SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÚ YÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS Năm học 2012 – 2013 Môn thi Toán Thời gian 150 phút ( Không kể thời gia[.]
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS PHÚ YÊN Năm học : 2012 – 2013 Mơn thi : Tốn Thời gian : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Khơng kể thời gian phát đề) (Đề thi có trang) Họ tên thí sinh Số báo danh Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho b) Tính giá trị biểu thức: c) Cho Chữ kí So sánh A B? Chứng minh rằng: Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N a) Chứng minh : b) Xác định vị trí điểm Q để Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho b) Tính giá trị biểu thức: c) Cho So sánh A B? Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có : Mà Nên hay A > B b) Tính giá trị biểu thức: c)Cho Chứng minh rằng: Mình chưa biết giải, bạn biết giúp Nhưng kiểm tra thấy đề khơng Cho Thì ( Thỏa mãn đẳng thức) Nhưng Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : ĐKXĐ : Đặt GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Vậy Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : * Điều kiện xác định : Nếu : PTVN Nên hệ PT ( I ) vơ nghiệm Nếu Chia vế phương trình (1) cho Đặt + Với Ta có : Thay vào (**) Ta có : GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Với ( thỏa mãn ĐKXĐ) Với + Với ( thỏa mãn ĐKXĐ) Thay vào (**) Ta có : : Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm : Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N A c) Chứng minh : M d) Xác định vị trí điểm Q để GIẢI: Gọi N P Ta có: (1) Mặt khác : Áp dụng định lí Talet Ta có: (2) Vì MI // AC nên Vì B H Q (3) (g-g) mà nên (4) Từ (1), (2), (3) (4) Suy : Hay b) Từ câu a Ta có : GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin I C TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số khơng âm Ta có : A Dấu “ = ” xảy CI = IH = HB Đẳng thức xảy Q trung điểm BC N M P B H Q I C Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Giải: Cách vẽ: + Vẽ phân giác cắt AB E Đường phân giác đường thẳng vng góc với AB E cắt I Ta có : đường tròn tiếp xúc với AC; DC (O) Thật : Hạ Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác) Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC IECF hình vng Chứng minh: + Chứng minh ba điểm B; F G thẳng hàng Ta có : cân I nên Xét ( Tính chất góc ngồi) = Nên ba điểm G, F B thẳng hàng ( tia GF GB trùng nhau) + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng Nên (1) +Áp dụng tính chất tiếp tuyến Ta có : (2) GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ( g-g) Mặt khác : (3) Từ (2) (3) Suy : Từ (1) (4), suy : BD = BE (4) D G F I A P E C B O Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : Giải: Từ * Nếu x = ; Nếu y = * Nếu Thì ( *) Đặt Thì Giải phương trình theo biến t Ta có : Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ) Thì Nên giá trị nhỏ P = – xy = xy = ( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư “ tailieu20112012@gmail.com” ) GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin