PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER Bài giảng điện tử PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng[.]
PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 NỘI DUNG BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA DÂY BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH L APLACE CHIỀU TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 Bài toán dao động dây Đặt vấn đề Giải phương trình dao động dây phương pháp tách biến Fourier Xét phương trình utt = a2 uxx , É x É L, t > 0, với điều kiên biên hai đầu dây gắn chặt u(0, t) = 0, u(L, t) = điều kiện ban đầu gồm hình dạng ban đầu vận tốc ban đầu u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 Bài toán dao động dây Đặt vấn đề Nghiệm phương trình có dạng u(x, t) = X (x).T (t) Thay vào phương trình dao động dây ta X (x).T 00 (t) = a2 X 00 (x)T (t) Chia vế cho a2 X (x)T (t) ta T 00 (t) X 00 (x) = = −λ, (λ = const.) a2 T (t) X (x) Vế trái phụ thuộc vào t , vế phải phụ thuộc vào x, nghĩa cho dù biến số thay đổi, tỉ số Nó thỏa mãn số −λ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 Bài toán dao động dây Đặt vấn đề Từ ta thu phương trình vi phân sau T 00 (t) + a2 λT (t) = 0, T (t) 6= X 00 (x) + λX (x) = 0, X (x) 6= Các điều kiện biên tương ứng u(0, t) = X (0)T (t) = 0, u(L, t) = X (L)T (t) = Từ suy X (0) = X (L) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 Bài toán dao động dây Đặt vấn đề Giải tốn đơn giản trị riêng: Tìm giá trị tham số λ để X 00 + λX = 0, X (0) = X (L) = có nghiệm khơng tầm thường Phương trình đặc trưng k2 + λ = Với λ < phương trình có nghiệm tầm thường X (x) = Ae với A + B = 0, Ae TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) p − −λL p − −λx + Be + Be p −λL p −λx , = ⇒ A = B = PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 Bài toán dao động dây Đặt vấn đề Với λ = phương trình có nghiệm tầm thường X (x) = A + Bx, với A = 0, A + BL = ⇒ A = B = Phương trình có nghiệm khơng tầm thường λ > Khi p p X (x) = D1 cos( λx) + D2 sin( λx), p X (0) = D1 = 0, X (L) = D2 sin( λL) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 Bài toán dao động dây Đặt vấn đề p p nπ Do D2 6= nên sin( λL) = ⇒ λ = L tốn có nghiệm khơng tầm thường giá trị riêng λ = λn = ³ nπ ´2 L nπx tương ứng Xn(x) = sin L TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Các hàm riêng PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 Bài toán dao động dây Đặt vấn đề Giải phương trình T 00 (t) + a2 λT (t) = 0, T (t) 6= ³ nπ ´2 ta với λ = λn = L nπat nπat Tn (t) = An cos + Bn sin , L L với An, Bn số tùy ý TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 / 49 Bài toán dao động dây Đặt vấn đề Nghiệm riêng phương trình dao động dây cho un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = ¶ nπat nπx nπat + Bn sin sin = An cos L L L µ Nghiệm tổng quát u(x, t) = = ∞ X n=1 µ ∞ P n=1 un (x, t) = ¶ nπat nπat nπx An cos + Bn sin sin L L L TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2016 10 / 49