Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5 ÁNH X[.]
CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 1/1 Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho tập hợp tùy ý X , Y 6= ∅ Ánh xạ f tập X , Y quy tắc cho với x ∈ X tồn y ∈ Y cho y = f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 2/1 Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho tập hợp tùy ý X , Y 6= ∅ Ánh xạ f tập X , Y quy tắc cho với x ∈ X tồn y ∈ Y cho y = f (x) Định nghĩa Ánh xạ f gọi đơn ánh từ x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2) Ánh xạ f gọi toàn ánh ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f (x) Ánh xạ f gọi song ánh f đơn ánh toàn ánh TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 2/1 Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E F K -kgv Một ánh xạ f : E → F gọi tuyến tính (hay đồng cấu) f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E Ta ký hiệu tập hợp ánh xạ tuyến tính từ E vào F L(E , F ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 3/1 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 4/1 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) ánh xạ tuyến tính ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) = f(x)+f(y) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 4/1 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 5/1 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x12 − x2, x2) không ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 5/1 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x12 − x2, x2) không ánh xạ tuyến tính Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x12 − λx2, λx2) 6= λ(2x12 − x2, x2), λ 6= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 5/1 Khái niệm tổng quát Ví dụ Định nghĩa Cho E K -kgv Một ánh xạ f : E → E gọi tự đồng cấu E f ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 6/1