Hệ phương trình nâng cao(2)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Dạng 1: Hệ đối xứng loại 1) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi 2) Tính chất Nếu ( x0 , y0 ) nghiệm hệ ( y0 , x0 ) nghiệm S = x + y điều kiện S ≥ P quy hệ phương trình ẩn S , P P = x y  3) Cách giải: Đặt  Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:  x + y + xy = a)  3 x + y = ( 2 ( x + y ) =  c)   x + y = x y + xy )  x + y = 19 b)  ( x + y ) ( + xy ) =  x + y − xy = d)   x + + y + = HD: S = x + y điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở thành: P = x y  a) Đặt  2−S  P=  S + P =   ⇔   S ( S − 3P ) =  S  S − − 3S ÷ =    ⇒ 2S + 3S − 6S − 16 = ⇔ ( S − ) ( S + S + ) = ⇔ S = ⇒ P = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X = ⇔ X = 0, X = x = x = ∨  y = y = S = x + y b) Đặt  điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở thành: P = x y   S ( S − 3P ) = 19  SP = −8S S =  SP = −8S ⇔ ⇔ ⇔   S − ( − 8S ) = 19  P = −6  S + 24S − 25 =  S ( + P ) = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X − = ⇔ X = 3; X = −2 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( −2;3) , ( 3; −2 )  ( a + b3 ) = ( a 2b + b a ) c) Đặt a = x , b = y hệ cho trở thành:   a + b = 3 S = a + b điều kiện S ≥ P hệ cho trở thành P = ab  Đặt   ( S − 3SP ) = 3SP S = 2 ( 36 − 3P ) = 3P ⇔ ⇔  P =  S =  S = Suy a, b nghiệm phương trình:  a = ⇒ x = a = ⇒ x = 64 X − X + = ⇔ X = 2; X = ⇒  ∨ b = ⇒ y = 64 b = ⇒ y = Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( 8;64 ) , ( 64;8 )  xy ≥ S = x + y Đặt  điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở thành: x , y ≥ − P = x y   d) Điều kiện:    S − P =  S ≥ 3; P = ( S − 3) ⇔    S + ( S − 3) + = 14 − S  S + + S + P + = 16 S = ⇔ Vậy hệ cho có P = ⇒ x = y = 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) ⇔ ⇔ 2 4 ( S + 8S + 10 ) = 196 − 28S + S  S + 30 S − 52 = nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + xy = a)   x + y = xy  2 x + y + x + y = c)   x + y = x2 − y     ( x + y ) 1 + ÷ =   xy  b)   x + y 1 +  = )  x2 y2 ÷ (     x y ( + y ) + x y ( + y ) + xy − 30 = d)  2  x y + x ( + y + y ) + y − 11 = HD: a) Đặt x = a, y = b điều kiện a, b ≥  a + b + 2ab = Hệ phương trình trở thành:   a + b = Ta viết lại hệ phương trình thành:  (a + b) − 4ab(a + b) + 2a 2b + 2ab =   a + b = S ≥ 4P S = a + b Đặt  điều kiện  hệ cho trở thành  P = ab S , P ≥  256 − 64 P − P + P = ⇔ S = P=4⇔a=b=2⇔ x= y =4   S = Ngồi ta giải ngắn gọn sau:  ( x + y ) + xy = 16    x + y + xy = 16 ⇔ ( x2 + y ) = x + y ⇔ ( x − y)2 = ⇔ x = y ⇔ x = ⇔ x = Vậy hệ có cặp nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) b) Điều kiện: x + y > Biến đổi phương trình (1): xy xy = ⇔ ( x + y ) −1+ − xy = x+ y x+ y 2P − 2P −1 = Đặt x + y = S , xy = P ta có phương trình: S + S ⇔ S + P − SP − S = ⇔ S ( S − 1) − P ( S − 1) = ⇔ ( S − 1)( S + S − P) = x2 + y2 + Vì S > P, S > suy S + S − P > Do S = Với x + y = thay vào (2) ta được: = ( − y ) − y ⇔ y = 0, y = Xét x + y + = xy ⇔ x + y + = − x − y ⇔ x + y + x + y = (không thỏa mãn điều kiện) x+ y Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( −2;3) c) Điều kiện: xy ≠ Hệ cho tương đương:  1  1 1  x + y + + =  x + ÷+  y + ÷ =  x  y x y   ⇔  2 1  1  x2 + y2 + + =  + y+ ÷ =9   x + x ÷ x2 y y     1  1  x + ÷+  y + ÷ = S x  y  Đặt   x +   y +  = P ÷ ÷  x  y  Hệ trở thành: 1   3± x + = 2; y + = x = 1; y =   S − 2P = x y ⇔ S = 5, P = ⇔  ⇔ Vậy hệ cho có nghiệm:  1   ± S = ; y =1  x + x = 3; y + y = x =   2  3±   3±  ÷ ÷,  ;1÷ ÷     ( x; y ) = 1;  xy ( x + y ) ( x + y + xy ) = 30  xy ( x + y ) + x + y + xy = 11 d) Hệ tương đương với :  Đặt xy ( x + y ) = a; xy + x + y = b Ta thu hệ:   xy ( x + y ) =   ab = 30  a = 5; b =  xy + x + y = ⇔ ⇔  xy x + y =  ( )  a + b = 11  a = 6; b =     xy + x + y =    xy =   x = 2; y =  xy ( x + y ) = x + y = ⇔ ⇔ TH1:    xy =  x = 1; y =  xy + x + y =  ( L)   x + y =   xy =  − 21 + 21 ( L)  ;y= x = x + y =  xy ( x + y ) =  2 ⇔ ⇔ TH2:     xy =  xy + x + y = + 21 − 21  ;y= x =  2   x + y =  ± 21 m 21  ; ÷ 2 ÷   Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 1; ) , ( 2;1) ,  Dạng 2: Hệ đối xứng loại 1) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình trở thành phương trình 2)Tính chất.: Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm 3) Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình có dạng x − y =  f ( x; y ) = ( x − y )  f ( x; y )  = ⇔  Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:  x + x = y a)   y + y = x ( x − 1) ( y + ) = y ( x + 1)  b)  2 ( y − 1) ( x + ) = x ( y + 1)  x + x − + x + = y c)   y + y − + y + = x d) HD: a) Điều kiện: x, y ≥ Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x2 + x − y + y = ( y − x ) ( Vì ( ⇔ ) ( x + y ) ( x + y ) + + ( x + y )  = y ) ( x + y ) +1+ ( x + y ) > x− y   x+ nên phương trình cho tương đương với: x = y 2 Hay x − x + x = ⇔ x + x = x ⇔ x  x =  x −1 x + x −1 = ⇔ x =  x = −  ( )( )  3− 3−  ; ÷ ÷   Vậy hệ có cặp nghiệm: ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( 1;1) ,  2  xy + x − y − = yx + y 2  yx + y − x − = xy + x b) Hệ cho ⇔  Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: xy ( y − x ) + ( x − y ) + ( x − y ) ( x + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y − xy + ) = x = y ⇔  x + y − xy + = x= y=2 x = y =  + Nếu x = y thay vào hệ ta có: x − x + = ⇔  + Nếu x + y − xy + = ⇔ ( − x ) ( − y ) = 15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x + y − x − x + 12 = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = Đặt a = x − 5, b = y − 2  a + b =   a + b = ( a + b ) − 2ab = ab = −1 ⇔ ⇔ Ta có:   ab + ( a + b ) = −1  a + b = −8 ( a + ) ( b + ) = 15   ab = 31 2 a + b = ⇔ ( x; y ) = ( 3; ) , ( 2;3)  ab = −1 Trường hợp 1:   a + b = −8 vô nghiệm  ab = 31 Trường hợp 2:  Vậy nghiệm hệ cho là: ( x; y ) = ( 2; ) , ( 3;3) , ( 2;3 ) , ( 3; ) c) Điều kiện: x ≥ − ; y ≥ − nghiệm Ta xét trường hợp x + y ≠ −1 Để ý x = y = − Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x + 3x − + x + − y + y − + y + = y − x ⇔ ( x − y )  x + xy + y  + 4( x − y ) + 2( x − y) 2x +1 + y +1 =0   ⇔ ( x − y )  x + xy + y + + =0⇔ x= y x + + y +   Khi x = y xét phương trình: x3 + x − + x + = ⇔ x + x + x + − =   x  x2 + + =0⇔ x=0 x + + 1  Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x = y = x( x + 1) + 2x =0⇔ 2x +1 +1 Dạng 3: Hệ có yếu tổ đẳng cấp + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp + Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: 2 ax + bxy + cy = d , 2 ex + gxy + hy = k +  ax + bxy + cy = dx + ey , +  2 gx + hxy + ky = lx + my 2 ax + bxy + cy = d +  … 2 gx + hx y + kxy + ly = mx + ny Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình đẳng cấp bậc n : a1 x n + ak x n −k y k + an y n = Từ ta xét hai trường hợp: y = thay vào để tìm x n n−k + y ≠ ta đặt x = ty thu phương trình: a1t + ak t + an = + Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x, y Chú ý: ( Ta đặt y = tx ) Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:  x − x = y + y a)  2  x − = ( y + 1) 5 x y − xy + y − ( x + y ) = ( x, y ∈ ¡ b)  2 xy x + y + = x + y ( ) ( )  ) HD:  x + y = x + y a) Ta biến đổi hệ:  2  x + y = Để ý nhân chéo phương trình hệ ta có: 6( x + y ) = (8 x + y )( x + y ) phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ ta có lời giải sau: Vì x = khơng nghiệm hệ nên ta đặt y = tx Khi hệ thành:   x − x = t x + 2tx 1− t3 t +  x ( − t ) = 2t + ⇔ ⇒ =   2 2 − t x − = t x + ( ) x − t = )  (  ⇔ ( − t ) = ( t + ) ( − 3t )  t = ⇔ 12t − t − = ⇔  t = −   x ( − 3t ) =  x = ±3  ⇔ * t= ⇒  y = x  y = ±1   78 x=±   13 * t=− ⇒  78  y = m 13 Suy hệ phương trình có cặp nghiệm:  78 78   78 78  ( x; y ) = ( 3,1) ; ( −3, − 1) ;  , ; − , − ÷  ÷  13 ÷ 13 ÷  13   13  b) Phương trình (2) hệ có dạng: xy ( x + y ) + = x + y + xy ⇔ ( x + y ) ( xy − 1) − ( xy − 1) = ⇔ ( xy − 1) ( x + y − ) =  xy = ⇔ 2 x + y = 5 x y − xy + y − ( x + y ) = x =  x = −1 ⇔ TH1:   y =1  y = −1  xy = 5 x y − xy + y − ( x + y ) = 5 x y − xy + y = ( x + y ) (*) ⇔ TH2:  2  2  x + y =  x + y = Nếu ta thay x + y = vào phương trình (*) thu phương trình đẳng cấp bậc 3: x y − xy + y = ( x + y ) ( x + y ) Từ ta có lời giải sau: Ta thấy y = không nghiệm hệ 5t y − 4ty + y = ( ty + y ) x = ty y ≠ Xét đặt thay vào hệ ta có:  2 t y + y = Chia hai phương trình hệ ta được: 5t − 4t + t + = ⇔ t − 4t + 5t − = t +1  2  2 x = x = − t = x = y  x =  x = −1   ⇔ 1⇔ ⇔ ∨ ∨ ∨ t = x = y 2  y =  y = −1      y =  y = − Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau:  x2 + y + + y − =  a)  3  ( y + x ) + y ( x + 1) + x ( x + 1) + =  2x x + y =  + b)  x y x + y 2 x + y = x + − y  ( ) HD: a) Điều kiện: x + y + ≥ Phương trình (2) tương đương: ( y + x ) + y ( x + 1) + x + x + = ⇔ ( x + 1) + y ( x + 1) + y = Đây phương trình đẳng cấp y x + + Xét y = hệ vô nghiệm + Xét y ≠ Đặt x + = ty ta thu phương trình: 2t + 3t + = Suy t = −2 ⇔ x + = −2 y Thay vào phương trình (1) ta được: x2 − x + = x + ⇔ x = − 14 ⇒ y= 18  14  Vậy hệ có cặp nghiệm: ( x; y ) =  − ; ÷  18  b) Dễ thấy phương trình (1) hệ phương trình đẳng cấp x Điều kiện: y > 0; −3 ≤ x ≠ Đặt y = tx ⇒ y = t x thay vào (1) ta được: 2x x + tx + 2 = 2 x 3t x 2x + t x Rút gọn biến x ta đưa phương trình ẩn t : ( t − 2) (t + t + 1) = ⇔ t = ⇔ y = 2x ≥ Thay vào (2) ta được: x + x = x + ⇔ x + 10 x + 25 = 2x + + 2x + + 4 5  1  ⇔  2x + ÷ =  2x + + ÷ 2  2  Giải ta x = 17 − 13 − 17 ⇒y=  17 − 13 − 17  ; ÷ ÷   Vậy nghiệm hệ ( x; y ) =  y Bài tập 3: Giải hệ phương trình sau:  3 3x − y = x + y a)   x2 + y =   x y + − xy − x = b)   x − x − 3xy = HD: ( 3x − y ) ( x + y ) = a) Ta viết lại hệ thành:  2  x + y = (1) Ta thấy vế trái phương trình (1) bậc Để tạo phương trình đẳng cấp ta thay vế phải thành ( x2 + y )2 Như ta có: ( 3x − y ) ( x + y ) = ( x + y ) ⇔ x + 3x y − x y − xy − y = x = y  ⇔ ( x − y )( x + y )(2 x + xy + y ) = ⇔  x = −2 y  x + xy + y = 2 + Nếu x + xy + y = ⇔  y x +  x + ÷ = ⇔ x = y = không thỏa mãn 2  + Nếu x = y ta có x = ⇔ x = ± + Nếu x = −2 y ⇔ y = ⇔ y = ± 5 Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm:  2  2   −   −2 5  ; , − ; − ÷  ÷ ÷ ÷,  ; ÷ ÷,  ; ÷ ÷ 2          x y + − x( y + 1) = b) Điều kiện y ≥ −1 Ta viết lại hệ thành:   x − x( y + 1) = ( x; y ) =  Ta thấy phương trình hệ phương trình đẳng cấp bậc x, y + Dễ thấy y = −1 nghiệm hệ phương trình Xét y > −1 Đặt x = t y + thay vào hệ ta có:      ( y + 1) t − 2t  = t = ⇔ t − 3t − 6(t − 2t ) = ⇔  t = ( y + 1) t − 3t  = + Nếu