BỘ Y TẾ
TOÁN CAO CAP
(DUNG CHO DAO TAO BAC SI DA KHOA) Ma sé& D.01.X.01
NHA XUAT BAN GIAO DUC
Trang 3Chỉ đạo biên soạn:
VỤ KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO - BỘ Y TẾ
Chu biên:
TS HOANG MINH HANG Nhưng người biên soạn:
TS HOANG MINH HANG
ThS NGO BICH NGUYET
CN CAO CHU TOAN Thu ky bién soan:
Th5 NGÔ BÍCH NGUYỆT Tham gia tổ chức bản thảo:
Ths PHI VAN THÂM TS NGUYEN MANH PHA
© Bản quyền thuộc Bộ Y tế (Vụ Khoa học và Đào tao)
Trang 4
Loi qiới thiệu
Thực hiện một số điều của Luật Giáo dục Bộ Giáo dục & Đảo tạo và Bộ Y tế đã ban hành chương trình khung đào tạo Bác sĩ đa khoa Bộ Y tế tổ chức biên soạn
tài liệu dạy - học các mân cơ sở và chuyên môn theo chương trình trên nhằm từng
bước xây dựng bộ sách đạt chuẩn chuyên môn trong công tác đảo tạo nhân lực
ytế
Sách TOÁN CAO CAP duoc biên soạn dựa vào chương trình giáo dục của Trường Đại học Y Hà Nội trên cơ sở chương trình khung đã được phê duyệt Sách được các tác giả 1S Hoàng Minh Hằng, 7hS Ngô Bích Nguyệt CN Cao Chu Toàn biên soạn theo phương châm: kiến thức cơ bản, hệ thông; nội dung chính xác, khoa học cập nhật các tiến bộ khoa học, kỷ thuật hiện đại và thực tiên Việt Nam
Sách TOÁN CAO CẤP đã được Hội đồng chuyên môn thấm định sách và tài
liệu dạy - học chuyên ngành Bác sĩ đa khoa của Bộ Y tế thấm định năm 2007 Bộ Y tế quyết định ban hành là tài liệu dạy - học đạt chuẩn chuyên môn của ngành
trong giai đoạn hiện nay Trong thời gian từ 3 đến 5 năm, sách phải được chính lý,
bổ sung và cập nhật
Bộ Y tế xin chân thành cảm ơn các tác giả và Hội đồng chuyên môn thấm định
đã giúp hoàn thành cuốn sách, Cẩm ơn ThS Nguyễn Phan Dũng, TS Chu Văn Thọ
đã đọc và phản biện để cuốn sách sớm hoàn thành kịp thời phục vụ cho công tác
đào tạo nhân lực y tết
Lân đầu xuất bản sách khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi mong nhận được ý
kiến đóng góp của đồng nghiệp, các bạn sinh viên và các độc giả để lần xuất bản sau sách được hoản thiện hơn
Trang 5Loi ndi đầu
Toán học là môn khoa học tự nhiên có mat trong rat nhiéu linh vuc
khoa học, bao gồm cả trong lĩnh vực nghiên cứu sinh, y học
Trong khuôn khổ chuyên ngành y, bộ mơn Tốn - Trường Đại học Y Hà Nội đã giảng dạy Toán cao cấp trong nhiều năm cho sinh viên với mong muốn cung cấp các kiến thức cơ bản, cơ sở Toán thống kê cho các nghiên cứu ung dung sau nay
Cuốn sách bao gồm các kiến thức về đại số; giải tích và mỌỘt số bài toán
ứng dụng trong sinh, y học với thời lượng 42 tiết
Cuốn sách là tài liêu dành cho sinh viên trường y và sính viên các chuyên ngành ứng dụng sinh, y học khác và có thể làm tài liệu tham khảo cho các cán bộ giảng dạy và nghiên cứu trong linh vuc sinh, y hoc
Trong quá trình biên soạn chúng tôi đã nhận được nhiều ý kiến quý
báu của CN Đỗ Như Cương, TS Đặng Đức Hậu nguyên Trưởng bộ mơn Tốn - Trường Đại học Y Hà Nội Ngoài ra, chúng tôi cũng nhận được sự
đóng góp ý kiến và giúp đỡ về kỹ thuật ví tính của các đồng nghiệp trong
bộ môn Tuy nhiên cuốn sách khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tôi mong nhận được các ý kiên đóng góp của bạn đọc và đồng nghiệp
