Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng đ ường thẳng vuông góc với CD tại I đi qua một điểm cố định khi cát tuyến CAD thay đổi.. c Trong số những cát tuyến kẻ qua A cát tuyến nào có độ dài lớn nhất?..[r]
(1)Phòng GD & ĐT Đức Cơ Trường THCS Trần Quốc Toản ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN Năm học 2009 – 2010 Thời gian : 150 phút Bài 1: (4 điểm) a) (2 điểm) Hãy phân tích đa thức x + 98x4y4 +y8 thành tích hai đa thức với các hệ số nguyên 3 : b) (2 điểm) Chứng minh : (a + b + c)3 = 27abc a b c = Bài (3 điểm) Cho a >0; b > Rút gọn biểu thức sau: M a 9b ab a 3 b ab b Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A có BC = a Các điểm D; E di chuyển trên các cạnh AB; AC cho AE = BD Tính độ dài nhỏ DE Bài 4: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau: x 3 | y |0 | x | y 0 Bài 5: (5 điểm) Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt A và B Một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) C và đường tròn (O’) D Gọi M và N là trung điểm AC và AD a) Chứng minh : MN = CD b) Gọi I là trung điểm MN Chứng minh đ ường thẳng vuông góc với CD I qua điểm cố định cát tuyến CAD thay đổi c) Trong số cát tuyến kẻ qua A cát tuyến nào có độ dài lớn nhất? (2) ĐÁP ÁN + THANG ĐIỂM Bài 1: (4 điểm) a) (2 điểm) Ta có: x + 98x4y4 +y8 = (x4)2 + 2x4y4 + (y4)2 +96x4y4 = (x4 + y4)2 + 16x2y2(x4 + y4) + 64x4y4 - 16x2y2(x4 + y4)+ 32x4y4 = (x4 + y4+ 8x2y2)2 - 16x2y2(x4 + y4 - x2y2) = (x4 + y4+ 8x2y2)2 – (16x6y2 - 32x4y4 + 16x2y6 ) = (x4 + y4+ 8x2y2)2 – (4x3y - 4xy3)2 = (x4 + 4x3y + 8x2y2- 4xy3 + y4) (x4 - 4x3y + 8x2y2 + 4xy3 + y4) b) (2 điểm) 3 3 3 Theo giả thiết ta có: a b c = => a b c 3 Nâng lên luỹ thừa bậc ba ta được: a b ab ( a b ) c 3 3 Hay a + b + c = -3 ab ( a b ) 3 abc Suy ra: (a + b + c)3 = 27abc Bài (3 điểm) Ta có: a + 9b + ab = a + 9b + ab ab = ( a b ) (2 ( a b ) (2 ab ) Nên M = ( a b ) (2 = ( a b ) (2 = a b 2 ab ) ab )2 b ab ) b ab b) Vậy M = ( a Bài 3: (4 điểm) Đặt AB = AC = c BD = AE = x Áp dụng định lí Pitago vào tam giác ADE vuông A ta có: DE2 = AE2 + AD2 = x2 + (c - x)2 = 2x2 – 2cx + c2 c = 2(x - Ta lại có : )2 c + x E D x B a (1) AB2 + AC2 = BC2 c Từ (1) và (2) => DE2 = 2(x - A )2 a2 => 2c2 = a2 => c2 = (2) 2 a a a + Do đó: DE2 => DE C (3) c Xảy dấu đẳng thức : x = a Như MinDE = D là trung điểm AB và E là trung điểm AC Bài 4: (4 điểm) Giải hệ phương trình : x 3 | y |0 (1) (I) | x | y 0 (2) *) Với x 0; y 0 Hệ (I) trở thành: x y 2 x y y 3 x y 3 x 0 x 0 *) Với x 0; y 0 Hệ (I) trở thành: x x y x x y 3 y 3 x y *) Với x 0; y 0 Hệ (I) trở thành: x y y 2 x y 3 x y 3 x 0 x 0 *) Với x 0; y 0 Hệ (I) trở thành: x y y x y x y 3 x 6 x 2 (loại ) (loại) x 0 Vậy hệ có nghiệm : y 3 Bài 5: (5 điểm) Vẽ hình 0,5 đ a) (0,5 điểm) Ta có : MN = AM + AN 1 = AC + AD AC AD CD 2 = C M C' M' A I N' D' N O K B b) (1,5 điểm) Xét tứ giác OMNO’ có : OM CD; O’N CD; IK CD và IA = IN OMNO’ là hình thang và IK là đường trung bình nó nên K là trung điểm OO’ Mà OO’ cố định nên K cố định c) (2,5 điểm) Qua A kẻ cát tuyến C’D’ // OO’ Kẻ OM’ C’D’; O’N’ C’D’ O' D (4) Suy tứ giác OM’N’O’ là hình chữ nhật, nên C’D’ = 2M’N’= 2OO’ Mặt khác ta lại có: CD = 2MN < 2OO’ Do đó: C’D’ > CD Vậy cát tuyến kẻ qua A và song song với đường nối tâm là cát tuyến có độ dài lớn (5)