Chuyen sư phạm 2021 2022 vòng 1

Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM HÀ TRƯỜNG THPT CHUYÊN NỘI NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 17/06/2021 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian 90 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Cho: æ b- a ö ( b - a ) + ab a a- b bữ ỗ ữ P = çç ÷: ç b- a a- b ÷ a+ b è ø a) Rút gọn a ³ 0; b ³ a ¹ b ; ) P b) Chứng minh Câu với ( P³ (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: với giá trị m , hai phương trình sau có nghiệm: x - (2m +1) x + m2 + = x - mx + 4m - 11 = ; 2) Với a, b, c số thực đương thỏa mãn điều kiện b) Một biển quảng cáo có dạng hình trịn tâm ABCD ( a + b + c) + ab + bc + ca = O , bán kính 1,6 m Giả sử hình chữ O 1,6 m · = 45° BOC cho (hình bên) nhật nội tiếp đường trịn tâm bán kính Người ta cần sơn màu toàn biển quảng cáo sơn mặt hình bên Biết mức chi phí sơn phần hình tơ đậm 150 nghìn đồng/ NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM m2 phần cịn lại 200 nghìn đồng/ Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” m2 Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn tồn biển quảng cáo bao nhiêu? Cho Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm B hàng, nằm vng góc với AM A , B ,C cắt đường thẳng b) Chứng minh c) Gọi MIKN ( d) thẳng C Đường thẳng qua B vng góc với I , N Đường thẳng MB cắt AN K nội tiếp CM CN = AC.BC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Vẽ hình bình hành MBNE Gọi H trung điểm đoạn thẳng OH = AB Câu A, B , C đường thẳng qua tùy ý AM , ( d ) a) Chứng minh tứ giác cố định cho A C Gọi ( d ) AB Lấy điểm M p = 3,14 BE Chứng minh OH vng góc với đường thẳng ( d) (2,0 điểm) ìï x + y - x = 57 ï í ïï x - 2021 + x - 2020 = ïỵ a) Giải hệ phương trình sau: b) Cho a b hai số hữu tỉ Chứng minh a + b số hữu tỉ a =b =0 HẾT NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI Tập Thể Giáo Viên Nhóm Tốn “Tiểu Học – THCS – THPT VIỆT NAM” Tạ Thị Huyền Trang Nguyễn Trí Chính Hồng Dương Thắng Vũ Phạm Thụ Nguyễn Hưng Phạm Thu Hà Việt Dũng Võ Quang Mẫn Nguyễn Lan Anh Trần Lệnh Ánh Lê Hường Lê Minh Đức Phạm Văn Tn Nguyễn Minh Tồn Ngơ Vinh Phú Vuong Thuận Bùi Quốc Trọng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM HÀ TRƯỜNG THPT CHUN NỘI NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 17/06/2021 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian 90 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Cho: æ b- a a a - b bư ( b - a ) + ab ÷ ữ P = ỗỗỗ : ữ ữ ỗố b - a a- b ø a+ b a) Rút gọn với ( a ³ 0; b ³ a ¹ b ; ) P b) Chứng minh P³ Lời giải NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” P a) Rút gọn æ b- a a a- b bữ ữ P = ỗỗỗ ữ: çè b - a a- b ÷ ø ( ỉ bỗ P = ỗỗỗ ỗỗố a )( b+ a b- a )- ( ( b- ) a + ab ( a ³ 0, b ³ 0, a ¹ b) a+ b )( ( ) b a + ab + b ÷ b - ab + a + ab ÷ ÷ : ÷ ÷ a+ b a- b a+ b ø ÷ a- )( ) ỉ a + ab + b b - ab + a ÷ ữ P = ỗỗỗ b + a : ữ ữ a+ b ỗ a+ b ứ ố ( ổa + ab + b - a + ab + b ç P =ççç ççè a+ b ÷ ÷ ÷ ø ab + a a+ b ab a+ b a + b a - ab + b P= P= ) ö÷÷÷: b - a- P= Vậy ab ab + b a- ab ab + b b) Chứng minh Ta có: P³ a ³ 0, b 0, a b ị ab ( ) a - ab + b = a - b + ab NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Ta có: Þ a- Vậy Câu ìï ab ³ ï a ³ 0, b 0, a b ị ùớ ị ùù a - b > ïỵ ( ) ( a- ) b + ab > Þ a - ab + b > ab ³ ab + b P³ (đpcm) (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: với giá trị m , hai phương trình sau có nghiệm: x - (2m +1) x + m2 + = x - mx + 4m - 11 = ; 2) Với a, b, c số thực đương thỏa mãn điều kiện 1,6 m Giả sử hình chữ nhật đường trịn tâm O bán kính ABCD 1,6 m ( a + b + c) + ab + bc + ca = O , bán b) Một biển quảng cáo có dạng hình trịn tâm kính nội tiếp cho · = 45° BOC (hình bên) Người ta cần sơn màu tồn biển quảng cáo sơn mặt