CT10-21-22-DAKLAK ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN NGUYỄN DU – 2021 – 2022 x − ( m + ) x + 3m − = Câu Cho phương trình với m tham số Tìm tất giá trị để x + x2 + x3 + x4 − x1 x2 x3 x4 x1 , x2 , x3 , x4 phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt trị nhỏ m 4 cho đạt giá 27 27 P = 2t12 + 2t2 − 2t1t2 = 2S − P = ( m + ) − ( 3m − 3) = 2m − 10m + 26 = m − ÷ + ≥ 2 2 Câu 1) Giải phương trình 2022 2022 x − 2021 + 2023 x − 2022 = 2023 2) Giải hệ phương trình 3 x − xy − y = x + y + + x − y + = − x − y + 2022 2022 x − 2021 + 2023 x − 2022 = 2023 ⇔ 2022 ⇔ ( ) 2022 x − 2021 − + 2023 x − 2022 − = 2022 ( 2022 x − 2022 ) 2022 x − 2021 + + 2023x − 2023 =0 2023 x − 2022 + 20222 2023 ⇔ ( x − 1) + =0 2023 x − 2022 + 2022 x − 2021 + ⇔ x =1 ⇔ ( x − y ) + 3xy ( x − y ) − xy − = ⇔ ( x − y − ) ( x − y ) + ( x − y ) + + xy ( x − y − ) = ⇔ ( x − y − ) ( x − xy + y + x − y + + xy ) = ⇔ ( x − y − ) ( x + y − xy + x − y + ) = x − y − = ⇔ 2 ( x + ) + ( y − ) + ( x − y ) y = x−2 x = −2 ⇔ ⇔ y = x−2 y = =0 x = y CT10-21-22-DAKLAK 3x + + x + = − x2 − x + ⇔ ( ) ( 3x + − + DK : x ≥ − ) 4x + − + ( x2 + x − 2) = 3 ⇔ ( x − 1) + + x + 2 = 4x + + 3x + + ⇔ x =1 Câu 1) Tìm tất số tự nhiên n k để n + 42 k +1 x − x + x y − xy + y − y − 36 = x, y 2) Tìm tất số nguyên dương số nguyên tố thỏa mãn A = n + 42 k +1 = ( n ) + ( 22 k +1 ) = ( n2 + 22 k +1 ) − 2n 22 k +1 2 = ( n + 22 k +1 ) − ( n.2k +1 ) = ( n + 22 k +1 − n.2k +1 ) ( n + 22 k +1 + n.2k +1 ) 2 A ⇔ ( n − 2k +1 ) + n = 2 ⇔ ( x + y + − x − y + x y ) + ( x − xy + y ) = 36 + ⇔ ( x + y − 1) + ( x − y ) = 37 ( 1) 2 x2 + y − = x + x − = x − y = y = x − x + y −1 = x + x − = ⇔ x = ⇔ ⇔ ( ) y = x + y = x − y = −1 x + y − = x + x + = x − y = −6 y = x + a , b, c Câu Cho ba số thực dương P= b ( a + 1) a ( b + 1) + c ( b + 1) b ( c + 1) + a ( c + 1) thỏa mãn c ( a + 1) P≥3 (a + 1) ( b + 1) ( c + 1) abc a +b +c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: CT10-21-22-DAKLAK a+ a 1 = + ≥ 1313 a 9a a b+ b 1 = + ≥ 1313 b 9b b c+ c 1 = + ≥ 1313 c 9c c P ≥ 3 133.13 ≥ 39 a b5 c5 13 12 27 15 2 224.354 ÷ 3 ( O; R ) = 13 C AB C Câu Cho nửa đường trịn đường kính Lấy điểm tùy ý nửa đường trịn ( khác M,N AC BC AC A B ) Gọi điểm cung cung Hai đường thẳng BN AN BC H Hai dây cung cắt CDNH 1) Chứng minh tứ giác nội tiếp cắt 2) Gọi I D trung điểm DH 3) Chứng minh đường tròn cố định C Chứng minh IN tiếp tuyến nửa đường tròn ( O; R ) di động nửa đường tròn ( O; R ) 4) Trên nửa đường tròn ( O; R ) khơng chứa hình chiếu vng góc giá trị nhỏ P C lấy điểm đường thẳng P tùy ý ( AB, BC , CA Tìm vị trí P P khác MN A tiếp xúc với B Q, R, S ) Gọi AB BC CA + + PQ PR PS để tổng đạt CT10-21-22-DAKLAK · · ⇒ DCH + DNH = 180° P= AB BC CA2 + + PQ AB PR.BC PS CA BC · · PR.BC = PB.PC.sin BPC = PB.PC.sin BAC = PB.PC AB AC · · · PS CA = PA.PC.sin APC = PA.PC sin APC = PA.PC.sin ABC = PA.PC AB = AB ( AC.PA + BC.PB ) AB AB AB AB.PC + = + PA.PB PA.PB.PC PA.PB PA.PB.PC =2 AB AB ≥ =4 PA.PB PA2 + PB (d /l Ptolemy ) CT10-21-22-DAKLAK x − ( m + ) x + 3m − = Câu Cho phương trình m với tham số Tìm tất giá trị để x14 + x2 + x34 + x4 − x1 x2 x3 x4 x1 , x2 , x3 , x4 phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt trị nhỏ m cho đạt giá Lời giải t − ( m + ) t + 3m − = ( 1) x2 = t t ≥ Đặt , Phương trình trở thành: ( 1) Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm dương phân biệt < t1 < t2 Ta ∆ = ( m + ) − ( 3m − 3) > m − 8m + 16 > m > ⇔ ⇔ S = m + > m ≠ m > P = 3m − > x1 < x2 < x3 < x4 Giả sử x12 = x4 = t2 x2 + x32 = t1 t1 > 0; t2 > Khi đó, đặt ; ; Ta có 27 27 P = 2t12 + 2t2 − 2t1t2 = 2S − P = ( m + ) − ( 3m − 3) = 2m − 10m + 26 = m − ÷ + ≥ 2 2 m= Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ P (thỏa mãn điều kiện) 27 m= , đạt Câu 1) Giải phương trình 2022 2022 x − 2021 + 2023 x − 2022 = 2023 2) Giải hệ phương trình x − xy − y = x + y + + x − y + = − x − y + Lời giải CT10-21-22-DAKLAK 1) Điều kiện: x ≥ x ≥ 2021 2022 2022 ⇔ x≥ 2022 2023 2023 2022 2022 x − 2021 + 2023 x − 2022 = 2023 ⇔ 2022 ⇔ ( ) 2022 x − 2021 − + 2023 x − 2022 − = 2022 ( 2022 x − 2022 ) 2022 x − 2021 + + 2023x − 2023 =0 2023 x − 2022 + 20222 2023 ⇔ ( x − 1) + =0 2023 x − 2022 + 2022 x − 2021 + ⇔ x =1 Vậy phương trình có nghiệm x =1 x3 − xy − y = 2) ⇔ ( x − y ) + 3xy ( x − y ) − xy − = ⇔ ( x − y − ) ( x − y ) + ( x − y ) + + xy ( x − y − ) = ⇔ ( x − y − ) ( x − xy + y + x − y + + xy ) = ⇔ ( x − y − ) ( x + y − xy + x − y + ) = x − y − = ⇔ 2 ( x + ) + ( y − ) + ( x − y ) y = x−2 x = −2 ⇔ ⇔ y = x−2 y = =0 x = y x + y + + 5x − y + = − x2 − y + Thay vào phương trình , ta 3x + + x + = − x2 − x + ⇔ ( ) ( 3x + − + ) 4x + − + ( x2 + x − 2) = ⇔ ( x − 1) + + x + 2 = 4x + + 3x + + ⇔ x =1 DK : x ≥ − CT10-21-22-DAKLAK ( x; y ) = ( 1; −1) Vậy hệ có nghiệm Câu 1) Tìm tất số tự nhiên n k n + 42 k +1 để x − x + x y − xy + y − y − 36 = x, y 2) Tìm tất số nguyên dương số nguyên tố thỏa mãn Lời giải A = n + 42 k +1 = ( n ) + ( 22 k +1 ) = ( n2 + 22 k +1 ) − 2n 22 k +1 2 = ( n + 22 k +1 ) − ( n.2k +1 ) = ( n + 22 k +1 − n.2k +1 ) ( n + 22 k +1 + n.2k +1 ) A số nguyên tố ⇔ (n−2 Thử lại ) k +1 ⇒ n + 22 k +1 − n.2 k +1 = ⇔ n − 2.n.2 k +1 + n = n = ⇔ ⇔ k +1 +n =2 n − = ±1 k = A = 1+ = , thỏa mãn yêu cầu x − x + x y − xy + y − y − 36 = 2) ⇔ ( x + y + − x − y + x y ) + ( x − xy + y ) = 36 + ⇔ ( x + y − 1) + ( x − y ) = 37 ( 1) Nhận xét: 2 x + y −1 > x − y x + y −1 > ( ∀x ∈ ¥ *; y ∈ ¥ *) x2 + y − = x + x − = x − y = y = x − x + y −1 = x + x − = ⇔ x = ⇔ ⇔ ( ) y = x + y = x − y = −1 x + y − = x + x + = x − y = −6 y = x + ( x; y ) = ( 2;3) Vậy phương trình có nghiệm: 2( k +1) + n2 = CT10-21-22-DAKLAK a , b, c Câu Cho ba số thực dương P= b ( a + 1) a ( b + 1) + c ( b + 1) + b ( c + 1) thỏa mãn a ( c + 1) a +b +c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: c ( a + 1) Lời giải Ta có P≥3 2 = a + b + c ≥ 3 abc ⇔ abc ≤ ÷ 3 (a + 1) ( b + 1) ( c + 1) abc a+ a 1 = + ≥ 1313 a 9a a b+ b 1 = + ≥ 1313 b 9b b c+ c 1 = + ≥ 1313 c 9c c P ≥ 3 133.13 ≥ 39 a b5 c5 13 12 27 a=b=c= Dấu xảy 15 2 224.354 ÷ 3 13 2 ( O; R ) Câu Cho nửa đường tròn = đường kính AB Lấy điểm C tùy ý nửa đường trịn ( C khác M,N AC BC AC B ) Gọi điểm cung cung Hai đường thẳng BN AN BC D H cắt Hai dây cung cắt CDNH 1) Chứng minh tứ giác nội tiếp A 2) Gọi I trung điểm DH 3) Chứng minh đường tròn cố định C Chứng minh IN ( O; R ) tiếp tuyến nửa đường tròn ( O; R ) di động nửa đường tròn đường thẳng MN ln tiếp xúc với CT10-21-22-DAKLAK ( O; R ) 4) Trên nửa đường trịn khơng chứa hình chiếu vng góc giá trị nhỏ P C lấy điểm P tùy ý ( AB, BC , CA Tìm vị trí P P khác A B Q, R, S ) Gọi AB BC CA + + PQ PR PS để tổng đạt Lời giải · · AC ⊥ CH ⇒ DCH = 90° AN ⊥ NB ⇒ HND = 90° 1) Có ; · · ⇒ DCH + DNH = 180° ⇒ 2) Tam giác CDNH Tứ giác ACNB Tứ giác Tam giác Suy DNH ONB 3) Ta có ON ⊥ OM vng nội tiếp nên nội tiếp nên cân · INO = 90° OM tứ giác Vậy O N NI tứ giác nội tiếp trung tuyến ứng với cạnh huyền Ta · · INH = IHN · · IHN = NCD · · NCD = NBA nên IN có CDNH · · · · NBA = ONB ⇒ NBA + ONA = 90° ( O; R ) tiếp tuyến nửa đường tròn ·AOC ON · NOB tia phân giác góc , tia phân giác góc Hai góc kề bù, suy CT10-21-22-DAKLAK Tam giác OMN vuông cân O Gọi J trung điểm MN , ta có 1 R MN = R2 + R2 = 2 OJ = Suy MN tiếp xúc với đường trịn tâm O , bán kính R 2 4) AB BC CA2 P= + + PQ AB PR.BC PS CA PQ AB = PA.PB Có BC · · PR.BC = PB.PC.sin BPC = PB.PC.sin BAC = PB.PC AB AC · · · PS CA = PA.PC.sin APC = PA.PC sin APC = PA.PC.sin ABC = PA.PC AB Ta = AB AB AC AB.BC AB AB AC.PA + AB.BC PB P= + + = + PA.PB PC.PB PC.PA PA.PB PA.PB.PC AB ( AC.PA + BC.PB ) AB AB AB AB.PC + = + PA.PB PA.PB.PC PA.PB PA.PB.PC =2 (d /l AB AB ≥ =4 PA.PB PA2 + PB Dấu xảy P điểm cung AB không chứa C Ptolemy ) MN ⊥ OJ ;