VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Tốn lớp 7: Các dạng tốn phương pháp giải Toán Nội dung tài liệu: A PHẦN ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ I SỐ HỮU TỈ + Dạng Thực phép tính + Dạng Biểu diễn số hữu tỉ trục số + Dạng So sánh số hữu tỉ + Dạng Tìm điều kiện để số số hữu tỉ dương, âm, số (khơng dương khơng âm) + Dạng Tìm số hữu tỉ nằm khoảng + Dạng Tìm x để biểu thức nguyên + Dạng Các tốn tìm x + Dạng Các tốn tìm x bất phương trình + Dạng tốn tính tổng theo quy luật CHUN ĐỀ II GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI + Dạng Tính giá trị biểu thức rút gọn biểu thức + Dạng |A(x)| = k (Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước) + Dạng |A(x)| = |B(x)| (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) + Dạng |A(x)| = B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) + Dạng Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối + Dạng Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt + Dạng Dạng hỗn hợp + Dạng |A| + |B| = + Dạng |A| + |B| = |A + B| + Dạng 10 |f(x)| > a + Dạng 11 Tìm x cho |f(x)| < a + Dạng 12 Tìm cặp giá trị (x; y) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối + Dạng 13 |A| + |B| < m với m > + Dạng 14 Sử dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b| xét khoảng giá trị ẩn số + Dạng 15 Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức + Dạng 16 Tìm GTLN – GTNN biểu thức CHUYÊN ĐỀ III LŨY THỪA + Dạng Tính giá trị biểu thức + Dạng Các tốn tìm x VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí + Dạng Các tốn so sánh + Dạng Các toán chứng minh chia hết CHUYÊN ĐỀ IV TỈ LỆ THỨC + Dạng Lập tỉ lệ thức từ số cho + Dạng Tìm x từ tỉ lệ thức + Dạng Chứng minh tỉ lệ thức + Dạng Cho dãy tỉ số tổng, tìm x, y + Dạng Cho dãy tỉ số, tính giá trị biểu thức + Dạng Cho dãy tỉ số tích, tìm x, y + Dạng Ứng dụng tỉ lệ thức chứng minh bất đẳng thức CHUYÊN ĐỀ V TỈ LỆ THUẬN – TỈ LỆ NGHỊCH + Dạng Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn x theo y, tính x (hoặc y) biết y (hoặc x) + Dạng Cho x y tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch, hoàn thành bảng số liệu + Dạng Nhận biết hai đại lượng có tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch + Dạng 4.Cho x tỉ lệ thuận (tỉ lệ nghịch) với y, y tỉ lệ thuận (tỉ lệ nghịch) với z Hỏi mối quan hệ x z tính hệ số tỉ lệ + Dạng Các toán đố CHUYÊN ĐỀ VI CĂN BẬC + Dạng Tính giá trị biểu thức viết bậc hai số + Dạng So sánh hai bậc hai + Dạng Tìm x biết √f(x) = a + Dạng Tìm điều kiện xác định biểu thức chứa + Dạng Chứng minh số số vô tỉ ĐỔI SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN RA PHÂN SỐ TỐI GIẢN SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN – SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN + Dạng Nhận biết phân số số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn + Dạng Viết phân số tỉ số dạng số thập phân + Dạng Viết số thập phân hữu hạn dạng phân số tối giản + Dạng Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dạng phân số tối giản CHUYÊN ĐỀ VII HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ + Dạng Xác định xem đại lượng y có phải hàm số đại lượng x khơng + Dạng 2.Tính giá trị hàm số giá trị