Một số sai lầm của học sinh lớp 6 khi làm toán về phân số và cách khắc phục Page 1 MỤC LỤC Phần I Đặt vấn đề 3 1 Lý do chọn đề tài 3 2 Ý nghĩa và tác dụng của đề tài 4 3 Phạm vi áp dụng của đề tài 5 P[.]
Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục MỤC LỤC Phần I: Đặt vấn đề …………………………………………………………3 Lý chọn đề tài……………… ………………………………3 Ý nghĩa tác dụng đề tài………………………………… Phạm vi áp dụng đề tài………………………………………5 Phần II: Giải vấn đề…………………………………………… I Một số khái niệm kiến thức phân số……………6 Khái niệm phân số……………………………………… Kiến thức phân số………………………………6 2.1 Phân số nhau…………………………….6 2.2 Tính chất phân số………………….6 2.3 Quy tắc rút gọn phân số……………………….7 2.4 Quy tắc quy đồng hai hay nhiều phân số…… 2.5 So sánh phân số……………………………… 2.6 Phép cộng phân số…………………………… 2.7 Phép trừ phân số……………………………….9 2.8 Phép nhân phân số…………………………… 2.9 Phép chia phân số…………………………….10 2.10 Hỗn số - Số thập phân – Phần trăm……….11 2.11 Sơ đồ hệ thống kiến thức phân số…… 12 II Thực trạng vấn đề……………………………………… 13 III Các biện pháp tiến hành………………………………… 13 Một số câu hỏi học sinh hay mắc sai lầm ………………14 Một số tập học sinh hay mắc sai lầm…………………30 Một số câu hỏi, tập tham khảo, mở rộng…………… 40 Đáp án – hướng dẫn…………………………………… 48 IV Hiệu SKKN………………………………………….57 Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục Phần III: Kết luận – Kiến nghị………………………………………………58 Kết luận………………………………………………………… 58 Kiến nghị…………………………………………………………58 Bài học kinh nghiệm…………………………………………… 59 Phần IV: Tài liệu tham khảo…………………………………………………61 Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài nghiên cứu: Chúng ta thường nói: “Thất bại mẹ thành công!” Một ý nghĩa hay câu tục ngữ là: Những người trải qua nhiều “thất bại” thường có nhiều học kinh nghiệm sâu sắc; kiên trì, nhẫn nại tìm cách khắc phục “thất bại” chắn “thành công” Câu tục ngữ nhiều lĩnh vực, nhiều trường hợp với nhiều người Trong Toán học Học sinh thường mắc phải sai lầm làm toán, đặc biệt học sinh lớp 6, vừa chuyển từ cấp Tiểu học sang cấp Trung học sở, chưa quen với môi trường học mới, phương pháp học nên việc mắc sai lầm làm tốn hay xảy Qua q trình giảng dạy, nghiên cứu tìm hiểu trình học tập học sinh lớp nhận nhiều học sinh (70% - 80%) thường mắc sai lầm từ nhỏ lớn, chí có sai lầm khơng đáng có làm tốn liên quan đến phân số Không học sinh yếu mắc sai lầm làm toán phân số mà học sinh giỏi có lúc mắc sai lầm q trình làm tốn liên quan đến phân số Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục Ý nghĩa tác dụng đề tài: Qua kinh nghiệm giảng dạy thân học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp, nhận việc giúp “trải nghiệm qua sai lầm” làm toán giúp khơng khắc sâu kiến thức, mà cịn giúp nhận sai lầm mà đã, mắc phải làm tốn điều quan trọng giúp tìm cách để khắc phục sai lầm Vì vậy, tơi mạnh dạn chọn đề tài SKKN “Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục.” Giá trị thiết thực đề tài: Tiến trình đề tài Câu hỏi, tập luyện tập - Học sinh làm tập theo hướng dẫn Giáo viên Ý nghĩa tác dụng Học sinh khắc sâu kiến thức - Giúp ghi nhớ lâu kiến thức liên quan đến tập Tình câu hỏi, tập dẫn đến sai lầm học sinh Nhận sai lầm thường mắc phải làm toán số học - Học sinh mắc sai lầm làm tập - Rút học kinh nghiệm cho thân Học sinh suy nghĩ, tìm cách sửa lại tập cho - Học sinh suy