Chương III TÍCH PHÂN Bài 1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH MỤC TIÊU
Học xong bài này sinh viên có khả năng:
1 Trình bày được định nghĩa tích phân bất định, các tính chất của tích phân bất định
2 Áp dụng được các phương pháp tính tích phân bất định: phương pháp đổi biến uà phương pháp tích phân từng phân để tính được tích phân
3 Tính được tích phân của phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác uà hàm uô tỷ
1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Trang 21.2 Nếu thay cho khoảng (a, b) là đoạn [a, b] thì ta phải có thêm: ta +0) = f(a) và F'{ - 0) = f(b) Ví dụ: 4 1 2 , 1) F(x) = —xŠT-—x2+x+B5 là nguyên hàm của f(x) = 4x2-x+1trén R w t5 4 1 2
2) G(x) = 3 “3° +x la nguyén ham cua g(x) = 4x*-x+1ltrén R
3) H(x) = ~$ cos 2x la nguyén ham cua h(x) = sin2x trén R
4) R(x) = tgx la nguyén ham cua r(x) = 5 trên m\ễ +kmx ke 2)
cos” X 2
Định lý
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số ƒfx) trên khoảng (a, b) Khi đó uới mọi hằng sốC, F{x) + C cũng là mot nguyén ham cua f(x) trên khoảng đó
Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số fx) trên bhoảng (a, b) đều có thể uiết
dưới dạng F(x) + C, uới C là một hằng số:
Nói khác di: Néu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) thì {F(x) + C, C R} là họ các nguyên hàm hay là tất cả các nguyên hàm của (x)
(Bạn đọc tự chứng minh hoặc tham khảo chứng minh định lý)
1.3 Định nghĩa tích phân bất định
Tích phân bất định sùa ham f(x) xác định trên khoảng (a, b) là họ tất cả các
nguyên hàm của nó trên (a, b) và được ký hiệu là Jfœdx
Jf(dx = F(x) +C,
trong dé: F(x) là mét nguyén ham cua f(x) hay F'(x) = f(x);
122
C là một hằng số tuỳ ý
Ký hiệu [ : dấu tích phân;
X : biến lấy tích phân;
f&) : hàm số đưới đấu tích phân;
Trang 3Trở lại các ví dụ trên ta có: [(4x? - x+1)dx= ox [sin2xdx = —5 cos2x† C; _® = tgx + COS“ X 1.4 Tính chất của tích phân bất định 1) ([£œax) = f(x) 2) dị { £(x)dx) = f(x)dx 3) fatcx) =f(x)+C 4) [af(x)dx =a Íf&dx (a z0) ð) [(f(x) + g(x))dx = [fcx)ax + [a(x)dx +x+C; 6) ff(t)dt = F(t) +C => ff(u(x)u'(x)dx = F(u(x)) +C Một vấn đề đặt ra là những hàm nào có nguyên hàm?
1.5 Định lý về sự tồn tại của nguyên hàm
Trang 4Ví dụ 1: J@x° 8x” + x+ 8)dx = 2 |xỗdx — 8 [x°dx + [xdx +3 fdx 2 1,6 -x? +*_43x4¢ 3 2 Vi du 2: [cos - Jex- cos x dx — dx sin? x J Tate =sinx+cotex+C _8/ Ví dụ 3: Ve thay = [x nay 4 fx Pax = 2 L406, x Wx x
Muốn tính tích phân bất định của một hàm số f(x), ta so sánh tích phân cần
tính với các tích phân cơ bản để thực biện các phép biến đổi thích hợp, sau đó đưa tích phân cần tính đó về dang tich phan cơ bản rồi áp dụng công thức
2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2.1 Phương pháp đổi biến số
