së gi¸o dôc ®µo t¹o qung ninh kú thi häc sinh giái cÊp tØnh m«n To¸n líp 9 n¨m häc 2012 2013 Thêi gian lµm bµi 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1 Rót gän biÓu thøc M = víi x ( , x < 3 Bµi 2 G[.]
kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp năm học 2012-2013 Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Rút gän biĨu thøc M = víi x , x < - Bài Giải phơng trình: Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đờng thẳng (dm) xác định phơng trình: (m-1)x + (m+1)y = với m tham số Tính khoảng cách từ điểm gốc toạ độ O đến đờng thẳng (dm) Bài Cho đờng tròn (O; R), dây BC cố định (BC < 2R) Điểm A di chuyển cung lớn cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đờng cao BD CE tam giác ABC, chúng cắt t¹i H Chøng minh: CH.CE + BH.BD = BC2 Chứng minh đờng thẳng qua A vuông góc với DE qua điểm cố định Bài Tìm tất số nguyên dơng x, y, z thoả mÃn đồng thời điều kiện : x + y + z > 11 vµ 8x + 9y + 10z = 100 Bài Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc F(x) = x - 2x3 + 3x2 2x + víi x R HÕt - híng dÉn chÊm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh môn toán lớp năm học 2012-2013 Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm B ài 3,5 điể m Với x < -3, cã: x+3 + = ( +2 vµ 6-2x + =…= Tõ ®ã suy M = = + ) (2 / + hay M = ) 1,0 đ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ B ài 3,5 điể m 1,0 đ Đặt = a, = b, ta cã hÖ: a - b = 1; a3 - 2b3 = 2,0 đ Giải hệ trên, tìm ®ỵc b = 0, a = 0,5 ® Tõ tìm đợc nghiệm x =1 Vậy phơng trình có nhÊt nghiƯm x =1 Chó ý: HS cã thĨ giải bẳng cách lập phơng vế, nhng 1,25 đ biến đổi ph/tr có phép biến đổi không tơng đ0,5 đ ơng nên thí sinh không thử lại trớc kết luận nghiệm ph/tr đà cho trừ 1,5 điểm B * Với m = 1, (dm) có ph/trình y = => đờng thẳng // ài với Ox, cắt Oy điểm có tung độ y = => khoảng 0,5 đ cách từ điểm O đến (dm) = điể * Víi m = -1, (dm) cã ph/tr×nh x = -1 => đờng thẳng // 0,5 đ m với Oy, cắt Ox điểm có hoành độ độ x = -1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = 0,5 đ * Với m 1, tìm đợc (dm) cắt Ox điểm A( /(m-1); 0) cắt Oy điểm B(0; ( /(m+1)) Trong OAB vuông O, kẻ đờng cao OH, có OA= /(m-1) , OB = /(m-1) , d(O; dm) = OH = OA.OB/AB = OA.OB/ từ tính đợc OH = víi mäi m 1 VËy OH = víi mäi m B Gäi K lµ giao cđa AH víi BC, suy AK BC K B ài C 4.1 Chứng minh đợc: CH.CE = CK.CB; BH.BD = BK.BC 2,5 Suuy ra: CH.CE + BH.BD = CK.CB + BK.BC = BC(CK + BK) ®iĨ = BC2 m B Kẻ Ax tiếp tuyến với đờng tròn (O; R) A ài Có ABC = EDA; ABC = CAx 4.2 => EDA = CAx => Ax // ED 2,5 đờng thẳng At qua A vuông góc với DE phải điể vuông góc với Ax m suy At qua tâm O đờng tròn (O; R) điểm cố định (đpcm !) 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 1,5 ® 0,5 ® 1,0 0,5 0,5 0,5 ® ® đ đ Hình vẽ 4: A E x D O B Bài H K C Sơ lợc lời giải Cho ®iĨm B Cã: 8x+8y+8z < 8x+9y+10z =100 => x+y+z < 100/8 < 0,5 đ ài 13 0,25 đ cïng víi gi¶ thiÕt, cã 11< x+y+z < 13, nhng x+y+z Z ®iĨ => x+y+z = 12 0,5 ® m 0,25 ® Ta cã hÖ: x+y+z = 12 (1); 8x+9y+10z = 100 (2) Nh©n vÕ cđa (1) với trừ vế-vế (2) cho (1), đợc: 0,25 ® 0,25 ® y+2z = (3) Tõ (3) suy z = (v× nÕu z ≥ y => y+2z 4, mâu thuẫn) Với z = 1, tìm đợc y = x = Thử lại, thấy Vậy có nhÊt bé x = 9, y = vµ z = thoả mÃn B Biến đổi đợc F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + = (x2 - x + 1)2 µi +1 = ((x-(1/2))2 + 3/4)2 + víi x R ®iĨ Do (x-(1/2))2 víi xR =>F(x) =((x-(1/2))2 +3/4)2 25/16 m víixR F(x) = 9/16 x = 1/2 VËy F(x) nhá nhÊt = 25/16 C¸c chó ý chÊm: 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 ® ® ® ® ® Hớng dẫn chấm trình bày sơ lợc cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác đợc điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết nhng không đợc vợt số điểm dành cho câu phần Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhng không dới 0,25 đ phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần đà chấm, không làm trßn