nghĩ cá nhân thảo luận nhóm để tìm cách sửa lại tập cho - Giáo viên hướng dẫn, hỗ trợ (khi cần thiết) Tìm cách khắc phục sai lầm: - Rèn luyện tính kiên trì, nhẫn nại, nỗ lực cố gắng vươn lên, vượt qua khó khăn - Thúc đẩy phát triển tư suy nghĩ học sinh - Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục Phạm vi áp dụng đề tài: Với thực trạng nay, học sinh thường lười suy nghĩ, thường khơng tự giác tự tìm tịi, phát triển kiến thức kỹ năng, dẫn đến hay mắc sai lầm làm tập; xã hội ngày phát triển, hội nhập quốc tế đòi hỏi cần phải nâng cao trình độ tri thức chất lượng giáo dục Vì vậy, xây dựng đề tài SKKN áp dụng học sinh lớp mà dạy Kết học sinh bớt mắc phải sai lầm làm hơn, điểm cao Tôi mong, đề tài SKKN nhận nhiều góp ý cấp lãnh đạo, đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện áp dụng rộng rãi học sinh lớp trường tơi nói riêng học sinh lớp khác nói chung Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Một số khái niệm kiến thức phân số: Khái niệm phân số: - Ở Tiểu học, học sinh học phân số, biết dùng phân số để ghi lại kết phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên khác Ví dụ: - Tương tự vậy, chương trình tốn học 6, khái niệm phân số mở rộng Phân số dùng để ghi lại kết phép chia số nguyên cho số nguyên khác Ví dụ: −3 - Tổng quát phân số: 𝑎 𝑏 với a, b ∈ Z b ≠0 Những kiến thức phân số: 2.1 Phân số nhau: 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 a.d = b.c 15 21 Ví dụ: = 2.2 5.21 = 15.7 = 105 Tính chất phân số: - Nếu ta nhân tử mẫu phân số với số nguyên khác ta phân số phân số cho 𝑎 𝑏 = 𝑎.𝑚 với m ∈ Z m≠0 𝑏.𝑚 Ví dụ: = 7.3 4.3 = 21 12 - Nếu ta chia tử mẫu phân số cho ước chung chúng ta phân số phân số cho 𝑎 𝑏 = 𝑎:𝑛 𝑏:𝑛 Ví dụ: với n ∈ ƯC (a,b) −35 14 = (−35)∶7 14:7 = −5 Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục - Chú ý: Từ hai quy tắc ta thấy phân số có vơ số phân số Ví dụ: 2.3 −5 = −10 −15 = = −20 =⋯ Quy tắc rút gọn phân số: - Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu phân số cho ước chung (khác -1) chúng Ví dụ: −4 = (−4):4 8:4 = −1 - Phân số tối giản (phân số không rút gọn nữa) phân số mà tử mẫu có ước chung -1 - Chú ý: + Khi rút gọn phân số, ta thường rút gọn phân số đến tối giản Ví dụ: + Khi chia tử mẫu phân số cho ƯCLN chúng, ta phân số tối giản Ví dụ: 2.4 28 42 = 28:14 42∶14 = Quy tắc quy đồng mẫu hai hay nhiều phân số: - Bước 1: Đưa mẫu phân số cho mẫu dương (nếu cần) - Bước 2: Tìm bội chung mẫu (thường BCNN) để làm mẫu chung - Bước 3: Tìm thừa số phụ mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho mẫu) - Bước 4: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng Ví dụ: Quy đồng mẫu phân số: −4 ; ; −10 21 Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục Tìm BCNN (7;9;21) = 32 21= 3.7 BCNN (7;9;21) = 32.7 = 63 Tìm thừa số phụ: 63 : = 63 : = 63 : 21 = Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng −4 = −4.9 7.9 = −10 21 8.7 9.7 −36 = 63 56 = 63 −10.3 = 21.3 = −30 63 2.5 So sánh phân số: * So sánh hai phân số mẫu -B1: Đưa mẫu dương -B2: So sánh tử Ví dụ: Vì -1 < nên −1 < * So sánh hai phân số không mẫu -B1: Viết phân số dạng có mẫu dương (nếu cần) -B2: Quy đồng mẫu số -B3: So sánh tử −3 Ví dụ: so sánh ? 