Trang 6Trang Re Ic e5 & 3 ñe8`e6› 0n 5 Bài 1 Bài 2 Bai 3 Bai 1 Bai 2 Bai 3 lv aaiiiiadiii 9 I0 na nh se ố na 9 2 Phép toán trên ma trận .- 0Q TH TS n HH HH ng TT TT gà k và dc 12 Bal tap IUGNg Gia oo ốố.aa 17 22:8: 2 ah 19 1 Định thỨC - TH ng S912 4n Tn TT ng k ST KH rà TT TK Tàn ki kề 19 2 Tinh siưiiaiiiiiaida4 Ỷ 21 kh: 0i oà)s 1 on 29 4 Các phương pháp tính định thức . c St E1 121212715722 151112 tre 31
Bài tập lượng giá c c n nnnnnnncn 2< Tá ty to tk KH 37
Hệ phương trình tuyên tính k1 1 tk kn HH HH nh Thy ky 39
1 Khái niệm hạng của ma trận L0 02222212220 11v kg tk 39 2 Hệ phương trình tuyến tính cuc c2 HH ng HH HH kh ky ch 42
3 Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính tổng quát có nghiệm 44
4 Phương pháp trụ xoay GaUSS ch nh nn như ninh ch 51
SF) =) om [610] a] 6 |= .ố.ố 54
Chuong II HAM SO, DAO HAM, VI PHAN - UNG DUNG
IIEliF-rddtdỎỎỐỔ 56 1 Định nghĩa .- - SH HH 1211111221221 1v 1k hư KH KH HT hệt 56 2 Hàm ngược, đồ thị của NAM NGUIC oo.cceccccceeseesescsecssssasssssesecsetesseesarereratees 57 3 Hàm số sơ cấp cơ bản, hàm số sơ cấp . - Là St nhe ee 60
Bài tập lượng giá - - LH nn HS SH TT TT HH hy sự g2 và 62
Dao HAM Va Vi PAN ayayaan na 64
1 Định nghĩa đạo hàm L Q.2 2n nén 22T 11 ky két 64
V2 onc on a 72
1n 75
Bài tập lượng giá ccc c0 2 11H ng TT ng Hà HT tr 79
Một số tính chất của hàm khả vi - - Ác k3 SH S111 ng TH ng HH tru 82
Trang 7Bai 4 Bai 1 Bai 2 Bai 3 V2 nha iị(aaa 83 3 tịnh lý Lagrange . - 22003 30 vu ky ch net 84 4 Định lý Cauchy TQ n TH HH ng n2 H2 ng tt tk nu kh nhe 84 5 Dinh ly Taylor (công thức TaVÌOY) cu uc nề HH ng TH HH TT nh se keh 86 6, Định lý L'Hospiftall - c ch SSn SH SE < Hs ng HH L nen ghi ru 93 Bai tap IUGNG Gia ou .4aA n.-addădđXTF,E, 97
Hàm hai biến —~ Phương pháp bình phương bé nhất - - 22 222cc sSẰ 99
1 Hàm hai biến - L QS HH TH HT HH ng KHE HT ki T*nT kkekcta 99
2 Phương pháp bình phương bé nhất c c cS cà tcnererrrryei 105
Tích phân bất định Ác ng HH HH ng ngành ri 121 1 Nguyên hàm và tích phân bất định .- c2 22 cccc tr eissserves 121 2 Các phương pháp tính tích phân .- QQQ SH sn ng reo 124 3 Tích phân các phân thức hữu tỷ ĂL 1112 2H g2 nghi 128 4 Tích phân một số hàm lượng giác .- -: - 55 22-1 S2 Errrsrrree 137
5 Tích phân một số hàm Vô tỷ ch n HH2 nh nh HH nhu 142 sïc II s0 147 I2 8a 149 I4 s3 6c co on ({iiaiI ¬ 149 2 Công thức Newton — LeiDnif7 sàn cv nền Hy S22 TH Hán ty 155 3 Các phương pháp tính tích phân xác định uc ve 158 4 Tính gần đúng tích phân xác định . .- - 5-5 2 St SE 121112 kg tưm 162 Bài tập lượng giá -: 1 2n TY TY TK TK TT, 168 Tích phân suy rộng ch nh nnn nén Hà kh HH HH tt hờ 170
1 Khoảng lấy tích phân là vô hạn - càng ánh kg ri 170
2 Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực
trong khoảng lấy tích phân - Q.11 11211121 ng ng ng nreệg 174
Bài tập lượng giá cccn c2 2 121210122 1111k HH TT ke vn re 177
Chương IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ~ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ỨNG DỤNG
Khái niệm mở đầu - - Q- Q22 222 21110121112111 11111 HH TY TK KT KH kg 178 1 Bài toán đưa đến phương trình vi phân - Q1 Tnhh ve 178
2 Định nghìa phương trình vi phân -L- Tnhh hư 179
Trang 84 Phuong trinh dang Cap CAP Voc cccescceceecscccecsvscserstscasevestsvsesevsesesecentennsnes 184 5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ooo cece cece cceceseeevsasensuvettesavenees 186
6 Phương trình BecnulÌ - v S2 111g nh TH TH ki 189
si ¡000,03 Is0›)/-0 177 191
:Ê xé ¿is 192
