BỘ Y TẾ TOÁN CAO CẤP (DÙNG CHO ðÀO TẠO BÁC SĨ ðA KHOA) Mà SỐ: ð.01.X.01 NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC HÀ NỘI − 2008 Chỉ ñạo biên soạn: VỤ KHOA HỌC VÀ ðÀO TẠO - BỘ Y TẾ Chủ biên: TS. HOÀNG MINH HẰNG Page 1 of 4 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm Những người biên soạn: TS. HOÀNG MINH HẰNG ThS. NGÔ BÍCH NGUYỆT CN. CAO CHU TOÀN Thư ký biên soạn: ThS. NGÔ BÍCH NGUYỆT Tham gia tổ chức bản thảo: ThS. PHÍ VĂN THÂM TS. NGUYỄN MẠNH PHA Lời giới thiệu Thực hiện một số ñiều của Luật Giáo dục, Bộ Giáo dục & ðào tạo và Bộ Y tế ñã ban hành chươ ng trình khung ñào tạo Bác sĩ ña khoa. Bộ Y tế tổ chức biên soạn tài liệu dạy - học các môn cơ sở và chuyên môn theo chương trình trên nhằm từng bước xây dựng bộ sách ñạt chuẩ n chuyên môn trong công tác ñào tạo nhân lựcy tế. ©Bản quyền thuộc Bộ Y tế (Vụ Khoa học và ðào tạo) 412-2008/CXB/11-869/GD Mã số: 7K783Y8-DAI Page 2 of 4 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm Sách TOÁN CAO CẤP ñược biên soạn dựa vào chương trình giáo dục của Trường ðại học Y Hà Nộ i trên cơ sở chương trình khung ñã ñược phê duyệt. Sách ñược các tác giả TS. Hoàng Minh Hằ ng, ThS. Ngô Bích Nguy ệt, CN. Cao Chu Toàn biên soạn theo phương châm: kiến thức cơ bản, hệ thống; nộ i dung chính xác, khoa học, cập nhật các tiến bộ khoa học, kỹ thuật hiện ñại và thực tiễn Việt Nam. Sách TOÁN CAO CẤP ñã ñược Hội ñồng chuyên môn thẩm ñịnh sách và tài liệu dạy - họ c chuyên ngành Bác sĩ ña khoa của Bộ Y tế thẩm ñịnh năm 2007. Bộ Y tế quyết ñịnh ban hành là tài liệu dạy - họ c ñạt chuẩn chuyên môn của ngành trong giai ñoạn hiện nay. Trong thời gian từ 3 ñến 5 năm, sách phả i ñược chỉnh lý, bổ sung và cập nhật. B ộ Y tế xin chân thành cảm ơn các tác giả và Hội ñồng chuyên môn thẩm ñịnh ñã giúp hoàn thành cuố n sách; Cảm ơn ThS. Nguyễn Phan Dũng, TS. Chu Văn Thọ ñã ñọc và phản biện ñể cuốn sách sớ m hoàn thành kịp thời phục vụ cho công tác ñào tạo nhân lực y tế. L ần ñầu xuất bản sách khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của ñồ ng nghiệp, các bạn sinh viên và các ñộc giả ñể lần xuất bản sau sách ñược hoàn thiện hơn. VỤ KHOA HỌC VÀ ðÀO TẠO - BỘ Y TẾ Page 3 of 4 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm Lời nói ñầu Toán học là môn khoa học tự nhiên có mặt trong rất nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm cả trong lĩnh vực nghiên cứu sinh, y học. Trong khuôn khổ chuyên ngành y, bộ môn Toán − Trường ðại học Y Hà Nội ñã giảng dạy Toán cao cấp trong nhiều năm cho sinh viên với mong muốn cung cấp các kiến thức cơ bản, cơ sở Toán thống kê cho các nghiên cứu ứng dụng sau này. Cuốn sách bao gồm các kiến thức về ñại số, giải tích và một số bài toán ứng dụng trong sinh, y học với thời lượng 45 tiết. Cuốn sách là tài liệu dành cho sinh viên trường y và sinh viên các chuyên ngành ứng dụng sinh, y học khác và có thể làm tài liệu tham khảo cho các cán bộ giảng dạy và nghiên cứu trong lĩnh vực sinh, y học. Trong quá trình biên soạn chúng tôi ñã nhận ñược nhiều ý kiến quý báu của CN. ðỗ Như Cương, TS. ðặng ðức Hậu nguyên Trưởng bộ môn Toán − Trường ðại học Y Hà Nội. Ngoài ra, chúng tôi cũng nhận ñược sự ñóng góp ý kiến và giúp ñỡ về kỹ thuật vi tính của các ñồng nghiệp trong bộ môn. Tuy nhiên cuốn sách khó tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong nhận ñược các ý kiến ñóng góp của bạn ñọc và ñồng nghiệp. CÁC TÁC GIẢ Page 4 of 4 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm Chương I MA TRẬN – ðỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1 MA TRẬN 1. KHÁI NIỆM MA TRẬN Khi có m × n số ta có thể xếp thành một bảng chữ nhật gồm m hàng và n cột. 1.1. ðịnh nghĩa Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột biểu diễn dưới dạng ñược gọi là ma trận cỡ m × n, trong ñó là phần tử nằm ở hàng i, cột j. Ký hiệu là . Ví dụ: MỤC TIÊU Học xong bài này sinh viên có khả năng: 1. Trình bày ñược ñịnh nghĩa ma trận và khái niệm các dạng ma trận. 2. Th ự c hi ệ n ñượ c các phép toán trên ma tr ậ n. 1) là ma trận cỡ 2 × 3; 2) là ma trận cột cỡ 3 × 1; 3) là ma trận hàng cỡ 1 × 3. ij a ∈ ij m n A a × = 1 2 3 A 4 5 6 = [ ] C 4 6 7 = 1 B 2 5 = Page 1 of 46 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm Khi m = n thì A ñược gọi là ma trận vuông cấp n. 1.2. Ma trận không Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử ñều bằng không. Ký hiệu là O = [0] m×n . Các ma trận không chỉ khác nhau về kích thước. 1.3. Ma trận bằng nhau Ma trận A và B ñược gọi là hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và có các phần tử ở cùng v ị trí bằng nhau. Tức là: 1) A = [a ij ] m × n và B = [b ij ] m × n 2) a ij = b ij với ∀i, j Ví dụ: Cho và . A = B khi và chỉ khi a = 1; b = -3; c = 2; d = 3. 1.4. Ma trận ñối nhau Ma trận A và B ñược gọi là hai ma trận ñối nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí có giá trị ñối nhau. Ma trận ñối của A ñược ký hiệu là −A. Ta có: 1) A = [a ij ] m × n và B = [b ij ] m × n ; 2) a ij = -b ij với ∀i, j Ví dụ: Cho và . B = -A khi và chỉ khi a = -1; b = -3; c = 2; d = 4. 1.5. Ma trận tam giác Cho ma trận vuông cấp n có dạng: ðường thẳng ñi qua các phần tử gọi là ñường chéo chính của ma trận A. Các phần tử a ij với i = j gọi là phần tử chéo. Ma trận tam giác là ma trận mà tất cả các phần tử ở phía trên hoặc phía dưới của ñường chéo chính ñều bằng không. Có hai loại ma trận tam giác là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới. Ví dụ: là ma trận không cỡ 2 × 4 0 0 0 0 A 0 0 0 0 = 1 3 A 2 4 = − − a b B c d = 11 22 33 nn a , a , a , , a ⇔ A = B. ⇔ B = -A hay A = -B. 1 3 A 2 3 − = a b B c d = Page 2 of 46 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm 1.6. Ma trận ñường chéo Cho ma trận vuông cấp n có dạng: Vậy A có dạng: 1.7. Ma trận ñơn vị Ma trận ñơn vị là ma trận ñường chéo có các phần tử chéo ñều bằng 1. 2. PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 2.1. Phép cộng ma trận là ma trận tam giác trên. là ma trận tam giác dưới. Nếu a ij = nếu i = j nếu i ≠ j thì A là ma trận ñường chéo 11 21 22 31 32 33 n1 n2 n3 nn a 0 0 0 a a 0 0 a a a 0 C a a a a = M M M M M i 0, λ Page 3 of 46 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm 2.1.1. ðịnh nghĩa Cho hai ma trận A và B cùng cỡ m × n: A = [a ij ] m × n và B = [b ij ] m × n . Tổng của hai ma trận A và B là ma trận cỡ m × n ñược xác ñịnh bởi: A + B = [a ij + b ij ] m × n . Ví dụ: 2.1.2. Tính chất 1) A + B = B + A; 2) A + O = O + A = A; 3) A + (-A) = O; 4) A + (B + C) = (A + B) + C. Ví dụ: Cho Khi ñó: Vậy ta có: (A + B) + C = A + (B + C). 