DE KSCL HOC SINH GIOI MON TOAN 9 2012 2013

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng.. Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A.[r]

TRƯỜNG THCS QU¶NG MINH ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI KHỐI NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 150 (không kể thời gian giao đề) Nhận xét giáo viên Họ và tên: ……………………… Lớp … Điểm Câu 1: Giải các phương trình sau: 2 a) x  x  x  x  12 b) x  x  2 x  c) x    x x  x  18 d) x  5x  8x  0 1   2 Câu 2: a) Cho biết a b c và a  b  c abc ; Tính giá trị biểu thức: b) Cho x ab  A 2011  1  a  1 b  2 1   a2 b2 c2 2 ; y a  b  b  a ( Với ab > 0) Hãy tính y theo x Câu 3: 3 Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn điều kiện:  x  y    y  z    z  x  210 Hãy tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ tổng x y  y z  z x Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Gọi M là điểm di động trên cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh rằng: a) OA.OB = OC.OH; b) Góc OHA có số đo không đổi; c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi Câu 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ cho n  1;6n  1; 20n  là các số chính phương ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Híng dÉn chÊm ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI KHỐI NĂM HỌC: 2012 – 2013 m«n: TOÁN Câu (2 đ) Nội dung trình bày Điểm 2 a) Đặt x  x  t (1), ta có PT t  t  20 0 giải PT tìm t sau đó thay vào (1) ta x = - 1; x = b) Đưa PT dạng:   x    x  0  x 2 0,5 0,5 0,5 VT : x    x 2 VP : x  x  18 2  VT VP 2  x 2 c) Nhân vế PT với 22; sau đó đặt t = 2x ta có: t3 – 5t2 + 16t - 12 = 0,5 t 1  x  giải PT ta có (2đ) 1   2  a b c a)Từ GT:  1  1 1  a b c      4       4 a b c  a b c  abc  0,5 1 1 1    4    2 a b c a b c (vì a  b  c abc ) Vậy A 2011  1   a b c 2011  2013 0,5 0,5 2 2 b) Ta có x  y 1  y x  ab > nên x > và y 0 suy x2 – > Vì vậy: y  x  a > 0, b > 0,5 y  x  a < 0, b < (2đ) Đặt: x – y = a; y – z = b; z – x = c; đó a, b, c là các số nguyên và a + b + c = suy c = - (a + b) 0,5  a  b3  c3  3ab  a  b  3abc (1) 3 Theo (1)  210  x  y    y  z    z  x  3  x  y   y  z   z  x  0,5   x  y   y  z   z  x  70 Do 70 phân tích thành tích ba số nguyên có tổng không là ( 2).(- 5).7 nên (x – y), (y – z), (z – x) là các số nguyên thuộc tập hợp   2;  5;7  x  y  y  z  z  x      14 0,5 0,5 Vậy GTLN, GTNN tổng x y  y z  z x và 14 O (2đ) A H M B K C a) BOH đồng dạng COA (gg)  OA.OB OC.OH b) Theo phần a ta có OA.OB OC OH  OA OH  OC OB (1) 0,5 0,25 OHA và OBC có góc O chung (2) Từ (1) và (2) OHA đồng dạng với OBC (cgc)  OHA OBC (không đổi) 0,5 c) Vẽ MK vuông góc BC BKM đồng dạng BHC (gg)  BM BH BC.BK (3) 0,25 CKM đồng dạng CAB (gg)  CM CA BC.CK (4) 0,25 Cộng vế với vế (3) và (4) ta có BM BH  CM CA BC (không đổi) 0,25 Chứng minh nhận xét sau: (2 đ) - NX1: Không có số chính phương nào chia cho dư 2; 0,5 - NX2: Một số chính phương lẻ chia cho luôn có số dư là (HS chứng minh NX cho 0,25đ) -Nếu n 3k  1 k  N  thì n + = 3k + không là số chính phương ( NX1) -Nếu n = 3k + thì 20n + = 60k + 41 không là số chính phương (NX1) Suy n chia hết cho (1) Theo NX2 vì 6n + là số chính phương lẻ nên 6n + chia cho dư 1, đó 6n chia hết cho  3n4  n4  n  là số chính phương lẻ  n  chia cho dư  n8 (2) 0,5 Vì (3; 8) = nên từ (1) và (2) suy n24 *Nếu n = 24 thì 20n + = 481 không phải là số chính phương 0,5 *Nếu n = 48 thì n + = 49 = 72 6n + = 289 = 172 20n + = 961 = 312 n = 48 là số nguyên dương nhỏ thỏa mãn đề bài 0,5