1 Tổng quát về phương trình vi phân cấp hai G22 192 2 Phương trinh vi phan tuyén tinh CAp 2 oo c ccc ccceseceecetevsereesaretsssateeceecsees 194 3 Phương trình tuyến tính cấp 2 có hệ số khong dGi oo cece cece So 498 Bài tập lượng giá " 203
Bài 3 Phương trình vi phân ứng dụng - - c2 222121 11 2n HT ng HH gà khen 205
1 Phương trình phát triển vì khuẩn (hoặc tế bào) . - 5s srnrrrereei 205 2 Phương trình phát triển dịch -.- - Đ- 2211110212 1101101 12 x22 1t rrei 207 3 Phương trình phát triển dân số của quần thể biệt lập So 210 4 Phương trình phát triển dân số của quần thể không biệt lập 216
b0 -sÁ/HadỔỔẢỔẢỐỔỔỔ 222
Bài tập lượng giá SH nh HH ng ng Làn gà tk in ch kg 225
BÀI TẬP
Chương I Ma tran - định thức - hệ phương trình tuyến tính .- : <x sex 228
Chương II Hàm số, đạo hàm, vi phân ~- ứng dụng . -cccccccc+S si SSvse r2 231
60.1.0010 san 10111 235
Chương IV Phương trình vi phan — phương trình ví phân ứng dụng . - 238
Trang 9Chuong I MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYỂN TÍNH Bài 1 MA TRAN MỤC TIÊU
Học xong bài này sinh viên có khả năng:
1 Trình bày được định nghĩa ma trận va khdi niệm các dạng ma trận
3 Thực hiện được các phép toán trên ma trận 1 KHÁI NIỆM MA TRẬN Khi có m x n số ta có thể xếp thành một bảng chữ nhật gồm m hàng và n cột 1.1 Định nghĩa Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột biểu diễn dưới dạng [An tí Bag «+ An
ac Ags a see ably;
Aa[ Ut Bee 823 Ban
Amt m3 Ams + Amn
Trang 101 2)B=| 2 | là ma trận cột cỡ 3 x 1; 5 3)C=[4 6 7| là ma trận hàng cỡ 1 x 3 Khi m =n thì A được gọi là ma trận Uuuông cấp n 1.2 Ma trận không
Ma tran bhơng Ìlà ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không Ký hiệu là O = [O] nen 000 0 Vidu: A= 0000 | là ma trận không cổ 2 x 4 Các ma trận không chỉ khác nhau về kích thước 1.8 Ma trận bằng nhau Ma trận Á và B được gọi là hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và có các phần tử ở cùng vị trí bằng nhau Tức là: { 1) A= [aijhm x n va B= [bijÏr x n; 2) ay= bụ với Vì, j © ÀA=BƯB a b Ví dụ: Cho ¬ sl va B-| iI A = B khi va chi khia = 1: b = -3; c c=2,d=ä 1.4 Ma trận đối nhau
Ma trận A và B được gọi là hai ma trận đối nhau nếu chúng có cùng cỡ và các
phần tử cùng vị trí có giá trị đối nhau
Trang 111.5 Ma trận tam giác Cho ma trận vuông cấp n có dạng: Ai 312 31g - 3n a a a 8 A=l 3t #22 233 ¬ Sân âniT n3 ng 4nn Đường thẳng đi qua các phần tử 811, 822, 8aa Ann gỌI là đường chéo chính của ma trận A
Các phần tử a¡ với 1 = j gọi là phần tử chéo
Ma trận tam giác là ma trận mà tất cả các phần tử ở phía trên hoặc phía dưới
Trang 120 2; 0 0 ho 0 A=l0 0 Ag QO |, hay viét gon A= Ae : : 0 0 0 0 hn hn 1.7, Ma tran don vi Ma trận đơn uị Ìà ma trận đường chéo có các phần tử chéo đều bằng 1 1 Kỹ hiệu là I= 1 2 PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 2.1 Phép cộng ma trận 2.1.1 Định nghĩa Cho hai ma trận A và B cùng cỡ m x n: A= [aij) m xn va B= [bij)m xn
Tổng của hai ma trận A va B la ma tran cỡ m x n được xác định bởi:
Trang 13Vi du: Cho 1357 112 4 1 011 244 2 2100 0244 Khi đó:: 1011 4 (A+bB+c-|2 +71, 0 _[3 4812 4542 0244 4786 2442 2344 478 6 Vay tacé: (A + B)+C=A+(B+C) A+(B+0 |, 35 oe 1 8 os 4 8 | 2.2 Phép nhân ma trận với một số 2.2.1 Định nghĩa
Cho ma tran A = [aj),, x » VA kéR Tich ma tran A véi k là ma trận kA co
