DangThiToNhu TV pdf THÈSE Pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE Spécialité Mathématiques Appliquées Arrêté ministériel 7 août 2006 Présentée par Dang Thi To Nhu Thèse dirigée pa[.]
THÈSE Pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE Spécialité : Mathématiques Appliquées Arrêté ministériel : août 2006 Présentée par Dang Thi To Nhu Thèse dirigée par Jacques Istas et codirigée par Michel Zinsmeister, Dang Phuc Ho préparée au sein du Laboratoire Jean Kuntzmann et de l’Ecole Doctorale ED-MSTII Estimation des indices de stabilité et d’autosimilarité par variations de puissances négatives Thèse soutenue publiquement le Juillet 2016, devant le jury composé de : Mme Anne Estrade Professeur, Université Paris Descartes, Rapporteur M Yimin Xiao Professeur, Université d’État du Michigan, Rapporteur M Serge Cohen Professeur, Université Paul Sabatier, Président M Huu Du Nguyen Professeur, Institut d’études avancées en mathématiques du Vietnam, Examinateur Mme Céline Lacaux Professeur, Université d’Avignon et des pays de Vaucluse, Examinatrice M Jacques Istas Professeur, Université Grenoble Alpes, Directeur de thèse Abstract This work is concerned with the estimation of the self-similarity and the stability indices of a H-self-similarity stable process (field) or a multifractional stable process More precisely, let X be a H-sssi (self-similar stationary increments) symmetric α-stable process (field) or a multifractional stable process We observe X at points nk , k = 0, , n Our estimates are based on β-negative power variations with − 12 < β < 0, thanks to the existence of expectations and covariances of these variations We get consistent estimators, with rates of convergence, for several classical H-sssi α-stable processes (fractional Brownian motion, well-balanced linear fractional stable motion, Takenaka’s processes, Lévy motion) Moreover, we get asymptotic normality of our estimates for fractional Brownian motion and Lévy motion This new framework allows us to give an estimator for the self-similarity parameter H without assumptions on α and, vice versa, we can estimate the stable index α without assumptions on H Generalizing for the case of high dimensions, we also obtain consistent estimators for H and α The results are illustrated with some familiar examples: Lévy fractional Brownian field, well-balanced linear fractional stable field and Takenaka random field For multifractional stable process, we concentrate on multifractional Brownian motion and linear multifractional stable process In these two cases, we get the consistency of the estimators for the value of self-similarity function H at a fixed time u and for the stability index α Keywords: H-sssi processes, stable processes, self-similarity parameter estimator, stability estimator Résumé Ce travail porte sur l’estimation des indices d’autosimilarité et de stabilité d’un processus ou champ stable fractionnaire et autosimilaire ou d’un processus stable multifractionnaire Plus précisément, soit X un processus ou un champ stable H-autosimilaire accroissements stationnaires (H-sssi) ou un processus stable multifractionnaire Nous observons X aux points nk , k = 0, , n Nos estimations sont basées sur des variations de puissances négatives β avec −1/2 < β < 0: en effet, ces variations ont une espérance et une variance Nous obtenons des estimateurs consistants, avec les vitesses de convergence, pour plusieurs processus H-sssi α-stables classiques (mouvement brownien fractionnaire, mouvement stable fractionnaire linéaire, processus de Takenaka, movement de Lévy) De plus, nous obtenons la normalité asymptotique de nos estimations pour le mouvement brownien fractionnaire et le mouvement de Lévy Ce nouveau cadre nous permet de donner une estimation pour le paramètre d’autosimilarité H sans hypothèse sur α et, vice versa, nous pouvons estimer l’indice stable α sans hypothèse sur H En généralisant, pour le cas d’une dimension supérieure 1, nous obtenons également des estimateurs consistants pour H et α Les résutats sont illustrés par des exemples: champ de Lévy fractionnaire, champ stable fractionnaire linéaire, champ de Takenaka Pour les processus stables multifractionnaires, nous nous concentrons sur le mouvement brownien multifractionnaire et le processus stable multifractionnaire linéaire Dans ces deux cas, nous obtenons la consistance des estimateurs pour la fonction d’autosimilarité un temps donné u et pour l’indice stable α Mots-clés: processus autosimilaire accroissements stationnaires, processus stable, estimateur du paramètre d’autosimilarité, estimateur du paramètre de stabilité Remerciements Je tiens tout d’abord exprimer ma gratitude mon directeur de thèse Jacques Istas Je le remercie d’avoir accepté d’être mon directeur de thèse, pour son accueil Grenoble, pour son encadrement, ses conseils, ainsi que pour son encouragement, son enthousiasme depuis mes premiers jours en France Il m’a toujours guidée avec beaucoup de patience en répondant toutes mes questions Je souhaite remercier mon co-encadrant Michel Zinsmeister pour toutes ses précieuses discussions, ses conseils, son encouragement pendant les moments difficiles de ma thèse Je remercie également mon co-encadrant Ho Dang Phuc