biến cho trước + Dạng Tìm tọa độ điểm vẽ điểm biết tọa độ, tìm điểm đồ thị hàm số, biểu diễn điểm lên hình tính diện tích + Dạng Tìm hệ số a đồ thị hàm số y = ax + b biết điểm qua VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí + Dạng Kiểm tra điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không + Dạng Cách lấy điểm thuộc đồ thị vẽ đồ thị hàm số y = ax, y = ax + b, đồ thị hàm trị tuyệt đối + Dạng Tìm giao điểm đồ thị y = f(x) y = g(x) Chứng minh tìm điều kiện để đường thẳng đồng quy + Dạng Chứng minh điểm thẳng hàng + Dạng Cho bảng số liệu, hỏi hàm số xác định công thức nào, hàm số đồng biến hay nghịch biến + Dạng 10 Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc CHUYÊN ĐỀ VIII THỐNG KÊ + Dạng Khai thác thông tin từ bảng thống kê + Dạng Lập bảng tần số rút nhận xét + Dạng Dựng biểu đồ đoạn thẳng biểu đồ hình chữ nhật + Dạng Vẽ biểu đồ hình quạt + Dạng Tính số trung bình cộng, tìm Mốt dấu hiệu CHUYÊN ĐỀ IX BIỂU THỨC ĐẠI SỐ + Dạng Đọc viết biểu thức đại số theo u cầu tốn + Dạng Tính giá trị biểu thức đại số + Dạng Tìm GTLN, GTNN + Dạng Bài tập đơn thức + Dạng Bài tập đa thức + Dạng Đa thức biến + Dạng Tìm nghiệm đa thức biến + Dạng Tìm hệ số chưa biết đa thức P(x) biết P(x0) = a B PHẦN HÌNH HỌC CHUN ĐỀ I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG GÓC ĐỐI ĐỈNH CHUYÊN ĐỀ II TAM GIÁC TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC CHUYÊN ĐỀ III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ CỦA TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí TỐN HỌC LỚP CHUN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ I ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP - Số tự nhiên: N - Số nguyên: Z -2 -1 - Số hữu tỉ: Q -1/2 - Số vô tỉ: I 2 3/2 0 2 - Số thực: I+Q=R II Số hữu tỉ: Kiến thức cần nhớ: - Số hữu tỉ có dạng b≠0; số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu Số số hữu tỉ dương, số hữu tỉ âm - Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: Cách 1:Số thập phân vơ hạn tuần hồn (Ví dụ: ) số thập phân hữu hạn (Ví dụ: Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương số - Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực phân số: Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ Qui tắc - Đưa mẫu, cộng trừ tử số giữ nguyên mẫu - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu Phép chia phép nhân nghịch đảo Nghịch đảo x 1/x Tính chất a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x y = y z b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) (x.y)z = x(y.z) c) Tính chất cộng với số 0: x + = x; x.y=y.x ( t/c giao hoán) (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) x.1=1.x=x x =0 x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối phép nhân phép cộng Bổ sung Ta có tính chất phân phối phép chia phép cộng phép trừ, nghĩa là: ; ; x.y=0 suy x=0 y=0 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) - Các kí hiệu: : thuộc , : khơng thuộc , : tập ) TỐN HỌC LỚP Các dạng toán: Dạng 1: Thực phép tính - Viết hai số hữu tỉ dạng phân số - áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính - Rút gọn kết (nếu có thể) Chỉ áp dụng tính chất: a.b + a.c = a(b+c) a : c + b: c = (a+b):c Không áp dụng: a : b + a : c = a: (b+c) Ví dụ: Bài 1: a) 1 26 b) 11 30 17 34 c) d) 1 1 17 24 e) 5 : ; 4 5 f) : Bài số 2: Thực phép tính: a) 1 .11 6 1 3 4. 