Phần thứ nhất ĐẬT VÁN ĐÈ I/ LÍ DO CHỌN ĐÈ TÀI Là học sinh khi tiếp cận VỚI môn toán thì tất yếu phải hình thành một kỹ năng giãi toán đối VỚI một kiến thức nhất đinh Có được kỹ năng giãi toán nghĩa là[.]
Phần thứ ĐẬT VÁN ĐÈ I/ LÍ DO CHỌN ĐÈ TÀI Là học sinh tiếp cận VỚI môn tốn tất yếu phải hình thành kỹ giãi tốn đối VỚI kiến thức đinh Có kỹ giãi toán nghĩa khăng đinh vận dụng lý thuyết vào tập cách có tư duy, sáng tạo Đối VỚI chương trình tốn viết SGK lượng kiến thức không nhiều tập áp dụng đối VỚI kiến thức phong phú đa dạng có dạng tốn chia het Thực tế cho thấy,dạng tốn chia het bắt gặp xun suốt chương trình tốn THCS Chính giáo viên cần rèn cho em kỹ giãi dạng tốn kiến thức cịn tâng dạng tốn chia hết chương trình tốn Trong q trình giảng dạy tơi nhận thay học sinh cịn rat yếu dạng tốn chí khơng biết giãi biết giãi lập luận chưa chặt chẽ Neu lóp em khơng làm quen VỚI lập luận chặt chẽ lên lớp em câm thấy kiến thức áp đặt,từ khơng tạo tị mị, hứng thú đối VỚI mơn học Vì cần có giãi pháp lâu dài rèn em biết giãi toán từ nhũng phép biến đơi bân Có tốn học thực lơi em vào dịng say mê chiếm lĩnh tri thức, tốn lại mơn chủ đạo Chính lẽ tơi nghiên cứu đề tài “ Một số biện pháp nhằm rèn kỹ giải toán chia hết cho học sinh lớp 6” II/ ĐÓI TƯỢNG NGHIÊN cứu “ Một số biện pháp nham rèn kỹ giãi toán chia hết cho học sinh lớp 6” III/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Không gian: Một số biện pháp nham rèn kỳ giãi toán chia hết cho học sinh lớp cụ dành cho đối tượng lớp 6A1 1/21 SKKN.vn Thời gian: chia làm giai đoạn Giai đoạn 1: Nghiên cứu làm kết qua khảo sát chất lượng đầu năm Giai đoạn 2: Đưa biện pháp rèn kỳ giãi toán chia hết qua kết khâo sát học kì Giai đoạn 3: Áp dụng đề tài sau học chuẩn bị thi học kì IV/ PHƯƠNG PHẤP NGHIÊN CỨU: - Đọc tài liệu SGK, tài liệu mạng - Đàm thoại trực tiếp - Nghiên cứu tông kết kinh nghiệm giáo dục - Nghiên cứu sân phẩm hoạt động sư phạm Phần thứ hai NỘI DƯNG I/ SỜ LÝ LUẬN Chúng ta dạy học theo đôi dạy học theo chuân kiến thức kỹ , gọi chuẩn - bân cần phải nam vững Rèn kỹ giãi toán chia hết chuẩn mà học sinh cần phải nắm Hệ thống tập dạng tốn chia hết có vai trị quan trọng giúp cho học sinh phát triển khả tư duy, khả vân dụng kiến thức cách linh hoạt vào giãi tốn, trình bày lời giãi xác logic Đó kỹ cần thiết cùa học sinh cịn ngơi ghế nhà trường Có phù họp VỚI cải tiến dạy học phát huy hết tính tích cực, tư sáng tạo học sinh trường học II/ Cơ SỜ THỤC TIỀN Trong trình giảng dạy tơi thấy đa phần học sinh chưa có kỳ giãi tốn “chia hết” em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp đê giãi cho kết quà nhất, nhanh đơn giản Vì đê nâng cao kỹ giãi toán “chia hết” thi em phải nam dạng toán, phương pháp giải, kiến thức bân cụ thê hoá bài, chương Có nói dạng tốn “chia hết” ln dạng tốn khó đối VỚI học sinh khơng học sinh câm thấy sợ học dạng tốn Là giáo viên dạy tốn tơi mong em chinh phục khơng chút ngần ngại gặp dạng toán Nhàm giúp em phát triển tư dưy suy luận óc phán đốn, kỳ trình bày linh hoạt Hệ thống tập tơi đưa từ dề đến khó, bên cạnh cịn có tập