4 −5 −3 = = −5 −4 (−3).5 4.5 = −15 −4 20 = (−4).4 5.4 = −16 20 Page Một số sai lầm học sinh lớp làm tốn phân số cách khắc phục −16 Vì -16 < -15 nên → −4 Vậy: 2.6 < −5 −3 → < −5 20 −15 < 20 −3 < −3 Phép cộng phân số: - Cộng hai phân số mẫu: ta cộng tử giữ nguyên mẫu 𝑎 𝑚 + 𝑏 𝑚 = 𝑎+𝑏 𝑚 - Cộng hai phân số không mẫu: ta viết chúng dạng hai phân số có mẫu cộng tử giữ nguyên mẫu chung - Tính chất phép cộng phân số: 𝑎 𝑐 𝑐 𝑏 𝑑 𝑑 + Tính chất giao hốn: + = + 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑝 𝑎 𝑏 𝑑 𝑞 𝑏 + Tính chất kết hợp: ( + ) + = 𝑐 𝑝 𝑑 𝑞 +( + ) + Cộng với số 0: 2.7 Phép trừ phân số: - Số đối: Hai số gọi đối tổng chúng −7 4 Ví dụ: + =0→ 𝑣à −7 hai phân số đối - Quy tắc trừ hai phân số: Muốn trừ phân số cho phân số, ta cộng số bị trừ với số đối số trừ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑑 𝑏 − = 𝑑 −5 4 Ví dụ: − 2.8 𝑐 + (− ) = 14 4 + = = Phép nhân phân số: - Quy tắc: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử với nhân mẫu với Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục Ví dụ: −3 (−3).9 7.7 = = −27 49 - Tính chất phép nhân phân số: + Tính chất giao hoán: 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 𝑑 𝑑 𝑏 = 𝑏 + Tính chất kết hợp: 𝑎 𝑐 𝑝 𝑎 𝑏 𝑑 𝑞 𝑏 ( ) = 𝑐 𝑝 ( ) 𝑑 𝑞 + Nhân với 1: 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 = = + Tính chất phân phối phép nhân phép cộng (trừ): 𝑎 𝑐 𝑝 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑞 𝑏 𝑑 𝑏 ( ± ) = ± 𝑏 𝑝 𝑞 + Nhân với 0: 𝑎 𝑏 2.9 .0=0 Phép chia phân số: - Số nghịch đảo: Hai số gọi nghịch đảo tích chúng Ví dụ: −8 −8 =1→ −8 −8 hai phân số nghịch đảo - Quy tắc chia phân số: + Muốn chia phân số hay số nguyên cho phân số, ta nhân số bị chia với nghịch đảo số chia 𝑎 𝑏 : m: 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 = = 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑚.𝑑 𝑐 với c ≠0 với c ≠0 + Muốn chia phân số cho số nguyên (khác 0), ta giữ nguyên tử phân số nhân mẫu với số nguyên 𝑎 𝑏 :n= 𝑎 𝑏.𝑐 với c ≠0 Page 10 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục 2.10 Hỗn số - Số thập phân – Phần trăm : - Ccách đổi từ hỗn số, số thập phân phần trăm phân số học sinh làm quen từ Tiểu học - Trong chương trình tốn số học lớp 6, đổi từ hỗn số, số thập phân phần trăm phân số học sinh cần ý đến dấu âm để không bị sai kết Học sinh cần thực đổi giá trị hỗn số, số thập phân, phần trăm phân số, sau đặt dấu âm trước kết - Một vài ví dụ cách đổi từ hỗn số, số thập phân phần trăm phân số sau : VD1 : 2.3+1 2 = = 7.2+3 7 -2 = − ( )= − 17 VD2 : 0,25 = 25 100 - 0,75 = − = 75 100 = − VD3 : 20% = 20 100 - 40% = − = 40 100 = − Page 11 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục SƠ ĐỒ HỆ THỐNG KIẾN THỨC VỀ PHÂN SỐ Khái niệm phân số Phân số Phân số Tính chất phân số Quy tắc rút gọn phân số Quy tắc quy đồng hai hay nhiều phân số Kiến thức So sánh phân số phân số Phép cộng phân số Phép trừ phân số Phép nhân phân số Phép chia phân số Hỗn số - số thập phân Phần trăm Page 12 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục II Thực trạng vấn đề: Hiện nay, học sinh thường động não suy nghĩ vấn đề khó, tự giác học, tìm hiểu, mở rộng kiến thức mà thường học cách thụ động nên không khắc sâu kiến thức quan trọng gặp “biến tấu” khác dạng tập thường khơng biết cách làm Vì khơng nắm kiến thức nên gặp tập “có chứa sai lầm” học sinh thường dễ bị vướng vào sai lầm → làm sai Hơn nữa, nhiều học sinh thường hay cẩu thả làm tập dẫn