Hệ phương trình nâng cao(1)

() CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VO LP 10 CHUYấN Năm học: 2022 2023 MC LỤC Chủ đề Hệ phương trình đối xứng loại I Chủ đề Hệ phương trình đối xứng loại II Chủ đề 3.Hệ phương trình quy đẳng cấp Chủ đề Một số kĩ thuật giải hệ phương trình I Kĩ thuật Dạng 1: Rút ẩn theo ẩn từ phương trình vào phương trình Dạng 2: Thế biểu thức vào phưong trình cịn lại Dạng 3:Thế số từ phưong trình vào phương trình II Kĩ thuật phân tích thành nhân tử III Kĩ thuật cộng, trừ, nhân hai vế hệ phưong trình Dạng 1: Cộng, trừ đại số đê̂ tạo tơng bình phương Dạng 2: Cộng, trừ hai vế để đưa phương trình ân Dạng 3: Cộng, trừ đại số để đưa phương trình tích Dạng 4: Các tốn khơng mầu mực giải cộng, trừ, nhân hai vế hệ IV Kĩ thuật đặt ẩn phụ Dạng 1: Dùng ẩn phụ đưa phương trình bậc hai ẩn Dạng 2: Dùng ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại I Dạng 3: Dùng ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II Dạng 4: Dùng ẩn phụ đưa phương trình ân Dạng 5: Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu V Kĩ thuật nhân liên hợp đối vơi phương trình chứa thức VI Kĩ thuật đánh giá giải hệ phương trình Dạng 1: Dựa vào đồng biến nghịch biến vế hệ phương trình Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để đánh giá Dạng 3: Sử dụng điêu kiện nghiệm hệ phương trình VII Kĩ hệ số bất định để giải hệ phương trình VIII Phương pháp biến đổi tương đương IX Phương pháp đưa đẳng thức X Khi hệ có chứa phương trình bậc theo ẩn x ấn y Chủ đề Hệ phương trình bậc ba ẩn Dạng 1: Hệ hai phương trình ba ẩn Dạng 2: Hệ ba phương trình ba ần Chủ đề Hệ phương trình có chứa tham số Dạng 1: Biện luận nghiệm phưong trình Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước Bài tập rèn luyện tổng hợp Hướng dẫn giải tập rèn luyện tổng hợp Bài tập rèn luyện tổng hợp Hướng dẫn giải tập rèn luyện tổng hợp HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN CHUN ĐỀ HẸ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN Chủ đề 1: Hệ đối xứng loại f ( x, y ) = Hệ đối xứng loại I hệ có dạng:   g ( x, y ) = Trong f ( x, y ) g ( x, y ) đa thức đối xứng Nghīa là: f ( x, y ) = f ( y, x ) g ( x, y ) = g ( y, x ) Hay hệ phương trình đối xứng loại I hệ phương trình có vai trị x, y hồn tồn mổi phương trình, ta hốn đổi vị trí x y hệ hệ phương trình khơng  x + y + xy = 21 thay đổi Ví dụ:  2 2 x + y − xy = Tính chất: Nếu hệ có nghiệm ( x ; y ) tính đối xứng, hệ cūng có nghiệm ( y ; x ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi phương trình hệ đưa ẩn S P mà: S = x + y, P = x ⋅ y Giải S P Khi x, y nghiệm phương trình: X − S X + P = Một số đẳng thức hay được sử dụng: x + y = ( x + y ) − xy = S − P x − xy + y = ( x + y )2 − 3xy = S − 3P x + xy + y = ( x + y ) − xy = S − P x3 + y = ( x + y )3 − 3xy ( x + y ) = S − 3PS ( x4 + y = x2 + y ) ( ) − x y = ( x + y ) − xy  − x y = S − P − P ( )( ) ( ) x + x y + y = x + y − xy x + y + xy = S − P − P 1 x+ y S + = = x y xy P 1 x2 + y S − 2P + = 2 = x2 y x y P2 x y x2 + y S − 2P + = = y x xy P https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Tốn qua SĐT&Zalo:0816457443 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:  x + y + xy = a)  3 x + y = ( 2 ( x + y ) =  c)   x + y = x y + xy )  x3 + y = 19 b)  ( x + y )( + xy ) =  x + y − xy = d)   x + + y + = HD: S = x + y a) Đặt  điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở thành: P = x ⋅ y  2−S  P=  S + 2P =    ⇔   S S − 3P =  S  S − − 3S  =     ( ) ( ) ⇒ S + 3S − S − 16 = ⇔ ( S − ) S + S + = ⇔ S = ⇒ P = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X = ⇔ X = 0, X = x = x = ∨  y = y = S = x + y b) Đặt  điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở thành:  P = x y ( )  S S − 3P = 19  SP = −8S  SP = −8S S = ⇔ ⇔ ⇔   P = −6  S − ( − 8S ) = 19  S + 24S − 25 =  S ( + P ) = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X − = ⇔ X = 3; X = −2 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( −2;3 ) , ( 3; −2 ) https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Tốn qua SĐT&Zalo:0816457443 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN c) Đặt a = x , b = 3 ( ) ( ) 2 a3 + b3 = a 2b + b a y hệ cho trở thành:  a + b = S = a + b điều kiện S ≥ P hệ cho trở thành Đặt   P = ab ( ) 2 ( 36 − 3P ) = 3P S = 2 S − 3SP = 3SP ⇔ ⇔  P =  S = S = Suy a, b nghiệm phương trình: a = ⇒ x = a = ⇒ x = 64 ∨ X − X + = ⇔ X = 2; X = ⇒  b = ⇒ y = 64 b = ⇒ y = Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( 8;64 ) , ( 64;8 ) S = x + y  xy ≥ d) Điều kiện:  Đặt  điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở  x , y ≥ −1  P = x y thành:  S ≥ 3; P = ( S − 3) S− P =3  ⇔   S + + S + P + = 16 2 S + ( S − 3) + = 14 − S  ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) ⇔ ⇔  2  S + 30S − 52 = 4 S + 8S + 10 = 196 − 28S + S ( ) S =6   P x y = ⇒ = =  Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau: https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN  x + y + xy = a)   x + y = xy  2 x + y + x + y = c)   x + y = x2 − y     ( x + y ) 1 +  =   xy  b)   x2 + y 1 +  =  2    x y    x y (1 + y ) + x y ( + y ) + xy − 30 = d)  2  x y + x + y + y + y − 11 = ( ) ( ) HD: a) Đặt x = a, y = b điều kiện a, b ≥  a + b + 2ab = Hệ phương trình trở thành:  Ta viết lại hệ  a + b =  (a + b) − 4ab(a + b) + 2a 2b + 2ab = phương trình thành:  a + b = S = a + b điều kiện Đặt   P = ab S ≥ 4P hệ cho trở thành  S , P ≥  256 − 64 P − P + P = ⇔ S = P=4⇔a=b=2⇔ x= y =4   S = Ngồi ta giải ngắn gọn sau: ( )  x + y + xy = 16    x + y + xy = 16 ( ) ⇔ x2 + y = x + y ⇔ ( x − y)2 = ⇔ x = y ⇔ x = ⇔ x = Vậy hệ có cặp nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) b) Điều kiện: x + y > Biến đổi phương trình (1): https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Tốn qua SĐT&Zalo:0816457443 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN x2 + y + xy xy = ⇔ ( x + y)2 − + − xy = x+ y x+ y Đặt x + y = S , xy = P ta có phương trình: S + ( 2P − 2P −1 = S ) ( ) ⇔ S + P − SP − S = ⇔ S S − − P ( S − 1) = ⇔ ( S − 1) S + S − P = Vì S > P, S > suy S + S − P > Do S = Với x + y = thay vào (2) ta được: = (1 − y ) − y ⇔ y = 0, y = Xét x + y + = xy ⇔ x + y + = − x − y ⇔ x + y + x + y = (khôn g thỏa mãn điều x+ y kiện) Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (1; ) , ( −2;3) c) Điều kiện: xy ≠ Hệ cho tương đương:   1  1 1 x + y + + =  x +  +  y +  = x  y x y   ⇔   2 1  1  x2 + y + + =    x + x  +  y + y  = x2 y        1  1  x +  +  y +  = S x  y  Đặt   x +  ⋅  y +  = P     x  y  Hệ trở thành:  1  x + = 2; y + =   x y S − 2P = ⇔ S = 5, P = ⇔   1  S =  x + x = 3; y + y =   https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Tốn qua SĐT&Zalo:0816457443 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN  3±  x = 1; y = V y h cho có nghi m: ⇔  3± ; y =1 x =   3±   3±  ;1  ,   2     ( x; y ) = 1;  xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30 d) Hệ tương đương với :   xy ( x + y ) + x + y + xy = 11 Đặt xy ( x + y ) = a; xy + x + y = b Ta thu hệ:     xy ( x + y ) =    ab = 30  a = 5; b =  xy + x + y = ⇔ ⇔    xy x y + = ( ) a + b = 11  a = 6; b =      xy + x + y =      xy =    x = 2; y =  xy ( x + y ) = x + y = TH1:  ⇔ ⇔   xy =  x = 1; y =  xy + x + y =  L) (    x + y =     xy =  − 21 + 21   x= ;y=  x + y = + = xy x y ) ⇔   ( 2 TH2:  ⇔    xy = + 21 − 21  xy + x + y =  ;y= x =  x + y =  2      ± 21 m 21  Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = (1; ) , ( 2;1) ,   ;    Bài tập 3: TS Chuyên Bắc Kạn 2022 – 2023  x − 3xy + y = −4 Giải hệ phương trình :  (I ) x + y + xy =  Lời giải https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN S = x + y ( x + y ) − xy = −4 Đặt  (I ) ⇔   P = xy ( x + y ) + xy =  S − 5P = −4 Hệ phương trình (I) thành :  ( II ) S + P = S = ⇒ X + X + = 0(ktm)   S + 5S − = P = ⇔ ( II ) ⇔    S = −6  X = −2 P = S −  ⇒ X + 6X + = ⇔  ⇒ ( x; y ) ∈ {( −2; −4 ) ; ( −4; −2 )}  X = −4   P = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈ {( −2; −4 ) ; ( −4; −2 )} Chủ đề 2: Hệ đối xứng loại  f ( x, y ) = Hệ đối xứng loại II hệ có dạng:   f ( y , x ) = Trong đó: f ( x, y ) đa thức không đối xứng Hay hệ đối xứng kiểu hai hệ đối xứng hai phưong trình hệ, ta hốn đổi vị trí x y phương trình thứ sē phương trình thứ hai hệ  x − y = (1) thay hoán đổi vị trí x y phương trình (1) ta Ví dụ:   y − x = ( ) y − x = phương trình (2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trừ vế hai phưong trình hệ ta nhân tử chung ( x − y ) nhóm lại đưa vê phương tích sau xét hai trường hợp:  ( x − y ) ⋅ A ( x, y ) = ⇔  A  x= y ( x, y ) = Việc trừ theo vế thường phải sử dùng đẳng thức liên hợp chứa căn: https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 138 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN a = X = +)Với  ta có hai số x, y nghiệm phưong trình X − X + = ⇔   b=6 X = Vậy ta hai nghiệm hệ phương trình {( 3; ) ; ( 2;3)} a = −2 +)Với  ta có hai số x, y nghiệm phưong trình b = −8 X = X + 2X − = ⇔   X = −4 Vậy ta hai nghiệm hệ phương trình {( −4; ) ; ( 2; −4 )} a = −7 +)Vói  ta có hai số x, y nghiệm phưong trình b = 12  X = −3 X + X + 12 = ⇔  X = Vậy ta hai nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = {( −3; −4 ) ; ( −4; −3)} Vậy ta hai nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = {( −3; −4 ) ; ( −4; −3) ; ( −4; ) ; ( 2; −4 ) ; ( 3; ) ; ( 2;3) ; ( 3; −3) ; ( −3;3)} Câu 20 Xét x = không nghiệm hệ cho Xét x ≠ ta có phương trình (1) tương đương với : x − xy = ⇔ x − y = 6 ⇒ x− = y x x Thay vào phương trình (2) ta được: 6  6  x + x  x −  −  x −  = 30 x  x  ⇔ x + x − 12 − x + 36 − 108 − 30 = x4 ⇔ x − x − 108 = ⇔ ( x − )( x + ) = 138 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 139 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ⇔ x − = (Vi x + > )  x = 3⇒ y =1 ⇔  x = −3 ⇒ y = −1 Vậy hệ đā cho có nghiệm ( 3;1) ; ( −3; −1) Câu 21 x − x − y + y = ⇔ ( x − y )( x + y − 1) = ⇔ x = y x + y − = • Với x = y thay vào pt thứ hai ta được: x + x − = ⇔ x = x = −3 Suy được: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( −3; −3) • Với x + y − = ⇔ y = − x thay vào pt thứ hai ta được: x + x − = ⇔ x = x = −3 Suy được: ( x; y ) = (1;0 ) ( x; y ) = ( −3; ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (1;1) , ( −3; −3) , (1;0 ) , ( −3; ) Câu 22  x + xy − x + y = Ta có hệ phương trình   x ( x + 1) + y ( y + 1) = 3 x + xy − x + y =  x2 + x + y2 + y = ⇔ ⇔  2 2 x − y + xy − x + y = −2  x + x + y + y = () * ⇒ (*) ⇔ x + x ( y − ) − ( y − y − ) = (**) Coi phương trình bậc hai ân x y tham số: ∆ = ( y − 5)2 + 4.2 ( y − y − ) = y − 18 y + = 9( y − 1) ≥ 0∀y  − y + ( y + 1) + y y + = = x = 4  Phương trình ( **) có hai nghiệm  − y − ( y − 1) − y = = 2− y x =  4 +) x = 139 y +1 y +1  y +1 ⇒ (1) ⇔  + y2 + y =  + 2   https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 140 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ⇔ y + y + + y + + y + y − 16 = ⇔ y + y − 13 = ⇔ [y =1⇒ x =1 +y = −13 −4 ⇒x= 5 ⇔ − y + y2 + − y + y2 + y − = ⇔ y2 − y + = ⇔ y = ⇒ x = −1 =  −13 −4  Vậy nghiệm hệ cho (1;1) ;  ;   5  Câu 23 ( x + 3)( x − 1) = ( y − )( x + 3)(1)  2 ( x − 1) y − y + = ( y − 2) x + =  x = −3 ⇔  x = y −1  x −1 = y − (1) ⇔ ( x + 3) ( x − 1) − ( y − ) = ⇔  +) Với x = −3 thay vào phương trình ( ) ta có: −4 y − y + = ( y − 2) (vô nghiệm VT < 0; VP ≥ ) +) Với x = y − thay vào phương trình (2) ta có: y −2 = ⇔ y = ( y − ) y − y + = ( y − 2)2 ⇔   y − y + = y − (3) ⇒ x = y − = − = ⇒ ( x; y ) = (1; ) y − ≥ y ≥ ⇔ (tm) ⇒ x = − = ⇒ ( x; y ) = ( 3; ) y = y − 5y + = y − 4y + Vậy nghiệm hệ phương trình : ( x; y ) = {(1; ) ; ( 3; )} ( 4) ⇔  2 Câu 24 Ta có: 140 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 141 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUN   x2 − 2x + = − y x2 − 2x + y − = ⇔   4 16 x − xy + y − y + = 16 x − xy + y = − y ⇒ x − x + = 16 x − xy + y ⇔ ( x − 1)2 = ( x − y )   y2 −1 x =  x −1 = 4x − y2   ⇒ ⇔ 2  x −1 = y − 4x y +1    x =  y2 −1 TH1: x = y4 − y2 + y −1 ⇒ − + 2y −3 = ⇔ y − y + − y + + 18 y − 27 = ( ) ⇔ y − y + 18 y − 20 = ⇔ ( y − ) ( y + y − y + 10 ) = ⇒ y = ⇒ x =1 TH2: x = y2 +1 y + y + ( y + 1) ⇒ − + 2y −3 = 25 ⇔ y + y + − 10 y − 10 + 50 y − 75 = ⇔ y − y + 50 y − 84 = ⇔ ( y − ) ( y + y − y + 42 ) = ⇒ y = ⇒ x =1 Vậy nghiệm nguyên hệ đā cho (1; ) Câu 25 Ta có phương trình (2) tương đương với: x3 − x + 12 x − + y = ⇔ ( x − 2)3 + y = 141 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 142 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN Hệ cho trở thành:  x + y + = x ( x − 2) + y = ⇔  3 3  ( x − 2) + y =  x + 12 x + y = x +  y + z = ⇒ ( y + z ) − yz = Đặt x − = z ta có:  3 2  y + z = ⇒ ( y + z ) y − yz + z = ( y + z )(1 − yz ) = ( ) a = y + z Đặt  ta có hệ phưong trình: b = yz   a2 −1 b =    a2 −1 a2 −1   a − 2b =   b=  b= ⇔ ⇔ ⇔ 2    a − b = a − ( )  a −  2a − a + =  a − 2a + = =          a2 −1 a = y + z =1 b = ⇔ ⇔ ⇔  yz = b =  a =1    y =   x =   z =  ⇒ y,z hai nghiệm phương trình: x − x = ⇔  ⇒  ⇒x=2 x =  { y =     z =  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm ( 3;0 ) ; ( 2;1) Câu 26 )( ( Ta có: (1) ⇔ x + x + x + + (Do y2 +1 + y )( ) ( y2 +1 − y = y2 +1 − y ) y + − y ≠ với y ) ⇔ x + + ( x + 1)2 + = − y + y + ⇔ x + y +1+ 142 ( x + 1)2 − y ( x + 1) + + y + =0 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 143 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN   x +1− y =0 ⇔ ( x + y + 1) 1 + 2   ( 1) 1 x + + + y +   x + y +1 =  ⇔ 2  ( x + 1) + + ( x + 1) + y + − y = Do ( x + 1) + > x + ≥ x + 1, ∀x y + > y ≥ − y, ∀y nên (3) vô nghiệm x = Thay y = − x − vào (2) tìm nghiệm  x = −   1 Vói x = ⇒ y = −2; x = − ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (1; −2 ) ,  − ;  3  3 Câu 27 Ta có: x + xy − y − x + y + = ⇔ y − ( x + 1) y − x + x − =  x +   ( x + 1)  x x ⇔ y − − + − +  =0     2 x +  x − 18 x + x +   3x −    ⇔ y − − = ⇔ y − −  =0        x + x −  x + 3x −   ⇔y− − +  y − =0 2  2    y − 2x +1 =  y = 2x −1 ⇔ ( y − x + 1)( y + x − ) = ⇔  ⇔  y = 2− x  y+ x−2=0 Trường hợp y = 2x − , thay vào phưong trình thứ hai hệ ta được: x = x + (2 x − 1) + x + x − − = ⇔ x − x − = ⇔  x = −  2  13  Trường hợp hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = (1;1) , ( x; y ) =  − ; −  5  Trường hợp y = − x , thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x + (2 − x) + x + − x − = ⇔ x − x + = ⇔ x = 143 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 144 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN Trường hợp hệ cho có nghiệm: ( x; y ) = (1;1)  13  Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = (1;1) , ( x; y ) =  − ; −  5  Câu 28  x − y − − 36 + x = Điêu kiện x − y − ≥ , ta có  y − xy + =  Phương trình ( ) ⇔ (2 y − x)2 = x − 36 2 x − y − = Suy (1) ⇔ x − y − + (2 y − x) = ⇒   2y − x = x = ⇔ thỏa điều kiện Vậy hệ phưong trình có nghiệm y = Câu 29 Lây phương trình (2) trừ phương trình (1) ta được: x =  y = y − y = x3 + y − y ⋅ ( y − 1) − ( y − 1) = x3 (y − 1) ⋅ ( y − 1) = x (1 − y )(1 − y ) = x ( ) 3 * Mà từ ( 1) ⇒ x = − y Kết hợp với (1) () *  x2 = − y3 ta được:  x = 1− y (1) ⇔ (1 − y ) = − y3 ⇔ (1 − y ) ⋅ (1 + y ) = (1 − y ) (1 + y + y ) ⇔ (1 − y ) ⋅ (1 + y ) (1 − y ) − − y − y  = ⇔ (1 − y ) ⋅ (1 + y − y − y − − y − y ) = ⇔ (1 − y ) ⋅ ( −2 y − y ) = ⇔ (1 − y ) ⋅ y ⋅ ( −2 − y ) = 144 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 145 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN   x =     y =  y =1  x = ⇔ y=0 ⇒    y =1  y = −2     x = −3    y =  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {( −2; −3) ; ( 0;1) ; (1;0 )} Câu 30 16 +) Điêu kiện x ≥ , y ≤ x = +) x − xy − x + y − = ⇔ ( x − 3)( x − y + ) = ⇔  y = x + +) Vói x = thay vào