Lý thuyết trường điện từ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY Số tiết: 45 Tài liệu tham khảo Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006 Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995 Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978 Chương MỘT SỐ CƠNG THỨC TỐN HỌC Vector     a  a x , a y , a z   i a x  j a y  ka z     b  b x , b y , b z   i b x  j b y  kb z     c  c x , c y , c z   i c x  j c y  kc z    a.b a x b x  a y b y  a z b z    i j k      a b  a x a y a z  i  a y b z  a z b y   j a z b x  a x b z   k  a x b y  a y b x  bx by bz       a.b  a b cos a , b     a b c  Phương:     c  a, b   Chiều: theo qui tắc vặn nút chai Độ lớn:       c  a b sin a , b          a  b c b. a.c   c a.b     Toán tử nabla        , ,   x  y  z  Gradient  U  U  U gradU .U  i  j k x y z Divergence a y   a a z diva .a  x   x y z Rotary  i    rota a  x ax  j  y ay  k  a z a y   i   z z  y az   a x a z   a y a x   j     k   z  x  x y        Số phức Hàm mũ e z e x iy e x  cos y  i sin y  Hàm mũ hàm tuần hồn có chu kì 2i Thực vậy, ta có e ki cos 2k  i sin 2k 1 Suy e z 2 ki e z e ki e z Công thức Euler eiy = cosy +isiny Khi số phức z = r ei = r(cos +isin) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phư ng trình vi phân từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang cấp hai phương trình bậc hàm chưap hai phư ng trình b ậc hàm chưac nh ấp hai phương trình bậc hàm chưat đ ối với hàm chưai v ới hàm chưai hàm ch ưa biết đạo hàm nó:t đạo hàm nó:o hàm nó:a nó: y  a1 y  a y f ( x ) Trong đó: a1, a2 f(x) hàm biến độc lập x f(x) =  (1) gọi phương trình tuyến tính f(x)   (1) gọi phương trình tuyến tính khơng a1, a2  const  (1) gọi phương trình tuyến tính có hệ số khơng đổi Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (1) Phư ng trình vi phân từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang cấp hai phương trình bậc hàm chưap hai có dạng: n nhấp hai phương trình bậc hàm chưat có dạo hàm nó:ng: y  a y  a y 0 (2) a1, a2 hàm biến x Định lí Nếu y1 = y1(x) y2 = y2(x) nghiệm (2) y = C 1y1 + C2y2 (trong C1, C2 số tuỳ ý) nghiệm phương trình y x Hai hàm y1(x) y2(x) độc lập tuyến tính y  x  const , ngược lại phụ thuộc tuyến tính Định lí Nếu y1(x) y2(x) nghiệm độc lập tuyến tính phương trình vi phân từ trường cấp hai (2) y = C 1y1 + C2y2 (trong C1, C2 số tuỳ ý) nghiệm tổng quát phương trình Định lí Nếu biết nghiệm riêng y 1(x) phương trình vi phân từ trường cấp hai (2) tìm nghiệm riêng y 2(x) phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) cách đặt y2(x) = y1(x).u(x) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng Phư ng trình vi phân từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang cấp hai phương trình bậc hàm chưap hai phư ng trình bậc hàm chưac nhấp hai phương trình bậc hàm chưat đ ối với hàm chưai v ới hàm chưai hàm ch ưa bi ết đạo hàm nó:t đạo hàm nó:o hàm nó:a nó: y  a y  a y f ( x ) (3) Trong đó: a1 a2 hàm biến độc lập x; f(x)  Định lí Nghiệm tổng quát phương trình khơng (3) nghiệm tổng qt phương trình (2) tương ứng nghiệm riêng phương trình khơng (3) Định lí Cho phư ng trình khơng có dạng: n nhấp hai phương trình bậc hàm chưat y  a1 y  a y f1 ( x )  f ( x ) (4) Nếu y1(x) nghiệm riêng phương trìnhm riêng nó:a phư ng trình y  a y  a y f1 ( x ) (5) y2(x) nghiệm riêng phương trìnhm riêng nó:a phư ng trình y  a y  a y f ( x ) (6) y(x) = y1(x) + y2(x) nghiệm riêng phương trình (4) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khơng đổi Phư ng trình vi phân từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang cấp hai phương trình bậc hàm chưap hai có dạng: n nhấp hai phương trình bậc hàm chưat có dạo hàm nó:ng: (7) y  py  qy 0 p, q số Giả sử nghiệm riêng (7) có dạng sử nghiệm riêng (7) có dạng nghiệm riêng phương trìnhm riêng nó:a (7) có dạo hàm nó:ng (8) y e kx Trong đó: k số xác định Suy y ke kx , (9) y k e kx Thay (8) (9) vào (7) ta có e kx  k  pk  q  0 (10) Vì e  nên kx (11) Nếu k thoả mãn (11) y = e nghiệm riêng phương trình vi k  pk  q 0 kx phân (7) Phương trình (11) gọi phương trình đặc trưng phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) phương trình bậc có nghiệm k