t = x = Khơng thỏa mãn hệ 3 + Nếu t = ⇔ 27 ( y + 1) − ( y + 1) = ⇔ y = − ⇒ x = 9   Vậy hệ có cặp nghiệm ( x; y ) =  9; − 1÷   Bài tập 4: Giải hệ phương trình sau  xy + x y = a)  3  xy + ( x + x − 3) y + x =  x + xy + x + =  b)  2 ( x + 1) + 3( y + 1) + xy − x y + y = ( ) HD: a) Điều kiện: y ≥ Phương trình (2) hệ có dạng:  y = −1 xy ( y + 1) + x3 ( y + 1) = 3( y + 1) ⇔   xy + x = Trường hợp y = −1 không thỏa mãn điều kiện  xy + x = Trường hợp xy + x = ta có hệ:   xy + x y = Vế trái phương trình hệ phương trình đẳng cấp bậc x, y Dễ thấy y > Ta đặt x = t y thu hệ: t =  y (2t + t ) = t2 + ⇔ = ⇔ 2t − 3t + = ⇔   t = t +  y (t + t ) =  + Nếu t = x = y ⇔ x = ⇒ y = + Nếu t = 1 y ⇔ y = x ⇔ x3 = ⇔ x = ⇒ y = x = 3    9 Tóm lại hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ; ÷ b) Điều kiện: x y + y ≥ ⇔ y ≥ Từ phương trình thứ ta có: xy = − x − x − thay vào phương trình thứ hai ta thu được: ( x + 1) + 3( y + 1) − x − x − − y ( x + 2) = ⇔ x + − y + y ( x + 2) = Đây phương trình đẳng cấp bậc Đặt y x2 + t = y = t ( x + ) ta thu được: 3t − 2t − = ⇔  t = − ( L )  2 Khi t = ta có: y = x + thay vào phương trình thứ hệ ta thu được: x = −1 ⇒ y = Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm ( x; y ) = (1; −3) Bài tập 5: Giải hệ phương trình sau xy  2  x + y + x + y = 16  a)   x + 2x = x + x − y 8 y 3y  b) ( x + y ) ( x + y ) = 15 ( x + y ) ( x + y ) = 15 ⇔ 19)Hệ tương đương:  2 4 15 ( x − y ) = 15 y ( x + y ) ( x + y ) ( x − y ) = 15 y ( x + y ) ( x + y ) = 15 ( x + y ) ( x + y ) = 15 ⇔ ⇔ 4  x = ±2  x − y = 15 y  x = y ⇒ 15 y = 15 ⇔ y = 1; x = 2 ( x + y ) ( x + y ) = 15 +)   x = −2 y ⇒ −5 y = 15 ⇔ y = − 3; x = 3 2 x + y x + y = 15 ( ) ( )  +)  Vậy nghiệm hệ: x = 2; y = , x = 3; y = − 3 ( ) 4 2 2 5 20)Ta có: 2x = ( x + y ) x + y + x y − xy ( x + y ) = x + y ⇔ x = y  x = y x = y = ⇔ 2  x = y = −1  xy ( x + y ) = Ta thu hệ tương đương:  ( x + y ) + ( x − y ) − ( x + y ) ( x − y ) = 21)Hệ cho tương đương:   ( x + y ) = ( x + y ) + ( x − y ) Đặt u = x + y; v = x − y , sau giải 18 22)Nếu y = suy = (loại) Chia hai vế cho y ≠ 0, y ≠ ta được:     x + ÷ x + ÷ = 15 y  y   Đặt = t ta được:  y 1 + = x  y y ( x + t ) ( x + t ) = 15 , sau giải 19  t + t = x 23)Ta có: 16 = x + y + xy ( x + y ) + x y = ( x + y ) ⇒ x + y = ±2 x + y = x = ⇒ x2 + ( − x ) = ⇔ 2x2 − x + = ⇒  y =1 x + y = +)  2  x + y = −2  x = −1 ⇒ x2 + ( x + 2) = ⇔ x2 + x + = ⇒   y = −1 x + y = +)  2 Vậy nghiệm hệ có cặp nghiệm ( 1;1) , ( −1; −1) 24)Ta có: PT ⇔ 27 x3 − y − 27 x y + y x = x + y + y x + 3x y ⇔ ( 3x − y ) = ( x + y ) 3  x3 + y = ⇔ x = y = ⇔ x = y Hệ cho tương đương:  x = y  4 2 2 25)Ta có: PT ⇔ 15 x + y + 12 x y = 40 xy = xy ( x + y ) ⇔ 16 x + y − xy ( x + y ) + 12 x y = x 2x − y = x x = y ⇔ ( 2x − y ) = x4 ⇔  ⇔ 2x − y = − x 3 x = y 4 x + y =  x = y = ⇒ +)   x = y = −1 x = y    4 x + y = 5 5  ⇒ x + x = ⇔ x = ⇒  ;3 ÷ ,  − ; −3 ÷ ÷ 13  13   13 13 ÷ 3 x = y +)  26)Điều kiện: x, y ≠ Ta có: ( x + y)  1  1 1 + ÷= 2  + ÷+  y  ( x + y)  x y  x y x  x ( x + y ) =  xy = ±4 ⇔  2  x + xy =  x y = 16 Hệ cho tương đương với hệ:   xy = Xét hệ:   x + xy =  xy =  x = Hệ vô nghiệm  xy = −4 Xét hệ:   x = 16 Hệ có nghiệm ( 4; −1) ( −4;1) Vậy hệ cho có hai nghiệm ( 4; −1) ( −4;1)  x2 + y2 =  − x2 27)Ta có:   + xy − x + y + − y = ) ( ) ( 1 − y =  x2 + y2 =   ⇔  x2 + y2 = − x2 Hệ tương tự với hệ   + xy − x + y + − y =  x, y ≠ ±1 ) ( ) (  Khi đó, hệ có nghiệm ( −3;0 ) ( 3;0 ) 28)Điều kiện: x ≥ 2, y ≥ Vì 12 x y − ≤ x ( y − + ) = xy y x − ≤ y ( x − + ) = xy Cộng hai bất đẳng thức vế theo vế, ta được: xy = 12 x y − + y x − ≤ xy + xy = xy Do dấu “=” phải xảy Khi x = 4, y = Kiểm tra lại, ta thấy x = 4, y = nghiệm hệ phương trình 29)Điều kiện: x ≥ 16, y ≥ 17  x y  21 x y x y +  + ÷= x y Khi đó: + +  y x  Đặt t = + ≥ = y x y x y x Từ đánh giá qua bất đẳng thức đây: 6= 17 + t+ = + ( t + ) + 2t ≥ + 2.2 = , suy t + = hay t = t+6 t +6 Vậy t = x ≥ 16 Xét phương trình vơ tỷ x − 16 + x − = với x ≥ 16 Bình phương hai vế giản ước được: ( x − 16 ) ( x − ) = 37 − x Từ suy x = 25 Kiểm tra lại, ta thấy x = 25, y = 25 nghiệm hệ phương trình 30)Điều kiện: ≤ x, y , z ≤ 13 Cộng ba phương trình vế theo vế, ta được: x − + 13 − x + y − + 13 − y + z − + 13 − z = Xét: T = t − + 13 − t với t ∈ [ 3;13] Vì T = t − + 13 − t ≤ ( + 1) ( t − + 13 − t ) =2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dấu “=” xảy t = Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = z =  x ( x − y ) = ( x + y ) + ( x − y ) + 31) Biến đổi hệ phương trình thành:  2 (2)  = −3 x − y + ( x − y ) (1) Thực phép (2) vào (1) ta có: 2 x ( x − y ) = ( x + y ) + ( x − y ) − 3x − y + ( x − y ) ⇔ x ( x − y ) = −2 x + xy + 15 ( x − y ) ⇔ x ( x − y ) = −2x ( x − y ) + 15 ( x − y ) ⇔ ( x − y ) ( x + x − 15 ) = TH1: x = y Thay vào phương trình (2) có ngay: x + = Phương trình vơ nghiệm   y = −1 x = ⇒ y + y + = ⇔   y = −7 TH2: x + x − 15 = ⇔    x = −5 ⇒ y + y + 119 = 0(VN )  Vậy hệ cho có nghiệm sau: ( 3; −1) , ( 3; −7 ) 2 u = x + y  x + y = u  y = u + v − ⇒ ⇒ 32) Đặt    2 3 − x − y = v  x = − u − 2v v = − x − y ⇒ 2x + y + = u − v2 + 3u + v = Khi hệ ban đầu trở thành:  2  2v − u − v + = 2(*) Thế v = − 3u vào phương trình (*) giải tìm u = , từ v = ⇒ x = −3; y = 33) PT thứ hai hệ ⇔ x + y + x + y + = x2 + 2x + ⇔ TH1: TH2: ( ) x + y + = ( x + 1) ⇔ x + y = x x ≥ x + 2y = x ⇔  thay vào phương trình thứ ta 13 x − 11x − 30 = 2 y = x − x  x + ≤ x + y = −x − ⇔  thay vào phương trình thứ ta bậc hai theo x 2 y = x + x + 34) Điều kiện: x ≥ 4; y ≥ 0; x ≥ y; x ≥ y; y ≥ 3x Phương trình (1) ⇔ 2x − x2 − y = x − y ⇔ x2 − y = y − 2x ⇔ y = 4x − ∨ y = + Nếu y = khơng thỏa mãn điều kiện y ≥ 3x ≥ 12 + Nếu y = x − thay vào phương trình (2) ta thu được: x − 16 = + x − ⇔ x − 16 − = x − −   x −5 x+5 ⇔ ( x − 5)  − ÷= x − +1 x − +1  x − 16 +  x − 16 + x+5 ⇔ x = 5∨ − =0 x − +1 x − 16 + ⇔ x + y = −x − x − 25 = Với x = ⇒ y = 16 x+5 Xét x − 16 + = ⇔ ( x + ) x − + x + − x − 16 = x − +1 − Dễ thấy x + − x − 16 = x + x + − x − 16 > với x ≥ nên phương trình vơ nghiệm Tóm lại hệ có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( 5;16 ) 35) ĐK: x ≥ y, x + x − y ≥  a = y , phương trình (1) hệ cho tương đương với: b = x − y Đặt  a ( a + 1) = b ( b + 1) ⇒ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = 2 Do a + ab + b > ( ∀a, b ) ⇒ a = b y ≥  x − y = 3y   ⇒ x = y2 + y Hệ ⇔   x + x − y = x + y −  2  y + y + y = y + y + y − t ≥ 2 ⇒t = Đặt t = y + y , pt ⇔ t = t − ⇔  t − 5t + = Do y ≥ ⇒ y = ⇒ x = 8 4 Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: ( x; y ) =  ; ÷ 3 9 36) Từ phương trình (1) ta rút được: ( x− ( x + x2 − y x2 − y )( x+ ) x2 − y ) = 2x2 + x x2 − y + x2 − y x 9x ⇔ = (*) y2 Từ phương trình ta có kết quả: 9x 6x = −1 y Thay vào (*) ta có: x = 2x2 + 2x x2 − y − y 6x 2 = − ⇔ x + x x − y = xy ⇔  2 y2 y  x + x − y = y Nếu x = vô nghiệm Nếu x + x − y = y ⇔ x − y = y − x 3 y − x ≥  3 y − x ≥  y = ⇔ ⇔ ⇔ y = x  2  x − y = y − xy + x  y = x   Thay vào ta tìm được: ( x; y ) = (5;3) KL: Hệ có nghiệm: ( x; y ) = (5;3) 37) Biến đổi phương trình (1) ( x + 3) ( y + 4) + = −( y + 4) ( x + 3) + (*) + x = −3 ⇒ y = −4 ta thấy không thỏa mãn + x ≠ −3 ⇒ y ≠ −4 bình phương hai vế phương trình (*) ( x + 3)( y + 4) < ⇔ y + = −2( x + 3) ⇔ y = −2 x − 10  2 ( y + 4) = 4( x + 3) Thay vào phương trình (2) rút gọn ta được: x + 28 x + 51 + 3 x + 15 = ⇔ ( x + x + 16 ) + 3 x + 15 − ( x + 13) = ⇔ ( x + 4) + 27 ( x + 15 ) − ( x + 13) ⇔ ( x + 4) − ( x + 15 ) + ( x + 13) x + 15 + ( x + 13 ) 16 ( x + ) ( x + ) =0 ( x + 15 ) + ( x + 13) x + 15 + ( x + 13 ) 2 =0   ( 4x + 7) =0 ⇔ ( x + ) 1 −  ( x + 15 ) + ( x + 13 ) x + 15 + ( x + 13 )    ( 4x + 7)  =0 1 − 2 3 x + 15 + x + 13 x + 15 + x + 13  ( ) ( ) ( )   x = −4 - Với x = −4 ⇒ y = −2 - Với − ( x + 15) ( 4x + 7) + ( x + 13) x + 15 + ( x + 13) =0 (3) Ta chứng minh phương trình vơ nghiệm sau: Dễ thấy với x x + 28 x + 51 > Do phương trình(**)có nghiệm 3 x + 15 < ⇒ x < − 15 Từ suy vế trái (3) ln dương, dẫn đến phương trình vơ nghiệm KL: ( x; y ) = ( −4; −2 ) 2 38) Từ phương trình (2) ta thu được: y = − x − y − xy Thay vào phương trình (1) ta có: xy  x2 y  x + x  − x − y − ÷+ x − y = ⇒ x + x − xy − + x2 − y =   ⇔ ( x − 2)( x + x + 4) + x ( x + x + 4) − y ( x + x + 4) = ⇔ x + x + x − x y − xy − y = ⇔ (x3 − 8) + (x3 + 2x2 + 4x) − (x2y + 2xy + 4y) = ⇒ (2x − − y)(x2 + 2x + 4) = ⇔ y = 2x − Thay y = 2x − vào phương trình (2)và rút gọn ta  x = ⇒ y = −2 x(6 x − 7) = ⇔  x = ⇒ y =  7 1   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (0; −2),  ; ÷ 39) Với điều kiện x > hệ phương trình cho tương đương với hệ:  x y + xy − xy − 12 y − y + =  2 13 y + y + − xy = Lấy (1) + (2) ta có phân tích sau: x y + xy + y − xy − y + = ⇔ [ y ( x + 1)]2 − y ( x + 1) + = Ta y ( x + 1) = ⇔ 19 y − 17 y + = - Với y = 17 + 213 49 − 213 ;x = 38 - Với y = 17 − 213 49 + 213 ;x = 38 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:  49 − 213 17 + 213   49 + 213 17 − 213  ( x; y ) =  ; ; ÷ ÷ ÷,  ÷ 38 38     40) Điều kiện: y ≠  x2  y − xy = xy  Với y ≠ ta biến đổi hệ phương trình thành   x − xy + y =  y Đặt a = x2 ; b = xy hệ phương trình trở thành y   2a − b = b 2ab − b = (3) ⇔   2 2a − 2ab + b = 2a (4)  2a − 2b + b =  a Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta  a = −1 a2 − a − = ⇔  a = TH 1: a = −1 ⇒ b + 2b + = ( VN)  x2  =  x = ⇒ y TH : a = ⇒ b = ta có hệ phương trình    xy =  y =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) 1 − x ≥ −1 ≤ x ≤ ⇒ 41) Điều kiện:    y − y ≥ 0 ≤ y ≤ Cách 1: Đặt t = x + 1, ≤ t ≤ Lúc hệ pt thành: t − 3t + = y − y + t − 3t = y − y ⇒  2 2 2  x + − x − y − y = −2  x + − x − y − y = −2 2 Từ phương trình (1) ta suy ra: ( t − y ) ( t + ty + y − 3(t + y ) ) = Vì t + ty + y − 3(t + y ) = ⇔ t + ( y − 3) t + y − y = có ∆ = ( y − 3) − ( y − y ) = ( y − 3) ( y − − y ) = −3 ( y − ) ( y + 1) < nên phương trình vơ nghiệm Vậy t = y ⇒ x + = y Thay x + = y vào phương trình (2) có: x − − x = −2 ⇔ − x + − x − = ⇔ ( )( − x2 −1 ) − x2 + =  − x2 = ⇔ ⇒ x = ⇒ y =1  − x = −3 Vậy hệ pt có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) Cách 2: Phương trình (2) ⇔ x + − x + = y − y ⇔ f ( x ) = g ( y ) Xét f ( x ) miền [ −1;1] ta có ≤ f ( x ) ≤ 13 y+2− y = y =1 Vậy f ( x ) ≥ g ( y ) Dấu xảy   x = ±1, x = Ta lại có: g ( y ) = y ( − y ) ≤ Thay vào phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) 42) Vì x = khơng phải nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x3 ta thu được: x − x + x − = x3 ( − y ) − y 3  1  1 ⇔ 1 − ÷ + 1 − ÷ = ( − y ) + − y  x  x 3 2 Đặt a = − , b = − y suy a + a = b + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = ⇔ a = b y Thay vào pt thứ ta được: ( ) ( x + −3 − ) 15 − x − = ⇔ x−7 + x+2 +3 x−7 = ⇔ x = ⇒ y = 111 98 ( 15 − x ) + 15 − x + 43) Dễ thấy xy = không thỏa mãn hệ   1  x − ÷ y − ÷ = x  y Với xy ≠ viết lại hệ dạng:   2  x + y + xy − x − y + 14 = Điều kiện để phương trình x + y + xy − x − y + 14 = (ẩn x) có nghiệm  7 ∆1 = ( y − ) − y + 24 y − 56 ≥ ⇔ y ∈ 1;   3 2 Điều kiện để phương trình x + y + xy − x − y + 14 = (ẩn y) có nghiệm là:  10  ∆ = ( x − ) − x + 28 x − 56 ≥ ⇔ x ∈  2;   3 Xét hàm số f ( t ) = 2t − đồng biến ( 0; +∞ ) nên ⇒ f ( x ) f ( y ) ≥ f ( ) f ( 1) = t x = Kết hợp với phương trình thứ ta được:  nghiệm hệ y =1 “Để chứng minh hàm số f ( x ) đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 ≠ x2 ∈D Chứng minh: f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0” x1 − x2 Ngược lại để chứng minh hàm số f ( x ) nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá f ( x1 ) − f ( x2 ) ( x; y ) = ( −1; ) ,  Ta có (1) tương đương ( x+ )( x2 + y + y2 + )( ) y2 +1 − y = y2 +1 − y ⇔ x + x + = − y + y + Từ ta rút x = − y y Thay vào (2) ta được: y + y −1 = 35 12 Bình phương hai vế (điều kiện y > ) Khi ta có: y + Đặt 2 y2 y4 − y2 + y2 y2  35   35  + = ÷ ⇔ + = ÷ 2 y −1 y − y −  12  y −  12  y2 y2 y2 −1 = t > Phương trình tương đương: 49  t = − ( L)   35  12 t + 2t −  ÷ = ⇔  ⇔  12  t = 25  12  y=±  y 25 = ⇔ y − 12 y = ±  Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương  5  5 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) =  − ; ÷,  − ; ÷  4  3 49) Triển khai phương trình (1) (1) ⇔ x y + xy + + x + xy + y = ⇔ x y + x + y + = −8 xy ⇔ ( x + 1) ( y + 1) = −8 xy Nhận thấy x = 0, y = không nghiệm hệ x2 + y2 + = −8 Phương trình (1) là: x y x y Đặt = a; = b Hệ cho tương đương: x +1 y +1  x  = − a = −   x +1   2      x = −1  y = 1   b =  a + b = −   y +      y = ±  4 ⇔ ⇔ ⇔   x  x = + ±  a =  = −8    x + =  ab     y = −1     y = −  b = −   y + 2    ( )( )( )( ) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = −1; − , −1; + , − 3; −1 , + 3; −1 50) Ta có: ( x + y ) ≤ ( + 1) ( x + y 2 ) (x ⇒ + y2 ) x2 + y2 ) x + y ( ( x + y)2 ≥ ⇔ ≥ 2 Mặt khác ta có: ( x + 2y) x + xy + y ( x + y ) + ( x − y ) = ≥ 12 ⇒ x + 2y x + xy + y ≥ x2 + y2 x + xy + y + ≥ x + 2y ≥ x + 2y Dấu xảy x = y ≥ Từ suy Thay vào phương trình cịn lại ta thu được: x − x3 + x − x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ x = ⇒ y =  1   Hệ có cặp nghiệm: ( x; y ) = 1; ÷ 51) Cộng theo vế pt hệ ta được: ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = (*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng không âm, không tính tổng quát ta giả sử: ( z − ) ≥ ⇒ z ≥ Thế phương trình thứ hệ tương đương: 3 x − 16 = 12 ( z − ) ≥ 12.22 ⇒ x ≥ Thế phương trình thứ hai hệ tương đương: y − 16 = 12 ( x − ) ≥ 12.22 ⇒ y ≥ Do từ ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = ( *) ⇒ x = y = z = thử lại thỏa mãn 3 Vậy ( x; y; z ) = ( 4; 4; ) nghiệm hệ 52) Phương trình (1) hệ có dạng: Do x + + y − > nên suy ( x + 2) + ( x + 2) ( x + 2) + = − x − x ⇒ x + = − x ⇔ x = −1 ⇒ y = ( x2 + − y )( ) x2 + + y − = x + − y = ⇔ y = x + thay vào phương trình (2) ta có: ( −x) ( +2 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = −1; ) 53) Theo bất đẳng thức si ta có:  x x x+ y 1 x x+ y  = ≤  +  ÷ x + y x + 3y  x + y x + 3y   x + 3y ⇒  y 