Bài giảng quy hoạch tuyến tính

C5 =2)5.2()5625.2(−+−= -2.53125=> F5(C5) = 0.004 >0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ]C6 = -2.546875=> F6(C6) = - 0.061 < 0=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.546875; -2.53125 ]C7 = -2.5390625=> F7(C7) = - 0.029 < 0=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.5390625; -2.53125 ]C8 = -2.53515=> F8(C8) = - 0.012 < 0=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.53515; -2.5390625 ]C9 = -2.537106=> F9(C9) = - 0.020 < 0=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.537106; -2.5390625 ]C10 = -2.538084=> F10(C10) = - 0.024 < 0=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.538084; -2.5390625 ]Ta lấy nghiệm gần đúng:ξ= - 2.538084Đánh giá sai số: |α – bn| ≤ bn-an= |-2.5390625 –(-2.538084) | = 9,785.10- 4< 10-3Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10-3a)x3+ 3x2– 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là ( -2.75; -2.5)b)1+x=x1Lời giải :a)x3+ 3x2– 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là [ -2.75; -2.5] x3= 3 - 3x2 (3 - 3x2)1/3Ta nhận thấy | f’(x)|≤ 0.045< 1 nên ta chọn hàm“nội dung được trích dẫn từ 123doc.vn - cộng đồng mua bán chia sẻ tài liệu hàng đầu Việt Nam”

Ch ng 1 BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH

≤ +

0 ,

1 1 4 0 3 0

9 0 2 0 5 0

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

v i tr l ng hi n có là b 1 , b 2 , , b m H s hao phí y u t i ( i=1 m ) cho 1 đ n v s n

ph m j (j=1 n) là a ij Giá 1 đ n v s n ph m j là c j (j=1 n) Hãy l p k ho ch s n xu t trên c s các y u t s n xu t hi n có sao cho t ng giá tr s n ph m l n nh t

(0

)

(1

n j x

m i b x a

j

i j n

j ij

1.1.2 Bài toán v n t i

Có m kho hàng ch a cùng 1 lo i hàng hóa v i s l ng kho i là ai (i=1 m)

ng th i có n c a hàng v i nhu c u c a hàng j là bj (j=1 n) Chi phí v n chuy n 1

đ n v hàng t kho i đ n c a hàng j là cij Hãy l p k ho ch v n chuy n sao cho th a mãn nhu c u các c a hàng và chi phí v n chuy n th p nh t

,

( 0

)

(

)

(

1 1

n j m i x

n j b x

m i a x

ij

j m

i ij

i n

j ij

1.1.3 Bài toán xác đ nh kh u ph n

Có n lo i th c n gia súc, giá 1 đ n v th c n j là c (j=1 n) Gia súc c n m ch t dinh d ng v i nhu c u t i thi u ch t i là b i (i=1 m) Bi t hàm l ng ch t i có trong 1

đ n v th c n j là a ij Hãy xác đ nh kh u ph n th c n cho gia súc sao cho chi phí th p

nh t đ ng th i đ m b o các ch t dinh d ng cho gia súc

(0

)

(1

n j x

m i b x a

j

i j n

j ij

1.2 Bài toán qui ho ch tuy n tính

Xét bài toán

)

(

)

k p i b x a

p i b x a

i j n

j

ij

i j n

j

ij

i j n

≤ + 11 4 3

9 2 5

y x y x

y

A(0,11/4)

B(1,2) d

- Nghi m là đ nh c a đa giác

- N u hàm m c tiêu là f(x,y) = 3x + 4y thì nghi m là c đo n th ng AB

- Giá tr f c a h đ ng m c t ng theo chi u c a pháp vect

2 2 1

y x

y x

y x

Ch ng 2 PH NG PHÁP N HÌNH

2.1 D ng chính t c và d ng chu n t c

2.1.1 nh ngh a

ngh a d ng chính t c là bài toán (d,f) nh sau:

(0

)2()

(1

n j x

m i b x a

j

i j n

j ij

+

=

)

(0

)