2 4 b) 1 24 c) d) 10 Bài số 3: Tính hợp lí: 2 16 11 11 a) 13 : : 14 21 b) c) 1 1 : : 7 7 Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trục số: -Phương pháp: Nếu số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều dương trục Ox a phần , ta vị trí số Ví dụ: biểu diễn số : ta chia khoảng có độ dài đơn vị thành phần nhau, lấy phần ta phân số biểu diễn số Hình vẽ: Nếu số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều âm trục Ox a phần , ta vị trí số BÀI TẬP Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số: a Dạng 3: So sánh số hữu tỉ Phương pháp: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-7 Trang TOÁN HỌC LỚP * Đưa phân số có mẫu số dương so sánh tử số * So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1… * Dựa vào phần bù * So sánh với phân số trung gian( phân số có tử số phân số mẫu số phân số kia) BÀI TẬP Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) x 25 444 y ; 35 777 b) x 110 17 y c) x y = 0,75 50 20 Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) 7 ; 2010 19 b) 3737 37 ; 4141 41 c) 497 2345 499 2341 d) 1 31 19 2002 2001 2000 2001 và ; h) ; k) và f) ; g) 90 60 2001 2000 2001 2002 Dạng 4: Tìm điều kiện để số số hữu tỉ dương, âm, số (không dương không âm) Phương pháp: e) Dựa vào t/c số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu, a=0 Ví dụ: Cho số hữu tỉ x a) x số dương HD: m 2011 Với giá trị m : 2013 b) x số âm c) x không số dương không số âm a Để x>0 , suy m-2011>0 ( 2013>0), suy m>2011 b Để x 23 x+4 x+4 -1 -23 23 x -5 -3 -27 19 https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-7 Trang TOÁN HỌC LỚP Với biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm sau: - Nhóm hạng tử chứa xy với x (hoặc y) - Đặt nhân tử chung phân tích hạng tử cịn lại theo hạng tử ngoặc để đưa dạng tích Ví dụ: Tìm x, y nguyên cho: xy+3y-3x=-1 Giải: y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y đặt nhân tử chung y ) y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) (x+3)(y-3)=-10 Lập bảng: x+3 10 -1 -10 -5 -2 y+3 10 -10 -1 -2 -5 X -2 -4 -13 -1 -8 -5 Y -2 -13 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: ta nhân quy đồng đưa dạng Ax+By+Cxy+D=0 (nhân quy đồng với mẫu số chung 3xy) Ví dụ: 3x+3y-xy=0 ( toán quay dạng ax+by+cxy+d=0) x(3-y)-3(3-y)+9=0 (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng: x-3 -9 -3 3-y -9 -3 x -6 y 12 BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = 101 số nguyên a7 Bài 2: Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t = Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x 3x số nguyên x5 2m phân số tối giản, với m N 14m 62 Bài 4: Tìm x để biểu thức sau nguyên A= ; B= ; C= ; D= ; E= Bài 5: Tìm số x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-7 Trang TOÁN HỌC LỚP Dạng 7: Các tốn tìm x Phương pháp: - Quy đồng khử mẫu số - Chuyển số hạng chứa x vế, số hạng tự vế ( chuyển vế đổi dấu) tìm x Chú ý: Một tích thừa số không - Chú ý toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng bình phương 0, tốn tìm x có quy luật BÀI TẬP Bài Tìm x, biết: 3 ; a) x 21 