Trang 142) (k + h)A = kA + hA; 3) k(hA) = (kh)A, A) 1A=A:; B)0.A=O, Vi du: Cho 8 3 2 1 1 1 A=jl 1 0Ị, B=|I3 1 2| vàk=2 4 3 1 1 1 6 6 4 222 =kA=|2 2 01; kB=|6 2 4 8 4 2 24 2 8 86 =®kA +kB=|8 4 4|; 108 4 4 4 3 8 8 6 A+B=|4 2 2| =k(A+B)-|8 4 4 5 4 2 10 8 4 2.3 Phép nhần hai ma trận 2.3.1 Định nghĩa
Cho ma tran A = [ailmx p Va ma tran B = Ƒbuj], „ „ (số cot cha ma tran A bang sé hang cua ma tran B)
Trang 15Chú ý:
- Ta có tích A.B nhưng chưa chắc có tích B.A Tức là muốn nhân A với B
(A bên trái, B bên phải) thì số cột của Á bằng số hàng của B, còn muốn nhân B với A (B bên trái, ÀA bên phải!) thì số cột của B bằng số hàng của A
- Nếu A, B đều là ma trận vuông cùng cấp thì bao giờ cũng có tích A.B hoặc
B.A nhưng chưa chắc A.B bằng B.A Ví dụ 1: Cho 12 3 12 ala va B=|3 2 14 Khi đó: C=AB= 1x1 +2x3 + 3x] 1x9+2x923+3x4 _ 10 18 —Ô |4x1l+ 1x3 + 9x1 4x2+1x2+2x4| |9 18 1x14+2x4 1x2+2x1 1x3+2x2 9 4 7 D=BA =|3x142x4 3x2+2x1 38x3+2x2|=|t11 8 13 1xI+4x4 1x2+4x1 1x3+4x2 17 6 11 Vi du 2: Cho 12 3 ae A-l 1 "= 312 1 2 1 1 ` Ta có: A.B= 098 , nhưng không tôn tại B.A 998 Ví dụ 3: Cho — =1 — 3 6 A= 1 0 va B=|- 2 >AB= 1-2 ;B.A = 2 8 3 0 11 4 -3 0 Nhan thay A.B # B.A Vi du 4: Cho
A-|1 7] 24 vase! ? 5| >Ag-l° ° -1 3 0 0
Nhan thay A # O và B z O nhưng À.B = O
Trang 162.3.2 Tinh chat ) A(B+C)=AB+AC: 2) + GA = B.A + C.A; 3) k(B.C) = (kB)C; 4) (A.B)C = A(B.C); 5) AI=LA=A: 6) AO=O.A=O Ví dụ 1: Cho 414 111 100 A=| 4 1 9 | B=|l3 1 2|: C=|l0 10 1 2 1 0 0 1 ‘T4123 2 1 14 12 12 A(B+C)= x13 2|= 412} |) 2| [13 10 10 1 AB+AC= 10 11 9 + 41 3 _ 14 12 12 5 9 8 412 13 10 10 Vi du 2: Cho 413 A= ;O= 412 2.4 Phép chuyển vị = A.O=O © 38 CC © CC 2.4.1 Định nghĩa
Cho ma trận A = [ai]„m.n, khi ta đổi hàng thành cột hoặc cột thành hàng ta
Trang 19Bai2
ĐỊNH THỨC MỤC TIÊU
Hoe xong bai nay sinh viên có khả năng:
1 Trình bày được khái niệm uê định thúc uà các tính chất của định thức
3 Thực hiện được các ph ương pháp tính định thúc 3 Trình bày được mỗi liên hệ giữa định thức uà ma trận
1 ĐỊNH THỨC
1.1 Ma trận con
Cho ma Lrận vuông cấp n:
Afi Bie BiB =» Bin
Ay, Agy Agz Ag A-l|zt 2z2 35a 9n
An Ang Ang Ông
Ta chú ý đến phần Lử Bị; nếu bỏ hàng 3, cột J ta thu được ma trận (n — 1) hàng và (n - 1) cột tức là ta được ma trận cấp n— 1; ma trận này được gọi là mø trận con ứng với phần tử a¡;, ký hiệu là Mj
ayy địa địa
Vi du: Cho A-} ay, asy aạy | ta có 9 ma trận con cấp 2 ứng với 9 phần tit ay (Sat Bae aaa
của A là:
‘|
Ago aos as Ao- ae ag
Mi | 22928 /, we, -[ 21 Bị Mu ~| 21 e| y Lagi 83a Ay, a2
ajo a ay, Ay Ay, AD
Mại =| 12 | Mạa =| "1 li Mạ -| "8
ago Ag A31 833 431 Faz
Trang 20412 413 | 44) 443 | 411 31a Mạ, -| > Mgo= ; Mga = aio, a 1 499 1.2 Định thức của ma trận vuông cấp n 1.2.1 Định nghĩa Định thức của ma trận vuông A cấp n, ký hiệu là det(A) được định nghĩa dần dần như sau: 1) A là ma trận cấp 1: A = [a,,] thi det(A) = a,): a a 2) Ala ma tran cấp 2: A -| u am thi 491 322 det(A) =311 det(M,,) —813 det(M¡.) = 8112422 — 312321; 3) A là ma trận cấp n: A= lay | thì n det(A) = a,, det(M,,)— ay det(M,.)+a,3 det(M,3)+ +(-1)?**a,,, det(M),,) (1.2.1)
Chú ý: Atq, Ats , ai là các phần tử nằm ở hàng 1 của ma tran A Ta còn dùng Ì | (bai gạch đứng đặt ở hai bên) để ký hiệu một định thức
Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n