(1

n j x

m i b x a x

j

i j n

m j ij i

2.1.2 Các phép bi n đ i

Các phép bi n đ i sau đ đ a bài toán (d,f) b t k v d ng chính t c t ng đ ng

đ gi i, và t đó suy ra nghi m c a bài toán ban đ u

ij x b a

1

= +

n

j

i i n j

ij x b a

c/ N u n xj không ràng bu c v d u thì đ c thay b ng hi u hai n không âm Ngh a là đ t xj =xj’ – xj” v i xj’≥0, xj”≥0

d/ Tr ng h p bi < 0 thì nhân hai v ph ng trình cho -1 có đ c bi>0

V y: M i bài toán quy ho ch tuy n tính đ u có th đ a v bài toán d ng chính t c

t ng đ ng H n n a có th các h s t do b i trong h ràng bu c là không âm

(0

)

(1

n j x

m i b x a

j

i j n

j ij

Tính ch t 1 Bài toán (d,f) ch x y ra 1 trong 3 tr ng h p sau:

Tính ch t 3 N u bài toán (d,f) có nghi m thì có ngh m là ph ng án c b n

hi n trên thu t toán

Ví d 2.1 Xét bài toán (d,f) d ng chu n t c:

=+

−

)41(0

5

43

2

4 2

1

3 2 1

j x

x x

x

x x x

=+

−

)41

(

0

5

43

2

4 2

1

3 2

1

j

x

x x

324

2 1 4

2 1 3

j x

x x x

x x x

⎨

⎧

= + +

= +

−

5

4 3

2

4 2

1

3 2

1

x x

=

3 2 4

3 2 1

2

12

53

2

12

32

x x x

x x x

+

=

)

(0

)

(1

n j x

m i b x a x

j

i j n

m j ij i

=

)

(0

)

(1

n j x

m i b x a x

j

i j n

m j ij i

nh lý 2 ( D u hi u vô nghi m)

N u ∃∆ k >0 và a ik ≤0 ∀i = 1 m thì bài toán vô nghi m

Ch ng minh

Vì ∆i = 0 , ∀i=1 m và ∆k >0 nên có k>m

0

)

(

k j n m

j

x

x

m i a

V y bài toán vô nghi m

0

)

(

s j n m

j

x

x

m i a

H vect liên k t xo là m vect đ n v {A1, A2, …, Am}

V y h vect liên k t x là h con c a {A1, A2, …, Am}U{As}\{Ar}

Gi s h vect liên k t x ph thu c tuy n tính thì h {A1, A2, …, Am}U{As}\{Ar} ph thu c tuy n tính

≠

=

m

r i i i

i A k

i A k

i A k

i A k

Do {A1, A2, …, Am} là h đ c l p tuy n tính nên có ars=0 (mâu thu n)

V y h vect liên k t x là h đ c l p tuy n tính Hay x là ph ng án c b n

B c 2 Ki m tra đi u ki n vô nghi m

* N u ∃∆k >0 và aik≤0 v i m i i = 1 m thì bài toán vô nghi m

'

r i a a

a a a

a

a a

is rs

rj ij ij

rs

rj rj

⎪

⎧b'r =θ

Quá trình này có th mô t nh vi c bi n đ i s c p v hàng trên ma tr n b sung

c a h ràng bu c sao cho vect As tr thành vect đ n v th r, và các vect đ n v khác

=+

++

=+

++

)61(0

363

603

24

523

42

6 3

1

5 3

2 1

4 3 2 1

j x

x x

x

x x

x x

x x x x

−

=

−+

)41(0

132

124 3 2

4 2

1

j x

x x x

x x

x

j

2

x4-1

n

j

i i n j

ij x b a

−

)41(0

108

34

124

2

72

3

3 2 1

3 2 1

4 3 2

1

j x

x x x

x x x

x x x

+

−

=+

++

−

=+

+

−

)61(0

108

34

124

2

72

3

6 3

2 1

5 3

2 1

4 3 2

1

j x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

j

Trong đó x , x là n ph

)

(1

n j x

m i b x a

j

i j n

j ij

(0

)