Trong nhiều trường hợp, khi tính Jf(dx nếu để biến tích phân là x thì không thấy ngay được tích phân cần tính đó gắn với dạng tích phân cơ bản nào, nhưng
Trang 52 „AT, 1 f Ta có: “y Sm at = -asint acost == az x 2 Vay | a2—x2dx= _xva” _x? += aresin= +Ö a
9.12 Đối biến số dang 2: t =¥ (x)
Trang 6Tương tự ta cũng chứng minh được tích phân: dx x dx l= |_—— =arcsin—+C tt = arcsin x +, In a ị 1—x2 Ví dụ õ: Tính 1= [_——S “—d cos” x +4 Giai: Dat t = cosx; dt = — sinxdx 1 1 t 1 COSX I=~ J pdt =— 5 aretgs +C =5 are 5 Jee 2.2 Phương pháp tích phân từng phần
Gia sui u = f(x) vA v = g() là hai hàm số khả vị và có đạo hàm ưu ={x); v'>=g{x) là hai hàm số liên tục Khi đó, theo quy tắc lấy vì phân của tích ta có:
d(uv) = vdu + udv hay udv = d(uv) — vdu Vì nguyên hàm của d(uv) là uv nên ta
suy ra:
[udv “= UV— [vdu
Quy tắc lấy tích phân từng phần này chuyển việc lấy tích phân của biểu thức udv = uv' dx về tích phân của vdu = vưdx mà ở đó tích phân của vdu dễ tìm hơn
Trang 7Vi du 2: Tinh I= fx sin 2xdx unex du = dx Giai: Dat ; => 1 dv = sin 2x dx Va ~ 5 cos2x Do dé: 1 1 1 1 T= fxsin 2xdx =~ —xcos2x+— Joos 2x dx =— —X cos2x +—sin2x+C 3 2 2 4 Ví dụ 3: Tính I= [x®e*dx Giải: Tất nhiên ở đây, có thể đặt u=xˆ " = 2xdx => x dv = e*dx v=e l= fx? e*dx = x” e* -2|xe* dx , |U=Xx du = dx Đặt tiếp: => dv = e*dx v=e* Ta có: I, = [xe dx = xe” - fe" dx =e*(x-1)+C Vậy I=e*(x2-2x+2)+C 6 vi dụ nay ta có thể viết: I= {x e*dx = e*(ax? + bx+e)}+C Suy ra:
x2e*= _ +bx+c)+ c| = e* (ax? + bx +c) +e*(2ax +b) =e* | ax? +(2a+b)x+(b+ ©) |
Dùng cách cân bằng hệ số, suy ra:
a=1;b=-2;c=2
Vay T= fx? e*dx = e*(x2~2x+92)+Œ,
Trang 83 TICH PHAN CAC PHAN THUC HUU TY
Trang 9| Mx+N dx = (x? + px + q)* “Si (XP) ấy Íx-Š5ÌÍ dx (x? + px +q)* 2 _M (x? +px+q)®**1 M —3 -k+1 tỊN-P J 2 Dat: t=x +2 vA a= q a tich phan (*) cé dang: dt = ead ae +t? — 1 dt t?dt abet thy 1 — _ ———— “lu ae Zyk s8 lgPxa2jCE a lara ly 1 t2tdt ly 1 1¬ ) =—, =1 na [ao DD 7m6» k-1] 7
a2 kel 2a2 (t?+a2» a? r 2a? (t2 +a2)*
Áp dụng công thức tích phân từng phần với:
Trang 10Công thức tính I, (3.1.4) được gọi là công thức truy hôi Sồ dĩ gọi là công thức truy hồi vì áp đụng công thức này tính ly, ta lại đưa về tính I,.¡ (thấp hơn 1 bậc), tinh I,_, qua I,-», Do dé sau Œ — 1) lần hên tếp dùng công thức (3.1.4) sẽ đi tới
tích phân quen thuộc l¡ sau:
I, = f aot 5 = aretgt +c (3.1.5)
t +a a a
Để trở về biến x, trong kết quả ta thay t=x+ 2
Trang 12Tóm lại: —1 L x+r1 x+1 +1 I= 5 5 5 xt 5 + arctg ~ +C Q(x“ +2x+10)° 9(x74+2x4+10)* 54(x*+2x+10) 162 3 2x—-7 x+ = 5 xí SIM v 1 "- 18(x“+2x+10)° 54(x“+2x+10) 162 3 3.2 Tích phần các phân thức hữu tỷ
3.2.1 Phân thức thực sự uà phần thức đơn giản Xét phân thức hữu ty: P(x) bọ +byxt-.+b, 1x™ ) +b,x™ 1 R(x)= với a;,bị € R va a,,b,, #0 Q(x) ap tayxt t ay yx" P(x) (x) +a,x™ ~ Néu m <n thi được gọi là phân thức thực sự P(x) — Nếu m >n thì gọi là phân thức không thực sự X P(x) Q(x) ta cũng có thể biểu diễn nó dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức thực sự