Trang 211.3 Định thức của tích hai ma trận Định lý: Nếu A uờ B là hai ma trận uuông cùng cấp thi: det(A.B) = det(A).det(B) Vi du: A = 3 My B=[| 1 3 => AB= 2 17 21 5 8 3 14
Nhận thấy: det(A) = 1; det(B) = -23; det(A.B) = —23 Vay: det(A.B) = det(A).det(B) 2, TINH CHAT Cho A là ma trận vuông cấp n 2.1 Tinh chat 1 det(A‘) = det(A) Ta cần chứng minh công thức det(A) = a,, det(M,,)—a5, det(My,)+ a3, det(M3,)+ +(-1)"*!a,, det(M,,) (1.2.2) trong d6 a1), 4], 491, -, ayy a cdc phan tu nam ở cột 1 của ma tran A Nhận thấy: ~ Nếu n = 2 thì (1.2.2) là đúng ~ Giả sử (1.2.2) đúng với ma trận cấp n — 1, ta cần chứng mình nó đúng với ma trận cấp n
Thật vậy, tiếp tục biểu diễn các định thức của các ma tran My, My, May
theo công thức định nghĩa (1.2.1) ta sẽ có công thức (1.2.1) trùng với công thức (1.2.9), tức là ta có điều phải chứng minh 1 2 2 Ví dụ: Tính D=|2 1 0Ô 4 2 3 1 0 2 Ta có: D =1 _9/? 0Ì, s Ha 2 3 4 8 4 2 y 2 2 hoặc D =1 1 0 =-9 1 0 2 2 h +4 2 3 a
Hệ quả 2.1 Mọi tính chất khi phát biểu về hàng của định thức thì luôn đúng khi phát biểu về cột và ngược lại,
Trang 222.2 Tinh chat 2 Khi đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức thì định thức đổi dấu Ví dụ 1: Ta có 1 9 2 212 2 1 0|=-|1 2 0| (đổi chỗ cột 9 và cột 1) 4 2 83 24 8 12 2 1 2.2 2 1 2 221 va 2 1 0|=-|3 0 1|=|0 3 1|=-|0 1 9 4 2 3 4 3 2| 13 4 2 3 2 4
Ví dụ 2: Cho định thức D,, định thức thay đổi như thế nào nếu ta viết các hàng theo thứ tự ngược lại?
Giải: Ta thực hiện đổi chỗ hàng 1 với hàng 2, rồi hàng 2 mới với hàng 3, với hàng n Như vậy có (n - 1) lần đối chỗ
Ta thực hiện đổi chỗ hàng 1 (tức hàng 2 cũ) với hàng 2 (tức hàng 3 cũ), với
hàng n - 1 Ta có (n — 2) lần đổi chỗ
nín - 1)
Khi viết được tất cả các hàng theo thứ tự ngược lại thì ta đã thực hiện
Trang 232.3 Tinh chat 3
Khi có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì định thức bằng không
Thật vậy, giả sử định thức D có hai hàng như nhau, khi đổi chỗ hai hàng như nhau đó ta có: D = -D 2D =0 > D =0 Ví dụ 1: Cho 1 2 1 D=/2 5 2|=|5 2|? 2 2) 4 2 a|716~0~16=0 424 2.4 4 4 4 2 Ví dụ 2: Giải phương trình 1 1 1 l1 1-—x 1 1 2-x 1 =0 1 1 1 (n-1)-x - Nếu x = 0 ta có hàng 1 = hang 2 => định thức = 0 - Nếu x = 1 ta có hàng 1 = hàng 3 => định thức = 0 - Nếu x=n- 2 ta có hàng 1 = hàng n = định thức = 0
Vậy x =0; x = 1;x= 2; ;x=n- 9 là nghiệm của phương trình
Bạn đọc tự chứng minh ngoài tất cả các nghiệm trên thì phương trình không
có nghiệm nào khác
2.4 Tỉnh chất 4
1) đet(A) = (—1)1 [Ai det(M,; ) — ajo det(M,>) +,,,+ Qin det(M,,, )| (1.2.3)
hay: det(A) =(-1)'*'a;, det(M;,) + (-1)'*7a;9 det(M,.) + +(-1)'*"a,,, det(M,, ) 1
n 1
= 5 (1) aj det(M;;) ,1> 1, 2, eo T1
j=)
(công thức khai triển định thức theo hàng thứ ì)
2) det(A) = (-1)!4) lau det(M,;) — 89) det(M;¡)+ + am det(M,,) | (1.2.4)
hay: det(A) =(-1)'*!a,;det(M,;) + (-1)*a9; det(M,;)+ +(-1)"Ja,, det(M,,)
= S1) )ay det(M,); j = 1, 2, ,n
i=l
(công thức khai triển định thức theo cột thứ j)
Trang 252.8 Tinh chat 8
Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có dọng tổng của hơi số hạng thi định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức Chẳng hạn như: 1 1 1
Aj, Aygta yo} | 411 312 „In 8 ”1a
Ao, a'gg+a"go| | 421 a’ga] |agy ago Ví dụ: Chứng minh rằng: - bic c+a a+b a boc b, + Cy Cy + ay ay + bị = 2 ay by Ci bạ + Ca co + a2 42 + bạ ag bo Co Giai: Xét vế trai ta có: b c+a a+b € c+a a+b VT = bị Cy + ay, ay +b, + Cy Cc) + ay a, +b, by Cy +@q aa +bạ Co Cota aa+ba
