de thi hoc sinh gioi mon toan 9

Câu 6(2đ): Chứng minh rằng tích của một số chính phương và một số đứng trước nó chia hết cho 12.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THỜI GIAN 150 PHÚT

Năm học 2009 - 2010

Câu 1(4đ): Giải hệ phương trình sau:

a)

7

2

x y x y

x y x y

     



    



b)

( 1) ( 1)

1

x y y x xy

x y y x xy

     



    



Câu 2(3đ): Giả sử x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức

1 1

x y z

P

x y z

     

Câu 3(3đ): Cho a, b, c > thỏa mãn điều kiện

1 1

2 1a1b1c

Chứng minh rằng:

1 abc

Câu 4(4 đ): Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm), C điểm đường tròn tâm M bán kính MA nằm đường trịn (O) Các tia AC BC cắt đường tròn (O) P Q Chứng minh PQ đường kính đường trịn (O)

Câu 5(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) d tiếp tuyến (O) C Gọi AH, BI đường cao tam giác

a) Chứng minh HI // d

b) Gọi MN EF hình chiếu đoạn thẳng AH BI lên đường thẳng d chứng minh MN = EF

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2009 - 2010

Câu Đáp án Thang điểm

1

a)

7 5(1)

2 1(2)

x y x y

x y x y

            

Đặt u = 7x y , v = 2x y (u0,v0)

Ta có

5 (*) u v

v x y

  



   

Do u2 – v2 = (7x + y) – (2x+y) = 5x

Mà u + v = nên u – v = x Do u =

5 x

, v =

5

x



Từ phương trình thứ hai (*) ta y = v + x – =

5 2 x x x     

Thay y =

3 x

vào phương trình (2) ta

1 3 2 5

19 2 x x x x x x x x                

Với x = ta y = 2; x = 19 ta y = 11

Thử lại hệ phương trình ta hệ có nghiệm (1;2)

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 b)

( 1) ( 1) (1)

1 (2)

x y y x xy

x y y x xy

            

Điều kiện x1,y1

Xét phương trình (2) áp dụng bất đảng thức Cơ Si ta có:

( 1) ( 1).1

2

x y xy

x y x y    

(3)

( 1) ( 1).1

2

y x xy

y x y x    

(4) Vậy x y1y x1xy

Dấu “=” xảy

1 1 y x         x y   

Ta thấy x = y =2 củng thỏa mãn phương trình (1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;2)

2

Ta có

1 1

(1 ) (1 ) (1 )

1 1

P

x y z

     

  

1 1

3 ( )

1 1

P

x y z

      

Mặt khác, với x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cơ Si ta có

3 x y z   xyz,

1 1 x y z xyz

1 1

(x y z)( ) 3xyz

x y z xyz

      

Dấu = xảy x = y = z Ta có

1 1

1 1 ( 1) ( 1) ( 1) x y z  x  y  z

1 1

1 1

x y z

   

  

Vậy

9 3

4 P  

1 1

3

1

4

x y z

P x y z

x y z

     

         



Vậy P đạt giá trị lớn

3 P

tại

1 x  y z

0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5

0.25

3

Ta có:

1 1

(1 ) (1 )

1a   1b   1c

2

1 1 (1 )(1 )

b c bc

a b c b c

   

    

Vậy

1

1 (1 )(1 ) bc

a  b c

  

Tương tự:

1

1 (1 )(1 ) ac

b a c

  

1

1 (1 )(1 ) ab

c a b

  

Nhân ba bất đẳng thức ta được:

1

(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) abc

a b c  a b c

     

8abc

 

0.5 0.5 0.5

0.25 0.25

4

C

P Q

O M

B A

0.5

Để chứng minh PQ đường kính đường trịn (O), ta cần chứng minh ba điểm P, Q, O thẳng hàng

Trong đường trịn tâm M ta có:

 2

AMC ABC (góc tâm chắn cung AC)

Trong đường trịn tâm O ta có:

 2

AOQ ABQ (góc tâm chắn cung AQ)

Suy AMCAOQ (1)

Chứng minh tương tự ta có BMC BOP (2)

Tứ giác MAOB có A B  900

  1800 AMB AOB

   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

   

POQ POB BOA AOQ  

(BMC AMC )BOA

AMB AOB 1800

Suy P, Q, O thẳng hàng

Vậy PQ đường kính đường trịn (O)

5

x

d

M F

N E

A

I

H

C

B 0.5

a) Chứng minh HI // d

Gọi Cx tiếp tuyến chắn cung AC

Tứ giác ABHI nội tiếp nên ABC HIC (Cùng bù với góc HIA )

Mà ABCACx (cùng chắn cung AC)

  //

HIC ICx HI d

  

0.25 0.5 0.25 0.5 b) Chứng minh MN = EF

d // HI  IF=HN

AMCH nội tiếp  HMNHAC

BICE nội tiếp  IEF IBC

Mà HAC BIC  nên HMNIEF  HMN IEF

EF MN

 

0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 Số phương n2(n Ỵ Z) số đứng trước n2-1

Ta có (n2-1)n2 =(n+1)(n-1)n2= (n-1)n.n(n+1)

Tích có số nguyên liên tiếp nên chia hết cho

Mặt khác (n-1)n hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Và n (n+1) chia hết cho

Nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho

Mà (3;4) = nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 12 Vậy (n2-1)n2 chia hết cho 12

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Người đề