nâng cao dành cho học sinh giỏi lồng vào tiết luyện tập Lượng tập tương đối nhiều nên em có thê tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống tập áp dụng này, điều giúp em hứng thú học tập nhiều Hiện tại, học sinh lớp 6A1 dạy năm cịn rat khó khăn đối VỚI dạng tốn chia hết, em câm thấy lạ ngại làm dạng tốn nghĩ rat khó Vì thế, thiết yếu phải rèn kỹ giải toán chia hết lớp đê làm hành trang kiến thức vừng cho em gặp lại dạng toán lớp III/ NỘI DUNG VẤN ĐÈ vấn đề đặt ra: Hệ thống hóa lý thuyết chia het tập vận dụng tương ứng, từ dạng bân đến tương đối khó Trong q trình giải nhiều dạng tập hình thành khắc sâu cho em kỹ giải dạng toán chia het.Giáo viên nêu dấu hiệu chia hết phương pháp chứng minh chia hết SGK ,ngoài bổ sung thêm số phương pháp cần thiết đê vận dụng vào nhiều dạng tập khác Giải vấn đề 2.1 LÝ THUYẾT: a) Tính chat chia het tơng, hiệu, mơt tích -Nêu a:m b:m a + b ơM,a —b :in, a.b.ĩìì - Neu a ììì an \m(n e 2V) -Neu a.ììì b\ìì ab.m.n đặc biệt a.b an bn b) SKG tốn giới thiệu dấu hiệu chia het cho 2, 3, 5, giáo viên cần bô sung thêm dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 8, 25 125 Mục đích đưa thêm dấu hiệu để vận dụng vào tập học sinh không bị lúng túng câ lên lớp (7, 8, 9) Chia hết cho 4(hoặc 25) 8(hoặc 125) 10 11 Dấu hiệu Số có chừ số tận chừ số chằn Số có tơng chừ số chia hết cho Số chia hết cho 4(hoặc 25) hai chừ số tận lập thành số chia hết cho 4(hoặc 25) Số có chừ số tận Là số đong thời chia hết cho Số chia hết cho 8(hoặc 125) ba chừ số tận lập thành số chia hết cho 8(hoặc 125) Số có tơng chừ số chia hết cho Số có chừ số tận Số chia hết cho 11 hiệu tông chừ số đứng vị trí lẻ tơng chừ số đứng vị trí chẵn(kể từ trái sang phải) chia hết cho 11 c) Nguyên tắc Đirichlê: Ngay từ lóp giáo viên giới thiệu sơ lược nguyên tắc Đirichlê có nội dung phát biêu dạng toán: “Neu nhốt n thỏ vào m lồng (m> n) có lồng nhốt khơng hai thỏ” d) Phương pháp chứng minh quy nạp: Muốn khăng đinh An VỚI n= 1,2,3, • ta chứng minh sau: - khăng đinh A1 - Giả SŨ Ak VỚI k>=l ta suy khăng đinh Ak+1 - Ket luận An VỚI n=l ,2,3 Thực ra, dạy tập áp dụng phương pháp giáo viên khơng cần phải nói cầu kỳ, trim tượng khó hiêu, mà cần xét trường hợp cho học sinh dễ hiêu không thiết phải dùng từ ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp e) Phương pháp chứng minh phản chứng: Muốn chứng minh khăng đinh p có bước: - Giả sử p sai - Nhờ tính chat biết hr giả sử sai suy điều vơ lí - Vậy điều giã sử sai, chứng tô p f) Đe chứng minh a chia het cho b ta biêu diễn b = m.n Neu (m,n) = tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b Nếu (m,n) khác ta biểu diễn a = ai.a chứng minh chia hết cho m, a2 chia hết cho n ngược lại ara2 chia hết cho m.n hay a chia hết cho b 2.2 CÁC DẠNG TỐN: Trong phần tơi đưa dạng toán hr bân đến mơ rộng hơn, Có có thê rèn hình thàng kỳ giãi tốn chia hết cho em cách có tâng a) Dạng 1: Dạng toán điền vào * đê số chia hết cho số Bài toán 1: Điền vào * đê số 35* a) chia hết cho b) chia hết cho c) chia hết cho Đây dạng toán bân gặp dạng tốn đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho số chia hết cho câ a) 35*:2 « *e{0;2;4;6;8} b) 35*:2 =>*e {0:5} c) 35*:2 £>*e{0| Bài toán 2: Điền vào * đê a) 3*5Ỉ3 b) 7*2:9 Tương tự tốn học sinh có thê vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết cho cho đê làm a) 3*5:38 + *:3 ^*G{1;4;7} b) 7* 2:9 7+* +2:9 9 + *ỉ9 *G{0;9} b) Dạng 2: Tìm chữ số chưa biết số: Bài tốn 3: Tìm chữ số a, b cho a63b chia het cho đồng thời 2,3,5,9 Lập luận: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho hên quan đến chừ số tận Sau đó, kill có chừ sổ tận cùng, ta xét tơng chừ số hên quan đến chia hết cho ta khơng cần quan tâm đến chia hết cho 3, số chia hết cho đương nhiên chia hết cho a63b:2,5 o b = Q ữ630ỉ3,9o a + + + 0Ỉ9 9 + a:9 oa.9 ^ue{0;9} đ = (Vì a chừ số hàng nghìn nên số khơng có nghĩa) Vậy a= 9; b= a63b chia hết cho đồng thời 2,3,5,9 Bài tốn 4: Tìm chữ số a, b cho 87ứb:9 a - b =4 Lập luận %7ab:9 o + + a + b:9 ++ 13 + ữ + b Ỡ + Ỉ>G{3;12} Mà điều kiện a - b = nên ta loại a + b = Từ a -b = a + b = 12 ta tìm a = 8; b = Bài tốn 5: cho số 76ứ23 a) Tìm a để 76ứ23:9 b) Trong số vừa tìm a có giá trị làm cho số 76ứ23:llkhơng ? Hướng dẫn a) Tính tơng chừ số 76ứ23 ta a + 18:9 + + + l + 2:3 OỒ + 16Ỉ3 Oốe{2;5;8} Lập luận tương tự VỚI a = ta b e {1; 4; 7} Bài toán 7: Thay chữ số X, y chữ số thích hợp đê cho a) Số 275x chia hết cho 5, cho 25, cho 125 b) Số 9xy4 chia hết cho 2, cho 4, cho Hướng dẫn b) 9xy4:2 x,y € {0;l;2;3; .;9} chừ số tận số chằn - _9^4:4 'XG{0;1;2 ;9| ye{0;2;4;6;8} ; Hoặc Bài tốn 8:Tìm chữ số a b cho \9ab chia hết cho -♦Đê tìm a b ta phải thay hai dấu hiệu bân số chia hết cho Vì 19uZ> chia hết b=0 b=5 19í?z>chia hết suy b=0 Mặt khác , 19u0 chia hết 19u0chia hết cho a96 :8 OOa + 96 :8 suy OOa: a số chẵn-»a €{ 2, 4, 6, 8} (1) mà (5, 3) = Suy a : a e{ 3, ,9} (2) Từ (1) (2 ) suy a = KL: Vậy số phải tìm 6666696 Bài tốn 10: Tìm chữ số a để lữữố/1 : 11 HD: tổng chừ số hàng lẻ + a Tổng chừ số hàng chừlà2a * Neu 2a > a + a > 2a - (a + 2) = a -2 < - = mà (a - 2) : 11 nên a - = a = * Neu 2a2.4.6.8.10 + 40:5 Bài toán 15: Chứng minh 995 - 984 + 973 - 962:2và Hướng dẫn: Theo đề ta suy chừ số tận (CSTC) lũy thừa 995-984 + 973-962 = - + - = Biểu thức cho có giá tri chứa CSTC nên chia hết cho Vậy 995-984 + 973-962:2 d) Dạng 4: Chứng minh tơng, tích số liên tự nhiên liên tiep chia het cho số Đẻ làm dạng toán ta áp dụng phương pháp chứng minh qưy nạp Tuy nhiên, dạy lóp ta khơng cần phải nói khó hiếu mà dạy cho em xét trường họp băng mệnh đề: “ Neu ” Mặt khác lóp em làm dạng tập thuận tiện đế em làm dạng toán chia hết lóp Neu khơng, em câm thấy kiến thức chia het rat lạ, rat xa VỜI lên lóp 7,8,9 gặp tốn mà sù dụng kiến thức phải chứng minh lớp Bài tốn 16: Chứng tỏ rang tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Gv cần gợi mô rang: ta chứng minh toán VỚI cặp giá tri hên tiếp N, khơng cần chí hai cặp giá tri đủ mà phải chứng minh dạng tông quát Gọi hai số tự nhiên hên tiếp là: a, a+1 • Neu a : tốn giãi • Neu a / a chia dư Ta có a= 2k + a + = 2k +1 + = 2k + ỉ Vậy hai số tự nhiên hên tiếp có số chia hết cho 2.Cho nên tích hai số tự nhiên hên tiếp chia hết cho Bài tốn 17: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Gọi ba số tự nhiên hên tiếp a, a+1, a+2 • Neu a : tốn giãi • Neu a = 3k+l (nghĩa a chia dư 1) lúc Ta có a+2= 3k+l+2 = 3k+3 ỉ • Neu a= 3k+2 (nghĩa a chia dư 2) lúc Ta có a+l= 3k+2+l = 3k+3 ỉ Vậy ba số tự nhiên hên tiếp có số chia hết cho Cho nên tích ba số tự nhiên hên tiếp chia hết cho Bài toán 18: Chứng minh tông ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho tông bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia het cho Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, 11+1, n+2 Tống cùa chúng là: n + 11+1 + 11+2 = 311+3 : Vậy tông ba số tự nhiên hên tiếp số chia hết cho Tương tự tông cùa bốn số tự nhiên hên tiếp là: 411 + / 4(vì 6/4) Vậy tổng bốn sổ tự nhiên hên tiếp khơng chia hết cho Bài tốn 19: Chứng minh rang tích hai số chẵn liên tiếp chia het cho Gọi hai số chằn hên tiếp 211, 2n+2 (neN) Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+l) = 4.n.(n+l) Ta có n.(n+l) tích hai số tự nhiên hên tiếp nên chia hết cho 2( theo toán 16) Vì 4.n.(n+l) ỉ Vậy tích hai số chằn hên tiếp chia hết cho Bài toán 20: Chứng minh rang tích ba số chẵn liên tiep chia het cho 48 Gọi ba số chằn hên tiếp 2n, 2n +2, 211 +4 ((neN) Tích 2n.(2n+2).(211+4) = 2.n.2(n+l).2(n+2) = 8.n.(n+l).(n+2) Ta có n.(n+l) tích hai số tự nhiên hên tiếp nên chia hết cho 2( theo toán 16) Ta có n.(n+l).(n+2) tích ba số tự nhiên hên tiếp nên chia hết cho 3(theo toán 17) Mà (2,3) = nên n.(n+l).(n+2) chia hết cho Vì 8.n.(n+l).(n+2) ỉ 48 Vậy tích ba số chằn hên tiếp chia hết cho 48 e) Dạng 5: Dạng tốn vận dụng ngun lí Đirichlê Đối VỚI dạng tốn vận dụng ngun lí Đứichlê giáo viên khơng sâu mà chi giới thiêu cho học sinh biết tập áp dụng dạng suy luận dề hiếu Bài toán 21: Cho ba số lẻ chứng minh tồn hai số có tơng hiệu chia het cho Một số lẻ chia cho số du có thê bốn sổ sau: 1;3;5;7 ta chia số du ( thỏ) thành nhóm (2 lồng) Nhóm 1: dư dư Nhóm 2: dư dư Có số lẻ (3 thỏ) mà có hai nhóm số dư nên tồn hai số thuộc nhóm - Neu số dư bang hiệu chúng chia hết cho - Neu số dư khác tơng chúng chi hết cho Bài tập Urơng tự: Cho ba số nguyên tố lớn 3.Chứng minh rang tồn hai số có tơng hiệu chia hết cho 12 Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn chia cho 12 số dư chi có thê số 1; 5; 7; 11 Chia làm hai nhóm: Nhóm 1: dư dư 11 Nhóm 2: dư dư Giãi tiếp toán 18 f) Dạng 6: Tìm điều kiện đê biêu thức chia hết cho số, chia hết cho biểu thức Bài toán 22: Chứng minh rang Neu a m, b m, a+b+c : m c: m Ta sử dụng phương pháp chứng minh phân chứng Giả sử c / 111 Ta có a.m,b.in nên a + b + c / m (tính chất sgk tốn tr 35) Điều trái VỚI đề a + b + c: in Vậy điều giả SŨ sai.Suy c\m Đối VỚI này, dạy giáo viên không thiết khắc sâu phần chứng minh Yêu cầu học sinh chi cần vận dụng kiến thức chứng minh vào tập cụ thể Bài tốn 23: Tìm n e N để: a) n+4 : n b) 3n + ỉ n c) 27- 5n n Giải: a) n + 4:77 => : n (theo toán 22) rí.n Vậy ne {1;2;4} b) 3n + T.n 3n\n Vậy ne {117} 27 - 5n\n 27 ỉ n 517:77 Vậy n e Jl;3;9;27} 5n < 27 hay n