Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 10 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (5,0 điểm) a) Tìm số giá trị nguyên tham số m để x2 − 4x − ≤ với x ∈  x − ( m − 1) x + 16 b) Giải phương trình x3 + x − 3x − 2= x + Câu (2,0 điểm) Để gây quỹ cho chương trình Tết yêu thương, trường THPT tổ chức cho lớp gói bánh chưng bánh tét Mỗi lớp sử dụng tối đa 10 kg gạo nếp, kg thịt 1, kg đậu xanh Để gói bánh chưng cần 0,5 kg gạo nếp, 0, 05 kg thịt 0,1 kg đậu xanh Để gói bánh tét cần 0, 75 kg gạo nếp, 0, 075 kg thịt 0,1 kg đậu xanh Mỗi bánh chưng bán 30 ngàn đồng, bánh tét bán 40 ngàn đồng Để thu số tiền nhiều nhất, lớp cần gói bánh chưng, bánh tét? Câu (6,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có điểm M ( 2;3) trung điểm cạnh AB, điểm H (1;5 ) điểm K ( 5;9 ) chân đường cao kẻ từ C B , điểm D thuộc đường thẳng ∆ : x − y − =0 cho tam giác BCD cân C Tìm tọa độ điểm C D , biết điểm B có hồnh độ âm b) Cho tam giác ABC khơng vng có độ dài đường trung tuyến kẻ từ A ma = , độ dài đường cao kẻ từ B C hb = hc = Tính cos A Câu (5,0 điểm) a) Cho tập hợp A = {0;1; 2;3; 4;5;6;7} Gọi B tập hợp tất số tự nhiên chẵn có chữ số lập từ A C tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ A cho tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối Tìm số phần tử tập hợp B số phần tử tập hợp C b) Cho đa thức f ( x) = ax3 − x + bx − với a, b số thực, a ≠ , có nghiệm số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= − 3ab − 10a a2 Câu (2,0 điểm) Cho bảng vng × gồm hình vng đơn vị Điền vào ô vuông đơn vị bảng chữ số 0, 1, …, Hỏi có cách điền để tổng số hàng tổng số cột số lẻ Biết chữ số điền vào đủ ô bảng chữ số lặp lại -HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu; - Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh: ………………… NHĨM TỐN VD-VDC TOÁN 10 HÀ TĨNH 2023 Câu (5,0 điểm) a) Tìm số giá trị nguyên tham số m để x2 − 4x −  với x  x − ( m − 1) x + 16 b) Giải phương trình x3 + x2 − 3x − = x + Lời giải x − 4x −  với giá trị x  x − ( m − 1) x + 16 a) Để trước hết cần điều kiện: x − ( m − 1) x + 16  0, x    '   ( m − 1) − 16   −3  m  (1) Khi x − ( m − 1) x + 16  0, x  nên yêu cầu toán  x − x −  x − ( m − 1) x + 32 với giá trị x   x − ( m − ) x + 36  với giá trị x    '   ( m − ) − 36   −1  m  (2) Từ (1) (2) suy −1  m  tất giá trị cần tìm Vì m nguyên nên m  −1;0;1; 2;3; 4 : có tất giá trị b) Điều kiện: x  −2 Phương trình tương đương ( x + 2) ( x − x − 1) = x +  x = −2   x + ( x − x − 1) = (*) Đặt t = x + 2, t   x = t − 2 PT (*) trở thành t ( t − ) − t + − 1 =  t − 5t + 5t − =    (t − 2) ( t + 2t − t − 2t + 1) = t = t = t =     −1 + t + 2t − t − 2t + = ( t + t − 1) = t =  Với t =  x = ; Với t = −1 + −1 − x= 2 NHĨM TỐN VD-VDC Vậy PT có nghiệm x = 2, x = −1 − Câu (2,0 điểm) Để gây quỹ cho chương trình Tết yêu thương, trường THPT tổ chức cho lớp gói bánh chưng bánh tét Mỗi lớp sử dụng tối đa 10 kg gạo nếp, kg