Nếu là phân thức không thực sự thì bằng cách chia tử cho mẫu bao giờ
Việc lấy tích phân phân thức hữu tỷ sẽ được quy về việc lấy tích phân bến
dạng phân thức đơn giản đã xét ở trên nhờ định lý sau 3.2.2 Dinh ly
Moi da thitc bac n, véi hé s6 thuc Q(x) = ap + ax + + a,x", a, # 0 đều có thể
Trang 13Px) A + Ai „Ai, 8B Bị Bg-1 + + + + + Q(x) (x-a)* (x-a)*o! X~-a (x—b)P (x-b)#1 (x —b) Mx+N M,x+N M, ,x+N,_ ¬ + 1 L + 4 EF (x7 4+px4+q)? (x +px+q)""! x" +px+q + ,+ Px+Q + Pix + Qi gop vet ® + Qy-1 (x? tlxts) (x2+/x+s)9! x°+ix+s
trong dé: A,Ai P.,_¡,Q/_¡ là các hằng số được xác định theo phương pháp hệ số bất định mà chúng ta sẽ giới thiệu qua các vi dụ dưới đây
Trang 141 1 1
Nghiệm của hệ phương trình trên là: A =-—1,B=0,C= 3° D= 3) E= 3°
Ta da phan tich ham dưới dấu tích phân thành tổng của các phần thức đơn giản 1L 1 1 1 1 xe x? — x? x? 3 x-1 3 x? +x41 Vay: d d 1 Ja4 JS++ a x" -x X 3/x-1 8 x“ +x41 si dx = ° + h|x= Y~2 [Fax x°+x4+1 = yA infx-1]-4 ince? +x41)+2 f—* _— x 3 6 2 1Ý 3 x+—| +— Gabe a 11 l, 2 1 2 2 =—+—Ìn|x—1|——Ìn(x“ +x+1)+—x——arct xrạhlx-1-em( )+2xuarcts Be 2 1 1 1,9 1 ox +1 =—+—ln|x-1|—~ln(x“ +x+1)+—-arctg———— Bree + € 2 Vi du 3: Tinh I = _— (x — 1)(x — 2)(x — x —3) " x°-2x+9 3 sa Giai: Phân tích ————————— thành tổng các phân thức đơn gian (x —1)(x - 2)(x - 3) Ta có: x-2x:0 = A BC (x~-1)(x-2)(x-3) x-1 x-2 x-8
Ta có thé ding phuong phap hé sé bat dinh dé tinh cdc hé sé A, B, C trong phân tích trên như đã làm ở ví dụ 2 Tuy nhiên, khi đa thức mẫu tách ra được là
tích của các đơn thức bậc nhất thì ta có thể tính A, B, C nhanh, gọn hơn theo cách sau:
Vì phân tích trên là đồng nhất thức, phân thức đó đúng với mọi giá tri cha x,
Trang 161+3B; =0 343B, =8 = 1 -3(B, +3B,)=3 Bo = 3 7-—6B, - 6B, =9 Vay - x°+x+3 — 1 1 1 (x-9)\(x+19 3Œ-2) (x+U` 3(x +1) Nén I= | x°+x+3 dự =U so -Í, dx ¬= (x-2)(x+ 1Ÿ 3 (x+1UẺ 3'x+1 - lịn 3 x—2 x41 1 +————+C 2(x+1)ˆ Chú ý: Trong một số trường hợp đặc biệt ta có thể tìm được tích phân các phân thức thực sự bằng các phép đổi biến thích hợp xˆ2dx (x-1)° Giai: Dat: x -l=tox=t+lodx=dt Vi du 5: Tinh I= [ ted? dt pt? + 2t+1 pg oa v5 I= | = | : dt = J(t 4 2t74 +t )dt 2 2 gry qe 1 2 1 yg =ết -8t~3 „_ -Ö(x =1) Box 1-3 6 2t2 3t? 4t 12t 12(x_—1) 2 _ _ 6x oxtt ic 12(x —1) xdx Vi du 6: Tinh I= J +6x? +5 xdx xdx =| 2 2 +6x7 45 (x* + 38)° — Giai: Ta có: In Đặt t= x”+ 3, ta có dt = 2xdx Do đó: 9 = sia- =2 Thạc t-4 2 4 =cmŠ **¿C, |t+2 8 x“ 45 Vidu 7: Tinh I= [——~—dx x —8x* -—4
Giải: Để tính tích phân trên ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định dé
phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành các phân thức đơn giản