đến tính tốn sai Chính vậy, cách tốt để khắc phục sai lầm học sinh cho luyện tập, “trải nghiệm qua sai lầm” với hệ thống câu hỏi tập “có chứa sai lầm” III Các biện pháp tiến hành: Dựa thực trạng vấn đề, xây dựng số câu hỏi, tập với tình sai lầm mà học sinh dễ mắc phải làm tập, nhằm giúp học sinh vừa nắm vững kiến thức bản, vừa nhận sai lầm đã, mắc phải làm tập Page 13 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục Phần 1: Một số câu hỏi Câu 1: Hãy chọn đáp án cho câu hỏi sau: Phân số với phân số A −1000 B −1002 500 501 có tổng tử mẫu -2002 là: −1000 1002 C 2002 D −1500 2503 Những tình mà học sinh mắc sai lầm → Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh → Cách khắc phục sai lầm → Sửa lại để có đáp án xác * Tình 1: HS chọn đáp án B Phân tích nguyên nhân: HS nhận thấy 500 501 = 1000 1002 HS cộng nhẩm thấy 1000 + 1002 = 2002 Vì trước 1000 có dấu – nên đặt thêm dấu – vào trước kết 2002 → Chọn đáp án sai Vậy nguyên nhân sai lầm HS không nắm kiến thức dấu âm phân số Cách khắc phục sai lầm: Nhấn mạnh lại với HS tập hợp Z dấu giá trị số ln liền với thực tính tốn Sửa lại để có đáp án xác: Đáp án đúng: A 500 501 = 500.(−2) 501.(−2) = −1000 −1002 (-1000) + (-1002) = -2002 Page 14 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục * Tình 2: HS chọn đáp án C Phân tích ngun nhân: HS qn khơng để ý đến điều kiện phải với phân số 500 501 HS cộng nhẩm thấy + 2002 = 2002 không để ý đề yêu cầu tổng tử mẫu phải -2002 → Chọn đáp án sai Vậy nguyên nhân sai lầm HS không nắm yêu cầu đề bài, nhìn lướt qua đáp án cho sẵn nhanh chóng chọn theo cảm tính mà khơng có suy nghĩ Cách khắc phục sai lầm: Nhấn mạnh lại với HS cần phải đọc rõ, hiểu nắm yêu cầu đề Sau sử dụng kiến thức hai phân số nhau, kiến thức tính tổng số nguyên chọn đáp án Sửa lại để có đáp án xác: Đáp án đúng: A 500 501 = 500.(−2) 501.(−2) = −1000 −1002 (-1000) + (-1002) = -2002 Câu 2: Hãy chứng tỏ 26 65 = Con chọn đáp án đáp án sau đây? A 26 65 = 26:13 65:13 2.13 5.13 C = = = 26 65 B D 26 65 26 65 = = 26 65 = 26.5 = 62.2 = 130 Tình mà học sinh mắc sai lầm → Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh → Cách khắc phục sai lầm → Sửa lại để có đáp án xác Page 15 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục * Tình huống: HS chọn đáp án B Phân tích nguyên nhân: HS nhận thấy rút gọn số tử số mẫu thu kết cần chứng minh → Chọn đáp án sai Vậy nguyên nhân sai lầm HS không nắm kiến thức cách rút gọn phân số kiến thức hai phân số nhau, tính chất phân số Cách khắc phục sai lầm: Gọi HS mắc sai lầm nhắc lại kiến thức cách rút gọn phân số: Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu phân số cho ước chung (khác -1) chúng Gọi HS mắc sai lầm nhắc lại kiến thức hai phân số - Phân số nhau: 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 a.d = b.c - Nếu ta nhân tử mẫu phân số với số nguyên khác ta phân số phân số cho 𝑎 𝑏 = 𝑎.𝑚 𝑏.𝑚 với m ∈Z m≠0 - Nếu ta chia tử mẫu phân số cho ước chung chúng ta phân số phân số cho 𝑎 𝑏 = 𝑎:𝑛 𝑏:𝑛 với n ∈ ƯC (a,b) Sửa lại để có đáp án xác: Có thể làm theo phương án A 26 65 = 26:13 65:13 = (chia tử mẫu cho ước chung 13) 2.13 5.13 Có thể làm theo phương án C = = 26 65 (nhân tử mẫu với số khác 13) Page 16 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục Có thể làm theo phương án D 26 65 = 26.5 = 62.2 = 130 (khái niệm hai phân số nhau) Câu 3: Kết rút gọn A C 5−16 = 40−16 16 8.5−8.2 16 là: −11 B = 40 D 40−2 = 8.