(1

m n j x

m i b x x a

j

i i n j n

j ij

Bài toán này g i là bài toán m r ng c a bài toán trên, hay bài toán M

V i bài toán M có ngay ph ng án c b n ban đ u v i xn+i(i=1 m) là các n c b n

Dùng thu t toán đ n hình đ gi i

xn+i g i là các n gi

Sau khi gi i bài toán M, có đ c quan h gi a bài toán M và bài toán (d,f) nh sau:

• N u bài toán M vô nghi m thì bài toán (d,f) vô nghi m

• N u bài toán M có nghi m x = (x1, x2, , xn, 0, ,0) thì x = (x1, x2, , xn) là nghi m c a bài toán (d,f)

• N u bài toán M có nghi m x = (x1, x2, , xn+m) và ∃ xn+m)>0 thì bài toán (d,f) vô nghi m

Ti n trình gi i bài toán M là lo i d n các n gi ra kh i t p n c b n cho đ n khi lo i t t

c là b t đ u gi i bài toán g c Nên t đó có th không c n tính cho các c t n gi N u

cu i cùng không lo i đ c các n gi mà nh n giá tr 0 thì bài toán g c c ng có nghi m đây gi s bài toán (d,f) trong ma tr n s li u A không có vect đ n v nào Tuy

nhiên, ch c n thêm m t s (<m) n gi cho đ m vect đ n v

−

≥++

≤

−+

−

)31(0

422

62

624

3 2 1

3 2 1

3 2 1

j x

x x x

x x x

x x x

−

=

−+

+

=+

−+

−

)51(0

42

2

62

62

4

3 2 1

5 3

2 1

4 3 2 1

j x

x x x

x x

x x

x x x x

=+

−+

+

=+

−+

−

)71(0

42

2

62

62

4

7 3

2 1

6 5 3

2 1

4 3 2 1

j x

x x

x x

x x x

x x

x x x x

=++

)31(0

434

4434

3 2 1

3 2 1

j x

x x x

x x x

−+

=+

++

)51(0

43

4

44

34

5 3

2 1

4 3 2 1

j x

x x

x x

x x x x

j

Nghi m bài toán M là X= (1,0,0,0,0)

n gi x5 còn là n c b n nh ng nh n giá tr 0 nên nghi m bài toán g c là x = (1,0,0) và

=++

)31(0

534

4434

3 2 1

3 2 1

j x

x x x

x x x

−+

=+

++

)51(0

53

4

44

34

5 3

2 1

4 3 2 1

j x

x x

x x

x x x x

2.3 Cài đ t thu t toán đ n hình

2.3.1 Khai báo d li u

a) Xem b là c t 0, c là hàng 0 và ∆ là hàng m+1 c a ma tr n s li u a và f(xo

)=a[m+1][0]

v i a[0][0]=0 Các giá tr bi, cj, ∆j và f(x) bi n đ i thao cùng công th c v i aij Ngh a là:

bi=a[i][0], cj=a[0][j], ∆j=a[m+1][j]

Ch c n khai báo m t ma tr n A nh sau:

}

-oOo -2.4 Bài t p

Gi i các bài toán sau b ng ph ng pháp đ n hình

1 f(x) = 7x1 - 5x2 - 3x3 → max

4x + x - 3x 154x + 3x + 5x 12

6 f(x) = -5x1 - 4x2 + 5x3 - 3x4 → max

2x + 4x + 3x x 424x - 2x + 3x 24

7 6 3

Hãy l p k ho ch s n xu t sao cho t ng chi phí th p nh t đ ng th i đ m b o k ho ch

≥+0

24

13

2 , 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

3.1.2 Bài toán đánh giá s n ph m

nghìn s n ph m A và 2 nghìn s n ph m B Hãy đ nh giá tr cho 1 s n ph m A và 1 s n

tri u đ ng/n m và phân x ng II không v t quá chi phí là 15 tri u đ ng/n m, và t ng giá tr s n ph m c a nhà máy l n nh t

153

164

2 , 1

2 1

2 1

y y

y y

y y

x2

(4,3) d

(0

)

(1

n j x

m i b x a

j

i j n

j ij

Cùng v i bài toán (I), xét bài toán (d~

( do tu

)

