NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 77 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi ngày: 03 - 05/6/2021 Câu 1: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A 8 x 1 x x x 4 x x x x x x (với x 1, x 4, x ) 2 b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq r p q r Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y x2 đường thẳng (d) y 2 2m x m(m tham số) Chứng 1 minh (d) cắt (P) hai điểm A, B cho M ;1 trung điểm đoạn thẳng AB, hai 2 điểm H, K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài đoạn thẳng KH Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 1 7 2x x 3x x 2y xy b) Giải hệ phương trình 2 2 x y 2x y 2xy 1 Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, điểm E nằm đoạn thẳng OB (E khác O, B), H hình chiếu vng góc C đường thẳng AE Gọi F giao điểm AC DH a) Chứng minh HD tia phân giác góc AHC b) Chứng minh diện tích hình vng ABCD hai lần diện tích tứ giác AEFD Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E Gọi H giao điểm BE CF, đường thẳng AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn b) Gọi K giao điểm AH EF, I trung điểm AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) M (M khác C) Chứng minh CI vng góc với KM Câu 6: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức H x2 y2 z2 9z zx2 9x xy2 9y yz2 https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHÓM WORD HĨA ĐỀ TỐN 78 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (2,0 điểm) a) 8 x 1 x x Rút gọn biểu thức A x 4 x x x x x x (với x 1, x 4, x ) 2 b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq r p q r Lời giải a) 8 x 1 x x Rút gọn biểu thức A x 4 x x x x x x (với x 1, x 4, x ) Với x 1, x 4, x ta có: A 8 x 1 x x x 4 x x4 8 x 1 2 x2 x x8 8 x x 2 x2 x x8 x x3 x3 x3 x3 x x x2 x2 x2 x 2 x 2 2 x 2 x x 2 2 x 2 x 2 x 1 x x 2 8 x 1 x 1 x x x x x x x2 x 2 x 4 2 b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq r p q r S p q Đặt ta có hệ: P pq P r P r P r P r r 4r 2 2 r 4r 2 S 2P r 2 S 2P r S S 2 https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 79 r r r r q 5 p Vì p, q, r ba số nguyên tố nên ta có: S p q q 5 p P pq 6 p. 5 p p 5p r p q r p q Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y x2 đường thẳng (d) y 2 2m x m(m tham số) Chứng 1 minh (d) cắt (P) hai điểm A, B cho M ;1 trung điểm đoạn thẳng AB, hai 2 điểm H, K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài đoạn thẳng KH Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x2 2m x m x2 2m x m 1 2 2m 4.1. m 4m2 4m 2m 1 m 2 Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m nên (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với giá trị m Với m, theo định lý Vi-et ta có: b x1 x2 a 2m x x c m a 1 x x 2m 1 m Vì M ;1 trung điểm đoạn thẳng AB nên 2 2 2 1 2 y x 1 2 Thay m vào (1) ta có phương trình: x x 1 2 y x 2 1 1 A ; ; , B 1 1 ;0 Vì H, K hình chiếu A, B lên trục hồnh nên H , K ;0 HK 1 1 2 https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHÓM WORD HÓA ĐỀ TOÁN 80 Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 1 7 2x x 3x x 2y xy b) Giải hệ phương trình 2 2 x y 2x y 2xy 1 Lời giải a) Giải phương trình x 1 7 2x x2 3x Điều kiện: x x 1 7 2x x 1 x 2 x 1 7 2x x 1 x 2 x 1 7 2x x x x x 1 x x 7 2x x 7 2x x 2 x2 2x x x x x x x 1 Vậy tập nghiệm phương trình: S 1;3 x 2y xy 1 b) Giải hệ phương trình 2 2 x y 2x y 2xy 1 0 2 Giải (1) ta có: x 2y xy x 1 y 2 1 y x 1 y 2 1 y 1 y x 2 x y Với x = thay vào phương