k2 sau - k1 k2 số thực khác nhau, nghiệm riêng phương trìnhm riêng nó:a phư ng trình vi phân (7) y1 e k x , y e k x (12) Hai nghiệm riêng phương trìnhm riêng (12) độc lập từ trường vìc lậc hàm chưap từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang y1 e  k  k y2 x const (13) Do nghiệm riêng phương trìnhm tổng qt phương trình vi phân (7) làng qt nó:a phư ng trình vi phân (7) y y1  y C1e k x  C 2e k x (14) - k1 k2 số thực trùng nhau: k1 = k2 Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: y1 e k x , y xe k x Nghiệm riêng phương trìnhm tổng quát phương trình vi phân (7) làng qt nó:a phư ng trình vi phân (7) y C1e k x  C xe k x  C1  C x  e k x 1 (15) - k1 k2 số phức liên hợp: k1 =  + i k2 =  - i Hai nghiệm riêng phương trìnhm riêng nó:a phư ng trình vi phân (7)  y1 e   i  x e x e ix  y e   i  x e x e  ix (16) Theo công thức Euler ta cóc Euler ta có eix cos  x  i sin  x e  ix cos  x  i sin  x (17) Suy  y1 e x eix e x  cos  x  i sin x   y e x e  ix e x  cos  x  i sin x  Nếu  y1 (18)  y nghiệm riêng phương trìnhm nó:a phư ng trình vi phân (7) hàm     y y y1  e x cos x y y y  e x sin  x 2i c ng nghiệm riêng phương trìnhm nó:a phư ng trình vi phân (7) độc lập từ trường vìc lậc hàm chưap từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang y1 tgx const y2 (19) (20) Do nghiệm riêng phương trìnhm tổng quát phương trình vi phân (7) làng qt nó:a phư ng trình vi phân (7) y C1e x cos x  C e x sin  x e x  C1 cos  x  C sin x  (21) Chương CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1 Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1 Vector cường độ điện trường  iệm riêng phương trìnhn trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang đư c đặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngi lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngc tác dụng lên điện tích đặt điện trườngng lên điệm riêng phương trìnhn tích đặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt điệm riêng phương trìnhn trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang   F qE (1.1) Hay:  Cđđt  E   F E q (1.2) điểm điện trường đại lượng vector có trị số lực tác dụng lên đơn vị điện tích điểm dương đặt điểm  Lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngc tác dụng lên điện tích đặt điện trườngng đt điểm Q qa đt điểm Q qm Q q   Qq r0 F 4 r (1.3) -  8,854.10  12 F / m - số điện -  - độ điện thẩm tương đối  - r0 - vector đơn vị phương  Hệ đt điểm q1 , q , , q n   n  n q i r0i E  E i   40 i1 ri i 1  r0 i - vector đơn vị phương (1.4)  Trong thực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngc tết đạo hàm nó: hệm riêng phương trình thường cấp hai phương trình bậc hàm chưang dây mả sử nghiệm riêng (7) có dạngnh, mặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt phẳng hay khối hình học, đó:ng hay khối với hàm chưai hình học, đó:c, đó:  r  dl l 4  r l  r   dS S  4 S r2  r   dV V  4 V r2  El   ES  EV 1.1.2 Vector điện cảm (1.5) (1.6) (1.7)  Để đơn giản tính tốn mơi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện cảm  D   D  E (1.8) 1.1.3 Vector từ cảm  Từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang đư c đặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngi tác dụng lên điện tích đặt điện trườngng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngc nó:a từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang lên điệm riêng phương trìnhn tích chuy ểm Q qn đ ộc lập từ trường vìng hay dịng điệm riêng phương trìnhn theo định luật Lorentznh luậc hàm chưat Lorentz    F qv B  Từ trường phần tử dòng điện (1.9)  Id l tạo hàm nó:o đư c xác định luật Lorentznh lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngi định luật Lorentznh luậc hàm chưat thực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngc nghiệm riêng phương trìnhm BVL     dB  Id l r 4r   (1.10) -  4.10  1,257.10  H / m - số từ -  - độ từ thẩm tương đối  Từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang nó:a dây dẫn có chiều dài ln có chiều dài lu dài l   B 4   Id l r  r2 l (1.11) 1.1.4 Vector cường độ từ trường  Để đơn giản tính tốn môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường độ từ trường  H   B H  (1.12) 