(

1

m i y

n j c y a

i

j i n

j ji

Bài toán đ i ng u c a bài toán ( D, f ) b t k là bài toán đ i ng u c a bài toán d ng chính t c t ng đ ng v i nó

N u xem (1~) là bài toán g c thì ( 1 ) là bài toán đ i ng u c a nó

V m t hình th c, c p ( 1, 1~) g i là c p bài toán đ i ng u không đ i x ng

Cách thành l p

- Bài toán g c d ng chính t c

- H s hàm m c tiêu c a bài toán này là h s t do trong h ràng bu c c a bài toán kia

- Ma tr n s li u chuy n v cho nhau

- Bài toán đ i ng u là bài toán max và ràng bu c là ≤

−

=++

)31(0

54

32

13 2 1

3 2 1

j x

x x x

x x x

j

Bài toán đ i ng u (d~

, g) g(y) = y1-5y2 max

≤

−

≤ +

do tu y y

y y

y y

y y

2 , 1

2 1

2 1

2 1

3 4

2 3

1 2

(0

)

(1

n j x

m i b x a

j

i j n

j ij

(0

)

(1

n m j x

m i b x x a

j

i i n j n

j ij

xn+i là n ph

( 0

)

(

1

m i y

n j c y a

i

j i n

j ji

( 0

)

(

1

m i y

n j c y a

i

j i n

j ji

Ng c l i n u xem N u xem (~2) là bài toán g c thì ( 2 ) là bài toán đ i ng u c a nó

V m t hình th c, c p ( 2,~2) g i là c p bài toán đ i ng u đ i x ng

Cách thành l p

- H s hàm m c tiêu c a bài toán này là h s t do trong h ràng bu c c a bài toán kia

- Ma tr n s li u chuy n v cho nhau

- Bài toán min ràng bu c là ≥ và bài toán max ràng bu c là ≤

- C hai bài toán đ u có r ng bu c các n không âm

−

−

≥

−+

≥+

−

)31(0

1427

65

4

432

3 2 1

3 2 1

3 2 1

j x

x x x

x x x

x x x

−

≤

− +

−

≤ + +

) 3 1 ( 0

1 4 5 3

2 2 4

3 7 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

i y

y y y

y y y

y y y

i

Nh n xét

3.2.3 S đ tucker

T hai c p bài toán đ i ng u ( 1, 1~) và ( 2,2~) có s đ Tucker đ vi t bài toán đ i ng u

c a bài toán b t k nh sau

−

−

≥

− +

≥ +

−

0 ,

2 2 2 3

5 5

3

4 3 2

3 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x

x x x

x x x

x x x

−

=

− +

−

≤ + +

0 ,

4 2 5 3

1 2 3

2 3 2

2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

y y

y y y

y y y

y y y

3.3 Các nguyên lý đ i ng u

Xét c p bài toán đ i ng u (d,f) và (d~

Có các nguyên lý sau

N u bài toán này có nghi m thì bài toán kia c ng có nghi m và c p nghi m đó tho mãn

đi u ki n cân b ng f min = g max

i n

j

i j ij

b x a y

y b x

j n

j

j i ij

c y a x

x c y

Cùng đi u ki n v i bài toán (2 ) Gi s s n xu t đ c bi s n ph m i (i=1 m) Hãy đ nh

giá tr yi cho m i đ n v s n ph m lo i i (i=1 m), đ đ m b o t ng giá tr s n ph m s n

xu t theo cách j không v t quá chi phí s n xu t là cj (j=1 n) đ ng th i t ng giá tr s n

ph m là l n nh t

Vi t bài toán đ i ng u các bài toán sau Gi i các bài toán đ i ng u b ng ph ng pháp đ n hình D a vào nguyên lý đ l ch bù đ tìm nghi m c a bài toán g c