trình (2) ta có: y2 8y 4y2 1 3y2 8y https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 81 y 1 y 5 Với y = thay vào phương trình (2) ta có: x x 1 2x 2x 1 3x 2x x 2 2 5 2 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y 2;1 ; 2; ; 0;1 ; ;1 3 Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, điểm E nằm đoạn thẳng OB (E khác O, B), H hình chiếu vng góc C đường thẳng AE Gọi F giao điểm AC DH a) Chứng minh HD tia phân giác góc AHC b) Chứng minh diện tích hình vng ABCD hai lần diện tích tứ giác AEFD Lời giải a) Ta có ·ADC 900 (ABCD hình vng) ·AHC 900 (H hình chiếu C AE) · Xét tứ giác ADCH có: ·ADC AHC 1800 Mà hai góc vị trí đối Tứ giác ADCH nội tiếp · · · · · DAC DHC 450 (cùng chắn cung CD) mà AHD DHC 900 AHD 450 HD tia phân giác góc AHC · · b) Xét tứ giác OEHC có: EOC EHC 1800 Mà hai góc vị trí đối https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 82 Tứ giác OEHC nội tiếp ·AEO ·ACH (góc ngồi góc đối trong) (1) Tứ giác ADCH nội tiếp (cmt) ·ADF ·ACH (cùng chắn cung AH) (2) Từ (1) (2) suy ·AED ·ADF Xét ADE FAD có: ·ADE =FAD · 450 ADE ∽ FAD gg ·AED ·ADF cmt AF AD AF DE AD2 AD DE Ta có: SAEFD 1 AF DE AD2 SABCD 2 Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E Gọi H giao điểm BE CF, đường thẳng AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn b) Gọi K giao điểm AH EF, I trung điểm AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) M (M khác C) Chứng minh CI vng góc với KM Lời giải https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 83 · a) Ta có BFC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · BEC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tam giác ABC có: BE CF đường cao cắt H H trực tâm tam giác ABC AH BC D · Ta có tứ giác BCEF nội tiếp (O) ·AFE OCE (góc ngồi góc đối trong) Xét tứ giác ACDF có: ·ADC 900 (cmt) ·AFC 900 (cmt) · · tứ giác ACDF nội tiếp BFD (góc ngồi góc đối trong) OCE Xét tam giác BEC vng E có EO trung tuyến EO BC CO BO (định lý đường trung tuyến tam giác vuông) · · · · OCE OEC COE 1800 2OCE · ·AFE OCE cmt · · · · Ta có COE 1800 AFE BFD EFD · · BFD OCE cmt · · EFD Xét tứ giác ODFE có COE cmt https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 84 Mà hai góc vị trí góc ngồi góc đối tứ giác ODFE nội tiếp b) Xét tam giác AEH vuông E có EI trung tuyến EI AH AI HI (định lý đường trung tuyến tam giác vuông) · · · · , có OCE · · · · · phụ OCE OEC phụ OEC cmt IAE IAE IEA IEA OEI 900 · Chứng minh tương tự ta có OFI 900 · · Xét tứ giác OEIF có OEI OFI 1800 Mà hai góc vị trí đối tứ giác OEIF nội tiếp Ta có tứ giác ODFE nội tiếp (cmt), tứ giác OEIF nội tiếp (cmt) điểm O, D, F, I, E thuộc đường tròn đường kính ID Xét IEK IDE có: · DIE chung · · · IDK IDE ECF IEK ∽ IDE gg IE IK IE ID.IK 1 ID IE Xét IEM ICE có: · ICE chung IEM ∽ ICE gg ·IEM ICE · sdcungEM IE IM IE IC.IM 2 IC IE Từ (1) (2) IK ID IC.IM IK IC IM ID Xét IMK IDC có: · DIC chung · · · · IMK IDC mà IDC 900 IMK 900 CI KM IK IC IMK ∽ IDC c.gc IM ID Câu 6: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức H x2 y2 z2 9z zx2 9x xy2 9y yz2 Lời giải Theo đề ta có: Đặt 1 1 x y z 1 a , b , c a, b,c 0 a b c y x z https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN Khi H 85 c a b 9a 9b 9c c 9a2 9a2c c 9a2c Ta có: c 9a2 9a2 9a2 Vì 9a2 1 6a c 9a2c 9a2c c c ac 9a 6a Chứng minh tương tự ta có: H a b c Mà ab bc ca a b a ba ; b cb 9b 9c 2 ab bc ca a b c 31 H 1 Vậy Hmin Dấu xảy x y z https://www.facebook.com/groups/627287241235464