Sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy học sinh thông qua dạy học ứng dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán

SỠ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỀN Tư DƯY HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC ỨNG DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO GIẢI TOÁN Môn Toán Cấp học Trung học Cơ sở Tên tác giả Đặng[.]

SỠ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỀN Tư DƯY HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC ỨNG DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO GIẢI TỐN Mơn: Tốn Cấp học: Trung học Cơ sở Tên tác giả: Đặng Thị Hương Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh Chức vụ: Giáo viên NÁM HỌC 2019-2020 A PHẦN MỜ ĐẦU I Lí chọn đề tài Mơn tốn mơn khoa học có tính thực tiễn cao Nó ảnh hường lớn đến đời sống người, ảnh hường đến mơn khoa học khác Trong thời đại ngày Công Nghệ phát triển vũ bào mơn tốn trờ nên cấp thiết het Chính lí mà ngành giáo dục đà đặt mục tiêu cho mơn tốn trường THCS là: *Cê kiến thức: - Cung cấp cho học sinh nhùng kiến thức số (từ số tự nhiên den so thực), biêu thức đại số, phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ phương trình, bất phương trình bậc ân, tương quan hàm số, số dạng hàm sổ đơn giàn đồ thị hàm số - Một số hiêu biết ban đầu thong kê - Nhùng kiến thức mờ đầu hình học mặt phẳng, quan hệ quan hệ đồng dạng giừa hai hình phẳng, số yếu tố lượng giác, số vật không gian - Giúp học sinh ban đầu lĩnh hội đào sâu lớp cuối cap THCS số phương pháp giải Toán như: Dự đoán chứng minh; quy nạp suy diễn; phân tích tơng họp *về kỹ năng: Hình thành rèn luyện kỳ tính tốn sử dụng bâng số, máy tính bỏ túi; thực phép biến đôi biêu thức; giải phương trình bất phương trình bậc ẩn, giải bất phương trình bậc hai ẩn; vè hình, đo đạc, ước lượng Bước đầu hình thành khả vận dụng kiến thức, tri thức toán học vào đời sống môn khoa học khác *về thái độ: Hình thành cho học sinh khả quan sát, dự đốn, phát triển trí tường tượng khơng gian, khả suy luận logic, khả sử dụng ngôn ngừ xác, bồi dường phàm chất cùa tư linh hoạt, độc lập sáng tạo; bước đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt xác sáng sủa ý tường mình, hiên ý tưởng người khác Góp phần hình thành phẩm chat lao động khoa học cần thiết người lao động thời đại Đê thực nhùng mục tiêu địi hỏi nhùng người phải nơ lực, cố gắng khơng ngừng, phải tìm cho phương pháp làm việc tối ưu hiệu quà Qua q trình dạy tốn, tơi thấy nhùng HÁNG ĐẢNG THỨC ĐÁNG NHỚ theo suốt q trình học tốn học sinh lóp lớp sau Các đẳng thức đáng nhớ ứng dụng nhiều thể loại toán khác thực phép tính, phân tích đa thức thành nhân từ chứng minh đằng thức, chứng minh bất đăng thức, tìm cực trị, Chính lý mà tơi chọn chủ đề “Phát triên tư học sinh thông qua dạy học ứng dụng Hằng đăng thức đáng nhớ vào giải tốn” nhằm giúp thầy trị hồn thành mục tiêu mà ngành giáo dục đà đặt II Mục đích nghiên cứu: - Rèn cho học sinh có kỳ hoạt động trí tuệ đê có sờ tiếp thu dễ dàng chương học sau, môn học khác lớp học sau nhằm mở rộng khả áp dụng kiến thức vào thực tế -Bồi