pour ses conseils sur ce mémoire Je voudrais remercier Madame Anne Estrade et Monsieur Yimin Xiao, d’avoir accepté de rapporter cette thèse, pour leurs remarques constructives et pour l’intérêt qu’ils ont porté ma thèse Je tiens également exprimer mes remerciements Madame Céline Lacaux, Monsieur Serge Cohen et Monsieur Nguyen Huu Du pour avoir examiné ce texte Merci tout les membres du LJK, qui a su m’apporter leur aide: Clémentine, Hélène, Patrice, Frédéric, Bruno, Catherine, Laurence J’exprime mes remerciements Sana pour m’avoir aidée au sujet du mouvement de Lévy stable Merci aux amis pour tout ce qu’on a partagé ensemble: Konstantina, Patricia, Federico, Cecilia, Alexandre Aksenov, Burak Merci notamment Konstantina pour ses sourires et ses encouragements, et Federico pour toutes les discussions amicales Je ne peux également oublier de remercier tous les thésards et ingénieurs du LJK qui m’ont aidée pendant ma thèse: Thomas, Nelson, Alexis, Alexandre Hoffman, Achmad, Romain, Ziad, Margaux, Dmitri, Pierre-Olivier, Julien et tous les autres J’exprime mes sincères remerciements aux bénévoles de l’Assosiation Coup de Pouce pour m’avoir aidée amộliorer mon franỗais et mon anglais: Fanny, Jean, Blandine, Marie Merci Fanny pour sa confiance et ses conseils Je souhaite remercier Dominique et Jacques pour avoir organisé la journée au ski Ce fut une journée et une expérience inoubliable pour moi Un grand merci mes deux amis Lan et Gabriel qui ont toujours été côté de moi pendant trois ans, avec plein des souvenirs inoubliables: merci Lan pour tous les repas vietnamiens excellents et pour son enthousiasme, merci Gabriel pour les randos, pour son soutien, pour sa gentillesse et sa patience infinie m’avoir écoutée tout au long de la thèse Je remercie sincèrement Yen et Thuy avec qui j’ai partagé des joyeux moments Grenoble Merci Mai pour son enthousiasme, son encouragement et pour m’avoir accompagnée au LJK Merci Stéphane pour les discussions agréables sur la culture et les paysages du Vietnam et de la France Je pense également mes amis vietnamiens pour leurs conseils, leur soutien et leur qualité de coeur au cours de ces trois années éloignées de ma famille: la famille de Mai et Cuong, Luu et Thu, Van et Ngoc, Lam et Phuc, Nga et Quyet, Chi, Thang, Thơng, Thóng, Thao, Linh, Bang, Khanh, Qun, Nam, An, Dat, Hung, Kim Anh, Huong et tous les autres Enfin, un grand merci toute ma grande famille au Vietnam pour leur amour et leur soutien sans faille Je pense spécialement mon mari Ngoc Anh et ma fille Ngoc Quynh pour tout ce qu’ils ont fait pour moi, pour leur sacrifice, leur soutien, je ne les en remercierai jamais assez Contents Abstract Résumé Remerciements Notation 14 Introduction 1.1 Self-similarity and stability 1.2 Outline of the manuscript 15 15 17 Estimation of self-similarity and stability indices of H-sssi, SαS-stable random processes 2.1 Estimation of the self-similarity index 2.1.1 Mean and covariance of β-negative power variations 2.1.1.1 Results 2.1.1.2 Proofs 2.1.2 Construction of the estimator of the self-similarity index 2.1.2.1 Results 2.1.2.2 Proofs 2.1.3 Examples 2.1.3.1 Central limit theorem for fractional Brownian motion 2.1.3.1.1 Variance 2.1.3.1.2 Central limit theorem and proof 2.1.3.2 Central limit theorem for SαS-stable Lévy motion 2.1.3.2.1 Variance 2.1.3.2.2 Central limit theorem and proof 2.1.3.3 Well-balanced linear fractional stable motion 2.1.3.4 Takenaka’s process 2.2 Estimation of the stable index α 2.2.1 Construction of the estimator of α 2.2.2 Results on the estimation of α 2.2.3 Examples 2.2.3.1 Central limit theorem for fractional Brownian motion 19 20 20 20 22 36 36 37 41 41 41 42 58 59 59 64 69 73 73 74 79 79 2.3 2.2.3.1.1 Variance 2.2.3.1.2 Central limit theorem and proof 2.2.3.2 Central limit theorem for SαS-stable Lévy 2.2.3.2.1 Variance 2.2.3.2.2 Central limit theorem and proof 2.2.3.3 Some other cases Conclusion motion Estimation of the self-similarity and the stability indices of SαS-stable random fields 3.1 Introduction 3.2 Settings 3.3 Estimation of the self-similarity index 3.4 Estimation of the stability index 3.5 Examples 3.5.1 Lévy fractional Brownian field 3.5.2 Well-balanced linear fractional stable field 3.5.3 Takenaka random field 3.6 Conclusion Multifractional stable process 4.1 Introduction 4.2 Settings 4.3 Some auxiliary results 4.4 Estimation of the self-similarity functional parameter H 4.4.1 Linear multifractional stable motion (0 < α < 2) 4.4.2 Multifractional Brownian motion (α = 2) 4.5 Estimation of the stable index α 4.6 Conclusion 79 80 81 81 82 83 84 H-sssi, 85 85 86 87 91 92 93 95 100 104 105 105 105 108 113 114 119 124 126 General conclusion 127 A Auxiliary results related to rate of convergence A.1 Some properties of Gamma function A.2 Some properties of oP , OP A.3 Some auxiliary lemmas 129 129 129 131 B Auxiliary results in high dimensions 134 B.1 Spherical coordinates 134 B.2 Auxiliary lemma 135 C H-sssi random processes and α-stable random processes 136 C.1 H-sssi random processes 136 C.2 Stable random process 136 10 D Normal approximations with Malliavin calculus D.1 Hermite polynomial D.2 Central limit theorem via chaos decompositions D.3 Breuer-Major theorem 138 138 138 140 Bibliography 146 11