Trang 17Ta có thể biểu diễn
1 _ 1 1 _Ax+B € D
t 9.2 4 ed 2 2 7 2T _9
Xx -3x =4 (x“+1)(x 4) (x2 +1)(x— Q(x +2) x74] X+ X—- 3
rồi dùng các cách đã giới thiệu dé tinh A, B, C, D Tuy nhién, cé thể dùng cách
thêm bớt vào tử số để đi đến kết quả nhanh hơn: 1 =9] 1 1] @& +1)@œ?~4) BGK #1)? -4) BL x? -4 x?+1j NT Em“ “nh ae lao 2(x+2) x2+1| 20(x-2) 20(x+2) ã(x”+1) Ta có: I= [=a = ly, dx 1 cdx ¬ dx x? ~3x" —4 20!x-2 20/x+2 {, oo =n * 2Í — } aretgx +€ 20 |x+2| 5
4 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
Giả sử cần tính tích phân l = [R@in x,cosx)dx, trong đó Ríu, v) là một biểu thức hữu tỷ đối với u, v (u = sinx; v = cosx)
Trang 182dt dt dt I= | 8t+83—8t“ +5 +5t 2 2 = 2) 2+8t+8 =|5 “t?+4t+4 = (t +2) 2 =-—5+C=- = + + tg—+2 B2 —3 Ví dụ 9: Tính 1=—[— 2d (0<a<1;—n <x <m) 2°1-2acosx+a Giải: Thực hiện đổi biến t = tes , ta có: — 2 t.>=* : at = (1a) J-—— a rar tt - + (1+t2)|1— * at ea ara 1+t —92 d |(+a)t =(1-a?)] 5 Ị = dt 154 K +8) (l-a)" +(1+a)*t l+a “[d+a)t]~+Q-a)* — 2
=—Ì—3 — ;rotg iva, +C =arctg iva g~ +C
(1+a)Q-a) l-a 1-a 2
Trong một số trường hợp đặc biệt, nếu áp dụng phương pháp chung nói trên có
thể đưa đến tích phân của các hàm hữu tỷ phức tạp Trong khi đó ta có thể đi đến
Trang 194.2 Một số trường hợp đặc biệt
4.2.1 Một số trường hợp đặc biệt của R(sinx, cosx)
Trường hợp 1: Nếu Rinx, cosx) là hàm chắn đối với sinx và cosx,
tức là R(Csinx, —cosx) = R(sinx, cosx) thi dat t = tgx hoặc t.= cotgx Trường hợp 2: Nếu R(sinx, cosx) là ham lẻ đối với cosx,
tức là R(sinx, —-cosx) = -R(sinx, cosx) thi đặt t = sinx Trường hợp 3: Nếu R(sinx, cosx) là hàm lẻ đối với sinx,
tức là R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx Ví dụ 1: Tính 1= Í— ox =—
g§n“ x + 2sI1n X cOS X — CO8“ X
Giđi: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chấn đối với sinx, cosx nên ta đặt t = tgx > x = arctgt > dx = a 1+t sin x = —&%_ = t ; cosx=—————= 1 yl+te?x V1+¢? \J1+tg2x V1+t? Do đó dt dt I= | (4+t*) o,{ +? 5 +2 t a 1 "lan l+t 1+t* 1+t -[— "¬¬ " WB, (t+1)2-(\2# of Maia val “lgx+1+ v8
Trang 202 2 Nên: oa Để Âu = fat+2[F+ — * +C t 3t° tgx 3tg’x jes x+cos" X) sin x+ sin? X Vi du 3: Tinh I=
Vi R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) nén ham duéi dau tich phan 1A mét ham lé déi véi cosx, Dat t = sinx => dt = cosxdx 2 2 2 2,44 le pees XC +608 ` = fe He") t 2 =e" ) at Ể 3 +t dt sin* x(1+sin* x) tˆ (1+t? ) t“(1+t") 2/.2 2 _ _ Ƒ (t _ a 1) 6t? t= [dt+2 [tr 24t ~6 [—St t“ +t") t+t2 2 2 =t——-6arctgt + C = sin x -———- - Garetg(sinx)+C t sin x (sin x + sin® x) Vi du 4; Tinh I= |-——— dx cos 2x Giải: 3 i= poinx sin x) dx ~ filtsin asin Tem dy cos 2x 2cos” x—
Trang 21Trường hợp 3: m, n chăn và đều dương thì có thể dùng các công thức sau để