2.2. Phép nhân ma trận với một số 2.2.1. ðịnh nghĩa Cho ma trận A = [a ij ] m × n và . Tích ma trận A với k là ma trận kA cỡ m × n và ñược xác ñịnh bởi: kA = [ka ij ] m × n . Ví dụ 1: 2 3 1 5 7 2 A ; B 1 4 5 2 3 1 = = − − Cho 1 3 5 7 1 1 2 4 1 0 1 1 A ; B ; C 2 4 4 2 2 1 0 0 0 2 4 4 = = = 2 5 3 7 1 2 7 10 3 A B 1 2 4 3 5 1 1 1 6 + + + + = = − + − + 2 4 7 11 1 0 1 1 3 4 8 12 (A B) C 4 5 4 2 0 2 4 4 4 7 8 6 1 3 5 7 2 1 3 5 3 4 8 12 A (B C) 2 4 4 2 2 3 4 4 4 7 8 6 + + = + = + + = + = k ∈ ¡ Page 4 of 46 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm Ví dụ 2: Cho 2.2.2. Tính chất 1) k(A + B) = kA + kB; 2) (k + h)A = kA + hA; 3) k(hA) = (kh)A; 4) 1.A = A; 5) 0.A = O. Ví dụ: Cho 2 3 1 Cho A 1 4 5 = − và k = 2 2 2 2 3 2 1 4 6 2 kA 2 ( 1) 2 4 2 5 2 8 10 × × × ⇒ = = × − × × − 3 3 2 1 1 1 A 1 1 0 ; B 3 1 2 4 2 1 1 2 1 = = và k =2 0 I . . . . . 0 λ λ ⇒ λ = λ λ Page 5 of 46 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm 2.3. Phép nhân hai ma trận 2.3.1. ðịnh nghĩa Cho ma trận A = [a ik ] m × p và ma trận B = [b kj ] p × n (số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trậ n B). Tích của ma trận A và B là ma trận C, ký hiệu C = A.B (hay AB); C = [c ij ] m×n , trong ñó: Chú ý: − Ta có tích A.B nhưng chưa chắc có tích B.A. Tức là muốn nhân A với B (A bên trái, B bên phải) thì số cột của A bằng số hàng của B, còn muốn nhân B với A (B bên trái, A bên phải) thì số cột của B bằng số hàng của A. − Nếu A, B ñều là ma trận vuông cùng cấp thì bao giờ cũng có tích A.B hoặc B.A nhưng chưa chắc A.B bằng B.A. Ví dụ 1: Cho Khi ñó: 6 6 4 2 2 2 kA 2 2 0 ; kB 6 2 4 8 4 2 2 4 2 8 8 6 kA kB 8 4 4 ; 10 8 4 4 4 3 8 8 6 A B 4 2 2 k(A B) 8 4 4 5 4 2 10 8 4 ⇒ = = ⇒ + = + = ⇒ + = ij i1 1j i2 2j ip pj c a b a b . . . a b = + + + p ik kj k 1 a b , = = ∑ i 1,m; = j 1,n = 1j 2j i1 i2 ip ij m n m p pj p n b b a a a c b × × × × = 1 2 1 2 3 A và B 3 2 4 1 2 1 4 = = Page 6 of 46 30/09/2009 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm [...]... 2 × 2 = 11 8 13 1× 3 + 4 × 2 17 6 11 Ví d 2: Cho 1 1 1 1 2 3 A= ; B = 3 1 2 4 1 2 1 2 1 Ta 10 9 8 A.B = , nhưng không t n t i B.A 9 9 8 Ví d 3: Cho −1 0 1 2 − 1 − 2 3 A= và B = 3 0 ⇒ A.B = 11 4 ;B.A = −3 2 3 Nh n th y A.B ≠ B.A 6 0 Ví d 4: Cho 1 2 A= 2 4 2 − 6 0 0 và B = ⇒ A.B = 0 0 3... phương trình ñã cho có nghi m, vô s nghi m hay vô nghi m 4 Gi i ñư c các h phương trình nêu trên 1 KHÁI NI M H NG C A MA TR N 1.1 ð nh nghĩa 1 Cho ma tr n A = [aij]m×n Ma tr n vuông c p p (p là s nguyên dương; p ≤ min(m, n)) suy t ma tr n A b ng cách b ñi m - p hàng và n - p c t g i là ma tr n con c p p c a A ð nh th c c a ma tr n con vuông c p p c a A g i là ñ nh th c con c p p c a A Ví d : Cho 1 −3... 