2 15 c) x : ; 16 5 28 b) x ; 9 d) 4 :x Bài Tìm x, biết: a) x ; 10 b) 3 x Bài Tìm x, biết: a) 33 ; x x 25 Bài 4: a) 2 3 : x ; b) x 3 x 1 x x x 65 63 61 59 b) x x x 10 x 12 1999 1997 1995 1993 e) x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x5 x6 x7 3 2005 2004 2003 x 29 x 27 x 17 x 15 31 33 43 45 c) d) c) 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x 40 91 93 95 91 x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980 29 27 25 23 21 19 HD: => => x= -2010 Bài 5:Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a) x 1 x x x 35 33 31 29 (HD: Cộng thêm vào hạng tử) b) x 10 x x x x 1994 1996 1998 2000 2002 (HD: Trừ vào hạng tử) x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994 10 c) x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999 https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-7 Trang TOÁN HỌC LỚP CF < CD (2) Tõ (1) vμ (2) AE + CF < AD + CD = AC Bi 8: Cho tam giác ABC, M l trung điểm cña BC Chøng minh r»ng: AB + AC > 2AM Giải: Trên tia đối MA lấy điểm D cho MD = MA XÐt MAB vμ MDC cã: MA = MD; AMB = DMC (®èi ®Ønh) MB = MC (gt) Do ®ã: MAB MDC (c.g.c) AB = DC XÐt tam gi¸c ADC cã: B CD + AC > AD (bất đẳnh thức tam giác) Do ®ã: AB + AC > AD mμ AD = 2AM Suy ra: AB + AC > 2AM A M C D Bi 9: Cho tam giác ABC, M l điểm n»m tam gi¸c Chøng minh r»ng: MB + MC < AB + AC Giải: A Vẽ đờng thẳng BM cắt AC D D Vì M tam giác ABC nên D nằm A v C Suy ra: AC = AD + DC XÐt tam gi¸c ABD có: DB < AB + AD B C (bất đẳng thøc tam gi¸c) MB + MD < AB + AD (1) XÐt tam gi¸c MDC cã: MC < DC + MD (2) (bất đẳng thức tam giác) Công (1) víi (2) vÕ víi vÕ ta cã: MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD MB + MC < AB + (AD + DC) MB + MC < AB + AC Bμi 10: Cho tam gi¸c ABC cã AB > AC; AD lμ tia phân giác góc BAC (D BC) M l điểm nằm đoạn thẳng AD Chứng minh MB - MC < AB - AC Trang 152 TOÁN HC LP Giải: Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = AC AB > AC, nên E n»m gi÷a A vμ B Suy ra: AE + EB = AB E EB = AB - AE = AB - AC B XÐt AEM vμ ACM cã: AE = AC EAM = CAM (AD lμ tia phân giác BAC) AM cạnh chung Do đó: AEM ACM (c.g.c) Suy ra: ME = MC XÐt tam giác MEB có MB - ME < EB (bất đẳng thức tam giác) Do đó: MB - MC < AB - AC A M D C Bμi 11: Cho tam giác ABC, M l trung điểm cạnh BC Chứng minh r»ng: a NÕu A = 900 th× AM = BC b NÕu A > 900 th× AM < BC c NÕu A < 900 th× AM > BC TÝnh chÊt: thõa nhËn NÕu hai tam giác có hai cạnh tơng ứng từnmg đôi nhng góc xen chúng không v cạnh no đối diện với góc lớn l cạnh lớn hơn, góc no đối diện với cạnh lớn l góc lớn Giải: Vẽ tia đối tia MA tia lấy điểm D cho MD = MA Suy AD = 2AM A XÐt MAB vμ MDC cã: MA = MD; AMB = DMC (®èi ®Ønh) MB = MC (gt) B M C Do ®ã: MAB = MDC (c.g.c) Suy ra: AB = DC; BAM = CDM Ta cã: BAM = CDM mμ BAM vμ CDM (so le trong) nªn AB // CD BAc + ACD = 1800 VËn dơng vμo tÝnh chÊt trªn xÐt ABC vμ CDA cã: Trang 153 TOÁN HỌC LỚP AB = CD; AC cạnh chung Do đó: a BAC = ACD (BAC = 900; BAC + ACD = 1800 )nªn ACD = 900 BAC = ACD BC = AD AM = BC b BAC > ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD < 900 BAC > ACD BC > AD AM < BC c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD > 900 BAC < ACD BC < AD AM > Tom l¹i: NÕu A = 900 AM = BC