biến đổi hàm dưới đấu tích phân:
sin” x = sũ — cos 2x), cos” x = 2q + cos 2x), sin xcOSx = sein 2x Vi du: TinhI = |sin? xcos’ x dx l= : Ísin” 2x dx = fa — cos 4x) dx = 1 Jax - 1 [cos4x dx = +ự_ -Ủ sin4x+C, 8 8 8 32 4.2.3 Các tích phún dang [cos(ax) cos(bx)dx; [sin(ax)sin(bx)dx ; [sin(ax)cos(bx)dx Dùng các công thức:
1) cos(ax) cos(bx) = sleos(a + b)x + cos(a — b)x]
2) sin(ax)sin(bx) = sleos(a ¬ b)x - cos(a + b)x|
3) sin(ax)cos(bx) = [sina +b)x + sin(a - b)x]
Vi du 1: Tính Í= [sin 2x cos 5x dx,
T= s [sine +5)x + sin(2 - 5)x] dx = | [sin Txdx — [sin 3xdx | = 4 cos 7x +t cos3x+C _ 008 3X _ Co§ ÍX + 14 6 14
Vi du 2: Tinh I= Jcos X COS 5 cos~ dx,
Trang 22114 4 =— |— sin — +— sin —+— sin —+ 4sin —|]+C 4|7 1 5x =— sin— + — sin — + ~— sin —+sin —+C 7 4
5 TICH PHAN MOT SO HAM VO TY
Khi tính tích phân các hàm vô tỷ ta thường dùng phép đổi biến thích hợp để
đưa tích phân đã cho về dạng tích phân hàm hữu tỷ, tức là "hữu tỷ hoá" tích phân
đã cho Ở đây ta chỉ xét một số dạng đơn giản m Yr 5.1, Dang JRO, x n, x*)dx RA, v, , ) là hàm hữu tỷ của các đối số u, v, , ö và m, n, , r, s là những số nguyên dương Đặt x = th với k = bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số (n, , s) Yx - Vx ay xi xẻ Giải: Đặt x = tỦ = dx = SUdL, Ví dụ: Tính I= Ea= Ic pease lat -t)8t” dt fens Da a jae + +1) _ aft dt 8 (t? +1) t2 +1 t7 +1
=4 In(t? +1)-8arctet+C=4 In(x +1)— 8arctg Ÿx+C
5.2 Dang [Re vax2 +bx+e) dx với a #0; a, b, c là hằng số
Trang 23a) Nếu bể - 4ac > 0 thì:
Vax? +bx+e=Va Vu? —a? khi a > 0;
Vax? +bx+e=J—a Va? -v? khia<0O 2 b? — 4ac 4a2 ˆ b) Nếu bỀ - 4ac < O thì: l Vax? +bx+c=VJa u2+ơ^2 khi a >0 2 bỂ - 4ac _ 4a? -
Còn khi a < 0 thì tam thức bậc hai dưới căn luôn âm (biểu thức vô nghĩa) Như
vậy, ta đã đưa tích phân trên về một trong ba dạng tích phân sau: [Ri (V2 +u2)đu, đặt u=atet;
[Ro(u, Ve? - v2 )du, dat u=asint;
[Ra(u,vu? a" )du, dat u= _ x trong đó: œ trong d6: a cost Vi du 1: Tinh I= dx Gidi: Dat x = asint; ¬5 <t< 2 => dx=acostdt; va? —x2= va%q ~sin” t) = alcost| =acost (vi cost > 0) 2
T= [acest cos? ty -a[t-sm 9 sin? t) at =a fe dt — a [sin tat
Trang 265.3 Một số tích phân dạng vô tỷ có thể dùng phương pháp đổi biến theo các hàm hypecbol Từ đạo hàm của các hàm hypecbol đã biết ở chương IT ta có: Jshxdx = chx +: Íchxdx =sh::- Ở; [Se = thx +6; J ax =~cothx+C ch*x sh*x
Trong một số trường hợp, có thể dùng phương pháp đổi biến số theo các hàm
Trang 29Bài 2
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH MỤC TIÊU
Học xong bài này sinh viên có khả năng:
1 Trình bày được định nghĩa tích phân xác định bằng cách lập tổng S„
tính giới hạn uà ý nghĩa hình học của tích phân xác định
2 Áp dụng được các phương pháp tính tích phân xác định: công thức Neuton —Leibnitz, phương pháp đổi biến va phương pháp tích phân từng phan dé tinh tich phan
