46 CHUYÊN QUẢNG NAM 2021 2022

NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 77 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi ngày: 03 - 05/6/2021 Câu 1: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A    8 x 1 x  x   x  4  x   x  x x  x x  (với x  1, x  4, x  )   2 b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  p  q  r  Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y  x2 đường thẳng (d) y   2 2m x  m(m tham số) Chứng 1  minh (d) cắt (P) hai điểm A, B cho M  ;1 trung điểm đoạn thẳng AB, hai 2  điểm H, K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài đoạn thẳng KH Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình  x  1 7 2x  x  3x   x  2y  xy   b) Giải hệ phương trình  2 2  x  y  2x y  2xy  1 Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, điểm E nằm đoạn thẳng OB (E khác O, B), H hình chiếu vng góc C đường thẳng AE Gọi F giao điểm AC DH a) Chứng minh HD tia phân giác góc AHC b) Chứng minh diện tích hình vng ABCD hai lần diện tích tứ giác AEFD Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E Gọi H giao điểm BE CF, đường thẳng AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn b) Gọi K giao điểm AH EF, I trung điểm AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) M (M khác C) Chứng minh CI vng góc với KM Câu 6: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  x2 y2 z2   9z  zx2 9x  xy2 9y  yz2  https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHÓM WORD HĨA ĐỀ TỐN 78 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (2,0 điểm) a)   8 x 1 x  x  Rút gọn biểu thức A   x  4  x   x  x x  x x   (với x  1, x  4, x  )  2 b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  p  q  r  Lời giải a)   8 x 1 x  x  Rút gọn biểu thức A     x  4 x  x   x x  x x  (với x  1, x  4, x  ) Với x  1, x  4, x  ta có: A       8 x 1 x  x   x  4  x   x4   8 x 1       2 x2 x x8 8 x x     2 x2 x x8 x         x3  x3 x3 x3 x x  x2  x2  x2 x  2 x  2 2 x  2  x  x  2  2 x  2  x  2    x 1  x x  2  8 x 1 x 1     x  x  x x     x x x2 x 2 x  4   2 b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  p  q  r  S  p q Đặt  ta có hệ:  P  pq P  r  P  r   P  r   P  r       r  4r     2 2 r  4r  2 S  2P  r  2 S  2P  r   S  S   2      https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 79 r  r  r  r       q  5 p Vì p, q, r ba số nguyên tố nên ta có:  S    p  q   q  5 p  P   pq     6  p. 5 p   p  5p   r     p  q   r   p q   Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y  x2 đường thẳng (d) y   2 2m x  m(m tham số) Chứng 1  minh (d) cắt (P) hai điểm A, B cho M  ;1 trung điểm đoạn thẳng AB, hai 2  điểm H, K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài đoạn thẳng KH Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x2    2m x  m  x2    2m x  m  1    2 2m  4.1.  m  4m2  4m   2m 1   m 2 Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m nên (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với giá trị m Với m, theo định lý Vi-et ta có: b   x1  x2  a   2m   x x  c  m  a 1  x  x  2m 1   m Vì M  ;1 trung điểm đoạn thẳng AB nên  2 2 2   1 2  y x  1 2 Thay m vào (1) ta có phương trình: x  x      1 2  y x   2  1    1    A ; ; , B         1   1  ;0 Vì H, K hình chiếu A, B lên trục hồnh nên  H  , K  ;0        HK  1 1   2 https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHÓM WORD HÓA ĐỀ TOÁN 80 Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình  x  1 7 2x  x  3x   x  2y  xy   b) Giải hệ phương trình  2 2  x  y  2x y  2xy  1 Lời giải a) Giải phương trình  x  1 7 2x  x2  3x  Điều kiện: x    x  1 7 2x   x  1  x  2   x  1 7 2x   x  1  x  2    x  1   7 2x  x   x  x   x  1       x    x   7 2x  x   7 2x  x  2   x2  2x         x   x  x      x  x     x  1 Vậy tập nghiệm phương trình: S  1;3  x  2y  xy    1 b) Giải hệ phương trình  2 2  x  y  