b cta a b c+a b c ¢ a+b ce a atb
=|b, c, +a, a] +] b, ¢, +a, by] + fe, cị a, t+by] + |e, ay ay t+by
bạ c+aa an bạ ca+aa¿ bạ Cy Cg aa +bạ Co Ag Ag tbo b c a baa c a a c a bY a b ec =|bạ c a¡| +|Ðị a, ay] +e, a, ay] tle, a, by}=2]a, Bị c,/=VP bạ ca ag by ag ag Ca ag 8o Cy ag bạ aa bạ Co 2.9 Tính chất 9 Khi định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hay các cột khác) thì định thức bằng không Đó là hệ quả của tính chất 7 và tính chất 8 Ví dụ: Tính 12 5) I 2 1x1+2x2 121 1 2 D=/21 4/=|2 1 1x2+2x1|=|2 1 2|+2|2 1 4 2 8| J4 2 1x4+2x2 4 24 4 2 =0+2x0=0 we N 2.10 Tinh chat 10
Khi ta cộng bội b của một hàng uào một hàng khúc (hay cộng bội b của một cột
Trang 26Ví dụ 1: Biến đổi định thức sau: 213 2 1 3 2 1 3 D=|4 5 7|=|4+(-2)x2 5+(-2)x1 7+(-2)x3|=|0 3 1 6 1 5 6 1 5 6 1 5 2 1 3 2 1 8 = 0 3 1 =|0 3 1 6+(-3)x2 1+(-ä)x1 5+(-3)x3 0 -2 -4 2 3 1 2 1 3 0 -4 -2 0 0 10 Ta nhận được một định thức có dạng đơn giản hơn Ví dụ 2: Tính định thức sau: a” (Aa+1)” (a+2)” (a+3) bˆ (b+1U (b+2)? (b+3)* ce? (c+l“ (c+2)“ (c +3)? d? (d+1)? (d+2)° (d+3)Ÿ
Giai: Nhân cột 1 với (—1) cộng vào cột 2; nhân cột 1 với (—-1) cộng vào cột 3; nhân cột 1 với (—-1) cộng vào cột 4, ta được:
a? 2a+1 4a+4 6a+9 a? 2a 4a+4 6a+9 a” 1 4a+4 6a+9
_|b? 2b+1 4b+4 6b+9| |b” 2b 4b+4 Gb+9) fb 1 4b+4 6b+9
c? Øc+1 4e+4 6c+9 cẰ 9e 4e+4 6c+9 c? 1 4c+4 6c+9
d22d+1 4d+4 6d+9 |d22d 4d+4 6d+9 |d* 1 4d4+4 6d+9
D
Tách mỗi định thức thành tổng hai định thức (áp dụng đối với cột 3) ta có định
thức có hai cột tỷ lệ với nhau nên định thức bằng 0
Trang 27Giái: Nhận thấy, các số 204, 527, 255 chìa hết cho 17 nên ta nhân cột 1 với 100, nhân cột 2 với 10 và cộng vào cột 3, ta có: 2 0 204 2 0 12 D=|5 2 527/=17|5 2 31 25 255 25 lỗ Ví dụ 4: Không khai triển, tính định thức a b c1 b c a 1 D=| c a b 1 b+c c+a a+b 2 2 2 Giỏi: Cộng cột 2 và 3 vào cột đầu, ta được a+b+c b c 1 1 b a+b+c € a 1 1 Cc D=la+b+c a b 1|=(a+b+€)|1 a atbie C†A a+b | 1 cra a+b 2 2 2 2.11 Tính chất 11 (Về các định thức có dạng tam giác) Định thức của mo trận tam giác bằng tích các phần tử chéo 411, 412 43 ++ Ain 0 822 493 - aan 0 0 33a ha San = Ay) X agg XAgq X X Any 0 dO 0 aun a1, O 0 0 ao ago 0 0
hay 3a1 a39 ag4 wee 0 =ãI] x B99 X Aga X., X Ann
Ani Âân2 4ng o> Ann
Thật vậy, dựa vào khai triển hàng 1 (hay cột 1) ta tiếp tục khai triển theo hàng 1 (hay cột 1) của định thức cấp con nhỏ dân
Trang 283 MA TRAN NGHICH DAO
3.1 Dinh nghia
Cho A la ma tran vuéng cap n Néu tôn tại ma trận vuông B cấp n sao cho
AB = BA =I thi ta néi A kha dao (A cé ma tran nghich dao) va B gọi là ma trận nghich dao của A
Ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A`Ì, ta có: AA }1=A !A=l -2 1 1 2 _ Vi du: A-| ; thìA '=la 1 2 2 —2 1 Vì AA TS, uP 3 |=|; : 3 4 — —=— 0 1 2 2 2 1 1 2 1 0 và A !A= 3 - «| ‘Flo Từ định nghĩa suy va, nếu A khả đảo thi A’! kha dao va ma tran nghịch đảo cua A! 1a A 3.2 Cac dinh ly 3.2.1 Dinh ly 1
Nếu A là mu trận uuông có ma trận nghịch đảo A! thi det(A) «0
Chiing minh: That vay, vi AA} =I1 => det(AA ') = 1 = det(A)det(A ”) = 1
= det(A) # 0 va det(A |) #0
3.2.2 Dinh ly 2
Ma trận nghich déo A” cua ma tran A néu co thi chi cé mét mà thôi
