NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 77 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Bài 1: (2.0 điểm) Bằng phép biến đổi đại số, rút gọn biểu thức sau: a) A 18 32 b) B Bài 2: a a a , với a a a 1 (1.5 điểm) Cho hàm số y m x (1) a) Tìm điều kiện m để hàm số (1) đồng biến x b) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x điểm có tung độ 2? Bài 3: (1.5 điểm) Cho phương trình (ẩn x) x 2mx 2m a) Giải phương trình m b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x cho biểu thức A x1x 1 x1 x 2 x1x đạt giá trị nhỏ Bài 4: (1,0 điểm) Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 40 lần bắn 8,25 điểm Kết cụ thể ghi bảng sau, có hai bị mờ khơng đọc (đánh dấu *): Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn * 15 * Hãy tìm lại số hai Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vuông góc với BC E Gọi (O) đường trịn ngoại tiếp tam giác CEF Đường thẳng BF cắt (O) điểm thứ hai D, DE cắt AC H a) Chứng minh ABEF tứ giác nội tiếp · · b) Chứng minh BCA BDA c) Chứng minh hai tam giác AEO EHO đồng dạng d) Đường thẳng AD cắt (O) điểm thứ hai G, FG cắt CD I, CG cắt FD K Chứng minh I, K, H thẳng hàng Bài 6: (0,5 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x, y, x Chứng minh rằng: x y z xy yz zx 4xyz -HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2.0 điểm) Bằng phép biến đổi đại số, rút gọn biểu thức sau: a) A 18 32 b) B a a a , với a a a 1 Giải: https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 78 a) A 18 32 Ta có: A 18 32 4.2 9.2 16.2 15 16 5 Vậy A a a a , với a a a 1 Với a 1, ta có: b) B B a a 1 a a a 1 a a 1 a 1 a 1 a Vậy B a Bài 2: (1.5 điểm) Cho hàm số y m x (1) a) Tìm điều kiện m để hàm số (1) đồng biến x b) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x điểm có tung độ 2? Giải: a) Tìm điều kiện m để hàm số (1) đồng biến x Hàm số đồng biến x hệ số m m Vậy hàm số đồng biến x m b) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x điểm có tung độ 2? Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x điểm có tung độ nên điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng y x Hay x x Điểm A 1; Thay tọa độ A (1) ta được: m m 2 m 1 Vậy m 1 đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x điểm có tung độ Bài 3: (1.5 điểm) Cho phương trình (ẩn x) x 2mx 2m a) Giải phương trình m b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x cho biểu thức giá trị nhỏ Giải: a) Giải phương trình Thay m3 m vào phương trình cho ta được: 6 4.5 16 x 6x Ta có: nên phương trình có nghiệm phân biệt: https://www.facebook.com/groups/627287241235464 A x1x 1 x1 x 2 x1x đạt NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 79 16 5 x1 16 1 x Vậy phương trình có tập nghiệm S 1;5 b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x cho biểu thức A x1x 1 x1 x 2 x1x đạt giá trị nhỏ Phương trình: x 2mx 2m có: ' m 2m m 1 x R nên phương trình ln có nghiệm x1 x 2m Theo định lí Vi-ét ta có: x1.x 2m Khi ta có: x1x 1 A x x 2 x1 x x1x 1 x1 x 2x1x 2x1x x1x 1 x1 x 4 2m 1 4m 2m m 1 Ta có m 1 m m 2m m 2m m m2 A 1 m A 1 Dấu “=” xảy m m 1 Bài 4: (1,0 điểm) Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 40 lần bắn 8,25 điểm Kết cụ thể ghi bảng sau, có hai ô bị mờ không đọc (đánh dấu *): Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn * 15 * Hãy tìm lại số hai Giải: Gọi số lần bắn ô với điểm a (a N* ) m 1 2m m 1 Gọi số lần bắn ô với điểm b (b N* ) Tổng số lần bắn vận động viên 40 nên ta có: a 15 b 40 a b 18 (1) Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 40 phát bắn 8,25 nên ta có phương trình: 10.7 9a 8.15 7b 8, 25 9a 7b 140 (2) 40 a b 18 a Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: (thỏa mãn) 9a 7b 140 b 11 https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 80 Vậy số lần bắn ô điểm lần, số lần bắn ô điểm 11 lần Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vng góc với BC E Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF Đường thẳng BF cắt (O) điểm thứ hai D, DE cắt AC H a) Chứng minh ABEF tứ giác nội tiếp · · b) Chứng minh BCA BDA c) Chứng minh hai tam giác AEO EHO đồng dạng d) Đường thẳng AD cắt (O) điểm thứ hai G, FG cắt CD I, CG cắt FD K Chứng minh I, K, H thẳng hàng Giải: a) Chứng minh ABEF tứ giác nội tiếp · Ta có FAB 900 (vì tam giác ABC vng A) · FEB 90 (vì FE BC) · · FAB FEB 900 900 1800 ABEF tứ giác nội tiếp · · b) Chứng minh BCA BDA · · Ta có BDC FDC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · · BDC BAC 900 ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BC (tứ giác có đỉnh A, D nhìn BC góc 900) · · (hai góc nội tiếp chắn cung AB) BCA BDA c) Chứng minh hai tam giác AEO EHO đồng dạng · 1800 EOD · · OD OE ODE Ta có: cân O OED ODE (tổng góc tam giác) · · · Mà EOD (góc nội tiếp góc tâm chắn cung DE) 2ECD 2BCD · 180 2BCD · · · · · (do tam giác BCD vuông D) OED ODE 900 BCD CBD EBF · · Lại có: EBF (hai góc nội tiếp chắn cung EF tứ giác nội tiếp ABEF) EAF · · · · EAO EAF OED OEH Xét tam giác OEH tam giác OAE ta có: https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 81 · chung; EOA · · (cmt) EAO OEH OEH ” OEH (g.g) d) Đường thẳng AD cắt (O) điểm thứ hai G, FG cắt CD I, CG cắt FD K Chứng minh I, K, H thẳng hàng · Ta có: FGC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính CF) FG CK Mà CD KF I giao điểm CD GF nên I trực tâm tam giác CFK KI đường cao thứ tam giác CFK KI CF (1) · · · Ta có OAE (cmt) OEH ODE OEAD tứ giác nội tiếp (tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh góc nhau) · · (2 góc nội tiếp chắn cung AE) ADE AOE · · · Mà AOE (góc nội tiếp góc tâm chắn cung EF) 2FCE 2FDE 1· · · · · · ADE 2FDE DF phân giác ADE ADF FDE ADE · · · Ta lại có FDA (góc ngồi góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp CFDG) GCA KCH · · HDF KCH CHDK tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngồi góc đỉnh đối diện) · · KHC CDK 900 (2 góc nội tiếp chắn cung CK) hay KH CF (2) Từ (1) (2) ta có I, K, H thẳng hàng Bài 6: (0,5 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x, y, x x y z xy yz zx 4xyz Giải: xy z 1 Vì x, y, z yz x 1 xz y 1 3xyz xy yz zx 3xyz xy yz zx (1) Lại có x 1 y 1 z 1 xyz xy yz zx x y z (2) Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: 4xyz xy yz zx x y z x y z xy yz zx 4xyz (đpcm) Dấu “=” xảy x; y; z 1;1;1 x; y; z 0;1;1 hốn vị https://www.facebook.com/groups/627287241235464 Chứng minh rằng: