SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN KIÊN GIANG NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN (chun) (Đề thi gồm 02 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/06/2021 Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức A x 2x x x x 1 x x x (với x 0, x , x ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x 2 Bài (1,0 điểm) Tìm tất số thực a, b cho phương trình (ẩn x ) x ax b có hai a nghiệm a Bài (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: x y x x y x 16 y Bài (1,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh Trên cạnh BC , lấy điểm M cho BM Gọi N giao điểm đường thẳng CD đường thẳng vng góc với AM A Gọi I trung điểm MN Hãy tính độ dài đoạn thẳng DI O1 , O2 hai đường tròn, cắt điểm A, M , cho O1 AO2 O O góc tù Tiếp tuyến A cắt điểm thứ hai B (khác A ) Tiếp tuyến A O2 cắt O1 điểm thứ hai D (khác A ) Bài (2,5 điểm) Cho O a) Trên cung AD không chứa M , lấy điểm K , khác A D , cho đường thẳng KM cắt cung AB không chứa M O2 điểm L , khác A B Chứng minh đường thẳng AK song song với đường thẳng BL b) Gọi C điểm đối xứng A qua M Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Bài (1,5 điểm) 2 a) Cho m, p, r số nguyên tố thỏa mãn mp r Chứng minh m r p r số phương b) Tìm tất số nguyên tố q , cho tồn số nguyên dương n để n 22q lũy thừa với số mũ nguyên dương 11 Bài (1,0 điểm) Có bốn phòng nằm liên tiếp nhau, thành hàng ngang Có chuột trốn phịng đó; ngày trốn phịng Có mèo tìm cách bắt chuột Cứ tối, mèo ta vào phòng, chuột trốn phịng bị mèo bắt Biết rằng, chưa bị mèo bắt sáng, chuột lại chạy sang trốn phịng nằm bên cạnh Hỏi mèo đảm bảo chắn bắt chuột sau tối đa bốn tối hay khơng? Vì sao? 1 Bài (0,5 điểm) Cho x, y , z số thực lớn 2021, thỏa mãn x y z 2021 Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau: x y z x 2021 y 2021 z 2021 Đáp án Bài a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A Ta có: x( x 2) 2( x 1) (2 x x x 2) ( x 1)( x 2) x x 2x x 2x x x ( x 1)( x 2) x 4 2( x 2) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) x 1 b) (0,5 điểm) ta có x 2 ( 1) A đó: ( 1) 2 11 Bài (1,0 điểm) Theo định lí Vi-ét (thuận đảo), a, b số thực thỏa mãn yêu cầu đề a 2 (1) a a (2) a a a b (3) (2) 4a 8a a , a 2 Với a thỏa mãn (1) ta có Thay Thay a 1 1 b vào (3) ta a 3 vào (3) ta b 1 1 1 3 ; , ; 1 a , b Vậy có tất hai cặp số thực thỏa mãn yêu cầu Bài (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: x y x x y x 16 y Điều kiện: x 1 y 16 (1) Với điều kiện đó, ta có: x3 y x x y ( x y ) x 1 x 16 y x 16 y x y y 16 y Ta có: (3) ( y 5) ( 16 y 2) 2( y 12) y 12 0 y 1 16 y ( y 12) 0 y 1 16 y y 12 Thay y 12 vào (2), ta x 24 Cặp số cho x, y 24,12 thỏa mãn (1) Vì thế, cặp số nghiệm hệ phương trình Bài (1,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh Trên cạnh BC , lấy điểm M cho BM Gọi N giao điểm đường thẳng CD đường thẳng vng góc với AM A Gọi I trung điểm MN Hãy tính độ dài đoạn thẳng DI Xét hai tam giác vuông ABM ADN , ta có: AB AD , BAM DAN (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) Do tam giác ABM ADN (cạnh góc vng – góc nhọn) Suy ra, DN BM (1) Qua M kẻ đường thẳng song song ID cắt NC E Xét tam giác MNE : Do I trung điểm MN ID / / ME , nên D trung điểm NE Vì DE DN BM (theo (1)) Suy ra, MC CE (2) Do I , D tương ứng trung điểm MN , NE , nên ID đường trung bình tam giác Do DI EM đó, Xét tam giác vng (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có: EM MC CE MC (do (2)) MC BC BM Vì DI 2 O1 , O2 hai đường tròn, cắt điểm A, M , cho O1 AO2 góc tù O O O Tiếp tuyến A cắt điểm thứ hai B (khác A ) Tiếp tuyến A O cắt điểm thứ hai D (khác A ) Bài Cho O a) (1,0 điểm) Trên cung AD không chứa M , lấy điểm K , khác A D , cho O đường thẳng KM cắt cung AB không chứa M điểm L , khác A B Chứng minh đường thẳng AK song song với đường thẳng BL Với giả thuyết O1 AO2 góc tù, ta Xét O1 , ta có: AKM MAB (góc nọi tiếp góc tạo tiếp tuyến dây, chắn cung AM không chứa D) (1) Xét O2 , ta có: MLB MAB (hai góc nội tiếp chắn cung MB không chứa A) (2) Từ (1) (2), suy ra, AKM MLB Do đó, AK / / LB (vì có hai góc vị trí so le nhau) b) (1,5 điểm) Gọi C điểm đối xứng A qua M Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Xét O1 ta có: MDA MAB (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây, chắn cung AM không chứa D) (3) Xét O2 ta có MAD MBA (góc tạo tiếp tuyến dây, góc nội tiếp, chắn cung AM không chứa B) (4) Từ (3) (4), suy ra, AMD ∽ BMA MA MB MC MB Do đó, MD MA ; mà MC MA (gt), nên MD MC (5) Do tam giác, góc ngồi tổng hai góc khơng kề với nó, nên cộng (3) (4), vế theo vế, ta được: DMC CMB (6) Từ (5) (6), suy ra, DMC ∽ CMB Do đó, DCM CBM Vì thế, ta có: DCB DCM MCB CBM MCB 180 BMC 180 (BAM MBA) 180 (BAM MAD ) (do(4)) 180 BAD o Suy ra, BAD DCB 180 Do đó, ABCD tứ giác nội tiếp Bài a) (1,0 điểm) Cho m, p, r số nguyên tố thỏa mãn mp r Chứng minh m r p r số phương Vì m, p số ngun tố nên mp Do đó, r Mà r nguyên tố nên r số lẻ Vì thế, mp r số chẵn Suy ra, hai số m, p , có số - Nếu m r p Do đó: p r p p p 1 , Là số phương - Nếu p r 2m Do m r m 2m m 1 số phương b) Tìm tất số ngun tố q , cho tồn số nguyên dương n để n 22q lũy thừa với số mũ nguyên dương 11 Giả sử q số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề Khi đó, tồn số nguyên dương n, k cho n 22q 11k (1) k Do n 22q 11 nên 11 11 ; suy k Vì thế, từ (1), ta có: n 22q M 112 (2) 11 nên từ (1) suy ra, n M 11 ; mà 11 số nguyên tố, nên n M 112 (3) Do 22qM 112 Do đó, qM 11 ; mà q số nguyên tố nên q 11 Từ (2) (3) suy ra, 22qM 332 22.11 112 113 Ngược lại, với q 11 , ta có: Vậy có số q thỏa yêu cầu đề q 11 Bài (1,0 điểm) Có bốn phòng nằm liên tiếp nhau, thành hàng ngang Có chuột trốn phịng đó; ngày trốn phịng Có mèo tìm cách bắt chuột Cứ tối, mèo ta vào phòng, chuột trốn phịng bị mèo bắt Biết rằng, chưa bị mèo bắt sáng, chuột lại chạy sang trốn phịng nằm bên cạnh Hỏi mèo đảm bảo chắn bắt chuột sau tối đa bốn tối hay khơng? Vì sao? Câu trả lời "có" Lần lượt, từ trái qua phải, đánh số thứ tự phòng 1,2,3,4 Với k 1, 2,3, , gọi phòng đánh số k "phịng k " Trong phần trình bày đây, thứ tự ngày tính từ ngày mèo vào dãy phòng để lùng bắt chuột Xét lịch trình lùng bắt chuột sau mèo: - Tối ngày 1: Vào phòng ; - Tối ngày : Vào phòng ; - Tối ngày 3: Vào phòng ; - Tối ngày 4: Vào phịng Khi đó, ngày 1, chuột trốn phịng phịng 4, mèo bắt chuột vào tối ngày 1, vào tối ngày (bắt vào tối chuột trốn phòng , bắt vào tối chuột trốn phòng 4) Nếu ngày 1, chuột trốn phòng phịng 3, s mèo hai tối Tuy nhiên, sang ngày 3, theo cách trốn mình, chuột lại trốn phịng phịng , nên bị mèo bắt vào tối ngày , vào tối ngày (bị bắt vào tối ngày , ngày trốn phịng 3; bị bắt vào tối ngày 4, ngày trốn phịng ) Vậy, với lịch trình lùng bắt nêu trên, mèo bắt chuột, sau tối đa bốn tối Do đó, câu trả lời cho câu hỏi "có" Lưu ý: Lịch trình lùng bắt khơng phải lịch trình để mèo đạt mục tiêu đặt đề 1 Bài (0,5 điểm) Cho x, y , z số thực lớn 2021, thỏa mãn x y z 2021 Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau: x y z x 2021 y 2021 z 2021 2021 2021 2021 2 y z Từ giả thuyết đề suy x x 2021 y 2021 z 2021 3 1 x y z Do x 2021 y 2021 z 2021 x y z ( x y z) x y z (*) Suy Do x, y, z 2021 nên x 2021, y 2021, z 2021 Vì thế, cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai ba số thực dương x, y, z x 2021 y 2021 z 2021 , , x y z , từ (*) ta được: x y z ( x 2021 y 2021 z 2021) Do đó, x y z x 2021 y 2021 z 2021 (Đẳng thức xảy x yz 6063 )