3 Tinh gan ding duge tich phan xde dinh bằng phương pháp hình thang
uà phương pháp Simpson
1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.1 Diện tích hình thang cong
Trang 30Các điểm chia x, (i = 0 1, , n) due chon tuỳ ý, tuân theo thứ tự tăng dần và
điểm đầu xụ trùng với a, điểm cuối x, trung véi b TY cdc diém chia x, (i= 1, n-1)
ta dựng các đường x = x,, như thế ta đã chia hình thang cong AabB thành n hình
thang cong nho P_,x;_)xP, (i = 1, n ) Mỗi hình thang cong nhỏ có đáy là
Ax; =X; -xX;_; G= 1, n) Trên mỗi đoạn [x:-;, x,] lấy một điểm tuỳ ý š; khi đó tung độ y; ứng với hoành độ š, là y¡ = f(,)
Nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ [x;_¡, x;] ta đựng một hình chữ nhật có kích thước là (x; — X;.¡) và fŒ;) thì điện tích của nó là: fŒ,)(x; - x;-}) Lập tổng 8,„: Sn = 1) (Xị — Xọ) + Í2) X; T XỊ) + + f6) (Xn — Xa) n hay S„= 3 fŒ¡)Axi (3.2.1) i=] trong đó: Ax; = X¡ —X;_¡; 5a chính là điện tích hình bậc thang (hinh 3.2) Và hs P, P ˆ / ZI: iP Be, ZA ve = Of a=NoE) Nes X Xe & mob x Hinh 3.2
Diện tích S của hình thang cong AabB bằng tổng diện tích của các hình thang
cong nho P._,x;_;x;P; (i= 1, n) Ta thay rằng, điện tích hình bậc thang sai khác với
diện tích hình thang cong AabB càng nhỏ nếu n càng lớn và các Ax; càng nhỏ Do đó người ta định nghĩa diện tích hình thang cong AabB như sau:
Nếu tổng (3.2.1) dần tới một giới hạn xác định § khi n -> œ sao cho
Trang 311.2 Định nghĩa tích phân xác định Cho ham f(x) xác định trên [a, b] Chia tuỳ ý đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các diém chia: a = Xg <x, <X9 < <x, =b Dat Ax; =x; —x;_, va trên mỗi đoạn [x;¡_,x¡ | lấy một điểm š, tuỳ ý G= 1, n) > n Lập tổng: l= > )AX: i=l
I, dude goi 1A téng tich phan cia ham f(x) trén doan [a, bị Cho số điểm chia tăng v6 han (n > ») saocho max Ax; >0 Nếu trong quá trình đó mà I„ dần tới
l<si<n
một giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chỉa đoạn [a, b} và cách lấy điểm š, Khi đó hàm f(x) được gọi là khä tích trên đoạn [a, b], và I được gọi là đích
phân xác định của hàm f(x) trên đoạn (a, b] va ky hiéu 1a:
b n
I=[f«xxdx= lim SfŒ,)Ax,
max Àx;¡ 0=]
Ö đây: — [a,b]: đoạn lấy tích phân; a: cận dưới;
b: cận trên; x: biến lấy tích phân;
Trang 321.3 Đấu hiệu khả tích của một số hàm quen thuộc
Sau khi định nghĩa về tích phân xác định, một vấn đề đặt ra là: Những hàm nào thì khả tích trên đoạn [a, b]? Vấn đề đó được khẳng định bởi định lý sau:
1.8.1 Định lý 1
Néu f(x) lién tuc trén [a, b] thi f(x) kha tich trén [a, b]
Chu ¥: Dinh ly trén cho ta mét diéu kién du dé ham f(x) kha tich trén [a, b] Dé không phải là một điều kiện cần Một hàm khả tích trên [a, b} thì không nhất thiết
hiên tục trên đoạn đó
