Untitled BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH S K C 0 0 3 9 5 9 CÔNG TRÌNH Tp Hồ Chí Minh, MÃ SỐ S KC0 0 7 2 7 9 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM K[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH 1&.+&Ҩ375ѬӠ1*75Ӑ1*Ĉ,ӆ0 3+ѬѪ1*3+È37+ӂ9ӎ&+23+ѬѪ1*75Ỵ1+ 3$5$%2/,&9Ӟ,1*8Ӗ1'Ҥ1*/lj 0, ε > 4ε Bất đẳng thức Young Cho p, q ∈ (1, ∞) thỏa p−1 + q−1 = Khi ε p p ε−q q ab ≤ a + b , ∀ a, b > 0, ε > p q 24 Bất đẳng thức vi phân tích phân Bất đẳng thức tích phân sau gọi bất đẳng thức Gronwall– ¨ Bellman–Bihari ([3], p.53) Bổ đề 1.24 Giả sử S(t) hàm số liên tục không âm thỏa S(t) ≤ C1 + C2 Z t Sκ (s)ds, (1.5.3) ∀t ≥ 0, C1 , C2 số dương κ > Khi ta có: h i 1−κ 1−κ < κ < 1; (i) S(t) ≤ C1 + (1 − κ )C2 t (ii) S(t) ≤ C1 exp{C2 t} κ = 1; h i− κ −1 κ −1 κ > (iii) S(t) ≤ C1 − (κ − 1)C2 C1 t Để chứng minh tính chất tắt dần nghiệm, sử dụng bổ đề sau (xem Haraux [44, 45], Komornik [55]) Bổ đề 1.25 ([55]) Giả sử E : R + → R + hàm khơng tăng thỏa bất đẳng thức tích phân Z ∞ t E1+σ (s) ds ≤ σ E (0) E ( t ), C for all t ≥ 0, σ ≥ C > số dương Khi E thỏa đánh giá sau: (i) Nếu σ = E(t) ≤ E(0)e1−Ct với t ≥ 0; 1/σ 1+ σ (ii) Nếu σ > E(t) ≤ E(0) 1+ với t ≥ σCt Để chứng minh tính chất bùng nổ thời gian hữu hạn, cần bổ đề phụ trợ sau, xem [25] Bổ đề 1.26 Giả sử ψ : R + → R + hàm khả vi thỏa dψ (t) ≥ Cψσ (t) dt (1.5.4) với t ≥ 0, σ > C > số Khi tồn T∗ > cho lim ψ(t) = ∞ Hơn nữa, ta có đánh giá σ −1 ψ(t) ≥ , ψ 1− σ (0 ) − C ( σ − ) t Trong T∗ = ψ1−σ (0)/C (σ − 1) 25 t→ T∗− t ∈ [0, T∗ ) (1.5.5) Bổ đề 1.27 Giả sử Φ : R + → R + hàm khả vi cấp hai tồn t0 > thỏa Φ ( t0 ) > Φ′ (t0 ) > Giả sử thêm Φ thỏa bất đẳng thức (1.5.6) Φ(t)Φ′′ (t) − α(Φ′ (t))2 ≥ với t ≥ t0 , α > số Khi tồn T∗ > cho lim Φ(t) = t→ T∗− ∞ Cụ thể ta có đánh giá Φ(t) ≥ Φ 1− α ( t ) − Φ ( t − t ) 1/(α−1) (1.5.7) với t ∈ [t0 , T∗ ), Φ0 = (α − 1)Φ′ (t0 )/Φ(t0 ) > số T∗ = t0 + Φ ( t0 ) ( α − 1) Φ ′ ( t0 ) Chứng minh Đặt Ψ(t) = Φ1−α (t) Tính tốn trực tiếp ta Φ′ (t) Ψ ( t ) = (1 − α ) α Φ (t) ′ Φ′′ (t)Φ(t) − α (Φ′ (t)) Ψ ( t ) = (1 − α ) Φ α +1 ( t ) ′′ Do (1.5.6) nên Ψ′′ (t) ≤ với t ≥ t0 Từ ta suy Ψ ( t ) ≤ Ψ ( t0 ) + Ψ ′ ( t0 ) ( t − t0 ) , t ≥ t0 , hay Φ 1− α ( t ) ≤ Φ 1− α ( t ) − Φ ( t − t ) , t ≥ t0 , Φ0 = (α − 1) Φ′ (t0 )/Φα (t0 ) số dương Vì ta có Φ(t) ≥ 1 − α Φ ( t0 ) − Φ0 ( t − t0 ) 1/(α−1) , t ∈ [t0 , T∗ ) T∗ = t0 + Φ(t0 )/(α − 1)Φ′ (t0 ) Do lim Φ(t) = ∞ Bổ đề chứng t→ T∗− minh xong ———-oOo———26 C HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH p( x )-L APLACE VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tơi xét tốn biên giá trị đầu sau: u − ∆ p( x) u = |u|q( x)−2 u, ( x, t) ∈ Q T , t ( x, t) ∈ Γ T , u( x, t) = 0, u( x, 0) = u ( x ), (2.1.1) x ∈ Ω, Ω ⊂ R N miền bị chặn với biên trơn ∂Ω, Q T := Ω × (0, T ), Γ T := 1,p(·) ∂Ω × (0, T ), u0 ∈ W0 (Ω) p, q hàm thỏa p ∈ Plog (Ω), q ∈ P (Ω) với < p− ≤ p+ < ∞, < q− ≤ q+ < ∞, ess inf ( p∗ ( x ) − q( x )) > x ∈Ω (H) Mục đích chương mở rộng phương pháp vị (potential well method) Payne Sattinger [67] (cũng xem Sattinger [73]) để nghiên cứu khơng tính chất khơng tồn tồn cục mà cịn điều kiện để nghiệm toán tồn tồn cục dáng điệu nghiệm nghiên cứu Một khó khăn nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng với điều kiện tăng trưởng khơng chuẩn ta tính chất tốn khoảng trống modular chuẩn không gian hàm với số mũ 27 biến Chính khó khăn nên kỹ thuật biết trước với số mũ áp dụng vào toán mà đề tài nghiên cứu Để vượt qua khó khăn chúng tơi phải sử dụng nhiều kỹ thuật đánh giá tinh vi hơn, cụ thể trình bày Phần 2.3 Phần 2.4 Bây chúng tơi định nghĩa nghiệm yếu tốn (2.1.1) thời gian tồn cực đại (maximal existence time) Tmax nghiệm sau: Định nghĩa 2.1 (Nghiệm yếu) Một hàm số u( x, t) ∈ W ( Q T ) ∩ L∞ 0, T; L2 (Ω) gọi nghiệm yếu toán (2.1.1) với t1 , t2 ∈ [0, T ], ta có Z t2 Z Ω t1 t2 uϕt − |∇u| p( x)−2 ∇u · ∇ ϕ + |u|q( x)−2 uϕ dx dt = uϕ dx , Ω Z t1 (2.1.2) với hàm thử ϕ ∈ W ( Q T ) ∩ L∞ 0, T; L2 (Ω) thỏa ϕt ∈ W′ ( Q T ) Chú ý 2.2 Cho p ∈ Plog (Ω) thỏa < p− ≤ p+ < ∞ Khi với u, ϕ ∈ W ( Q T ) thỏa ut , ϕt ∈ W′ ( Q T ) ta có cơng thức tích phân phần sau (xem [8, Mệnh đề 2.5]) Z t2 Z t1 t2 uv dx