SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2021 - 2022 Môn thi: TỐN (chun Tốn) Ngày thi: 14/6/2021 Thời gian làm bài: 150 phú ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x x 2) Cho ba số thực a,b c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2) Chứng minh với số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 Bài III (2,0 điểm) 1) Cho số thực x khác thỏa mãn x x3 số hữu tỉ Chứng minh x số x hữu tỉ 2) Cho số thực không âm a,b c thỏa mãn a b c Chứng minh 2a 2ab abc 18 Bài IV (3,0 điểm) · Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc BAC 60 AB AC Các đường thẳng BO ,CO cắt đoạn thẳng AC , AB M , N Gọi F điểm cung BC lớn 1) Chứng minh năm điểm A , N ,O , M F thuộc đường tròn 2) Gọi P ,Q giao điểm thứ hai hai tia FN , FM với đường tròn (O) Gọi J giao điểm đường thẳng BC đường thẳng PQ Chứng minh tia AJ · tia phân giác góc BAC 3) Gọi K giao điểm đường thẳng OJ đường thẳng CF Chứng minh AB vuông góc với AK Bài V (1,0 điểm) Cho A tập hợp có 100 phần tử tập hợp {1,2,3, ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp 2) Chứng minh với số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4, ,22}, tồn hai phần tử A có hiệu n ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x2 x x 2) Cho ba số thực a,b c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh a b b c c a 0 1 c2 1 a2 1 b2 Lời giải 1) ĐKXĐ: x 1 x 1 Cách 1: Đặt t x 1,t Ta có: t t2 1 2t t4 t2 2t t2 t2 2(t 1) t2(t 1)(t 1) 2(t 1) (t 1) t2(t 1) (t 1) t3 t2 (t 1) t3 t2 2t2 (t 1) t2(t 1) 2(t 1)(t 1) (t 1)(t 1) t2 2t (t 1)2 t2 2t t 1(TM ) t1 (t 1) 0 L Với t 1, suy x x x (TM) Vây phương trình có nghiệm x Cách 2: Ta có: x2 x x x2 x 1 x x2 ( x 1)2 x x x x x 0(TM ) x x x x Vây phương trình có nghiệm x 2) Ta có: VT a b b c c a a b b c c a 2 2 1 c 1 a 1 b ab bc ca c ab bc ca a ab bc ca b2 a b b c c a (a b)(a b) (b c)(b c) (c a)(c a) (a c)(b c) (a b)(c a) (a b)(b c) (a b)(a c)(b c) (đpcm) Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2) Chứng minh với số nguyên n , số n2 n 16 không chia hết cho 49 Lời giải 1) x2 5xy 6y2 x 2y (x 2y)(x 3y) (x 2y) (x 2y)(x 3y 1) (1) Do x; y ¢ suy x 2y; x 3y 1 ¢ Vậy từ (1) ta suy trường hợp sau x 2y x TH1: x 3y y 2 x 2y x TH2: x 3y y x 2y 2 x 2 TH3: x 3y 1 y x 2y 1 x TH4: x 3y 2 y 2 Vậy cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn (6; 2);(1;0);(2;0);(3; 2) 2) Ta có P n2 n 16 suy 4P 4n2 4n 64 (2n 1)2 63 TH1: 2n 1M7 suy (2n 1)2 M49 mà 63M49 suy 4P M49 suy P M49 TH2: 2n 1M7 suy (2n 1)2 M7 mà 63M suy 4P M49 suy P M49 Vậy P M49 với n (đpcm) Bài III (2,0 điểm) 1) Cho số thực x khác thỏa mãn x x3 số hữu tỉ Chứng minh x số x hữu tỉ 2) Cho số thực không âm a,b c thỏa mãn a b c Chứng minh 2a 2ab abc 18 Lời giải 1) Cách 1: 2 Ta cú x Ô suy x2 x Ô x2 Ô x x x x Cựng cú x3 Ô suy Do x2 Ô suy x x x ¤ x x x x 4 2 nờn suy Ô x Ô x Ô x2 x2 x 2 2 Vậy 2x x x Ô suy x ¤ (điều phải chứng minh) x x Cách 2: số hữu tỉ x Ta có: x x4 2x2 Ô x3 M: x3 ¤ x4 2x2 ¤ (1) x2 Ô (2) x2 Ta li cú: Ô ; x2 x2 Ô x x2 ¤ x x2 x x2 Ô x2 Ô (3) x Từ (2) (3) x2 x2 Ô x2 x2 Ô x2 x2 Ô x2 x2 3 ¤ x2 1 ¤ x2 Ô M: x2 x Ô x2 x Ô x x 2 b c 2) 2a 2ab abc 2a ab(c 2) 2a a a 2a 2ab abc 2a a Ta chứng minh: a2 14a 49 2a a 18 a3 14a2 57a 72 (a 3)2(a 8) với a Bài IV (3,0 điểm) · Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc BAC 60 AB AC Các đường thẳng BO ,CO cắt đoạn thẳng AC , AB M , N Gọi F điểm cung BC lớn Lời giải 1) Chứng minh năm điểm A , N ,O , M F thuộc đường trịn · · (góc nội tiếp góc tâm) BOC BAC · · Mà BAC 60 BOC 120 Tứ giác AMON nội tiếp (1) · · · (cùng chắn ON ) NAO NMO · · · (cùng chắn OM ) MAO MNO · · Mà NAO (do OA OB OAB cân) NBO · · (do OA OC OAC cân) MAO MCO · · Nên NBM NMB MBN cân N NM NB · · MNC MCN MCN cân M MN MC NB MC Xét FNB FMC có: ¶ ) · · (cùng chắn AF NB MC (chưng minh trên) NBF MCF ¶ ) FB FC ( F điểm BC FNB FMC(c.gc ) FN FM · · NFB MFC · · · · Mà MFC MFB BFC BAC 60 · · NFB MFB 60 · NFM 60o o · NAM 60 Tứ giác NAFM nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm A , N ,O , M , F thuộc đường tròn 2) Gọi P ,Q giao điểm thứ hai hai tia FN , FM với đường tròn (O) Gọi J giao điểm đường thẳng BC đường thẳng PQ Chứng minh tia AJ · tia phân giác góc BAC ¶ AF ¶ BP ¶ , QJMC BJNP tứ giác nội tiếp Ta có CQ · · F điểm cung BC nên BFC BAC 60 suy BFC · · · Suy MQC MQC FAC 60 · Lại có MOC 60 suy MCQO tứ giác nội tiếp Suy điểm M ,C ,Q , J ,O thuộc đường tròn Chứng minh tương tự B, N ,O , J , P thuộc đường tròn · · · Suy CJM COM 60 BAC · BAC · · Suy AMJB tứ giác nội tiếp MAJ MBJ 30 · Suy AJ tia phân giác góc BAC 3) Gọi K giao điểm đường thẳng OJ đường thẳng CF Chứng minh AB vng góc với AK Theo ta có PBQC hình thang cân, OJ đường trung trưc CP · BAC · · · · · · Mặt khác ·JAP CAP CAP 30 ·JOP OCF JOP OPK JKP Suy tứ giác AKJP nội tiếp · · · · · · Suy KAJ JPK KCJ 60 BAK BAJ KAJ 30 60 90 Hay AK AB Bài V (1,0 điểm) Cho A tập hợp có 100 phần tử tập hợp {1,2,3, ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp 2) Chứng minh với số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4, ,22}, tồn hai phần tử A có hiệu n Lời giải 1) Gọi phần tử tập A A a1 ,a2 ,a3 ,a100 Khơng mắt tính tổng quát già sử a1 a2 a3 a100 Giả sử tập A khơng có hai số tự nhiên liên tiếp ta có a2 a1 2; a3 a2 2.; a100 a99 Suy a100 a100 a90 a3 a2 a2 a1 a1 99.2 a1 178 a100 không thuộc tập hợp {1,2,3 ,178} (trái với giả thiết) suy điều giả sử sai từ ta có điều phải chứng minh 2) Với n {2,3,4 ,22} giả sử không tồn hai phần tử A có hiệu bẳng n (*) Ta có aj kn (k ¥ )i , j {1,2,3 ,100} Với phần tử a1 ,a2 ,a3 ,a12 * Ta có a1 79 tập A khơng thể có phần tử có dạng a1 k,n k ¥ Xét bất phương trình a1 kn 178 k 178 a1 99 4 n 22 Vậy có số thuộc tập {1,2,3 178} không thuốe A Tưong tự với a2 ,a3 a12 trường hợp có có số thuộc tập {1,2,3 ,178} khơng thuộc A ( số bỏ trương hợp khác nhau) Với phần tử a13 ,a14 , a15 a34 k ¥ * Ta có a13 91 tập A khơng thể có phằn tử có dạng a13 kn Xét bất phương trình a13 kn 178 k 178 a13 87 3 n 22 Vậy có số thuộc tập {1,2,3 ,178} khơng thuộc A Tương tự với a14 ,a15 a34 trường hợp có có số thuộc tập {1,2,3 ,178} không thuộc A ( số bỏ trường họp khác nhau) Suy tập A không nhiều 178 114 64 phẩn tử ( trái với giả thiết) điều giả sử (*) sai tử ta có điều phải chứng minh -HẾT -