Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HẢI VĨNH HÀM VÔ HƯỚNG PHI TUYẾN VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2021 ĐẠI HỌC THÁ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HẢI VĨNH HÀM VÔ HƯỚNG PHI TUYẾN VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HẢI VĨNH HÀM VÔ HƯỚNG PHI TUYẾN VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐỐI XỨNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2021 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Lưu Hải Vĩnh Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Bùi Thế Hùng i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thể thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Lưu Hải Vĩnh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón khơng gian tuyến tính 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị 1.4 Tính lồi theo nón ánh xạ đa trị 13 Chương Hàm vô hướng phi tuyến tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng 15 2.1 Bài toán cân vectơ đối xứng 15 2.2 Hàm vô hướng phi tuyến 16 2.3 Sự tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng 18 2.4 Tính lồi tập nghiệm toán cân vectơ đối xứng 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian vectơ Euclide n− chiều Rn+ tập vectơ không âm Rn Rn− tập vectơ không dương Rn 2X tập tất tập X f :X→Y ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa ánh xạ đa trị F gph F đồ thị ánh xạ đa trị F A := B A định nghĩa B ∅ tập rỗng Ac phần bù tập A A⊆B A tập B A 6⊆ B A∪B A∩B A không tập B hợp hai tập hợp A B giao hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B ¯ cl A A, bao đóng tơpơ tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A iv co A bao lồi tập hợp A (SV EP )1 toán cân vectơ đối xứng loại (SV EP )2 toán cân vectơ đối xứng loại (SV EP )1 (ξ) toán cân vô hướng đối xứng loại (SV EP )2 (ξ) tốn cân vơ hướng đối xứng loại usc nửa liên tục lsc nửa liên tục ✷ kết thúc chứng minh v Mở đầu Bài tốn cân vơ hướng E Blum W Oettli [4] nghiên cứu vào năm 1994 Từ tốn ta suy tốn khác lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm n ngựa, tốn điểm bất động, Sau toán mở rộng cho ánh xạ vectơ đơn trị đa trị từ tập không rỗng vào khơng gian tuyến tính với thứ tự sinh nón người ta gọi tốn tốn cân vectơ hay cịn gọi toán cân đa mục tiêu Hệ toán cân vectơ họ toán cân vectơ khác giới thiệu vào năm 2000 Ansari cộng [3] Bài toán bao hàm số toán khác toán cân vectơ, toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ, toán điểm bất động, Khi nghiên cứu hệ toán cân người ta thường quan tâm đến vấn đề sau đây: Sự tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm thuật tốn tìm nghiệm Bài toán cân vectơ đối xứng hệ toán cân vectơ đối xứng M Fakhar J Zafarani quan tâm nghiên cứu (xem [6],) Năm 2018, phương pháp sử dụng hàm vô hướng phi tuyến, tác giả A P Farajzadeh, R Wangkeeree, J Kerdkaew [5] xây dựng số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm tốn Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống kết cơng trình [5] tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn trình bày số kiến thức giải tích đa trị nón khơng gian tuyến tính, ánh xạ đa trị tính chất ánh xạ đa trị Chương trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng Hơn nữa, chương chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tính lồi tập nghiệm toán cân vectơ đối xứng Một số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết trình bày Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở nón khơng gian tuyến tính, ánh xạ đa trị số tính chất ánh xạ đa trị Một số kiến thức sở kết chương chúng tơi trích từ tài liệu [1], [2] 1.1 Nón khơng gian tuyến tính Trong phần này, ta nhắc lại khái niệm không gian vectơ tơpơ, nón khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian vectơ trường K (i) Một tơpơ τ X gọi tương thích với cấu trúc đại số X phép tốn cộng nhân vơ hướng ánh xạ liên tục (ii) Một khơng gian tơpơ tuyến tính hay không gian vectơ tôpô trường K cặp (X, τ ), X khơng gian vectơ trường K τ tơpơ tương thích với cấu trúc đại số X Định nghĩa 1.1.2 Cho Y khơng gian tuyến tính C tập khơng rỗng Y Ta nói C nón có đỉnh gốc Y tc ∈ C, với c ∈ C t ≥ Nếu C nón có đỉnh gốc C + x0 nón có đỉnh x0 Vì luận án chúng tơi quan tâm đến nón có đỉnh gốc để tránh nhầm lẫn ta gọi nón thay cho nón có đỉnh gốc Định nghĩa 1.1.3 Cho C nón khơng gian tuyến tính Y Ta nói (i) C nón lồi C tập lồi