2x y  2xy  1 0 2 Giải (1) ta có: x  2y  xy    x 1 y  2 1 y   x 1 y  2 1 y    1 y  x  2  x   y Với x = thay vào phương trình (2) ta có:  y2  8y 4y2  1  3y2  8y   https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 81  y  1   y  5  Với y = thay vào phương trình (2) ta có: x  x  1 2x  2x  1  3x  2x     x  2  2   5  2   Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x; y   2;1 ; 2; ; 0;1 ;  ;1   3    Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, điểm E nằm đoạn thẳng OB (E khác O, B), H hình chiếu vng góc C đường thẳng AE Gọi F giao điểm AC DH a) Chứng minh HD tia phân giác góc AHC b) Chứng minh diện tích hình vng ABCD hai lần diện tích tứ giác AEFD Lời giải a) Ta có ·ADC  900 (ABCD hình vng) ·AHC  900 (H hình chiếu C AE) · Xét tứ giác ADCH có: ·ADC  AHC  1800 Mà hai góc vị trí đối  Tứ giác ADCH nội tiếp · · · · ·  DAC  DHC  450 (cùng chắn cung CD) mà AHD  DHC  900  AHD  450  HD tia phân giác góc AHC · · b) Xét tứ giác OEHC có: EOC  EHC  1800 Mà hai góc vị trí đối https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 82  Tứ giác OEHC nội tiếp  ·AEO  ·ACH (góc ngồi góc đối trong) (1) Tứ giác ADCH nội tiếp (cmt)  ·ADF  ·ACH (cùng chắn cung AH) (2) Từ (1) (2) suy  ·AED  ·ADF Xét ADE FAD có:   ·ADE =FAD ·  450     ADE ∽ FAD  gg ·AED  ·ADF  cmt    AF AD   AF DE  AD2 AD DE Ta có: SAEFD  1 AF DE  AD2  SABCD 2 Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E Gọi H giao điểm BE CF, đường thẳng AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn b) Gọi K giao điểm AH EF, I trung điểm AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) M (M khác C) Chứng minh CI vng góc với KM Lời giải https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 83 · a) Ta có BFC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · BEC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tam giác ABC có: BE CF đường cao cắt H  H trực tâm tam giác ABC  AH  BC D · Ta có tứ giác BCEF nội tiếp (O)  ·AFE  OCE (góc ngồi góc đối trong) Xét tứ giác ACDF có: ·ADC  900 (cmt) ·AFC  900 (cmt) · ·  tứ giác ACDF nội tiếp  BFD (góc ngồi góc đối trong)  OCE Xét tam giác BEC vng E có EO trung tuyến  EO  BC  CO  BO (định lý đường trung tuyến tam giác vuông) · · · ·  OCE  OEC  COE  1800  2OCE ·  ·AFE  OCE  cmt  · · · · Ta có   COE  1800  AFE  BFD  EFD · · BFD  OCE cmt    · ·  EFD Xét tứ giác ODFE có COE  cmt  https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 84 Mà hai góc vị trí góc ngồi góc đối  tứ giác ODFE nội tiếp b) Xét tam giác AEH vuông E có EI trung tuyến  EI  AH  AI  HI (định lý đường trung tuyến tam giác vuông) · · · · , có OCE · · · · · phụ OCE  OEC phụ OEC  cmt  IAE  IAE  IEA  IEA  OEI  900 · Chứng minh tương tự ta có OFI  900 · · Xét tứ giác OEIF có OEI  OFI  1800 Mà hai góc vị trí đối  tứ giác OEIF nội tiếp Ta có tứ giác ODFE nội tiếp (cmt), tứ giác OEIF nội tiếp (cmt)  điểm O, D, F, I, E thuộc đường tròn đường kính ID Xét IEK IDE có: · DIE chung · · · IDK  IDE  ECF         IEK ∽ IDE  gg  IE IK   IE  ID.IK  1 ID IE Xét IEM ICE có: · ICE chung        IEM ∽ ICE  gg ·IEM  ICE ·   sdcungEM     IE IM   IE  IC.IM  2 IC IE Từ (1) (2)  IK ID  IC.IM  IK IC  IM ID Xét IMK IDC có: · DIC chung  · · · ·   IMK  IDC mà IDC  900  IMK  900  CI  KM IK IC   IMK ∽ IDC  c.gc   IM ID  Câu 6: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  x2 y2 z2   9z  zx2 9x  xy2 9y  yz2 Lời giải Theo đề ta có: Đặt 1   1 x y z 1  a ,  b ,  c  a, b,c  0  a  b c  y x z https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN Khi H  85 c a b   9a  9b  9c    c 9a2   9a2c c 9a2c Ta có:   c  9a2  9a2  9a2  Vì 9a2  1 6a  c  9a2c 9a2c  c   c  ac 9a  6a Chứng minh tương tự ta có:  H  a  b c  Mà ab  bc  ca  a b  a  ba ;  b  cb 9b  9c  2  ab bc  ca  a  b c 31  H  1  Vậy Hmin  Dấu xảy x  y  z   https://www.facebook.com/groups/627287241235464