Tổng hợp đề thi toán cao cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 01 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho số phức Z = 1 3 3 i i + − Tính Z 100 Câu 2. Tính f(A) biết f(x) = x 2 - x – 1 và A = 2 0 0 0 3 1 0 0 3    ÷  ÷  ÷   Câu 3. Với giá trị nào của x thì hệ{ 1 2 3 , ,u u u ur uur uur } lập thành một cơ sở của R 3 1 u ur = (x,1,0) ; 2 u uur = (1,x,1); 3 u uur = (0,1,x) Câu 4. Cho ánh xạ tuyến tính f: R 3 → R 3 xác định bởi: 1 2 3 ( , , )x x x x R ∀ = ∈ r thì f(x) = ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 ,2 6 2 ,3 9 3x x x x x x x x x − + − + − + ) a. Tìm số chiếu và một cơ sở của Kerf. Tìm diu (I m f) b. Xác định ma trận của f đối với hệ cơ sở sau: { 1 2 3 (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)u u u = = = ur uur uur } Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc f(x 1 x) = x 1 2 + 2x 2 2 + 2x 1 x 2 + 4x 2 x 3 Với x = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 02 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho số phức Z 3 3 i i + = − Tính Z 100 Câu 2. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình sau: 1 1 3 2    ÷   .X. 3 2 2 3 4 3 3 1 − −     =  ÷  ÷ − −     Câu 3. Trong R 4 , xét tập A = { 1 2 3 4 ( , , , )u x x x x = r ; 1 2 3 4 0x x x x+ + + = } a. Chứng minh rằng A là một không gian con của R 4 b. Tìm cơ sở và số chiều của A Câu 4. Cho ánh xạ tuyến tính f: R 3 → R 3 xác định bởi 1 1 2 3 ( , , )x x x x ∀ = ∈ ur R 3 thì f(x) = (x + 2y + 2z, 2x + y + 2z, 2x + 2y + z) a. Tìm ma trận của f đối với hệ cơ sở chính tắc của R 3 b. Tìm một cơ sở trực chuẩn của R 3 sao cho ma trận của f đối với hệ cơ sở đó có dạng ma trận chéo. Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc : f(x 1 x) = x 1 2 + 4 x 2 2 + x 3 2 – 4x 1 x 2 + 2x 1 x 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 03 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho số phức Z = 3 + 3i . Tính căn bậc bốn của Z Câu 2. Tìm ma trận X thỏa mãn: A.X = B Với A = 2 3 1 1 1 1 1 0 2    ÷  ÷  ÷ −   và B = 2 1 1    ÷  ÷  ÷   Câu 3. Tìm giá trị của x để hạng của ma trận A bằng 2 A = 2 1 3 1 2 0 4 6x    ÷ −  ÷  ÷   Câu 4. Cho ma trận A = 5 6 2 6 7 2 6 6 1 −    ÷ −  ÷  ÷ −   Tính A 10 Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc: f(x 1 x) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 – 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 2x 2 x 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 04 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Tính biểu thức sau: A = ( ) 10 2 1 3 4 3 1 i i i   + + − +  ÷  ÷ −   Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình : 2 2ax 1 2 2 2 4 y z x ay z a x y az a  + + =  + + =   + + =  Câu 3. Tìm hạng của ma trận sau: A = 1 4 3 6 1 0 1 1 2 0 1 0 0 2 2 4    ÷ −  ÷  ÷ −  ÷   Câu 4. Cho ma trận A = 1 3 1 3 5 1 3 3 1 − −    ÷ − −  ÷  ÷ −   a. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của A b. Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao ? Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc. f(x 1 x) = 2x 1 2 + x 2 2 – 3x 2 2 – 4x 1 x 2 – 4x 2 x 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 05 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z 10 + 2z 5 + 1 = 0 Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 2 ( 1) 1 2 x ay z x a y z x y az + + =   + − + =   + + =  Câu 3. Trong R 3 , xét tập A = { 1 2 3 1 2 3 ( , , ); 5 2u x x x x x x= = + r } a. Chứng minh rằng A là không gian con của R 3 b. Tìm cơ sở và số chiều của A Câu 4. Hãy chéo hóa thực giao của ma trận sau: A = 3 1 0 1 3 0 0 0 3    ÷  ÷  ÷   Câu 5. Đưa dạng tòan phương về dạng chính tắc f(x 1 x) = 2x 2 2 + x 3 2 – 6x 1 x 2 + 2x 2 x 3 – 4x 2 x 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 06 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z 6 – 3z 3 – 4 = 0 Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 2 3 5 2 a 8 2 x y z x y z x y z + − =   + + =   − + =  Câu 3. Trong R 3 , cho hệ A ={ 3 1 2 , ,u u u ur uur r }, với: 1 2 3 (1,1,0), (0,0,1), (0,1,1)u u u= = = ur uur uur a. Hệ A có phải là cơ sở của R 3 không ? vì sao? b. Tìm tọa độ của véctơ (1,0, 1)u = − r theo hệ số cơ sở đó. Câu 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 → R 3 3 1 2 3 ( , , ) Rx x x x ∀ = ∈ r thì f(x) = ( 2x 1 – x 2 – x 3; x 1 - x 3 ; -x 1 + x 2 + 2x 3 ) Hãy tìm một cơ sở của R 3 mà theo cơ sở đó ma trận của ánh xạ f là một ma trận chéo. Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc. f(x 1 x) = x 1 2 – 2x 2 2 + x 3 2 – 4x 1 x 2 – 2x 2 x 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 07 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z 4 + z 2 +1 = 0 Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 2 a 1 2 3 1 2 2 1 x y z x ay z x y z + + =   + + = −   + − =  Câu 3. Cho P 2 (x) là không gian véctơ gồm các đa thức bậc ≤ 2 trên R Xét hệ A = 2 1 2 2 3 ( ) 2 1 ( ) 3 3 ( ) 2 2 f x x x f x x x f x x  = + −  = + −   = −  a. Chứng minh hệ tọa độ A là cơ sở của P 2 (x) b. Tìm tọa độ của f(x) = 3x 2 + x + 1 theo hệ A. Câu 4. Cho ánh xạ f: R 3 → R 3 3 1 2 3 ( , , ) Rx x x x ∀ = ∈ r thì f(x) = (x 1 + x 2 , x 2 – 5x 3 ) a. Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính b. Tìm số chiều và cơ sở của Kerf Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc: f(x 1 x) = 2x 1 2 - 3x 2 2 – 6x 1 x 2 + 2x 1 x 2 – 4x 2 x 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 08 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho tập B = (0;+ ∞ ) và ánh xạ f: R → B Thỏa mãn: Thỏa mãn: ;x R∀ ∈ f(x) = 2 x+1 Hỏi rằng ánh xạ f thuộc loại gì: Đơn ánh? Song ánh? Tòan ánh? Tìm ánh xạ ngược f -1 nếu có. Câu 2. Tính f(A) biết f(x) = 3x 2 – 2x + 5 và A = 1 2 3 2 4 1 3 5 2 −    ÷ −  ÷  ÷ −   Câu 3. Trong R 4 , cho hệ A: { 1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 ( , , , );2 3 0;2 3 3 0u x x x x x x x x x x x x = + − + = − + + = r } a. Chứng minh rằng A là không gian con của R 4 b. Tìm cơ sở và số chiều của A. Câu 4. Tính A 50 với ma trận A = 0 1 0 3 4 0 2 1 3    ÷ −  ÷  ÷ −   Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: f(x 1 x) = x 1 2 – x 3 2 + 2x 1 x 2 – 4x 1 x 3 + 6x 2 x 3. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 09 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho tập A = (0;+ ∞ ) và ánh xạ f: R → A Thỏa mãn: ;x R ∀ ∈ f(x) = 3|x| +1 Hỏi rằng ánh xạ f thuộc loại gì: Đơn ánh? Tòan ánh? Song ánh? Câu 2. Tính định thức : 0 0 0 0 x y z x z y y z x z y x Câu 3. Cho hệ A gồm các véctơ sau: 1 2 3 (2,3,5); (3,7,8); (1, 6,1)u u u = = = − ur uur uur a. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ thuộc hệ A b. Tính số a để véctơ (7, 2, )u a = − r là tổ hợp tuyến tính của hệ A. Câu 4. Cho ánh xạ f: R 3 → R 3 1 2 3 ( , , )x x x x ∀ = ∈ R 3 thì f(x) = (6x 1 – 2x 2 – 2x 3, -2x 1 + 3x 2 , 2x 1 + 3x 3 ) a. Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. Xác định ma trận của f theo cơ sở chính tắc của R 3 b. Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của f. Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: f(x 1 x) = 2x 1 2 + x 2 2 – 4x 1 x 2 – 4x 2 x 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 10 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho hai tập hợp X và Y và ánh xạ f: X → Y A, B là hai tập con của X Chứng minh rằng : nếu f là đơn ánh thì f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B). Câu 2. Giải phương trình : 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x x x = 0 Câu 3. Trong R 3 cho hai tập hợp : U = { x r = (x 1, x 2, x 3 ) với 2x 1 – x 2 + x 3 = 0} V = { x r = (x 1, x 2, x 3 ) với x 1 + x 2 + x 3 = 0} a. Hãy xác định U ∩ V b. Tìm dim( U ∩ V) và một cơ sở của (U ∩ V). Câu 4. Cho ma trận A = 3 0 2 0 1 2 2 2 2    ÷ −  ÷  ÷   Hãy chéo hóa trực giao ma trận A. Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: f(x 1 x) = 5x 1 2 + 6x 2 2 + 4x 3 2 – 4x 1 x 2 – 4x 1 x 3 [...]... tắc: f(x1x) = 2x12- 3x22 – 6x1x2 + 2x1x2 – 4x2x3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 27 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1 Cho A,B là hai tập hợp Chứng minh rằng : B ∪ ( A B) = A ∪ B 1  a Câu 2 Cho ma trận vuông cấp 4 sau đây:  a  a a 1 a a a a 1 a a ÷ a÷ a÷ ÷ 1 c Chứng minh rằng ma trận A khả nghịch... Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: f(x1x) = x12 + x32 + 2x1x2 + 2x2x3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 12 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1 Cho A,B là hai tập hợp Chứng minh rằng : B ∪ ( A B) = A ∪ B 1  a Câu 2 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  0  0 0 0 0 ÷ 1 0 0÷ a 1 0÷ ÷... về dạng chính tắc: f(x1x) = 2x12 – 6x22 + x32 + 6x1x2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 14 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1 Tìm tất cả số phức z thỏa mãn phương trình: z6(1-i) = 1+ 3 i 1  a Câu 2 Cho ma trận vuông cấp 4 sau đây:  a  a a 1 a a a a 1 a a ÷ a÷ a÷ ÷ 1 a Chứng minh rằng ma trận A... tổ hợp tuyến tính của hệ A  2 5 −1  ÷ Câu 4 Cho ma trận A =  2 −1 5 ÷ 2 2 2 ÷   c Tìm vecto riêng và giá trị riêng A d Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: f(x1x) = 2x12 – 6x22 + x32 + 6x1x2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi. .. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc f(x1x) = 2x12 + x22 – 3x22 – 4x1x2 – 4x2x3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 25 (Thời gian làm bài 90 phút) → Câu 1 Cho hai tập hợp X và Y và ánh xạ f: X  Y A, B là hai tập con của X Chứng minh rằng : nếu f là đơn ánh thì f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) 1  a Câu... Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc f(x1x) = 2x12 + x22 – 3x22 – 4x1x2 – 4x2x3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 26 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1 Cho A, B là hai tập hợp con của tập X Chứng minh rằng: a Nếu A ⊂ B thì B ⊂ A b A ∪ B = ( A ∩ B ) 1 x Câu 2 Tính định thức: 2 x x3 1 y y2 y3 ur 1 z...TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 11 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1 Cho A, B là hai tập hợp con của tập X Chứng minh rằng: a Nếu A ⊂ B thì B ⊂ A b A ∪ B = ( A ∩ B )  1 1 −2   0   ÷  ÷ Câu 2 Cho phương trình ma... 4 0 ÷  −2 1 3 ÷   Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: f(x1x) = 5x12 + 6x22 + 4x32 – 4x1x2 – 4x1x3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 18 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1 Cho số phức Z = 3 + 3i Tính căn bậc bốn của Z  x + ay + z = 2  Câu 2 Giải và biện luận theo a hệ phương trình: ... véctơ riêng và giá trị riêng của f Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: f(x1x) = x12 + x32 + 2x1x2 + 2x2x3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 19 (Thời gian làm bài 90 phút) 10  1 + 3i  2 Câu 1 Tính biểu thức sau: A =   1 − i ÷ + ( −4 + 3i ) ÷   2 x + 3 y − z = 5  Câu 2 Giải và biện luận... giao ma trận A Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: f(x1x) = 3x12 + 5x22 + 3x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x3x2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI Bộ môn Toán ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 20 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1 Giải phương trình trên tập số phức: z10 + 2z5 + 1 = 0  x + 2 y + az = 1  Câu 2 Giải và biện luận theo a hệ phương . ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 10 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho hai tập hợp X và Y và ánh xạ f:. HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 11 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho A, B là hai tập hợp con của tập X Chứng. HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1 Ngành X, XN, VL, D, N, M Đề thi số 12 (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cho A,B là hai tập hợp. Chứng minh rằng