1 f(x) = 7x1 +15x2 + 5x3 → min

3x - 2x - 4x-x + 4x + 3x -32x + x + 8x 2

Ch ng 4 BÀI TOÁN V N T I

4.1 Bài toán v n t i d ng chính t c

4.1.1 nh ngh a

C n v n chuy n m t lo i hàng hoá t m tr m phát A1, A2, , Amđ n n tr m thu

B1, B2, , Bn L ng hàng c n chuy n đi t ng ng là a1 , a2 , , am ; yêu c u c a các

tr m thu t ng ng là b1 , b2 , , bn Chi phí v n chuy n 1 đ n v hàng hoá t tr m phát

Aiđ n tr m thu Bj là cij Hãy l p k ho ch v n chuy n sao cho t ng chi phí th p nh t và

,

( 0

)

(

)

(

1 1

n j m i x

n j b x

m i a x

ij

j m

i ij

i n

j ij

,

(

ij i j

x neu c u v

n j m i c u v

V y, đ gi i bài toán v n t i c n tìm ph ng án c b n và ki m tra tính t i u qua

h th ng th v

D a vào ý ngh a chung c a bài toán đ i ng u có th xem th v dòng ui là giá tr 1

đ n v hàng t i tr m phát Ai, th v c t vj là giá tr t i tr m thu Bj Công th c (*) mang ý ngh a kinh t là:

Trong m i ph ng án v n chuy n t t nh t thì chênh l ch giá tr hàng t i tr m phát

và tr m thu đ u không v t quá chi phí v n chuy n tr c ti p gi a hai n i Và n u hàng

v n chuy n t A i đ n B j thì giá tr hàng t i B j đúng b ng giá tr t i A i c ng chi phí v n chuy n

,

( 0

)

(

)

(

1 1

n j m i x

n j b x

m i a x

ij

j m

i ij

i n

j ij

• Dây chuy n là dãy ô có d ng: 2 ô liên ti p n m trên cùng 1 hàng hay 1 c t, 3 ô liên

ti p không cùng n m trên cùng 1 hàng hay 1 c t

• Chu trình (vòng) là dây chuy n khép kín

Tính ch t 1 V i b ng phân ph i m x n thì s ô t i đa không t o thành vòng là m+n-1

Tính ch t 2 Có m+n-1 ô không t o thành vòng thì thêm vào 1 ô b t k s ch a 1 vòng

duy nh t và ng c l i b đi 1 ô b t k trong vòng đó s còn l i m+n-1 ô không ch a

Xu t phát t ph ng án c b n ban đ u, dùng h th ng th v ki m tra tiêu chu n

có đ c ph ng án t i u

4.3.2 Xây d ng ph ng án c b n ban đ u

* Nguyên t c phân ph i t i đa

Khi ch n ô (i,j ) đ phân ph i, phân ph i t i đa vào ô (i,j ) là đ t xij = min (ai , bj) Sau khi phân ph i vào ô (i,j), lo i hàng i ho c c t j đã th a mãn nhu c u ra kh i b ng đ n hình Ti p t c phân ph i cho b ng m i, cho đ n khi th a mãn nhu c u c a t t c các tr m

t o thành vòng

* Các ph ng pháp phân ph i

a/ Ph ng pháp phân ph i theo chi phí nh nh t

u tiên phân ph i cho ô có chi phí cij nh nh t

đ n gi n và ít b c l p, các ví d đ c trình bày theo ph ng pháp chi phí nh nh t

cho u1=0 Các th v còn l i đ c tính theo công th c sau

t q= min {xc}, v i xc là xij v i (i,j) ∈ Vch n q g i là l ng đi u ch nh

N u xiojo =q thì ô(io, jo) tr thành ô lo i trong ph ng án c b n m i

V i bài toán suy bi n, l ng đi u ch nh q có th đ t t i nhi u ô, khi đó ch lo i 1 ô, các ô còn l i tr thành “ô ch n 0”

Bi n đ i ph ng án x thành x' theo công th c sau:

x’ ij =x ij + q n u (i,j) ∈V l

x’ ij =x ij - q n u (i,j) ∈ V ch n

4.4.1 Không cân b ng thu phát

N u a≠ b thì bài toán không có ph ng án Tuy nhiên th c t không đòi h i ph i ch h t hàng t các tr m phát m i đáp ng yêu c u các tr m thu; hay trái l i có th l ng hàng các tr m phát không đáp ng đ c yêu c u các tr m thu Khi đó ta thêm tr m thu gi