Nêu A > 900 th× AM < BC NÕu A < 900 th× AM > BC BC Bμi 12: Trong trờng hợp sau trờng hợp no l ba cạnh tam giác a 5cm; 10cm; 12cm b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m Gi¶i: a §óng v×: + 10 > 12 b Sai v×: + < 3,3 c Sai v×: 2,2 = 1,2 + Bμi 13: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4cm; AC = 1cm HÃy tìm độ di cạnh BC biết độ di ny l số nguyên (cm) Giải: A Theo bất đẳng thức tam giác AB - AC < BC < AB + AC - < BC < + C B < BC < Do ®ã ®é di cạnh BC số nguyên (cm) nên BC = 4cm Bμi 14: a TÝnh chu vi cña mét tam giác cân có hai cạnh 4m v 9m Trang 154 TỐN HỌC LỚP b Cho tam gi¸c ABC điểm D nằn B v C Chứng minh AD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC Giải: a.Cạnh 4m l cạnh bên cạnh 4m l cạnh bên cạnh đáy lớn tổng hai cạnh (9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác Vậy cạnh 4m l cạnh đáy thoả mÃn < + A Chu vi cđa tam gi¸c lμ: + + = 22m b XÐt tam gi¸c ABD cã: AD < AB + BD (1) XÐt tam gi¸c ACD cã AD < AC + DC (2) B D C Céng tõng vÕ cña (1) vμ (2) 2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy AD < AB AC BC Bμi 15: §é dμi hai cạnh tam giác l 7cm, 2cm Tính độ di cạnh lại biết số đo theo xentimét l số tự nhiên lẻ Giải: Gọi độ di cạnh lại l x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: - < x < + tøc lμ < x < Do x l số tự nhiên lẻ nên x = Cạnh lại 7cm Bμi 16: Cho tam gi¸c ABC trung tuyÕn Am vμ gãc B > C H·y so s¸nh hai gãc AMB v AMC A Giải: Trong tam giác ABc B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB vμ AMC cã AM c¹nh chung MB = MC nh−ng AC > AB B M C Nªn AMC > AMB Trang 155 TON HC LP Các đờng đồng quy cđa tam gi¸c Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC Đôi đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Tính chất: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm) Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân A Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung E F tuyến qua đỉnh ấy: G D C B G trọng tâm tam giác ABC Tính chất tia phân giác góc Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc đó.Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc x Oz là phân giác A O z => MA = MB M B y => M Oz Tính chất ba đường phân giác tam giác Trong tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm M, đoạn thẳng AM đường phân giác tam giác ABC(đôi ta gọi đường thẳng AM đường phân giác tam giác) A B C M A LỚP Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy Tính chất ba B M C Trang 156 TOÁN HỌC LỚP đường phân giác tam giác: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân A A 2 O B 2 B M C C Tính chất đường trung trực đoạn thẳng Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng d A => AB = AC B M C Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Tính chất ba đường trung trực tam giác A Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời O đường trung tuyến ứng với cạnh Tính chất ba đường trung trực tam giác: Ba đường trung trực B tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam C giác O là giao điểm của các đường trung trực của OA = OB = OC LỚP Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác cân A B H C Trang 157 TỐN HỌC LỚP Tính chất ba đường cao tam giác Đường cao tam giác: Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Đơi ta gọi đường thẳng AI đường cao tam giác Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác A A A J K J J O I C B C B I C B≡I≡K≡O K O Lưu ý: Trực tâm tam giác nhọn nằm tam giác Trực tâm tam giác vuông trùng với đỉnh góc vng trực tâm tam giác tù nằm bên ngồi tam giác Tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh Nhận xét: Trong tam giác,nếu hai bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng Bμi tËp: Bμi 1: Gäi AM lμ trung tun cđa tam gi¸c ABC, A/M/ l đờng trung tuyến tam giác A/B/C/ biÕt AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC vμ A/B/C/ b»ng A Gi¶i: XÐt ABC vμ A/B/C/ cã: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ (Cã AM lμ trung tuyÕn cña BC vμ A/M/ lμ trung tuyÕn cña B/C/) AM = A/M/ (gt) ABM A/B/M/ (c.c.c) Suy B = B/ V× cã AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) B = B/ (c/m trªn) B M C A/ B/ M/ C/ Trang 158 TOÁN HỌC LỚP Suy ra: ABC A/B/C/ Bμi 2: Cho tam gi¸c ABC (A = 900) trung tuyÕn AM, tia ®èi cđa tia MA lÊy ®iĨm D cho MD = MA a TÝnh sè ®o ABM b Chøng minh ABC BAD c So sánh: AM v BC Giải: a XÐt hai tam gi¸c AMC vμ DMB cã: B D MA = MD; MC = MB (gt) M M1 = M2 (®èi ®Ønh) Suy AMC DMB (c.g.c) MCA = MBD (so le trong) A C Suy ra: BD // AC mμ BA AC (A = 900) BA BD ABD = 900 b Hai tam giác vuông ABC v BAD có: AB = BD (do AMC DMB c/m trªn) AB chung nªn ABC BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh gãc vu«ng b»ng nhau) c ABC BAD BC = AD mμ AM = 1 AD (gt) Suy AM = BC 2 Bμi 3: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC; BM vμ CN lμ hai đờng trung tuyến tam giác ABC Chứng minh CN > BM Giải: Gọi G l giao điểm cña BM vμ CN XÐt ABC cã BM vμ CN l hai đờng trung tuyến cắt G Do đó: G l tâm tam giác ABC Suy Gb = 2 BM; GC = CN 3 VÏ ®−êng trung tun AI cđa ABC Ta cã: A; G; I th¼ng hμng XÐt AIB vμ AIC cã: AI c¹nh chung, BI = IC AB < AC (gt) AIB < AIC XÐt GIB vμ GIC cã A G B I C Trang 159 TOÁN HỌC LỚP GI c¹nh chung; BI = IC AIC > AIB GC > GB CN > BM Bμi 4: Cho tam giác ABC có BM v CN l hai đờng trung tuyÕn vμ CN > BM Chøng minh r»ng AB < AC Giải: A Gọi G l giao điểm BM vμ CN ABC cã: BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn N M Do ®ã: G lμ tâm tam giác ABC G Suy GB = 2 BM; GC = CN 3 VÏ đờng trung tuyến AI tam giác ABC I ®i qua G (TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn) Ta cã: CN > BM mμ GB = B I C 2 BM; GC = CN nªn GB < GC 3 XÐt GIB GIC cã: GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC XÐt AIB vμ AIC cã: AI c¹nh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Bi 5: Trên hình bên có AC l tia phân gi¸c gãc BAD vμ CB = CD Chøng minh: ABC = ADC Gi¶i: H VÏ CH AB (H AD) A C CK AD (K AD) C thuộc tia phân giác BAD K B D Do đó: CH = CK XÐt CHB (CHB = 900 ) Vμ tam gi¸c CKD (CKD = 900) Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: CHB CKD (cạnh huyền - góc vuông) HBC = KDC ABC = ADC Bμi 6: Cho tam gi¸c ABC kẻ Ax phân giác BAC C kẻ đờng thẳng song song với tia Ax, cắt tiâ đối tia AB t¹i D Chøng minh: xAB = ACD = ADC Trang 160 TON HC LP Giải: D Vì Ax l tia phân giác góc BAC Nên xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt đờng th¼ng AC A hai gãc xAC vμ ACD lμ gãc so le nªn xAC = ACD (2) x hai góc xAB v ADC l góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So sánh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC Bμi 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt BC N Từ N kẻ tia NY // Bx Chøng minh: B a xAB = BMN b Tia Ny l tia phân giác góc MNC N Giải: a.Trong tam giác ABC đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx l tia phân giác góc B) A M C BMN = ABx (2 gãc so le v× MN // BA) VËy xBC = BMN x y b BMN = MNy (2 gãc so le v× Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị v× Ny // Bx) VËy MNy = yNC mμ tia Ny lμ tia n»m gi÷a hai tia NM vμ NC Do đó: Ny l tia phân giác MNC Bi 8: Cho tam giác ABC Gọi I l giao điểm hai tia phân giác hai góc A v B Qua I vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải: Ba phân giác củam tam giác qua điểm nên CI l tia phân giác góc C A Vì MN // BC nªn C1 = I1 (2 gãc so le trong) C1 = C2 nªn C2 = I2 M N Do đó: NIC cân v NC = NI (1) Chứng minh t−¬ng tù ta cã: MB = MI (2) Tõ (1) vμ (2) ta cã: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Trang 161 TOÁN HỌC LỚP Bμi 9: Cho tam giác ABC (A = 900) đờng trung trực cạnh AB, AC cắt D Chứng minh D l trung điểm cạnh BC Giải: Vì D l giao điểm đờng trung trực cạnh AB v AC nên tam giác A DAB v DAC l cân v góc đáy tam giác DBA = DAB v DAC = DCA Theo tÝnh chÊt gãc ngoμi cña tam gi¸c ta cã: B D C ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do ®ã: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800 Tõ ®ã suy ba ®iĨm B, D, C thẳng hng Hơn DB = DC nên D lμ trung ®iĨm cđa BC Bμi 10: Cho hai ®iĨm A v D nằm đờng trung trực AI đoạn thẳng BC D nằm hai điểm A v I, I l điểm nằm BC Chứng minh: a AD l tia phân giác góc BAC A b ABD = ACD Giải: a Xét hai tam giác ABI vμ ACI chóng cã: AI c¹nh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI lμ ®−êng trung trực đoạn thẳng BC) B I C Vậy ABI ACI (c.g.c) BAI = CAI Mặt khác I l trung điểm cạnh BC nên tia AI n»m gi÷a hai tia AB vμ AC Suy ra: AD l tia phân giác góc BAC b Xét hai tam giác ABD v ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI l đờng trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trên) Vậy ABD ACD (c.g.c) ABD = ACD (cỈp gãc t−¬ng øng) Trang 162 TỐN HỌC LỚP Bμi 11: Hai điểm M v N nằm đờng trung trực đoạn thẳng AB, N l trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác định M/ cho MN/ = NM a Chøng minh: AB l ssờng trung trực đoạn thẳng MM/ b M/A = MB = M/B = MA Gi¶i: a Ta cã: AB MM/ (vì MN l đờng trung trực đoạn M thẳng AB nên MN AB ) Mặt khác N l trung điểm MM/ A N B (vì M/ nằm tia đối tia NM v NM = NM/) / VËy AB lμ ®−êng trung trùc đoạn MM b Theo gả thiết ta có: MM/ l đờng trung trực đoạn thẳng AB nên M/ MA = MB; M/B = M/A Ta l¹i cã: AB l đờng trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Tõ ®ã suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bμi 12: Cho tam gi¸c ABC có AB < AC Xác định điểm D cạnh AC cho : DA + DB = AC Gi¶i: A Vẽ đờng trung trực đoạn thẳng BC D cắt cạnh AC D D l điểm cần xác ®Þnh ThËt vËy B C Ta cã: DB = DC (vì D thuộc đờng trung trực đoạn thẳng BC) Do ®ã: DA + DB = DA + DC Mμ AC = DA + DC (vì D nằm A vμ C) Suy ra: DA + DB = AC Bμi 13: a Gọi AH v BK l đờng cao cđa tam gi¸c ABc Chøng minh r»ng CKB = CAH b Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH v BK l đờng cao Chứng minh CBK = BAH Trang 163 TỐN HỌC Gi¶i: a Trong tam giác AHC v BKC có: CBK v CAH l góc nhọn V có cạnh tơng ứng vuông góc víi CB AH vμ BK CA VËy CBK = CAH b Trong tam giác cân đà cho đờng cao AH l đờng phân giác góc A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH v CBK l hai góc nhọn v có cạnh tơng ứng vuông góc nên CAH = CBK Nh BAH = CBK LỚP K A B H C A K B H C Bμi 14: Hai ®−êng cao AH v BK tam giác nhọn ABC cắt t¹i D a TÝnh HDK C = 500 b Chứng minh DA = DB tam giác ABC l tam giác cân Giải: A Vì hai góc C v ADK l nhọn v có K cạnh tơng ứng vuông góc nên C = ADK Nhng HDK kỊ bï víi ADK nªnhai gãc C vμ HDK lμ bï Nh− vËy HDK = 1800 - C = 1300 b NÕu DA = DB th× DAB = DBA B H Do hai tam giác vuông HAB v KBA Vì có cạnh huyền vμ cã mét gãc nhän b»ng Tõ ®ã suy KAB = HBA hai gãc nμy cïng kỊ víi ®¸y AB cđa tam gi¸c ABC Suy tam gi¸c ABC c©n víi CA = CB Bμi 15: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đờng cao BN cắt AM H a Khẳng định CN AB l hay sai? A Đúng B Sai b Tính số đo góc: BHM v MHN biết C = 390 C BHM = 1410; MHN = 390 A BHM = 1310; MHN = 490 D BHM = 390; MHN = 1410 B BHM = 490; MHN = 1310 C Trang 164 TỐN HỌC LỚP Gi¶i: A a Chọn A N AM BC tam giác ABC câb A Suy H l trực tâm tam giác ABC H Do CH AB b Chän D B M C Ta cã: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vu«ng gãc) MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc v góc nhọn, góc tù) Vậy ta tìm đợc BHM = 390; MHN = 1410 Bμi 16: Cho gãc xOy = 600 ®iĨm A n»m gãc xOy vÏ ®iĨm B cho Ox lμ ®−êng trung trùc cđa AC, vÏ ®iĨm C cho Oy lμ ®−êng trung trùc cđa AC a Khẳng định OB = OC l hay sai? b TÝnh sè ®o gãc BOC B 900; C 1200; D 1500 A 600; Gi¶i: B x a Chän A NhËn xÐt lμ: OA = OB v× Ox lμ ®−êng trung trùc cđa AB OA = OC v× Oy lμ ®−êng trung trùc cđa AC A Do ®ã: OB = OC b Chän C O y NhËn xÐt lμ: C Tam giác OAB cân O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 Khi ®ã: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 VËy ta cã: BOC = 1200 Bμi 17: Chøng minh r»ng mét tam gi¸c trung tuyÕn ứng với cạnh lớn nhỏ trung tuyến øng víi c¹nh nhá Trang 165 TỐN HỌC LỚP Giải: Xét tam giác ABC đờng trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P N Ta cần chứng minh CP > BN G ThËt vËy Víi hai tam gi¸c ABM vμ ACM B M C Ta cã: MB = MC (v× M lμ trung ®iĨm cđa BC) AM chung: AB < AC đó: M1 < M2 Với hai tam giác GBM vμ GCM ta cã: MB = MC (M lμ TĐ BC); GM chung Do đó: GB < GC 2 GB < GC BN < CP 3 Trang 166 ... hữu tỉ sau: a) x 25 444 y ; 35 ? ?77 7 b) x 110 17 y c) x y = 0 ,75 50 20 Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) ? ?7 ; 2010 19 b) 373 7 37 ; 4141 41 c) 4 97 2345 499 2341 d) 1 31 19 2002 2001... 12 1999 19 97 1995 1993 e) x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19 1 970 1 972 1 974 1 976 1 978 1980 x5 x6 x? ?7 3 2005 2004 2003 x 29 x 27 x 17 x 15 31... 100! +7 c) 10100+1050+1 a) 108+8 Bài 9: chứng tỏ a) A=3+32+33+….320 07 13 b) B= 7+ 72 +73 +? ?74 n 400 Bài 10: Chứng tỏ rằng: a) 87- 218 14 b) 122n+1+11n+2 133 c) 8 17- 279 -913 405 d) 106- 57