( m − 3) = m − 6m + 13 = ( m − ) + > ( ∀m ) Nên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m Áp dụng định lý Vi-et ta có : x1 + x2 = m − x1 x2 = m − x + x = x1 x2 + 2 − x1 x2 ( m ≤ ) Ta có : 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = x1 x2 + 2 − x1 x2 ⇔ ( m − 1) − ( m − 3) = ( m − 3) + 2 − ( m − 3) ⇔ m − 9m + 22 = − m Đặt t = − m,t ≥ → t2 = − m ⇔ m = − t2 ⇔ ( − t ) − ( − t ) + 22 = 2t ⇔ t − t − 2t + 2 ⇔ ( t − 1) Vậy (t m=4 t = 1(tm) ⇒ m = − = 4(tm) + 2t + ) = ⇔ t + 2t + = 0(VN ) để phương x + x = x1 x2 + 2 − x1 x2 2 m 2 Câu (3,5 điểm) Cho tam giác đường cao tròn ∆MBE Nên BC ( AB < AC ) tam giác nội tiếp đường tròn (O), ba ABC cắt H Gọi Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cân M DMEF nội tiếp ⇒ ∠EMC = 2∠MBE , BFHD, BFEC tứ giác nội tiếp ( 1) ∠DFE = ∠DFH + ∠CFE = ∠DBH + ∠CBE = 2∠DBH ( ) DMEF tứ giác nội tiếp Chứng minh tứ giác ∠AEH = ∠AFH = 90° ⇒ AH IOMK hình thang cân đường kính đường trịn ngoại tiếp I, M cắt đường điểm K (K khác A) Từ (1) (2) suy f) AH Chứng minh tứ giác e) không cân AD, BE , CF ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB ) trung điểm ( O) ABC ∆AEF ⇒ ∠AKH = 90° Vẽ đường kính Dễ chứng minh Dễ chứng minh Nhận thấy Suy g) OIKM (O) ta có BHCA ' IOMH cắt IH hình bình hành nên cân M nên IH / / OM ⇒ IK (do Tương tự : mà Tiếp tuyến A Gọi P giao điểm OI / / KM ⇒ OM = IH = IK mà (cùng phụ với EH ME = EK MK ME = MF EH FH = ⇒ EH FK = EK FH EK FK nên K đường tròn ngoại tiếp tam giác TM , AH , EF AK ∆IMP với BC, ta có : ∠AFK = ∠AHK = ∠APD nên PI ⊥ MT EF ⊥ IM , TM ⊥ IP, ID ⊥ MP ⇒ MT , EF , AD Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn ab bc ac + + ≤ a+b b+c a+c Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : a + b ≥ ab ⇒ AEF cắt T đồng quy ∠KFP = ∠KBP = ∠KAC = ∠KAE = 180° − ∠KFE nên ⇒ ∠MEH = ∠MKE Xét có Câu (1,0 điểm) c) ∠ACB) ∠MBE = ∠DAC ab ab ab ab a + b ≤ ⇒ ≤ ≤ a + b ab a+b suy tứ giác E, F , P ∠TIK = ∠AHK = ∠DPK ⇒ ∆KTI ∽ ∆KPD ⇒ ∆KPI ∽ ∆KMT IK ⊥ TK A' H tứ giác nội tiếp) Chứng minh Mà trung điểm KF HE = KE.KF AEHF FH MF = FK MK Ta có thẳng hàng khơng song song với OM ∠MEB = ∠MBE ⇒ ∆MEH ∽ ∆MKE ( g g ) ⇒ tiếp Do ⇒M hình thang cân ∠HAE = ∠HKE h) ∠AKA ' = 90° ⇒ K , H , A ' hình bình hành Chứng minh ∆MBE Vì IK AA ' nên thẳng hàng ∠PIK = ∠MTK đồng quy a + b + c = HKPD Chứng minh : nội Tương tự ta có : bc b + c ac a+c ≤ ; ≤ b+c a+c ab bc ac a +b+b+c +c+a + + ≤ = a+b b+c a+c Dấu xảy d) a = b = c =1 Cho số thực dương biểu thức Ta có : Suy : a , b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn a b c + + a + bc b + ac c + ab a2 b2 c2 P= + + a + abc b + abc c + abc a b c = + + a + ab + bc + ca b + ab + bc + ca c + ab + bc + ca a b c = + + ( a + b) ( a + c ) ( a + b) ( b + c ) ( c + b ) ( a + c ) Áp dụng bđt Co-si ta có : 1 + ≥ a+b a+c ( a + b) ( b + c) ⇒ 1 1 ≤ + ÷ ( a + b) ( b + c) a + b a + c 1 b b ≤ + ÷( ) ; ( a + b) ( b + c) a + b b + c b Tương tự ta có : Từ (1), (2), (3) ta có : 1 c c ≤ + ÷( ) ( c + b) ( a + c) c + b a + c c a a b b c c a +b c +b a +c P ≤ + + + + + + + ÷= ÷= a +b a+c b+c a +b c+b a+c 2 a +b c+b a +c Max P = ⇔a=b=c=3 Vậy Câu (1,0 điểm) c) n Chứng minh với số nguyên biểu thức cho Nếu n chẵn ⇒ n M2 , n lẻ ⇒ 13n + 1M2 ⇒ P M2 ( ∀b ∈ ¢ ) P = n ( 13n + 1) ( 2n + 1) chia hết Nếu Nếu Mà d) n ≡ ( mod ) ⇒ P M3 n ≡ 1( mod 3) ⇒ ( 2n + 1) M3 n ≡ ( mod 3) ⇒ ( 13n + 1) M3 ⇒ P M3 ( 2,3) = ⇒ P M6 ( ∀n ∈ ¢ ) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 3x + y + x = ( xy + y + ) x + y + x = ( xy + y + ) ⇔ y − ( x + 1) y + x + x − = ( 1) 2 Ta xem phương trình (1) phương trình bậc ẩn y với x tham số ∆ ' = ( x + 1) − ( x + x − ) = −5 x + Để phương trình (1) có nghiệm : x = ⇒ ( x ∈ ¢ ) ⇒ x ∈ { −1; 0;1} x = ∆ ' ≥ ⇔ −5 x + ≥ ⇔ x ≤ Thay vào (1) ta đượ nghiệm nguyên ( −1;1) ( −1; −1) ; ( 0; −1) ; ( 1; ) , ( 1; )