dường cho học sinh kỳ năng, kỳ xảo thói quen giải tập liên quan - Giúp học sinh phát triển tư trim tượng, rèn luyện cho học sinh khà độc lập suy nghĩ, sáng tạo klià suy luận, đồng thời góp phần hình thành củng cố phẩm chất đạo đức thẩm mỹ III Phương pháp nghiên cứu: * Các phưongpháp nghiên cứu ỉỷ thuyết Phương pháp phân tích tông hợp lý thuyết Phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết Phương pháp giả thuyết **Cức phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp quan sát khoa học Phương pháp điều tra Phương pháp thực nghiệm khoa học Phương pháp phân tích tơng kết kinh nghiệm Phương pháp chuyên gia IV Thời gian, địa điêm: - Thời gian: Từ năm học 2017-2018; 2018-2019 đến năm học 2019 - 2020 - Địa điếm: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa, Hà Nội V Đóng góp lý luận v.l Cơ sở lý luận: - Trên thực tế sau học xong nhùng đẳng thức đáng nhớ đà có nhiều học sinh quên nhùng đẳng thức đáng nhớ điều thường rơi vào nhùng học sinh chưa chăm học, có tính ỷ lại cao Một van đề đặt cho người giáo viên làm để giúp học sinh ghi nhớ đẳng thức đáng nhớ cách có hệ thống khơng máy móc, học vẹt Qua nhiều năm dạy tốn 8-9, tơi thấy đê khắc phục điều việc thực hành giải tập tốn đóng vai trị quan trọng, tích cực, giúp tạo hứng thú cho học sinh vốn ngại học - Thông qua việc giải tập “ứng dụng đăng thức ”, sâu chuồi, hệ thống kiến thức, khắc sâu, ghi nhớ nhùng đằng thức đáng nhớ, từ giúp em có động lực để tìm tòi, nghiên cứu vấn đề liên quan V.2 Thực tiễn: Qua q trình học mơn tốn nhiều năm tơi thay việc học môn đại so học sinh rat khó khăn Đặc biệt, việc ghi nhớ đăng thức đáng nhớ, em nên đâu Việc phân loại đẳng thức khơng phải nhiệm vụ dễ dàng Chính nhùng khó khăn đà ảnh hưởng khơng nhỏ đen chất lượng học mơn tốn nói chung, mơn đại số nói riêng Các em lơ việc học lớp chuẩn bị nhà Cụ thể, theo kết quà điều tra, số lớp trường cuối học kỳ I năm 2016 - 2017; 2017 - 2018; 2018 - 2019 thu kết quà sau: v.2.1 Làm tập nhà: Qua trình kiêm tra trực tiếp với khoảng 50 học sinh giảng dạy thu kết quà sau: - Tự giải: 58% - Trao đổi với bạn bè với người xung quanh đế tìm hướng giải: 12% - Chép từ sách giải chép từ mạng xà hội: 22% - Chép từ bạn: 18% v.2.2 Chuân bị dụng cụ học tập (sách, vờ, sách tập máy tính, ) - Đầy đủ: 70% - Cịn thiếu: 30% v.2.3 Học sinh hứng thú môn học đại số: - Hứng thú: 55% - Bình thường: 31% - Khơng thích: 14% B PHẦN NỘI DƯNG Ngoài việc dạy cho học sinh hiêu biết cách xây dựng nhùng đăng thức đáng nhớ, cách ghi nhớ, phân biệt đẳng thức, biết áp dụng hàng đẳng thức để tính nhanh, tính nhầm, biết vận dụng đằng thức theo hai chiều người giáo viên phải rèn cho học sinh klià quan sát, nhận xét đế áp dụng đẳng thức cách hợp lý Đê làm điều sau mồi học giáo viên phải giúp học sinh tự kiểm tra hệ thống, diễn giải, khám phá, nêu vấn đề tìm hướng giải vấn đề, từ học sinh rót kinh nghiệm học hiệu sau mồi học I Tông quan: Nhờ có đăng thức đáng nhó giúp ta giải sổ dạng tập sau: 1.1 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê thực phép tính 1.2 Nhóm tập ứng dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức 1.3 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê phân tích đa thức thành nhân từ 1.4 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê chia đa thức cho đa thức 1.5 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê hồ trợ việc thực phép tính phân thức 1.6 Nhóm tập ứng dụng hàng đằng thức đế giải phương trinh bất phương trình ân 1.7 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê chứng minh đăng thức 1.8 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê chứng minh bất đăng thức 1.9 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê tìm cực trị 1.10 Nhóm tập ứng dụng hàng đằng thức để chứng minh tính chia hết, khơng chia het 1.11 Nhóm tập ứng dụng đẳng thức đế giải phương trình nghiệm ngun Thơng qua việc dạy ứng dụng nhằm phát triển tư học sinh II Nội dung vấn đề nghiên cứu Các kiến thức cần nhớ: (ư - bý = a3 4- 3a6b + 3ab2 - b3 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a + b3 = (a + b)(a2 -ab + b2) Ngoài ra, dạy cho học sinh khá, giỏi, giáo viên cần cung cấp thêm đẳng thức sau: Bằng phép nhân đa thức, ta chứng minh đằng thức sau: ữ" -ố” = (a-ố)(ứ"_1 +ữ”’2ỗ+ +ữố”’2 +ốí!_1) với số n nguyên dương an +bn =(ữ + ổ)(đ'í_1 -an~2b+ +abn~2 -ỏ”-1) với số nguyên dương lẻ n Chằng hạn: ữ5 -ỏ5 = (ữ-ỗ)(a4 +a3b+ +abỉ +ố4) ứ + b' = (đ + ỗ)(ứ — ừb + +ab' —b ) Nhị thức Niu-tơn (Newton) (ữ + z>)” = ữ” + c’ (3)-3(2) M = 2(ữ3+Z>3)-3(a2+Z>2) = 2(a + Z>)(a2-aố + ố2)-3a2-3Z>2 Vì Giải: a+b = ỉ nên M = 2.1.(Í72-ab + b2)-3a2-3b2 = 2a2-2b2-2ab-3a2-3b2 = -(ơ + b)2 =-l Ví dụ 2.3 Tính giá trị cùa biểu thức 432 -112 _ (43 + ll)(43-l 1) _ 54.32 _3 (36,5) -(27,5) - (36,5— 27,5)(36,5 + 27,5) "Tóĩ 2 Ví dụ 2.4 Cho \x2+y2+z2=b2 Tính x3+y3+z3theo a,b,c Giải: Áp dụng đăng thức X3 + V3 + z3 -3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2-xy-yz-zx} X3 + y3 + z3 = 3xyz + Í7 [z>2 - (xy + yz + zx)] cần tính xy+yz + zx xyz theo Í7, b, c Ta có: ữ2 =(x + y + z)2 = X + y + z + 2(xy + yz + zx) , , , 3c(ơ2-ố2) + ữ(3ố2-a2) => X + y3 + ? = —ì -2 II.3 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải: Dùng đằng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức thành tích cách phù họp Ví dụ 3.1 Phân tích đa thức thành nhân từ à)x2-9 = (x-3)(x + 3) z>)9x2+ 6xv + y2 =(3x+v)2 c)6x-9-x2 =-(x-3)2 Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta can co gắng phân tích triệt đê (càng nhiều nhân từ tốt) Các tập áp dụng Ví dụ 3.2 Tính nhanh n)252 -152 = (25 -15)(25 +15) = 10.40 = 400 Ỗ)872+732 -272-132 =(872132) + (732-272) = [(87-13)(87 + 13) + (73-27)(73 + 27)] = (74.100)+ (46.100) = 7400 + 4600 = 1200 Ví dụ 3.3 Rút gọn biêu thức sau: Giải: a) A = (x + 2)(x2 - 2x + 4)-(x3 -2) = (x3 + 23 )-(x3 - 2) = X3 +8 -X3 + = 10 Ố)B = [(ỡ + 2)(a2 -2ứ + 4)][(ữ-2)(ữ2 +2a + 4)] = (ữ3 +8)(ỡ3 -8) = (a3)2-82 = ữ6-64 11.4 Nhóm tập ứng dụng hang đăng thức đáng nhớ đê chia đa thức cho đa thức Ví dụ 4.1 Tính nhanh ữ)(x2+2^ + y2):(x + y) = (x + y)2:(x + y) = x + y ố)(125x3+l):(5x + l) = (5x + l)(25x2-5x + l): (5x + l) = 25x2-5x + l c)(x2 -2xy + /):(>’-x) = (y-x)2 :(y-x) = y-x Ví dụ 4.2 Khơng thực phép