thịt 1,6 kg đậu xanh Để gói bánh chưng cần 0,5 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt 0,1 kg đậu xanh Để gói bánh tét cần 0,75 kg gạo nếp, 0,075 kg thịt 0,1 kg đậu xanh Mỗi bánh chưng bán 30 ngàn đồng, bánh tét bán 40 ngàn đồng Để thu số tiền nhiều nhất, lớp cần gói bánh chưng, bánh tét? Lời giải Gọi số bánh chưng gói x ; số bánh tét gói y Khi số tiền thu là: F ( x, y ) = 30 x + 40 y Số kg gạo nếp cần dùng 0,5x + 0,75 y Số kg thịt cần dùng 0,05x + 0,075 y Số kg đậu xanh cần dùng 0,1x + 0,1y Vì lớp sử dụng tối đa 10kg gạo nếp, 1kg thịt; 1,6 kg đậu xanh nên ta có hệ 0,5 x + 0, 75 y  10 2 x + y  40 2 x + y  40 0, 05 x + 0, 075 y  2 x + y  40      x + y  16 (*)    x  0, y  0,1x + 0,1y  1,  x + y  16   x  0, y   x  0, y  Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn biểu thức F ( x, y ) = 30 x + 40 y miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác OABC (kể biên), O ( 0; ) , A (16; ) ,  40  B ( 8;8 ) , C  0;    Hàm số F ( x , y ) đạt giá trị lớn miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ( x ; y ) tọa độ đỉnh O , A , B , C Ta có F ( 0;0 ) = ; F (16;0 ) = 30.16 + 40.0 = 480 ; NHĨM TỐN VD-VDC F ( 8;8 ) = 30.8 + 40.8 = 560 ; 40 1600  40  F  0;  = 30.0 + 40 = 3   Suy F ( x, y ) đạt giá trị lớn 560 ( x, y ) = ( 8;8 ) Vậy để thu số tiền nhiều nhất, lớp cần gói bánh chưng bánh tét Câu (6,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có điểm M ( 2;3 ) trung điểm cạnh AB, điểm H (1;5 ) điểm K ( 5;9 ) chân đường cao kẻ từ C B , điểm D thuộc đường thẳng  : x − y − = cho tam giác BCD cân C Tìm tọa độ điểm C D , biết điểm B có hồnh độ âm b) Cho tam giác ABC khơng vng có độ dài đường trung tuyến kẻ từ A ma = , độ dài đường cao kẻ từ B C hb = hc = Tính cos A Lời giải a) Đường thẳng AB qua hai điểm M ( 2;3 ) H (1;5 ) có phương trình x + y − = Đường thẳng CH qua H (1;5 ) vng góc với đường thẳng AB : x + y − = nên có phương trình x − 2y + = Vì B  AB nên gọi B ( b;7 − 2b ) , b  Vì ABK vng K nên ta có MB = MK  ( b − ) + ( − 2b ) = 45 2 b =  Vì b  nên B ( −1;9 ) Vì M trung điểm AB nên ta có A ( 5; −3) b = −1 Đường thẳng CK qua hai điểm A ( 5; −3) , K ( 5;9 ) nên CK có phương trình x = Vì C = CH  AK nên suy C ( 5; ) Vì D thuộc  : x − y − = nên gọi D ( 2d + 1; d ) Tam giác BCD cân C suy d = 2 CD = CB  ( 2d − ) + ( d − ) = 40  d − 6d + =    d = + Với d = ta có D ( 3;1) thoả mãn + Với d = ta có D (11;5 ) khơng thoả mãn (vì ba điểm B, C, D thẳng hàng) NHĨM TỐN VD-VDC Vậy D ( 3;1) b) Ta có sin A = Tương tự b = Lại có ma2 = 2S bhb hb 8 = = = c= bc bc c c sin A sin A b2 + c a − = 25  a = ( b + c ) − 100 64   36 100 − +   2 b + c − a 100 − ( b + c )  sin A sin A  = = Suy cos A = 2bc 2bc sin A sin A 2 2 100sin A − 100 25 25  cos A = = ( sin A − 1) = − cos A 96 24 24  cos A = − 24 ( cos A  tam giác ABC không vuông) 25 Câu (5,0 điểm) a) Cho tập hợp A = 0;1; 2;3; 4;5;6;7 Gọi B tập hợp tất số tự nhiên chẵn có chữ số lập từ A C tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác lập từ A cho tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối Tìm số phần tử tập hợp B số phần tử tập hợp C b) Cho đa thức f ( x) = ax3 − x2 + bx −1 với a, b số thực, a  , có nghiệm số thực dương − 3ab − 10a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 Lời giải a) Gọi số cần lập thuộc B có dạng a1a2 a8 Khi a1  a8  0; 2; 4;6 +) Chọn a1 có cách chọn; +) Chọn a8 có cách chọn; +) Mỗi chữ số cịn lại có cách chọn Số phần tử tập B 7.4.86 = 28.86 Do + + + + + + + = 28 , nên để tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối tổng 14 Ta lập số có tổng 14 có chữ số gồm: ( 0;1;6;7 ) ; ( 0; 2;5;7 ) ; ( 0;3; 4;7 ) ; ( 0;3;5;6 ) Với số có số ứng với cịn lại khơng có số có tổng 14 TH1: Bộ có số đứng sau +) Có cách chọn có chữ số 0; +) Xếp khơng có chữ số đứng trước có 4! cách; +) Xếp có chữ số đứng sau có 4! cách NHĨM TỐN VD-VDC Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4! = 2304 số TH2: Bộ có số đứng trước +) Có cách chọn có chữ số 0; +) Xếp số đầu có 3.3! cách; +) Xếp số cuối có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4! = 1728 số Vậy số phần tử tập hợp C 1728 + 2304 = 4032 b) Giả sử phương trình cho có ba nghiệm x1 , x2 , x3    x1 + x2 + x3 = x1.x2 x3 = a   a, b  Theo Vi-et ta có:  x x + x x + x x = b   2 3 a Đặt t = , (t  0) Ta có: a t3 x +x +x   t  3 x1 + x2 + x3 = x1 x2 x3    (áp dụng BĐT Côsi)  t  27   Ta có −3  b = −3 ( x1 x2 + x1 x3 + x3 x1 )  − ( x1 + x2 + x3 ) = −t a Khi P = − 3ab − 10a b =  −  − 10   t − 10t a a a a ) Xét hàm số f (t ) = t − 10t , t  3 Do f ( t ) đồng biến 3 3; +  nên  a = 3 f (t ) = 27 − 30  t = 3   x3 3;+ ) b =   a = 3 , toán thoả mãn Vậy P = 27 − 30 Với  b =  Câu (2,0 điểm) Cho bảng vuông  gồm hình vng đơn vị Điền vào vng đơn vị bảng chữ số 0, 1,…, Hỏi có cách điền để tổng số hàng tổng số cột số lẻ Biết chữ số điền vào đủ bảng khơng có chữ số lặp lại Lời giải Do tổng chữ số hàng lẻ nên tổng chữ số bảng gồm hàng số lẻ Suy chữ số cần điền vào bảng phải có chữ số lẻ chữ số chẵn NHĨM TỐN VD-VDC Ta có cách chọn chữ số thoả mãn điều (tương ứng cách bỏ chữ số chẵn) Bây giờ, xét chữ số chọn gồm chữ số lẻ chữ số chẵn Ta cần điền hết chữ số vào bảng (mỗi ô chữ số) cho tổng số hàng, cột lẻ Để thỏa mãn, chữ số hàng hay cột phải gồm chữ số lẻ, chữ số lẻ, chữ số chẵn Vì có hàng có số lẻ nên ta phải có hàng có chữ số lẻ hàng có chữ số lẻ, chữ số chẵn Tương tự, cột có cột có chữ số lẻ cột có chữ số lẻ, chữ số chẵn Xét hàng cột có chữ số lẻ Khi hàng cột chiếm bảng có mặt chữ số lẻ chữ số chọn ban đầu Bốn cịn lại vị trí cho chữ số chẵn Như vậy, số cách xếp chữ số tính tích của: * Số cách chọn hàng có chữ số lẻ hàng: có cách * Số cách chọn cột kiểu chữ số lẻ cột: có cách * Số cách điền chữ số lẻ vào ô hàng cột: có 5! cách * Số cách điền chữ số chẵn vào cịn lại: có 4! cách Tổng số cách điền số vào bảng thỏa mãn đề 5.3.3.5!.4! = 129600