PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài giảng điện tử PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài giảng điện tử Ngày 6 tháng 12 năm 2016 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 1 / 54 Ta xét bài toán cơ bản về dao động của con l[.]
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài giảng điện tử Ngày tháng 12 năm 2016 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 The motion of a swinging pendulum under certain simplifying assumptions is described by the second-order differential equation d2θ g + sin θ = 0, dt L Ta xét toán dao động lắc đơn L θ where L is the length of the pendulum, g ≈ 32.17 ft/s2 is the gravitational constant of the earth, and θ is the angle the pendulum makes with the vertical If, in addition, we specify xác định phương trình vi phân haiθ(t ) = θ , and its velocity at that the position of the pendulum when thebậc motion begins, 0 point, θ ′ (t0 ) = θ0′ , we have what is called an initial-value problem For small values of θ, the approximation θ ≈ sin θ can be used to simplify this problem to the linear initial-value problem d 2θ g + θ(t sin θ=0 dt L ) = θ , θ (t ) = θ d2θ g + θ = 0, dt L 0 ′ ′ This problem can be solved by a standard differential-equation technique For larger values of θ, the assumption that θ = sin θ is not reasonable so approximation methods must be used A problem of this type is considered in Exercise of Section 5.9 Any textbook on ordinary differential equations details a number of methods for explicitly finding solutions to first-order initial-value problems In practice, however, few of the problems originating from the study of physical phenomena can be solved exactly 259 với L chiều dài lắc, g số hấp dẫn trái đất, θ góc tạo lắc trục thẳng đứng Ta xét vị trí ban đầu lắc bắt đầu dao động θ(t0 ) = θ0 vận tốc ban đầu điểm θ0 (t0 ) = θ00 , ta có tốn giá trị đầu Copyright 2010 Cengage Learning All Rights Reserved May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s) Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Với giá trị θ nhỏ, ta xấp xỉ θ ≈ sin θ, tốn trở thành tuyến tính d 2θ g + θ = 0, dt L θ(t0 ) = θ0 , θ0 (t0 ) = θ00 Bài toán giải phương pháp quen thuộc Tuy nhiên với giá trị θ lớn, ta giả thiết θ = sin θ Để tìm nghiệm cho toán này, ta cần sử dụng phương pháp xấp xỉ nghiệm PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Bài toán Cauchy Ta xét toán giá trị đầu bậc nhất, toán Cauchy, y (t) = f (t, y (t)), a t b, y (a) = α (1) với y = y (t) hàm cần tìm, khả vi đoạn [a, b], y0 giá trị ban đầu cho trước y (t) t = a PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với toán Cauchy (1) ta tìm nghiệm số phương trình đơn giản, cịn trường hợp f (x, y ) có dạng nói chung khơng có phương pháp giải Ngồi ra, trường hợp tìm nghiệm tốn Cauchy (1) q phức tạp người ta dùng Vì vậy, việc tìm phương pháp giải gần tốn Cauchy có vai trị quan trọng thực tế PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài toán Cauchy Cơng thức Euler Cơng thức Euler Để tìm nghiệm gần toán (1) ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với b−a h= n Khi điểm nút t0 = a, tk = t0 + kh, k = 0, 1, 2, , n, tn = b Giả sử y (t) nghiệm toán (1), có đạo hàm đến cấp liên tục đoạn [a, b] Khi với k = 0, 1, 2, , n − theo công thức khai triển Taylor đoạn [tk , tk+1 ], ta có y (tk+1 ) = y (tk ) + y (tk )(tk+1 − tk ) + y 00 (ξk ) (tk+1 − tk )2 , với ξk ∈ (tk , tk+1 ) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài tốn Cauchy Cơng thức Euler Vì y = y (t) nghiệm phương trình (1) h = tk+1 − tk nên ta có y (tk+1 ) = y (tk ) + h.f (tk , yk ) + h2 00 y (ξk ) Bằng cách bỏ phần dư, ta xấp xỉ yk ≈ y (tk ) với k = 1, 2, n, ta có công thức Euler y0 = α yk+1 ≈ yk + hf (tk , yk ), với k = 0, 1, 2, , n − PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 y(t 2) Bài toán Cauchy y(t 1) y(t 0) ! α Công thức Euler y(t 1) y(t 0) ! α Ý nghĩa hình học phương t ! t a! bEuler t ! a t t pháp t tt e 5.3 y Figure 5.3 Figure 5.4 y y" ! f (t, y), y(a) ! α t1 t2 t ! t N a! bt t2 t tN ! b y(b) wN w1 α t0 ! a N y Figure 5.4 y" ! f (t, y), y(a) ! α Slope y"(a) ! f (a, α)Slope y"(a) ! f (a, α) w1 α t tN ! b y y" ! f (t, y), y(a)y(b) !α wN w2 w1 α t y" ! f (t, y), y(a) ! α w2 w1 α t0 ! a t1 t2 t N a! bt t ! t2 t tN ! b t Từ (t0 , y0 ) = (a, α) thuộc đường cong y = y (t), kẻ tiếp tuyến với đường Euler’s method1 wasEuler’s used 0inmethod the first illustration with h = 0.5 to approximate the solution Example used in the illustration with h = 0.5 cong (cóto hệ số góc làtheyinitial-value (a) =wasfproblem (a, α)) first Đường tiếp tuyến tosẽapproximate cắt t =thetsolution the initial-value problem to y1 giá trị gần y (t ) y′ = y − t + 1, 0′ ≤ t ≤ 2,2 y(0) 0.5 1, = 0≤ Tại (t1 , y1 ), ta kẻ đường thẳng vớiy =hệy −sốt +góc f (tt 1≤, 2,y1 )y(0) cắt= 0.5 t = t2 y2 Use Algorithm 5.1 Use with N 2=) 10 to5.1 determine approximations, and compare these and withcompare the giá trị gần yAlgorithm (t with N = 10 to determine approximations, these with the Example t exact values given exact by y(t)values = (t + 1)2 − given by0.5e y(t) = (t + 1)2 − 0.5et Solution With N =Solution 10 we have == 0.2, = have 0.2i, w 0.5,ti and Withh N 10tiwe h 0==0.2, = 0.2i, w0 = 0.5, and PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài tốn Cauchy Cơng thức Euler Ví dụ Sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ nghiệm toán Cauchy y (x) = y − t + 1, t 2, y (0) = 0.5 với n = 10 Tại điểm nút chia so sánh giá trị gần với giá trị xác, biết nghiệm xác toán y (t) = (t + 1)2 − 0.5e t PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài tốn Cauchy Cơng thức Euler Giải 2−0 = 0.2, tk = 0.2k, y0 = 0.5 Với n = 10 h = 10 Cơng thức tính nghiệm gần yk+1 = yk + h(yk − tk2 + 1) với k = 0, 1, , PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 10 / 54