Người ta cũng chứng mính được rằng, nếu f(x) có một điểm gián đoạn loại I
x =c trên {a, b] thì nó khả tích trên đoạn ấy và ta có:
b e b
[fCGdx = ÍfG)dx+ [f@)dx yf
Ý nghĩa hình học của mệnh đề là diện tích
hình thang cong ứng với hàm f(x) có điểm gián
đoạn loại I tại x = c bằng tổng diện tích các
Trang 33b b b ÍIf() + gằœ)ldx = ff(x)dx + [g(x)dx Tinh chat 2 b _ ec b [fax = Jf@dx + [f(x)dx, c tuy y Tinh chat 3 (trong tinh chat nay a <b) b a) Nếu f(x) >0, x € [a, b] > Jfœ)dx >0 a b b b) Néu f(x) < g(x), x € [a, b] > [fGodx < Je(x)dx a c) Néu f(x) kha tich trén [a, b] => |f(x)| kha tich trên [a, b] và b < [lt(x)|dx a b [f(x)dx b
d) Néum< f(x) <M, xe [a, b] > m(b-a) < [f(x)dx < MO ~ a)
Tính chát 4: Định lý uề giá trị trung bình
Nếu f(x) liên tục trên đoạn {a, b] thì trên đoạn đó có ít nhất một điểm E sao cho
b
[fGdx =f()(b-a)
a
Chitng minh: Vi f(x) biên tục trên [a, b] nên ta có m và M là các giá trị bé nhất
Trang 34b Do đó : Jf@dx = f()(b-a) Chú ý: Giả sử cung AB là đường biểu diễn của y
f(x) > 0 trén [a, b] Ý nghĩa bình học của định lý về Dc B
giá trị trung bình là: Trên cung AB bao giờ cũng có E ít nhất một điểm € có hoành độ x = š (a < š < b) sao A
cho diện tích hình chữ nhật aDEb đúng bằng diện
tích hình thang cong AabB (hình 3.4) b Gia tri (© = — —_ [f@G©dx được gọi là giá tri b-a Hinh 3.4 trung bình của f(x) trên [a, bị 1 Vi du 1: Tinh [x?dx theo dinh nghia 0 Gidi: Vi f(x) = x” lién tuc trén [0, 1] nên nó khả tích trên [0, 1] Do đó ta có: 1 n J*”ax = lim > œ;)Ÿ Ax; , 0 max Ax, 30 j=l
trong đó giới hạn của vế phải tổn tại không phụ thuộc vào cách chia [0, 1] và cách
lấy điểm &, Dé viéc tinh toán được dễ đàng, ta chia [0, 1] thành n đoạn nhỏ bằng
Trang 351 n n Giai: Dat Il, = nˆ+1? nề +92 " n’? +n? Có thể viết I„ dưới dạng: 1 | =—n° + n* + + nẺ 1 1 1 1 —| ———_ n 2 + ——————+d + ————— 2 3 "H "H "HH n n n Xét ham f(x) = ¢ ' hàm số này liên tuc trén [0, 1], do đó khả tích trên (1+x?) [0, 1]; dùng phân điểm đều Ax, = * ~Ổ và các điểm chía: n 1 —— Xo =Ũ; XỊ=—; ;¡ Xị= “4 1 1 = O,n, h 2
chọn điểm š; = x¡, có tổng tích phân là I„, do đó:
lim I, =I= | ` = arctgx|, =~
6 4
2 CONG THUC NEWTON - LEIBNITZ
2.1 Định lí cơ bản giữa nguyên bàm và tích phân xác định
Trang 36Chứng mình: Lấy x e (a, b), cho x một số gia Ax sao cho x + Ax e (a, b) Khi đó ta có: X+ÄXx X AD = O(x + Ax) — O(x) = | f(t)dt -— Jf(Ðat x+Ax X+Ax - [feat+ J f(t)dt — Jecac= Ỉ f(t)dt Theo dinh ly vé gia tri trung binh, có một điểm š nằm giữa x và x + Ax sao cho x+Ax J f(t)dt = fŒ@)Ax xX
Do đó ta có A® =fŒ)Ax hay = =fŒ) x
Cho Ax > 0, khi dé & - x va vi f(x) lién tuc tai x nên fŒ) —> f() Do đó ta có:
lim ^“ - lim £(#) = (x)
Ax30 Ax E-—»x
Điều này chứng tơ rằng, ®(x) có đạo hàm tại x va ®'(x) = f(x)
Mặt khác, tại các mút x = a, x = b cũng chứng minh tương tự như trên ta được:
