Đề thi học sinh giỏi tỉnh hải dương môn toán lớp 9 (2003 2004) (thời gian : 150 phút)12121

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG Mơn Tốn lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài : (2,5 điểm) Giải phương trình : |xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| = Bài : (2,5 điểm) Hai phương trình : x2 + (a - 1)x + = ; x2 + (b + 1)x + c = có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình : x2 + x + a - = x2 + cx + b + = có nghiệm chung Tính giá trị biểu thức 2004a/(b + c) Bài : (3,0 điểm) Cho hai đường tròn tâm O1 tâm O2 cắt A, B Đường thẳng O1A cắt đường tròn tâm O2 D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 C Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 M cắt đường tròn tâm O2 N Chứng minh : 1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm đường tròn 2) BC + BD = MN Bài : (2,0 điểm) Tìm số thực x y thỏa mãn x2 + y2 = x + y số nguyên DeThiMau.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN Mơn Tốn lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài : (6 điểm) 1) Chứng minh : số nguyên 2) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho : với n số nguyên lớn Bài : (6 điểm) 1) Giải phương trình : 2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 đường thẳng (d) : y = 1/2 x + a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ Oxy b) Gọi A, B giao điểm (P) (d) Tìm điểm M cung AB (P) cho diện tích tam giác MAB lớn c) Tìm điểm N trục hồnh cho NA + NB ngắn Bài : (8 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O dây cung BC không qua tâm O Một điểm A chuyển động đường tròn (A khác B, C) Gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đường vng góc hạ từ M xuống đường thẳng AB Chứng tỏ H nằm đường tròn cố định DeThiMau.vn 2) Cho đường tròn (O, R) (O’, R’) với R’ > R, cắt điểm A, B Tia OA cắt đường tròn (O’) C tia O’A cắt đường tròn (O) D Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC BE SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THƠNG THCS Mơn thi : Tốn - Năm học 1999 - 2000 Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian giao đề) A Lý thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn câu sau : Câu : a) Hãy viết định nghĩa bậc hai số học số a ≥ Tính: b) Hãy viết định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng Câu : a) Hãy viết dạng tổng quát hệ hai phưng trình bậc hai ẩn số b) Chứng minh : “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng” B Bài tốn : (8 điểm) Bắt buộc cho học sinh Bài : (2 điểm) a) Cho : Tính M + N M x N b) Tìm tập xác định hàm số : DeThiMau.vn c) Cho đường thẳng (d) có phưng trình Hãy tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với trục tọa độ Bài : (2 điểm) Trong phịng có 288 ghế xếp thành dãy, dãy có số ghế Nếu ta bớt dãy dãy cịn lại thêm ghế vừa đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi ghế) Hỏi phịng có dãy ghế dãy có ghế ? Bài : (4 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D tùy ý (D khác C B) Các tia AC, AD cắt Bx E F a) Chứng minh ΔABE vuông cân b) Chứng minh ΔABF ~ ΔBDF c) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d) Cho điểm C di động nửa đường tròn (C khác A B) D di động cung CB (D khác C B) Chứng minh: AC x AE = AD x AF có giá trị khơng đổi KỲ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI, HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2002 - 2003 Mơn Tốn - Dành cho lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm 150 phút Bài I (3,0 điểm) Cho biểu thức : 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài II (3,0 điểm) 1) Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình : x2 - (2m - 3)x + - m = DeThiMau.vn Tìm giá trị m để x12 + x22 + 3x1.x2 ( x1 + x2)đạt giá trị lớn 2) Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn: a2003 + b2003 = a2003 b2003 Chứng minh phương trình : x2 + 2x + ab = có hai nghiệm hữu tỉ Bài III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o Tính tỉ số BC/AB 2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA, OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung trịn C Tính góc ACD Bài IV (1,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức : với a, b, c số thực KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ (THCS) TP HỒ CHÍ MINH Năm học 2002 - 2003 * Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút Bài : (4 điểm) Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + = a) Định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0) b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x12 - x22| = Bài : (5 điểm) DeThiMau.vn Giải phương trình hệ phương trình sau : Bài : (3 điểm) a) Cho a > c, b > c, c > Chứng minh : b) Cho x ≥ , y ≥ Chứng minh : Bài : (3 điểm) Từ điểm A đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn Bài : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có M trung điểm BC Có hai đường thẳng lưu động vng góc với M cắt đoạn AB AC D E Xác định vị trí D E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ Bài : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Qua A vẽ hai đường thẳng (d) (d’), đường thẳng (d) cắt (O) C cắt (O’) D, đường thẳng (d’) cắt (O) M cắt (O’) N cho AB phân giác góc MAD Chứng minh CD = MN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TỈNH THÁI BÌNH * Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút 2002 DeThiMau.vn * Khóa thi : 2001- A Lí thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn hai đề : Đề thứ : a) Nêu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số Cho ví dụ b) Giải phương trình : x2 - 2x - = Đề thứ hai : Nêu định lí góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận cho trường hợp xảy B Bài toán bắt buộc (8 điểm) Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức K b) Tính giá trị K c) Tìm giá trị a cho K < Bài : (2 điểm) Cho hệ phương trình : a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vơ nghiệm Bài : (4 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By E F a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp b) AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ? c) Kẻ MH vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH d) Cho AB = 2R gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh : DeThiMau.vn ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH * Mơn : Tốn * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài (2 điểm) Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định b) Rút gọn biểu thức K c) Với giá trị ngun x biểu thức K có giá trị nguyên ? Bài (2 điểm) Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; b) Song song với đường thẳng x - y + = ; c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x2 Bài (3 điểm) a) Giải toán cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật b) Chứng minh bất đẳng thức : Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F a) Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp b) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình ? Tại ? c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh r2 = r12 + r22 DeThiMau.vn ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ * Mơn : Tốn * Khóa thi : 2001 - 2002 phút * Thời gian : 120 A Lý Thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn hai đề sau : Đề : Nêu điều kiện để có nghĩa áp dụng : Tìm giá trị x để bậc hai sau có nghĩa : Đề : Chứng minh : Đường kính vng góc với dây cung chia dây cung hai phần B Toán : (8 điểm) Bài : (3 điểm) a) Tính : b) Rút gọn biểu thức : c) Xác định hệ số a b hàm số y = ax + b, biết đồ thị qua hai điểm A (1 ; 3) B (2 ; 1) Bài : (1,5 điểm) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng kích thước cm diện tích tăng 48 cm2 Bài : (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O Kẻ hai đường kính AA’ BB’ đường tròn a) Chứng minh ABA’B’ hình chữ nhật b) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh BH = CA’ c) Cho AO = R, tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC DeThiMau.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN TP HỒ CHÍ MINH * Mơn : Tốn * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 90 phút Bài : (3 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x2 + 6x + b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12 Bài : (4 điểm) a) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz b) Rút gọn phân thức : Bài : (4 điểm) Cho x, y, z độ dài ba cạnh tam giác A = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2 Chứng minh A > Bài : (3 điểm) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x2 + 8x + 12 Bài : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM DeThiMau.vn ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH) * Mơn : Tốn * Khóa thi : 2002 - 2003 phút * Thời gian : 150 Bài : (2 điểm) Xét biểu thức : 1) Rút gọn y Tìm x để y = 2) Giả sử x > Chứng minh : y - |y| = 3) Tìm giá trị nhỏ y ? Bài : (2 điểm) Giải hệ phương trình : Bài : (2 điểm) Cho hình vng có cạnh 1, tìm số lớn điểm đặt vào hình vng (kể cạnh) cho khơng có điểm số điểm có khoảng cách bé 1/2 đơn vị Bài : (2 điểm) DeThiMau.vn Cho hai đường tròn đồng tâm điểm M cố định đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vng góc với nhau, đường cắt đường trịn nhỏ A khác M, đường cắt đường tròn lớn B C Khi cho hai đường thẳng quay quanh M vng góc với nhau, chứng minh : 1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi 2) Trọng tâm tam giác ABC điểm cố định Bài : (2 điểm) 1) Chứng minh tích số ngun dương liên tiếp khơng thể số phương 2) Cho tam giác ABC điểm E nằm cạnh AC Hãy dựng đường thẳng qua E chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002 - 2003 * Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút Bài : (3 điểm) Giải phương trình : |x2 - 1| + |x2 - 4| = x2 - 2x + Bài : (3 điểm) Chứng minh đẳng thức : với a, b trái dấu Bài : (3 điểm) Rút gọn : DeThiMau.vn Bài : (3 điểm) Trong hình chữ nhật có chu vi p, hình chữ nhật có diện tích lớn ? Tính diện tích Bài : (4 điểm) Cho đường trịn (O ; R), điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN B C Chứng minh : a) Tứ giác MNCB hình thang cân b) MA MB = R2 c) K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến K cắt AM, AN P Q Chứng minh : BP.CQ = BC2/4 Bài : (4 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) B đường tròn (O) Gọi N điểm di động (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O)) a) Tìm quỹ tích tâm P đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB b) Tìm quỹ tích tâm Q đường trịn nội tiếp tam giác MNB ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BẮC NINH * Mơn thi : Tốn * Khoá thi : 2002 - 2003 phút Bài : (2,5 điểm) Cho biểu thức : DeThiMau.vn * Thời gian : 150 1) Rút gọn B 2) Tìm giá trị x để B > 3) Tìm giá trị x để B = - Bài : (2,5 điểm) Cho phương trình : x2 - (m+5)x - m + = (1) 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = - 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : S = x12 + x22 = 13 Bài : (2 điểm) Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phịng họp khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy Bài : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Đường kính AC đường trịn (O) cắt đường trịn (O’) điểm thứ hai E Đường kính AD đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F 1) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp 2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng tứ giác OO’EF nội tiếp 3) Với điều kiện vị trí hai đường trịn (O) (O’) EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY * Mơn : Tốn (chung) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2 điểm) DeThiMau.vn Cho biểu thức : với x ≥ ; x ≠ 1) Rút gọn P 2) Tìm x cho P < Bài : (1,5 điểm) Cho phương trình : mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : x12 + x22 = 2003 Bài : (2 điểm) Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dịng nước) ca nơ dời bến A để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng 144 km quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A, cách bến A 36 km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước Bài : (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D 1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ΔMNK cân 3) Tính diện tích ΔABD K trung điểm đoạn thẳng CI 4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm đường thẳng cố định Bài : (1 điểm) Cho a, b, c số bất kì, khác thỏa mãn : ac + bc + 3ab ≤