Chúng minh: That vay, gia sii B va C déu 1A ma tran nghich dao của À, tức là
ta có:
AB = BA=Iva AC =CA=I
Khi dé C(AB) = CI va (CA)B = IB
Suy ra: CI=IB>C=B
Trang 293.2.3 Dinh lý 3
Cho A là ma trận 0uông cấp n Nếu det(A) z0 thì ma trận A có ma trộn nghịch đảo AT Ma trận A`! được tính bởi công thúc: Cy, ja Cn "Ha 2 Con det(A) det(A) Cni na Con trong do: Cj; = (~1)”2 de(M,), det(M,) là định thức con ứng uới phân tử qụ, Ta thừa nhận định lý Khi det(A) z 0, tức là ma trận À có nghịch đảo, ta nói À là ma trận không suy biến 3.8 Cách tìm ma trận nghịch dao Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: 1 A=l2 5 8 1 0 8 Giải: Cách thứ nhất: Dựa vào định lý 3: Ta có: det(A) = —1 z 0,
Cy, =-16 Cop = 5 Cy; = 2
Trang 304 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC
4.1 Tính định thức theo công thức định nghĩa Vi du 1: Giai va biện luận phương trình 1x x? a 1x |=0, Va, beR bc 1, Giai: Ta có: 1 x x? 1 2 2 a 1 x|=l1 I X XI p|t X* Cc bel c il 1 x = (1—cx)—a(x-cx”)+0 =(1-cx)1—ax)=0
— Nếu a = c= 0 thì phương trình vô nghiệm
Trang 31891 322 324 495 491 492 493 4o5 491 499 493 424
¿a J23i 832 9 0 agi a2 O 0 a3; a2 9 0
313 441 342 0 o| “14 341 342 0 of 795 44) 842 0 0
a51 452 90 0 a5, as 0 0 45, 352 9 9
= a1;-Dy1 —ay9-Dyo + ay3-Dy3 — a) 4-Dy4 + a15-Dy5
Xét tiếp : Dyy = a99-0 — a93.0 + a¿¿,0 — a¿z.0 = Ô; Dy, = 0: Di, = 0; D,, =9; D,,;=90 => D=0 4.2 Phương pháp biến đổi định thức 32 Sử dụng các phép biến đổi:
- Nhân các phần tử của một hàng (hay cột) với một số k (k z 0) - Cộng tổ hợp tuyến tính vào hàng khác (hay cột khác)
- Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) Ví dụ 1: Tính định thức: 1 x x? a 1x a 1 x a 1 x|=-l1 x x’/=-|l-ax 0 0 b e 1 b c 1 b c 1 =(1-ax) | NI cl Ví dụ 2: Tính định thức: 2 2
sin“ a@ cos2a cos“œ
D =| sin? B cos2B cos” B sin? y cos2y cos” y
Giải: Nhân cột 1 với (—1) rồi cộng vào cột 3 ta có:
2 a cos2a cos*a-sin*a 2 sinœ cos2œ cos2a
D=|sin?B cos2B cos2B-sin2B|=|sin2B cos2B cos2B|= 0
sin
Trang 34Nhân cột cuối của định thức thứ nhất với (1), sau đó cộng vào các cột trước
nó; khai triển theo cột cuối của định thức thứ hai, ta được: a†—X 0 0 « X
0 ay —X 0 ¬
Dạ; =| 0 0 aa~X X|+ (-1)"*" (a, -x) Dy 4
0 0 0 we
Ap dung tinh chat 11:
D, = x(a; —x)(ay —x) (a,_) ~x) + (- D7" (ay - x) D,_1-
Truy hồi, ta có:
D,-1 = X (ay —X)(ag -X) (a,_9 —x) + (-1)"" 7(a,_) — x) Dy_e
Tiếp tục truy hồi ta có:
Trang 35Đưa thừa số chung của từng cột ra ngoài dấu định thức: 1 1 1 ; Xo Xa Xã ves Xn 2 2 2 2 Dạ = (Xa —XỊ)(Xạ -— X). (X, — Xp) | Xf Xã X Xp xg? xg? xp? ah? = (X¿ —Xị)ŒXs — XỊ) (n —XỊ) Dạ
Tương tự như trên:
Dy-1 = (%3 — Xa)(X¿ — Xa) @n —Xg)Dn -a Tiếp tục truy hồi ta có:
Dạ =[ŒXa — x1 (xg — Xị) GŒn — Xị)|[@Œ - Kg (Kq — xa) ÓX„ — Xa) |x
Trang 36Khai triển theo cột 1 và rút (x — 1) ở cột cuối ra làm thừa số chung, ta được: 1 0 0 1
1 C3 Oo x
Das =(x-1)]1 Ch C2 x? =(x-1)Dạ
1 Cl CL oe xml
Tiếp tục truy hồi ta có: D„¿¡ =(x—-1)D,= & —1)°D,, = =D"
BÀI TẬP LƯỢNG GIÁ Hay chon két qua ding: 1 2 8 Tính định thức: Dạ=|1 3 6 9 24 Kết quả: A 3 B -3 C 18 D Kết quả khác ÔO 1 1 1 Tính định thức: D, = 1011 1 1 0 1 1 1 1 Ô Kết quả: A Dạ=-3 B D,=3 C D,=-1 D Kết quả khác 1x x Giải phương trình: |a 1 x|=0 be 1 Kết quả: A -Néua z 0;e z 0;b tùy ý thì phương trình có nghiệm x= Ì hoặc x=Ủ; a C
- Nếu a # 0;c= 0; b tùy ý thì phương trình có nghiệm x = *