chia, hày xem xét đa thức A có chia hết cho đa thức B không? Ắ = X2 - 2x +1; = 1- X Giải: Vì A = X2 -2x+1 = (x-l)2 = (1-x)2 Do A chia hết cho B 11.5 Nhóm tập ứng dụng đăng thức đáng nhớ đê chứng minh giá trị biêu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Phương pháp giải: - Thực phép biển đôi đồng biêu thức hừu tì đê rót gọn biêu thức khơng có chứa biến - Áp dụng đằng thức đáng nhớ để biến đổi biếu thức đà cho khơng cịn chứa biển Ví dụ 5.1 Chứng minh giá trị biêu thức sau không phụ thuộc vào biến X Í7)(2x + 3)(4x2 -6x + 9)-2(4x3 -1) ỗ)(x + 3)3 -(x + 9)(x2 +27) c)(x + y)(x2 -xj’ + y2) + (x-y)(x2+xj’ + y2)-2x3 Giải Í7)(2X + 3)(4X2-6X + 9)-2(4X3-1) = (2x)3+9-8X3+1 = 10 Vậy giá trị biêu thứ không phụ thuộc vào giá trị biến X Zộ(x+3)3-(x + 9)(x2+27) = x3+9x2+27x + 27-x3-27x-9x2 -243 = -216 Vậy giá trị biêu thức không phụ thuộc vào giá trị biến X c)(x + y)(x2 -XV + v2) + (x- v)(x2 +XV+V2 )-2x3 = -X3 - y3 +x3 - y3 = -2v3 Vậy giá trị biêu thức không phụ thuộc vào giá trị bien X II Nhóm tập ứng dụng đăng thức đê chứng minh đăng thức: Phương pháp giải: Áp dụng đẳng thức đáng nhớ số kiến thức liên quan để biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái, hai vế biêu thức Ví dụ 6.1 Chứng minh (10a + 5)2 = 100ứ(đ + l) + 25 Từ em nêu cách tính nhẩm bình phương số có tận số áp dụng đế tính 252, 352, 652, 752 Giải: Biến đổi vế trái, ta có: (10ớ + 5)2 = 100ứ2 + 10ŨỚ + 25 = 100đ(ữ + l) + 25 Bình phương sổ có hai chừ sổ có tận chừ sổ số có tận 25 số trăm tích số trục cùa số đem bình phương với số liền sau Áp dụng: 252= 625, 352= 1225, 652=4225, 752 = 5625 Ví dụ 6.2 Chứng minh rằng: (ứ + ỏ)2 =(ứ-ỏ)2 +4đố Giải: Cách 1: Biến đổi vế trái, ta có: (đ + ố)2 = ữ2 +2aè + ố2 = đ2 -2ab + 4ab + b2 = (a-b)2 +4ab = VP Vậy đăng thức chứng minh Cách 2: Biến đổi vế phải, ta có: (ữ-è)2 +4aỉ> = ữ2 -2ab + 4ab + b2 = a2 +2ab + b2 = (a + b)2 = VT Vậy đăng thức chứng minh Cách 3: Biến đôi câ hai vế biêu thức: Biến đồi vế trái: () = (ữ-Ố)(a + Ố)(a2+Z>2)(ữ4 + Z>4) (đ32+Z>32) 5.1 = (ữ2 - z>2)(a2+ố2)(a4 + ố4) (a32 + ố32) = (a4-ố4)(a4+ố4) (ữ32+ố32) = = (a32-ố32)(ữ32+ố32) s = ữ64-ố64 Vậy đăng thức chứng minh II.7 Nhóm tập ứng dụng hang đăng thức đáng nhớ đê giải số toán cực trị (a + b)2 = a2+2ab + b2 Ị ị , , đê đưa biêu thức 2 (fl-z>) = a -2ỡố+ố dạng T = ữ + [/(x)]2 với a số, f(x) biêu thức có chứa biến X Vì [/(x)] > với X nên T>a Khi giá trị nhỏ T bang a kill f(x) = ta phải tìm X đê f(x) Phương pháp giải: Dựa vào đăng thức II.7.1 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biêu thức có dạng đa thức Ví dụ 7.1 Cho A = X2 -3x+5 Tìm Am in với X > Giải: A = x2 - 2(x.ị) + (ị)2 +“7 = (x- ị-)2 + ^7 2 4 ' z 3,2 ,1.11 _ , Với x>2thi x >-^(x ) >-=>.4>- + — =^A>3 22 44 Suy ra: Amin = X đạt giá trị nhỏ Vậy Am in =3 X =2 Ví dụ 7.2 Cho c = (x2 -l)(x2 +1) với xeR Tìm Cmin Giải: c = (x2 - l)(x2 +1) = X4 -1 X4 > V X e R nên c > -1V X e R Cmin = - Ví dụ 7.3 Cho Z) = (x + y)2+(* + l)2+(y-*)2 với x,y&R Tìm = X + 2.XV + y + X + 2x +1 + y - 2xy + X D = 3x2 + y2 + 2x +1 « D = (Vãx)2 + 2A/3X-4= + ị + y2 + ị 5/3 3 2 « D = (V3x + 4)2 + 2y2 +1 V3 2 Dmin z>