phưong trình x − + 16 − y = x − x + y − , ta đưọc̣  y + 13 y + = −13 + 133 ⇔ y= 16 − y = y + ⇔   y ≥ −5 +) y = x + thay vào phương trình x − + 16 − y = x − x + y − , ta x − + 10 − x = x − x − ⇔ ⇔ ( x − 2) 5x − + − ( ) ( 5x − − + ( x − 2) 10 − x + ) 10 − x − = x − x − − ( x − )( x + 3) =   ⇔ ( x − 2)  − − 2x − 3 = 10 − x +  5x − +  x = ⇔  − − 2x − =  x − + 10 − x + +) Với x = ⇒ y = (thỏa mān) 145 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 146 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN +) Vi 10 5 ≤ x ≤ ⇒ 5x − + ≥ ⇒ ≤ ⇒ −3< 5x − + 2 5x − + 10 ≤x≤ ⇒− − 2x < 10 − x + − − x − = vô nghiệm 5x − + 10 − x +   −13 + 133   Vậy hệ phương trình có tập nghiệm ( 2; ) ;  3;       Do phương trình Câu 31   27 3 3 8 x + = 18 (2 x) +   = 18 y    y ⇔  3 3  4x + 6x =   y 2 x ⋅ y  x + y  = y2     Đặt a = x; b = Ta có y 3 a + b = a + b = 18 ⇔…⇔   ab = ab ( a + b ) =   3+ 3−  3− 3+  Giải tìm  a = ;b = ;b =   a =   2  2     3+   3−  Tìm nghiệm ( x; y ) hệ   ; −  ;  ; +      Câu 32 ĐKXĐ: x + y ≥ Từ phương trình thứ ta được: x + y = xy + x ⇔ x ( x − 2) + y ( − x ) = x = ⇔ ( x − )( x − y ) = ⇔  x = y 4 y − y + = 2 + y = (2 y − 2) ⇒ x = ⇒ + y = 2y − ⇔  ⇔ ⇔ y=2 y ≥1 y ≥   Vậy hệ cho có nghiệm ( 2; ) Câu 33 146 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Tốn qua SĐT&Zalo:0816457443 147 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN  y ( x − y − 1) + x ≥ x ≤   Điều kiện: 8 − x ≥ ⇔  y ≥ −1  y +1 ≥  y ( x − y − 1) + x ≥    x − y − + y ( x − y − 1) + x =   4y = x − 14 y − 3 − x − y +1 +1  Ta có: (1) ⇔ y ( x − y − 1) + x = − ( x − y − ) ⇔ xy − y − y + x = − ( x − y − ) ⇔− Đặt ( x − y )( y + 1) = x − y − ( ) ⇔ t ( x − y ) + k ( y + 1) = x − y − * ⇔ 3.3 + = (vô lý) ⇔ tx + ( k − t ) y + k = x − 3y − t =1    t =1  k − t = −3 ⇔   k = −2 ⇔  ⇒ * ⇔ ( x − y )( y + 1) = ( x − y ) − ( y + 1)  ⇔ ( x − y ) − ( y + 1) + ( x − y )( y + 1) = **  () ( ) + )TH1: y = −1 ⇒ (**) ⇔ x = −1 ( −1) Khi ( ) ⇔ + − +)TH2: Chia vế phương trình 147 ( −1) + + = (−1) − 14 ( −1) − ( ) cho y + ta được: ** https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 148 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN  x− y x− y =0 (**) ⇔   −2+ y +1  y +1    ⇔    x− y =1 y +1 ( tm ) x− y = −2 y +1 ( ktm ) ⇔ x − y = y +1 ⇔ y = x −1 Khi ta có: ( 2) ⇔ 8− x − ⇔ 8− x − Đặt f ( x ) = − x − ( x − 1) x −1 x −1 = x − 14 ⋅ −8 x −1 +1 +1 4⋅ ( x − 1) x +1 +1 − x2 + x + = − x2 + x + x +1 +1 Ta có: f ( −1) = ; f ( ) = −11 + ⇒ f ( −1) ⋅ f ( ) = −66 + 36 < ⇒ ( 3) ⇒ ( 3) có nghiệm đoạn [ −1;8] Lại có: f ( ) = ⇒ x = nghiệm ( 3) ⇒ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 7;3) −1 =3 Câu 34 ( x − y ) + xy = Hệ viết lại thành  ( x − y ) + xy = a = x − y a + b = Đặt  ta có hệ  b = xy a + 4b = Giải hệ phương trình ta a = b = a =  x − y =  x =  x = Với  ⇔ ⇒ ∨  xy =  y = −1  y = b = Câu 35 ĐK : x ≠ 0; y ≠ 148 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Tốn qua SĐT&Zalo:0816457443 149 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN  x 16  x 16 xy − =  xy − =  y y   Ta có  ⇔  xy − y = y − x =   x y x 2 Giải ( ) ⇔ y − x = xy ⇔ ( x + y )( 3x − y ) = −3 y −3y 16 Thay vào (1) ta y ⋅ + = 2 −3 y 23 ⇔ = (phương trình vơ nghiệm) 2y *Nếu x − y = ⇔ x = Thay vào (1) ta y = ⇔ y = ±3 * Nếu x + y = ⇔ x = • Với y = ⇒ x = (TM) + Với y = −3 ⇒ x = −2 (TM) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ( x; y ) = ( 2;3) ; ( x; y ) = ( −2; −3) Câu 36 Điêu kiện xác định: x ≥ −2 Phương trình (2) tương đương với: ⇔ ( x + 2)3 + ( x + ) = y + y ⇔ ( x + − y )  x + x + + y ( x + ) + y + 1 =  x   ⇔ ( x − y + )  + y + 1 + ( x + 2) + 1 =     x   ⇔ x − y + =   + y + 1 + ( x + 2) + ≥ 1 ⇔ y = x +  2     Thay vào phương trình (1) ta được: y + ( y + ) = y − y + 10 Áp dụng BĐT Co si ta có VT = 2 y ⋅ + ( y + ) ≤ y + + + y + = y + VP = y − y + 10 − ( y + ) = y − y + = 3( y − 1) ≥ 149 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 150 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUN Như phương trình có nghiệm ⇔ y − = ⇔ y = ⇒ x = y − = − = −1( tm ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( −1;1) Câu 37  x2 + y = x2 + y =  ⇔   ( x − y )( − xy ) = ( x − y )(1 − xy ) =  x2 + y2 = ⇔ 2 ( x − y ) x + y − xy = ( ) 2 2 8 y + y + =  x + y =  x + y = ⇔ ⇔ ⇔    x = + 2y ( x − y ) =  x = + y  y = − ⇔  x = Câu 38 Ta có: ( )( )  x + y + = 10  x + y + ( xy ) + = 10 ⇔   ( x + y )( xy − 1) =  ( x + y )( xy − 1) = 2 ( x + y ) − xy + ( xy ) + = 10 ⇔ ( x + y )( xy − 1) =  x + y = u Đặt  hệ phương trình trên:  xy − = v u + v = 10 (u + v) − 2uv = 10 (u + v) = 16 ⇔ ⇔ ⇔ uv = uv = uv = 150 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 151 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUN   u + v =  u = 1, v =  u + v =   u = 3, v =   uv = ⇔  u + v = −4 ⇔  ⇔  u + v = −4 u = −1, v = −3   uv =    uv =  u = −3, v = −1      x + y =    xy − =  x + y =    xy − =    x + y =   xy = ⇔     xy − = −3     x + y = −3    xy − = −1      x + y =    xy =   x + y = −1  ⇔    xy = −2    x + y = −3    xy =  x = 2; y =  x = 1; y = x = 1; y =   x = 1; y = −2 x = 1; y = −2 ⇔ x = −2; y =  x = −2; y =  x = 0; y = x = 0; y =  x = −3; y =  x = −3; y = VN Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(1; ) ; ( 2;1) ; (1; −2 ) ; ( −2;1) ; ( 0;3 ) ; ( −3;0 )} Câu 39 2 x − y − xy + x − y =   x + y − + − x = Điều kiện: x + y ≥ (1) ⇔ ( x − y )( x + y ) + ( x − y ) = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = ⇔ x = y x + y + > x + y ≥ Thế y = x vào (2) ta 3x − = 2x − x ≥ ⇔ ⇔ x = 4 x − 11x + = Với x = ⇒ y = (thóa mān điều kiện) Vậy hệ đā cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Câu 40 151 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443 152 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUN  x2 + y = y +   xy = x + Với x = , phương trình (2) trở thành = (vơ lí) Vói x ≠ , ta có:   x2 + y − y + =  x + ( y − 1) = 2 x + y = y +1   ⇔ ⇔  1 y = 1+ y −1 =  xy = x +   x x    1 ⇒ x +   = ⇔ x + = x (do x ≠ ) x ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = ±1 Vói x = ⇒ y = + ⇔ y = Vói x = −1 ⇒ y = + ⇔ y=0 −1 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x, y ) ∈ {(1; ) , ( −1; )} … HẾT… 152 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Liên hệ tài liệu WORD Toán qua SĐT&Zalo:0816457443