Trang 374
38
Trang 38Bài 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỤC TIÊU
Học xong bài này sinh viên có khả năng:
1 Tìm được hạng của ma trận bằng các phương pháp
2 Trinh bay được các dạng hệ phương trình thường gặp như hệ phương
trình tuyến tính tổng quát, hệ phương trình Cramer, hệ phương trình thuần nhất :
3 Trinh bày được điều biện để hệ phương trình đã cho có nghiệm, uô số
nghiệm hay uô nghiệm
4 Giải được các hệ phương trình nêu trên
1 KHÁI NIỆM HẠNG CỦA MA TRẬN
1.1 Định nghĩa 1
Cho ma trận Ä = [Aj]uxn
Ma trận vuông cấp p (p là số nguyễn dương; p < min(m, n)) suy từ ma trận A
bằng cách bỏ đi m — p hàng và n - p cột gọi là ma trộn con cấp p của A
Trang 39Các ma trận con cấp 2 là:
1 -3| [-1 4 2 1| |1 1] 7
Cho A = [ailm.n Hạng của ma trận À là cấp cao nhất của định thức con khác
không của A Ky hiệu là p(A)
Ta có: 0 < p(À) < min(m,n)
1.2 Định nghĩa 2
Để tìm hạng của ma trận Á ta có thể làm như sau: — Tính các định thức con từ cấp 2 trở đi
- Giả sử tìm được một định thức D # 0 cấp r của A, khi đó tính tiếp định thức cấp r + 1 khác bao quanh D, nếu nó bằng 0 thì tính các định thức r + 1 khác, nếu tất cả các định thức cấp r + 1 đều bằng 0 thì hạng của Á bằng r
Tuy nhiên người ta thường tìm cách khác
Chú y: Ta luôn có p(A") = p(A)
1.8 Phương pháp tìm hạng của ma trận
1.8.1 Các phép biến đổi sơ cấp của ma trận
Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây về ma trận được gọi là các phép biến đốt sơ cấp về hàng (hay cột) của ma trận:
- Nhân tất cả các phần tử của một hàng (một cột) với một số khác không; ~ Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau;
- Cộng vào một hàng (một cột) các phần tử tương ứng của hàng khác (cột khác) Định lý: Các phép biến đối sơ cấp uê hòng (uê cột) không làm thay đổi hạng của ma trún
1.3.2 Ma trận bậc thang
Định nghĩa: Ma trộn bậc thang là ma trận có tính chất sau:
~ Các hàng khác không (hàng khác không là hàng có phần tử khác không) luôn ở trên các hàng không (hàng không là hàng có tất cả các phần tử bằng không)
- Với hai hàng khác không liền kề thì phần tử khác không ở hàng dưới bao gid cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên
Trang 40Khi thực hiện một số phép biến đổi sơ cấp có thể đưa ma trận bất kỳ về ma
trận bậc thang
Định lý: Hạng của ma trận bộc thang bằng số hàng khác không của nó
Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp, ta biến đổi ma trận đã cho về ma trận dạng bậc thang để tìm hạng của ma trận đó: Ví dụ 1: Các ma trận sau là ma trận đạng bậc thang: 1 -38 0 4 ` 1 -3 0 4 1 2 3 A=l0 0 1 2 B=|0 0 1 2 C=|0 4 6 0 0 05 0 0 00 0 0 6 va p(A) = 3 ; p(B) = 2; p(C) = 3 Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận: 1 -3 4 2 1 -3 4 2 1-3 4 2 A=l2 1 1 4|¬|0 7 -? 0 >!10 7 —7 0 -1 —2 1 -2 0-5 5 O 0 0 0 0 Vay: p(A) = 2 Ví dụ 3: Tìm hạng của ma trận: F1 5 8 4 [fl 5 3 4| 2 -l1 -1l 3 0 -11 -7 -5 B= > 0 1 3 5 0 1 ä ð |-4 14 12 4 |0 34 24 20| 1 5ã 8 4 15 8 4 1 5 3 4 QO -11 -7 -5 0 1 3 5 0 1 3 5ð > > > 0 1 3 5 0 0 26 50 0 0 18 25 lo 17 12 10 |0 0 -39 -75| |0 0 0 0 Vay: p(B) = 3 Vi du 4: Tim ma tran nghịch đảo của ma trận: A= He be oun œ ©2 C2
Giải: Ta có: det(A) = —1 # 0, có thể tìm ma trận nghịch đảo theo cách 2 (bằng
phương pháp biến đổi sơ cấp của ma trận) hay còn gọi là phương pháp Gauss-Jordan: