32 CHUYÊN KIÊN GIANG 2021 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN KIÊN GIANG NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN (chun) (Đề thi gồm 02 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/06/2021 x 2x − x x − + + x −1 x −2 x −3 x + A= Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức (với x ≥ 0, x ≠ , x≠4 ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = 3+2 Bài (1,0 điểm) Tìm tất số thực a a+2 nghiệm a, b x x + ax + b = cho phương trình (ẩn ) có hai Bài (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:  x − y + x − x y =   x + − 16 − y = ABCD BC M Bài (1,0 điểm) Cho hình vng có cạnh Trên cạnh , lấy điểm cho BM = N CD AM A Gọi giao điểm đường thẳng đường thẳng vng góc với MN I DI Gọi trung điểm Hãy tính độ dài đoạn thẳng Bài (2,5 điểm) Cho ( O1 ) , ( O2 ) A, M ∠O1 AO2 hai đường tròn, cắt điểm , cho ( O1 ) ( O2 ) A B A A góc tù Tiếp tuyến cắt điểm thứ hai (khác ) Tiếp tuyến ( O2 ) ( O1 ) D A cắt điểm thứ hai (khác ) a) Trên cung AD KM không chứa M AB ( O1 ) , lấy điểm K ( O2 ) M cắt cung không chứa điểm AK BL đường thẳng song song với đường thẳng b) Gọi C điểm đối xứng A qua M L , khác , khác Chứng minh A A D B ABCD , cho đường thẳng Chứng minh tứ giác nội tiếp Bài (1,5 điểm) m, p , r a) Cho số nguyên tố thỏa mãn số phương mp + = r q Chứng minh b) Tìm tất số nguyên tố , cho tồn số nguyên dương thừa với số mũ nguyên dương 11 n m2 + r n + 22q để p2 + r là lũy Bài (1,0 điểm) Có bốn phịng nằm liên tiếp nhau, thành hàng ngang Có chuột trốn phịng đó; ngày trốn phịng Có mèo tìm cách bắt chuột Cứ tối, mèo ta vào phòng, chuột trốn phịng bị mèo bắt Biết rằng, chưa bị mèo bắt sáng, chuột lại chạy sang trốn phòng nằm bên cạnh Hỏi mèo đảm bảo chắn bắt chuột sau tối đa bốn tối hay khơng? Vì sao? x, y , z Bài (0,5 điểm) Cho số thực lớn 2021, thỏa mãn minh rằng, ta có bất đẳng thức sau: 1 + + = x y z 2021 x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 Đáp án Bài a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức Chứng A= Ta có: x( x − 2) + 2( x − 1) + (2 x − x x − 2) ( x − 1)( x − 2) = x x − 2x + x − + 2x − x x − ( x − 1)( x − 2) = x −4 2( x − 2) = = ( x − 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 2) x −1 b) (0,5 điểm) x = + 2 = ( + 1) ta có A= đó: ( + 1) − = = 2 +1−1 Bài (1,0 điểm) Theo định lí Vi-ét (thuận đảo), a, b số thực thỏa mãn yêu cầu đề   a ≠ −2 (1)  a = − a (2)  + 3 a + a  ×a + = b (3) Với a thỏa mãn (1) ta có a= Thay a= Thay −1 −3 (2) ⇔ 4a + 8a + = ⇔ a = − , a = − 2 b= vào (3) ta vào (3) ta Vậy có tất hai cặp số thực −1 b = −1 a, b thỏa mãn yêu cầu Bài (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:  −1 −1   −3   ; ÷,  ; −1÷      x − y + x − x y =   x + − 16 − y = Điều kiện: x ≥ −1 y ≤ 16 (1) Với điều kiện đó, ta có:  x3 − y + x − x y = ( x − y ) ( x + 1) =  ⇔   x + − 16 − y =  x + − 16 − y =  x = y ⇔  y + − 16 − y = Ta có: (3) ⇔ ( y + − 5) − ( 16 − y − 2) = ⇔ 2( y − 12) y − 12 + =0 y +1 + 16 − y +   ⇔ ( y − 12)  + =0 ÷  y +1 + ÷ 16 − y +   ⇔ y = 12 Thay y = 12 Cặp số cho vào (2), ta ( x, y ) = ( 24,12 ) x = 24 thỏa mãn (1) Vì thế, cặp số nghiệm hệ phương trình ABCD BC M Bài (1,0 điểm) Cho hình vng có cạnh Trên cạnh , lấy điểm cho BM = N CD AM A Gọi giao điểm đường thẳng đường thẳng vng góc với MN I DI Gọi trung điểm Hãy tính độ dài đoạn thẳng Xét hai tam giác vuông ABM ADN , ta có: AB = AD ∠BAM = ∠DAN , (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) Do tam giác Qua M ∆ABM = ∆ADN (cạnh góc vng – góc nhọn) Suy ra, kẻ đường thẳng song song Xét tam giác MNE ID cắt NC E DN = BM (1) : MN ID / / ME NE I D Do trung điểm , nên trung điểm Vì DE = DN = BM MC = CE (theo (1)) Suy ra, (2) Do I, D tương ứng trung điểm DI = EM đó, MN , NE , nên ID đường trung bình tam giác Do Xét tam giác vuông (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có: EM = MC + CE = MC (do (2)) = MC = ( BC − BM ) = ( − ) = DI = Vì Bài Cho 2 ( O1 ) , ( O2 ) A, M ∠O1 AO2 hai đường tròn, cắt điểm , cho góc tù ( O1 ) ( O2 ) ( O2 ) A B A A Tiếp tuyến cắt điểm thứ hai (khác ) Tiếp tuyến ( O1 ) D A cắt điểm thứ hai (khác ) Với giả thuyết Xét ( O1 ) ∠O1 AO2 chứa D) (1) Xét góc tù, ta , ta có: ∠AKM = ∠MAB ( O2 ) khơng chứa M ( O1 ) K A D , lấy điểm , khác , cho ( O2 ) KM AB M L A B đường thẳng cắt cung không chứa điểm , khác Chứng AK BL minh đường thẳng song song với đường thẳng a) (1,0 điểm) Trên cung AD , ta có: (góc nọi tiếp góc tạo tiếp tuyến dây, chắn cung AM không ∠MLB = ∠MAB (hai góc nội tiếp chắn cung MB khơng chứa A) (2) Từ (1) (2), suy ra, Do đó, AK / / LB b) (1,5 điểm) Gọi tiếp ∠AKM = ∠MLB (vì có hai góc vị trí so le nhau) C điểm đối xứng A qua M Chứng minh ABCD tứ giác nội Xét ( O1 ) ta có: ∠MDA = ∠MAB (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây, chắn cung AM khơng chứa D) (3) Xét ( O2 ) ta có ∠MAD = ∠MBA (góc tạo tiếp tuyến dây, góc nội tiếp, chắn cung AM khơng chứa B) (4) Từ (3) (4), suy ra, ∆AMD ∽ ∆BMA MA MB = MD MA Do đó, ; mà MC = MA (gt), nên MC MB = MD MC (5) Do tam giác, góc ngồi tổng hai góc khơng kề với nó, nên cộng (3) (4), vế theo vế, ta được: ∠DMC = ∠CMB (6) Từ (5) (6), suy ra, ∆DMC ∽ ∆CMB ∠DCM = ∠CBM Do đó, Vì thế, ta có: ∠DCB = ∠DCM + ∠MCB = ∠CBM + ∠MCB = 180° − ∠BMC = 180° − (∠BAM + ∠MBA) = 180° − (∠BAM + ∠MAD ) (do(4)) = 180° − ∠BAD Suy ra, ∠BAD + ∠DCB = 180o Do đó, ABCD tứ giác nội tiếp m, p, r Bài a) (1,0 điểm) Cho số nguyên tố thỏa mãn 2 p +r m +r số phương Vì m, p Vì thế, - Nếu số nguyên tố nên mp = r − m=2 mp ≥ Do đó, r ≥5 số chẵn Suy ra, hai số r = p +1 Mà m, p Do đó: p + r = p + p + = ( p + 1) , Là số phương - Nếu p=2 r = 2m + Do m + r = m + 2m + = ( m + 1) số phương r mp + = r Chứng minh nguyên tố nên r số lẻ , có số q b) Tìm tất số nguyên tố , cho tồn số nguyên dương thừa với số mũ nguyên dương 11 n để n + 22q lũy Giả sử q số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề Khi đó, tồn số nguyên dương n, k Do cho n + 22q = 11k n + 22q > 11 nên (1) 11k > 11 ; suy k≥2 (n Do 22qM 11 nên từ (1) suy ra, Từ (2) (3) suy ra, Ngược lại, với 22qM 112 q = 11 , ta có: n2 M 11 Vì thế, từ (1), ta có: + 22q ) M 112 (2) ; mà 11 số nguyên tố, nên Do đó, qM 11 ; mà q số nguyên tố nên 332 + 22.11 = 112 ( + ) = 113 Vậy có số q thỏa yêu cầu đề n2 M 112 q = 11 (3) q = 11 Bài (1,0 điểm) Có bốn phịng nằm liên tiếp nhau, thành hàng ngang Có chuột trốn phịng đó; ngày trốn phịng Có mèo tìm cách bắt chuột Cứ tối, mèo ta vào phòng, chuột trốn phòng bị mèo bắt Biết rằng, chưa bị mèo bắt sáng, chuột lại chạy sang trốn phòng nằm bên cạnh Hỏi mèo đảm bảo chắn bắt chuột sau tối đa bốn tối hay không? Vì sao? Câu trả lời "có" Lần lượt, từ trái qua phải, đánh số thứ tự phòng 1,2,3,4 Với k = 1, 2,3, k k , gọi phòng đánh số "phòng " Trong phần trình bày đây, thứ tự ngày tính từ ngày mèo vào dãy phịng để lùng bắt chuột Xét lịch trình lùng bắt chuột sau mèo: - Tối ngày 1: Vào phòng ; - Tối ngày : Vào phòng ; - Tối ngày 3: Vào phòng ; - Tối ngày 4: Vào phòng Khi đó, ngày 1, chuột trốn phịng phịng 4, mèo bắt chuột vào tối ngày 1, vào tối ngày (bắt vào tối chuột trốn phòng , bắt vào tối chuột trốn phòng 4) Nếu ngày 1, chuột trốn phịng phịng 3, s thoát mèo hai tối Tuy nhiên, sang ngày 3, theo cách trốn mình, chuột lại trốn phòng phòng , nên bị mèo bắt vào tối ngày , vào tối ngày (bị bắt vào tối ngày , ngày trốn phịng 3; bị bắt vào tối ngày 4, ngày trốn phịng ) Vậy, với lịch trình lùng bắt nêu trên, mèo bắt chuột, sau tối đa bốn tối Do đó, câu trả lời cho câu hỏi "có" Lưu ý: Lịch trình lùng bắt khơng phải lịch trình để mèo đạt mục tiêu đặt đề x, y , z Bài (0,5 điểm) Cho số thực lớn 2021, thỏa mãn minh rằng, ta có bất đẳng thức sau: 1 + + = x y z 2021 x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 Từ giả thuyết đề suy Do Suy Do Chứng 2021 2021 2021 + + =2 x y z x − 2021 y − 2021 z − 2021 + + = 3− =1 x y z  x − 2021 y − 2021 z − 2021  x + y + z = ( x + y + z)  + + ÷ x y z   x, y, z > 2021 nên x − 2021, y − 2021, z − 2021 > Bunhiacôpxki cho hai ba số thực dương ( (*) Vì thế, cách áp dụng bất đẳng thức x, y, z )  x − 2021 y − 2021 z − 2021  , ,  ÷ ÷ x y z   , từ (*) ta được: x + y + z ≥ ( x − 2021 + y − 2021 + z − 2021) Do đó, x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 x= y=z= (Đẳng thức xảy 6063 )