(5−2) 16 38 = = 19 Tình mà học sinh mắc sai lầm → Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh → Cách khắc phục sai lầm → Sửa lại để có đáp án xác * Tình 1: HS chọn đáp án A Phân tích nguyên nhân: HS không nắm kiến thức rút gọn phân số nên rút gọn sau: 8.5−8.2 16 = 5−16 = −11 → Chọn đáp án sai Vậy nguyên nhân sai lầm HS thực rút gọn chua đặt thừa số chung (trên tử có hiệu hai tích) * Tình 2: HS chọn đáp án B Phân tích ngun nhân: HS khơng nắm kiến thức rút gọn phân số nên rút gọn sau: 8.5−8.2 16 = 40−2 = 38 = 19 → Chọn đáp án sai Vậy nguyên nhân sai lầm HS thực rút gọn chưa đặt thừa số chung (trên tử có hiệu hai tích) Page 17 Một số sai lầm học sinh lớp làm tốn phân số cách khắc phục * Tình 3: HS chọn đáp án C Phân tích nguyên nhân: HS không nắm kiến thức rút gọn phân số nên sau thực tính tốn tử rút gọn sau: 8.5−8.2 16 40−16 = 16 = 40 → Chọn đáp án sai Vậy nguyên nhân sai lầm HS thực rút gọn chưa đặt thừa số chung (trên tử có hiệu hai tích) Cách khắc phục sai lầm cho tình trên: Nhắc lại với HS rằng: rút gọn thừa số tử với thừa số mẫu Sửa lại để có đáp án xác cho tình trên: Đáp án xác đáp án D vì: Phải đặt ngồi làm thừa số chung Rút gọn thừa số tử với 16 mẫu Ta kết xác là: 8.(5−2) 16 = Câu 4: Phép so sánh sau đúng? A C −4 < −11 −4 < −12 B −5 > −2 −5 −5 7 D > Tình mà học sinh mắc sai lầm → Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh → Cách khắc phục sai lầm → Sửa lại để có đáp án xác Page 18 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục * Tình 1: HS chọn đáp án A Phân tích nguyên nhân: Hs nhận thấy hai phân số có mẫu -4 nên so sánh tử < Vậy −4 < −4 → Chọn đáp án sai Vậy nguyên nhân sai lầm HS không nẵm vững quy tắc so sánh hai phân số trước so sánh ta phải đưa mẫu dương * Tình 2: HS chọn đáp án B Phân tích nguyên nhân: Hs nhận thấy hai phân số có mẫu -5 nên so sánh tử < -2 Vậy −5 > −2 −5 → Chọn đáp án sai Vậy nguyên nhân sai lầm HS không nẵm vững quy tắc so sánh hai phân số trước so sánh ta phải đưa mẫu dương Cách khắc phục sai lầm cho tình trên: Yêu cầu HS mắc sai lầm nhắc lại quy tắc so sánh hai phân số có mẫu dương học Tiểu học → HS tự rút quy tắc so sánh hai phân số có mẫu (mà tử mẫu thuộc tập Z) phải ý đưa mẫu dương thực so sánh tử Sửa lại để có đáp án xác cho tình trên: A −4 < −4 Với phương án ta sửa lại sau: + Ta có: −4 = −3 + Vì -3 > -5 nên + Vậy −4 > −3 ; −4 > = −5 −5 −4 Page 19 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục B −5 −2 > −5 Với phương án ta sửa lại sau: + Ta có: −5 −3 = + Vì -3 (tử số mẫu số dấu) −5 -12 nên −11 > −12 −5 7 Và đáp án D > đáp án xác cho câu hỏi Page 20 ... phân số Không học sinh yếu mắc sai lầm làm toán phân số mà học sinh giỏi có lúc mắc sai lầm q trình làm tốn liên quan đến phân số Page Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục. .. = − Page 11 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân số cách khắc phục SƠ ĐỒ HỆ THỐNG KIẾN THỨC VỀ PHÂN SỐ Khái niệm phân số Phân số Phân số Tính chất phân số Quy tắc rút gọn phân số Quy tắc... phân số Kiến thức So sánh phân số phân số Phép cộng phân số Phép trừ phân số Phép nhân phân số Phép chia phân số Hỗn số - số thập phân Phần trăm Page 12 Một số sai lầm học sinh lớp làm toán phân