®t(a + 0) = f(a); ®'(b - 0) = f(b)
Vay tại mọi điểm x e {a, b] ta đều có: ®*x) = f(x)
Từ định lý trên ta suy ra ngay hệ quả sau
Hé qua: Moi hàm liên tục trên [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó
2.2 Công thức Newton - Leibnitz
Định lý: Nếu fx) liên tục trên đoạn [a, b] uò F(x) là một nguyên hàm của nó
trong đoạn đó thì
b
Jf)dx = F(b) — F(a) (3.2.3)
Đẳng thức (3.2.3) được gọi là công thức Newton — Leibnitz
Chứng minh: Theo giả thiết, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a, b] va theo hệ quả trên thì
®(x) = Jte)át
a
cũng là một nguyên ham cua f(x) trén [a, b]
Trang 37Do dé F(x) va ®(x) chỉ khác nhau một hằng số cộng, tức là: ®(x) = FŒœ) + Œ Để xác định hằng số C, cho x= a ta có: ®(a) = F(a) + C
Nhưng ®(a) = [f(t)dt = 0, do d6 C = -F(a) Vậy @(x) = ff(t}dt = F(x) - F(a), asx <b Cho x = b, trong biểu thức trên ta có b [at = F(b) - F(a) b
Vay Jf&dx = F(b) - F(a)
Trang 388 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 Phương pháp đổi biến trong tích phân xác định
Tương tự tích phân bất định, trong tích phân xác định người ta cũng dùng các
phép đổi biến thích hợp để tính tích phân
3.1.1 Đối biến số dạng 1: x = oft)
co
Định lý: Xét tích phân |f(x)dx, vdi f lién tuc trong [a, b] Giả sử thực hiện
®
phép đổi biến + = g1) thoả mãn:
1) 1) có đạo hàm liên tục trong lơ, 8l; 2) œ) = d; MAP = b; 3) Khi t biến thiên trong La, Ø] thì x biến thiên trong [a,b] Khi đó: b i [fax = [f[e(]g()dt (3.2.4) Ch Chitng minh: Gia sut F(x) 1A mét nguyén ham cua f(x) trong [a, b], khi đó: b Jf(oax = F(b) - F(a) (3.2.5) a
Trang 39Vậy ta đặt x = 2tgt, với 0 < x < 2 thì 0 <t< 7 Ta có: 1 - =————:dx= = dt = 2(1+ tg"t)dt x +4 A(tg“t+1) cos’ t Tt a 2 4 5 14 T Vậy: 1- f- aXÃ +4 = |——_ 2(1 + tg”t)dt_ = = [dt = = Pere t+1) 24 8 Ví dụ 2: Chửng minh răng, nếu f(x) liên tục trong [—a, a] thì: 0 nếu f(x) là hàm lẻ a [f@dx=1." „ Son -
aa 2 [f(x)dx néu f(x)la ham chan
Trang 40Nếu phép đổi biến t = {x) thoả mãn:
1) {x) biến thiên đơn điệu trên la, b} uà có đạo hàm liên tục;
2) fx)dx trở thành g(0dit, trong đó g() là một hàm số liên tục trong khoảng đóng [W{a), W{b)) thì: b V(b) [f@ddx = [ g(t)de (3.2.7) a Y(a) Chứng minh: Giả sử [g(t)dt = G(t)+C, khi dé: [fŒax = [g(t)dt = GŒ) + € = G[ựŒ)]+ € Đo đó: b b sọ, 2? JfŒœdx = G[W@9]| = G[W@®)]-G[W@)] = GÓ)| 2) = a athe
Chu y: Khi dùng công thức (3.2.7) cần lưu ý hàm số t = W(x) phả1 đơn điệu trên [a, b] Nếu không đơn điệu, có thể xảy ra trường hợp W(a) = @) với a # b (chẳng hạn hàm số t = sinx, x e [0, z]) Khi đó tích phân ở vế phải (3.2.7) bằng không, còn tích phân ở vế trái lại khác không Công thức (3.2.7) không đúng nữa T1 | sin X 0 1+cos2x Vi du 1: Tinh I= dx 198 ae ra ` a’ fa ~ +
Gidi: Đôi biến € = cosx, hàm số t = cosx đơn điệu trên ÍO, 21