2y 11 2y    x + 3y = x + 3y ≤  + x + 3y ÷    x+ y 1 x 3 ≤  + ÷ x + 3y  x + y  x+ y 1 x 3 ≤  + ÷ y + 3x  x + y  Tương tự ta có:  1 x+ y  +  x + 3y 3x + y  ta được: x = y = Từ suy ( )  ≤ Dấu xảy x = y thay vào phương trình thứ ÷ ÷   y − ( x + 4) y + y + x − x =   1− x + x + y + = 4( x − 1) + y −   1 − x ≥ x + y + ≥ 54) Điều kiện:  Phương trình thứ hệ viết lại thành: x − ( y + 4) x + y − y + y = ⇒ ∆ = ( y + 4)2 − 4(2 y − y + y ) = ( y − y + ) x = 2y Từ ta tính được:  x = y − 2y + Vì x = y − y + = ( y − 1) + > nên không thỏa mãn Thay x = y vào phương trình thứ hai ta được: 1− x + x + = 4x2 − x + 2 5 Ta có: x − x + = (2 x − 1) + ≥ ; 2 1− x 1  + 2x + = − x + x + ≤  + 1÷( − x + x + 3) = 2 4  Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy Suy x = ; y = 55) Từ phương trình (2) ta suy x > Phương trình (1) viết lại sau: x + ( y − y − 1) x − y − y = ⇒ ∆ = ( y − y − 1) + ( y + y ) = ( y + y + 1) 2  x = − y2 < x = y +1 Từ tính được:  Thay y = x − vào phương trình ta thu được: x( x + 4) = x + + x Chia phương trình cho x + ta có: x 2x = 1+ x +4 x +4 2 t = x > ta có 2t − 3t + = ⇔  Đặt t = t = x +4  2 Với t = ⇔ x − x + = vô nghiệm Với t = ⇔ x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) 56) Điều kiện: x ≥ Ta viết lại phương trình (1) thành: x + ( y + 2) x − y − y − y = Tính 2 x = 2y ∆ = ( y + ) + y + 16 y + 16 y = ( y + y + ) ⇒  x = − y − 2y − < x Thay y = vào phương trình ta thu được: ( ) x − + x + = x − x + 9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có: ( ) 3 x − + x + = 1.( x − 1) ≤ ( + x − 1) = x 2 x + 10 3 x + = 4.4.( x + 2) ≤ ( + + x + ) = 2 x + 10 = 2x + Từ suy x − + x + ≤ x + 2 ( ) Mặt khác ta có: x − x + − (2 x + 5) = ( x − ) ≥ Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy x = Suy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Mặt khác ta thấy x = 2; y = nghiệm hệ Vậy ( x; y ) = ( 2;3) nghiệm hệ 57) Đặt a = x + y + ,b = x − y ⇔ x+ y    + 3( x − y ) = 13 5 ( x + y ) + 2 ( x + y)    Hệ  nên ta có: ( x + y + ) + x − y =  x+ y 5(a − 2) + 3b2 = 13 5a + 3b = 23 ⇔  a + b = a + b =  a=−  a =  Giải hệ ta tìm   b = −3 b =   −1 ± ±   11    ; , ; − , ; − ÷  ÷  ÷ ÷    4  2 58) Từ phương trình (2) ta suy xy ≥ ⇔ x, y dấu Từ phương trình (1) ta suy x, y ≥ Từ ta tìm nghiệm hệ: ( x; y ) =  x2 + − y y2 + − x2 + = Dấu xảy Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x − y + y − x ≤ 2 2 x + y =  x + y = Bài toán trở thành: Giải hệ phương trình:  ( x + y ) − 12( x − 1)( y − 1) + xy = Ta có: ( x + y )3 − 12( x − 1)( y − 1) + xy − = ( x + y )3 + 12( x + y ) − 21 − 12 xy + xy Đặt t = x + y ⇒ t ≤ ( x + y ) = ta thu ( x + y ) − xy = ⇔ x + y = ( t + 1) Ta có: ( x + y )3 + 12( x + y ) − 21 − 12 xy + xy ≤ ( x + y ) + 12( x + y ) − 21 − 12 ( x + y) − ( x2 + y2 ) + ( x + y) = t − 6t + 12t − Ta có t − 6t + 12t − = ( t − ) ≤ Khi t = ⇒ x = y = nghiệm hệ 59) Từ phương trình hệ ta suy x, y ≥ Xét phương trình: x + y + ( x + y ) xy = xy ( x + y ) 3 2 Ta có: x + y + ( x + y ) xy = ( x + y ) ( x + y + xy ) = ( x + y ) ( x + y ) + xy  Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: ( x + y) ( x + y) + xy ≥ ( x + y) xy Suy x + y + ( x + y ) xy ≥ xy ( x + y ) = ( x + y ) + xy ≥ (x + y ) xy ( x + y) = xy ( x + y ) Ta có Suy x + y + ( x + y ) xy ≥ xy ( x + y ) Dấu xảy x = y Thay vào phương trình (2) ta thu được: x − x − = − x ⇔ x − − x = ( x − 3) ⇔ 2x − + x = ( x − 3) 2x − + x = ( x − 3) Suy x = hoặc: Do x ≥ nên pt vô nghiệm 2 Tóm lại: Hệ có nghiệm: x = y =