hình bên Biết mức chi phí sơn phần hình tơ đậm 150 nghìn đồng/ m2 m2 phần cịn lại 200 nghìn đồng/ Hỏi số tiền (làm trịn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn tồn biển quảng cáo bao nhiêu? Cho p = 3,14 Lời giải NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” a) Chứng minh rằng: với giá trị m , hai phương trình sau có nghiệm: x - (2m +1) x + m2 + = x - mx + 4m - 11 = ; Xét phương trình x - ( 2m +1) x + m + = ( 1) D = ( 2m +1) - ( m + 3) = 4m + 4m +1- 4m - 12 = 4m - 11 Ta có 11 D ³ Û 4m - 11 ³ Û m ³ + Trường hợp 1: Khi phương trình (1) + Trường hợp 2: Ta có x - mx + 4m - 11 = a.c =1.( 4m - 11) = 4m - 11 < Suy phương trình ( 2) có nghiệm D < Û 4m - 11 < Û m < Xét phương trình 11 ( 2) có hai nghiệm phân biệt Như vậy, với giá trị m , hai phương trình sau có nghiệm: x - ( 2m +1) x + m + = x - mx + 4m - 11 = ; b) Tính số tiền sơn biển quảng cáo NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Diện tích hình quạt Diện tích BOC là: D BOC là: pR n° 45° = 3,14.1,62 =1,0048 ( m ) 360° 360° 1 · OB.CH = OB.OC.sin BOC = 1,6.1,6.sin 45°» 0,905 ( m ) 2 Diện tích phần cịn lại (khơng tơ màu) 2.( 1,0048 - 0,905) = 0,1996 ( m ) pR = 3,14.1,62 = 8,0384 ( m ) O Diện tích hình trịn tâm là: Diện tích phần tô màu là: Số tiền sơn là: Câu 8,0384 - 0,1996 = 7,8388 ( m ) 7,8388.150 + 0,1996.200 =1215,74 » 1216 (nghìn đồng) (3,0 điểm) Cho ba điểm A , B ,C đường thẳng qua B qua MB C cố định cho vuông góc với vng góc với cắt AN A, B, C AM thẳng hàng, AB Lấy điểm M cắt đường thẳng B nằm tùy ý AM , ( d ) ( d) A C Gọi ( d ) Đường thẳng I , N Đường thẳng K a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh MIKN nội tiếp CM CN = AC.BC NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Vẽ hình bình hành MBNE Gọi H trung điểm đoạn thẳng OH = AB BE Chứng minh OH vng góc với đường thẳng ( d) Lời giải a) Chứng minh tứ giác Xét D AMN có Þ MB ^ AN MIKN nội tiếp NI ^ AM , AC ^ MN mà NI cắt AC B nên B trực tâm D AMN K · Þ MKN = 90° suy K thuộc đường tròn đường kính NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM MN Trang Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Mà · = 90° MIN I suy Suy tứ giác MIKN b) Chứng minh D MBC Xét Suy Þ CM CN = AC.BC có: · = ·ACN = 90° MCB (cùng phụ với D MBC ” D ANC ·ANM ) (g.g) CM CB = Û CM ×CN = AC ×BC CA CN c) Gọi MN nội tiếp D ANC · · BMC = NAC thuộc đường trịn đường kính O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Vẽ hình bình hành MBNE Gọi H BE Chứng minh OH trung điểm đoạn thẳng OH = AB Vì Mà BMEN hình bình hành Þ ME P BN BN ^ AM Þ ME ^ AN Þ ·AME = 90° Suy Vì vng góc với đường thẳng ( d) AE BMEN đường kính hình bình hành, ( O) H , suy O trung điểm AE trung điểm NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM BE nên H trung điểm MN Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Þ OH ^ MN Vì H hay OH ^ ( d ) trung điểm BE , O trung điểm AE nên OH đường trung bình D ABE Þ OH = AB Câu (2,0 điểm) ìï x + y - x = 57 ï í ïï x - 2021 + x - 2020 = ïỵ a) Giải hệ phương trình sau: b) Cho a b hai số hữu tỉ Chứng minh a + b số hữu tỉ a =b =0 Lời giải ìï x + y - x = 57 ( 1) ï í ïï x - 2021 + x - 2020 = ( 2) ïỵ a) Giải hệ phương trình sau: Xét phương trình Với mãn Với ( 2) x 1 Þ x - 2021 + x- 2020 >1 khơng thỏa ( 2) x > Þ x - >1 Þ x - >1 Þ x - 2021 >1 Þ x - 2021 + x- 2020 >1 không thỏa mãn ( 2) NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 10 Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Với ìï - < x - < < x < ị ùớ ị ùùợ < x - 1 Þ x - >1 Þ x - 20 21 >1 Þ x - 20 21 + x- 2020 >1 khơng thỏa mãn ( 2) NHĨM TOÁN... 1: Khi phương trình (1) + Trường hợp 2: Ta có x - mx + 4m - 11 = a.c =1. ( 4m - 11 ) = 4m - 11 < Suy phương trình ( 2) có nghiệm D < Û 4m - 11 < Û m < Xét phương trình 11 ( 2) có hai nghiệm