1.2 Định luật Ohm định luật bảo tồn điện tích 1.2.1 Định luật Ohm dạng vi phân  Cường cấp hai phương trình bậc hàm chưang độc lập từ trường dịng điệm riêng phương trìnhn I chạo hàm nó:y qua mặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt S đặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt vng góc với hàm chưai lượng điện tích qng l ng ệm riêng phương trìnhn tích q chuyểm Q qn qua mặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt S mộc lập từ trường vìt đ n vịnh luật Lorentz thờng cấp hai phương trình bậc hàm chưai gian I  (1.13) dq dt Dấu trừ dòng điện I xem dương q giảm  ểm Q q mô tả sử nghiệm riêng (7) có dạng đần có dạng: y đủa nó: sực tác dụng lên điện tích đặt điện trường chuyểm Q qn độc lập từ trường vìng nó:a hạo hàm nó:t mang điệm riêng phương trìnhn mơi trường cấp hai phương trình bậc hàm chưang d ẫn có chiều dài ln ệm riêng phương trìnhn, ngường cấp hai phương trình bậc hàm chưai ta đưa khái niệm riêng phương trìnhm mậc hàm chưat độc lập từ trường dịng điệm riêng phương trìnhn     J n ev v E (1.14) dạng vi phân định luật Ohm - n0 - mật độ hạt điện có điện tích e -  - mật độ điện khối  - v - vận tốc dịch chuyển hạt điện -  - điện dẫn suất  Dòng điện qua mặt S tính theo     I dI J dS EdS S S (1.15) S  Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, mặt đối diện nối với nguồn áp U, ta có (lưu ý: áp dụng c/t S = L2 R  L   ) S L I EdS ES (L)( EL) LU  S U R (1.16) dạng thông thường định luật Ohm Vì  E  dS chiều dài lu, đặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt  (1.17) RL  - điện dẫn suất có đơn vị 1/m 1.2.2 Định luật bảo tồn điện tích  Điện tích phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh không tự đi, dịch chuyển từ vùng sang vùng khác tạo nên dòng điện  Lượng điện tích khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V lượng điện tích giảm từ thể tích V  Giả sử nghiệm riêng (7) có dạng sử nghiệm riêng (7) có dạng thểm Q q tích V đư c bao quanh lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngi mặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt S, ta có (1.18) Q dV V sau thờng cấp hai phương trình bậc hàm chưai gian dt lư ng điệm riêng phương trìnhn tích V giả sử nghiệm riêng (7) có dạngm dQ I  dQ d  dV dt dt V (1.19)   I JdS (1.20) Mặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt khác S Suy    JdS  t S (1.21) dV V Theo định luật Lorentznh lý OG #    JdS .J dV  t S V dV (1.22) V Suy #  .J  0 t (1.23) Đây dạng vi phân định luật bảo tồn điện tích hay phương trình liên tục 1.3 Các đặc trưng môi trường  Các đặc trưng môi trường: , ,   Các phư ng trình:   D  E   B H  0 (1.24) (1.25) gọi phương trình vật chất  , ,   cường độ trường : mơi trường tuyến tính  , ,   const : môi trường đồng đẳng hướng  , ,  theo hướng khác có giá trị khơng đổi khác nhau: mơi trường khơng đẳng hướng Khi ,  biểu diễn tensor có dạng bảng số Chẳng hạn ferrite bị từ hoá plasma bị từ hoá mơi trường khơng đẳng hướng truyền sóng điện từ  , ,   vị trí : mơi trường không đồng Trong tự nhiên đa số chất có  > mơi trường tuyến tính Xecnhec có  >> : mơi trường phi tuyến  > : chất thuận từ : kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, khơng khí, ebonic, nguyên tố đất  < : chất nghịch từ : khí hiếm, ion Na +, Cl- có lớp electron giống khí hiếm, chất khác Pb, Zn, Si, Ge, S, CO 2, H2O, thuỷ tinh, đa số hợp chất hữu  >> : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim nguyên tố sắt từ không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hoá chất sắt từ lớn độ từ hoá chất nghịch từ thuận từ hàng trăm triệu lần  Căn vào độ dẫn điện riêng : chất dẫn điện, chất bán dẫn chất cách điện hay điện môi Chất dẫn điện:  > 104 1/m,  =  : chất dẫn điện lý tưởng Chất bán dẫn: 10-10 <  < 104 Chất cách điện:  < 10-10,  = : điện mơi lý tưởng Khơng khí điện môi lý tưởng:  =  = 1,  = 1.4 Định lí Ostrogradski-Gauss điện trường  Được tìm thực nghiệm, sở phương trình Maxwell  Thơng lượng vector điện cảm  D qua mặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngt S đạo hàm nó:i lư ng vơ hưới hàm chưang đư c xác định luật Lorentznh lực tác dụng lên điện tích đặt điện trườngi tích phân    E  DdS (1.26) S 10