C c phí các tr m gi b ng không, th ng nh nh t, nh ng v n u tiên phân ph i cho

,

( 0

)

(

)

(

1 1

n j m i x

n j b x

m i a x

ij

j m

i ij

i n

j ij

,

( 0

)

(

)

(

1 1

n j m i x

n j b x

m i a x

ij

j m

i ij

i n

j ij

III v i di n tích theo k ho ch là 15, 30, 30 ha t ng ng Hãy tìm ph ng án phân ph i

đ t tr ng sao cho t ng s n l ng cao nh t đ ng th i đ m b o k ho ch Bi t s n l ng lúa trên t ng lo i đ t cho trong b ng sau (t n/ha)

ây là bài toán v n t i d ng max

fmax=770

Ví d 4.7 Bài toán b nhi m

C n phân n vi c cho n ng i Ng i i làm vi c j thì n ng su t là c ij (i,j=1 n) Hãy phân công vi c cho n ng i đ t ng n ng su t cao nh t

t xij=1 n u ng i i làm vi c j; ng c l i đ t xij=0 Bài toán này còn g i là bài toán quy

ho ch nguyên 0-1 Vì suy bi n nên có thu t toán khác ti n h n

4.4.4 Bài toán xe r ng

bi t c a bài toán v n t i

Ví d 4.8 Công ty v n t i c n hoàn thành h p đ ng ch hàng sau:

K t h p các tr m có ngu n xe (Ga Hà n i, B n xe Kim liên), có th phân ph i l trình t i

u nh sau:

4.4.5 Bài toán ô c m

Do yêu c u k thu t, ph i h n ch không đ c v n chuy n trên m t s tuy n đ ng nào đó Khi đó ta xem c c phí c a ô (i,j) b c m là cij= M khá l n( M ∞) Ti p t c thu t toán th v bình th ng

4.5 Cài đ t thu t toán th v

for ( đem=0; dem<m+n-1; dem++){

for (dem=0; dem<m+n-1; dem++){

for (i=0; i<m; i++)

4.5.5 Tìm vòng đi u ch nh

Ô treo trong t p V là ô m t mònh trên dòng ho c c t

Thu t toán tìm vòng đi u ch nh V duy nh t trên t p S b ng cách xóa t t c các ô treo cho

đ n khi không còn thì t p ô còn l i là vòng V c n tìm

int TimVongDC( )

{

int i,j,done=0,dem;

for (i=0; i<m; i++)

for (j=0; j<n; j++) V[i][j]= S[i][j];

done=1;

// treo tren hang

for (i=1; i<=m; i++){

dem=0; for (j=0; j<m; j++)dem+=V[i][j];

j=0; while (j<n ||!V[i][j]) j++;//di theo hang tim o chan

if (x[i][j]<q){ q= x[i][j]; i0=i; j0=j;}

i=0; while (i<m ||!V[i][j]) i++;//di theo cot tim o le

j=0; while (j<n ||!V[i][j]) j++;//di theo hang tim o chan

Bài gi ng Quy ho ch toán h c Trang 52

120 4 5 2 3

60 1 2 6 2

***********************

Ch ng 5 PH NG PHÁP HUNGARY

pháp Hungary”

5.1 Bài toán b nhi m

C n phân n vi c cho n ng i Ng i i làm vi c j thì chi phí là cij (i,j=1 n) Hãy phân công vi c cho n ng i đ t ng chi phí th p nh t

)

(

1

)

(

n

i

n j ij x

n

j

n i ij x

cách vi t hoán v d ng ma tr n M=(mij)nxn, v i mij=1 khi và ch khi ng i i làm vi c j

nh lý 5.1 N u ma tr n chi phí c a bài toán b nhi m có các ph n t không âm và có ít

nh t n s 0, thì m t ph ng án t i u t n t i n u n s 0 n m trong các v trí các s 1 c a

ma tr n hoán v Pn x n Ma tr n P bi u di n ph ng án t i u