0 2.4 Phép chuy n v 2.4.1 ð nh nghĩa Cho ma tr n A = [aij]m×n, khi ta ñ i hàng thành c t ho c c t thành hàng ta ñư c ma tr n m i g i là ma tr n chuy n v c a A Ký hi u là At, ma tr n At có c n×m Ví d : −4 1 −4 3 2 A = 3 0 ⇒ At = 1 0 7 2×3 2 7 3×2 2.4.2 Tính ch t 1) (A + B)t = At + Bt; 2) It = I; 3) (A.B)t = Bt.At Ví d 1: Cho 2 3 1 2 , A= 1 1 2 0... file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm 30/09/2009 Page 9 of 46 Ví d 2: Cho 1 2 1 2 3 3 2 ⇒ A.B = 10 18 ⇒ (A.B) t = 10 9 A= ; B = 9 18 18 18 4 1 2 1 4 1 4 1 3 1 10 9 t t t t B = ; A = 2 1 ⇒ B A = 18 18 2 2 4 3 2 BÀI T P LƯ NG GIÁ Hãy ch n k t qu ñúng: 1 1 −2 0 0 3 2 1 ; B = 1 Tính A.B Cho A = 0 1 2 2 K t qu :... 5 C 2 A.B = [ −2 4 5] D 2 A.B = − 4 − 5 B K t qu khác 1 −2 0 2 −1 0 Cho A = 3 2 1 ;B = Tính C = A.Bt 1 2 3 0 1 2 K t qu : A B −1 7 C = −6 5 −1 8 C 3 −1 −6 −1 C= 5 8 7 7 C= −1 D K t qu khác 5 −6 2 Cho ma tr n A = 3 K t qu : A 8 − 1 −1 Tính An − 2 1 0 An = n u n = 2k, ho c An = 0 1 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm... bày ñư c m i liên h gi a ñ nh th c và ma tr n 1 ð NH TH C 1.1 Ma tr n con Cho ma tr n vuông c p n: Ta chú ý ñ n ph n t a ij , n u b hàng i, c t j ta thu ñư c ma tr n (n - 1) hàng và (n - 1) c t, t c là ta ñư c ma tr n c p n - 1; ma tr n này ñư c g i là ma tr n con ng v i ph n t a ij , ký hi u là Mij a11 a12 a13 Ví d : Cho A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ta có 9 ma tr n con c p 2... thành t ng hai ñ nh th c (áp d ng ñ i v i c t 4) ta có ñ nh th c có hai c t t l v i nhau nên ñ nh th c b ng 0 V y D = 0 Ví d 3: Ch ng minh r ng ñ nh th c sau chia h t cho 17 2 0 4 D= 5 2 7 2 5 5 Gi i: Nh n th y, các s 204, 527, 255 chia h t cho 17 nên ta nhân c t 1 v i 100, nhân c t 2 v i 10 và c ng vào c t 3, ta có: 2 0 204 2 0 12 D = 5 2 527 = 17 5 2 31 2 5 255 2 5 15 Ví d 4: Không khai tri n, tính ñ... t chéo Th t v y, d a vào khai tri n hàng 1 (hay c t 1) ta ti p t c khai tri n theo hàng 1 (hay c t 1) c a ñ nh th c c p con nh d n 3 MA TR N NGH CH ð O 3.1 ð nh nghĩa Cho A là ma tr n vuông c p n N u t n t i ma tr n vuông B c p n sao cho AB = BA = I thì ta nói A kh ñ o (A có ma tr n ngh ch ñ o) và B g i là ma tr n ngh ch ñ o c a A Ký hi u ma tr n ngh ch ñ o c a A là A-1, ta có: AA-1 = A-1A = I Ví 1... O.A = O Ví d 1: Cho file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm 30/09/2009 Page 8 of 46 1 1 1 1 0 0 3 1 2 ; B= C = 0 1 0 ; 1 2 1 0 0 1 2 1 1 4 1 3 14 12 12 A(B + C) = × 3 2 2 = 13 10 10 4 1 2 1 2 2 4 1 3 A= ; 4 1 2 10 11 9 4 1 3 14 12 12 A.B + A.C = + = 9 9 8 4 1 2 13 10 10 Ví d 2: Cho 0 0 0 ... −2 file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm 30/09/2009 Page 31 of 46 Các ma tr n con c p 2 là: 1 −3 −1 4 2 1 ; 1 1 1.2 ð nh nghĩa 2 Cho A = [aij]m×n H ng c a ma tr n A là c p cao nh t c a ñ nh th c con khác không c a A Ký hi u là ρ(A) Ta có: 0 ≤ ρ(A) ≤ min(m,n) ð tìm h ng c a ma tr n A ta có th làm như sau: − Tính các ñ nh th c con t c p 2 tr ñi − Gi s . TOÁN CAO CẤP (DÙNG CHO ðÀO TẠO BÁC SĨ ðA KHOA) Mà SỐ: ð.01.X.01 NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC HÀ NỘI − 2008 Chỉ ñạo biên soạn: VỤ KHOA HỌC VÀ ðÀO TẠO. CN. Cao Chu Toàn biên soạn theo phương châm: kiến thức cơ bản, hệ thống; nộ i dung chính xác, khoa học, cập nhật các tiến bộ khoa học, kỹ thuật hiện ñại và thực tiễn Việt Nam. Sách TOÁN CAO CẤP. lĩnh vực khoa học, bao gồm cả trong lĩnh vực nghiên cứu sinh, y học. Trong khuôn khổ chuyên ngành y, bộ môn Toán − Trường ðại học Y Hà Nội ñã giảng dạy Toán cao cấp trong nhiều năm cho sinh