module con thuần khiết của module nhân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN NHẬT DUY THANH MODULE CON THUẦN KHIẾT CỦA MODULE NHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Đại Số và Lý Thuyết Số Mã số: 60 46 05 HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. TRẦN NGỌC HỘI Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011 Trang 1 LỜI CẢM ƠN Trong những dòng đầu tiên của luận văn này, tôi kính gửi những tình cảm tốt đẹp nhất và lòng biết ơn chân thành, khắc ghi những công ơn giảng dạy của người thầy TS.Trần Ngọc Hội, giảng viên khoa Toán – Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh, người thầy đã dạy dỗ tôi trong những năm ở bậc Đại học, Cao học, và cũng là người truyền niềm cảm hứng trong toán học nói chung và trong chuyên ngành đại số nói riêng cho tôi. Thầy là người hết lòng tận tụy hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi luôn ghi nhớ công ơn của các thầy cô giáo trong Ban Giám Hiệu nhà trường. Ban Chủ Nhiệm khoa Toán – Tin học, Phòng Sau Đại Học của trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên. Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình học tập của tôi. Tôi cũng xin cám ơn tất cả các bạn thành viên trong lớp Cao học Toán Đại số Khóa 18 đã giúp đỡ quá trình học tập của tôi. Lời cuối cùng tôi xin dành tặng tất cả những gì tốt đẹp nhất, lòng biết ơn sâu sắc nhất cho gia đình tôi đã cho tôi có ngày hôm nay. Tôi xin dành tặng tất cả những cố gắng trong học tập, sự thành công này cho ba mẹ cũng như những người thân của tôi như là một sự đền đáp với những gì ba mẹ tôi đã cho tôi để tôi có ngày hôm nay. Thành phố Hồ Chí minh, tháng 6 năm 2011 Tác giả Trần Nhật Duy Thanh 2 2 Mục lục Lời cảm ơn 1 Bảng ký hiệu 3 Lời nói đầu 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, Ideal……………… ………………………… 6 1.2 Module………………… ………………………… 8 1.3 Module dẹt………………………………………….12 1.4 Module con thuần khiết………….…………………13 Chương 2 Module nhân………….………………………….15 Chương 3 Module con thuần khiết của module nhân 3.1 Module con thuần khiết của module nhân………….29 3.2 Vết của module con thuần khiết……………………43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 3 3 Bảng Ký Hiệu Ký hiệu Nội dung [ : ]KL : Thặng dư của K bởi L. annM : Linh hóa tử của mô đun M. ()ann m : Linh hóa tử của phần tử m. ()TM : Vết của module M.  : Tập con.  : Tập con thực sự. I : Căn của ideal I. N : Căn của mô đun con N. 4 4 LỜI NÓI ĐẦU Trong những thập niên cuối của thế kỉ XIX Đại Số Giao Hoán đã có sự phát triển mạnh mẽ và các nhà toán học rất hứng thú với cấu trúc đại số mới đó là module. Có thể nói khái niệm module là mở rộng của khái niệm nhóm Abel và khái niệm không gian vectơ. Nếu xem một vành là một module trên chính nó thì khái niệm module con chính là khái niệm ideal. Sự quan tâm đến lớp module mà trong đó mỗi module con được biểu diễn bởi các ideal là tiền đề cho sự ra đời của module nhân. Cụ thể, khái niệm này đã được A. Barnard nêu ra trong bài báo Multiplication Modules, J. Algebra 71(1981) như sau: M là một R-module nhân nếu mọi module con N của M đều có dạng IM, trong đó I là ideal của R. Nhiều kết quả về module nhân đã lần lượt ra đời. Trong quá trình nghiên cứu người ta thấy module nhân có nhiều tính chất giống như vành. Module nhân được các nhà toán học nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau: Khảo sát sâu hơn về mối liên hệ giữa ideal và module con của module nhân, tìm ra mối liên hệ giữa mô đun nhân và các module khác, …Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết module, khái niệm module con thuần khiết là tổng quát hóa của khái niệm hạng tử trực tiếp. Mô đun con thuần khiết đã được tìm hiểu và nghiên cứu khá nhiều trong thời gian vừa qua. Trong luận văn này, chúng tôi kết hợp hai khái niệm module nhân và module con thuần khiết. Chúng tôi nghiên cứu về module con thuần khiết của module nhân. Các tính chất và đặc tính của module con thuần khiết của module nhân được xem xét đến. Thông qua khái niệm module con lũy đẳng, chúng tôi chỉ ra rằng một module con thuần khiết của module nhân với linh hóa tử (annihilator) thuần khiết là thuần khiết nếu và chỉ nếu nó là nhân và lũy đẳng. Nếu M là module nhân trung thành hữu hạn sinh thì một module con N của M là thuần khiết nếu và chỉ nếu [N:M] là ideal thuần khiết của R. Nếu N là module con thuần khiết hữu hạn sinh của R-module nhân trung thành hữu hạn sinh thì N = eM = eN với e lũy đẳng trong R. Một vài kết quả về căn thức (radical) của module con thuần thiết của module nhân cũng được đưa vào luận văn này. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét vành giao hoán có đơn vị nên khi nói đến vành mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị. 5 5 Dù bản thân đã cố gắng rất nhiều, nhưng do những hạn chế nhất định về khả năng và thời gian nghiên cứu nên luận văn sẽ khó tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2011 Tác giả Trần Nhật Duy Thanh 6 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương này trình bày các Định nghĩa, Bổ đề, Mệnh đề và Định lý cơ bản sử dụng trong các chương sau. Nếu không có giải thích gì thêm thì vành được hiểu là vành giao hoán có đơn vị, các module được hiểu là module trên vành giao hoán có đơn vị. 1.1 Vành và Ideal Định nghĩa 1.1.1. Ideal A của vành R được gọi là một ideal thực sự nếu AR . Định nghĩa 1.1.2. Ideal M của vành R được gọi là một ideal tối đại nếu M là phần tử tối đại tương ứng với quan hệ bao hàm trong tập các ideal thực sự. Nói cách khác, ideal Q của R là tối đại nếu và chỉ nếu : (1) QR và (2) Không tồn tại ideal K nào của R thỏa Q K R . Định nghĩa 1.1.3. Một ideal P của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu : (i) PR và (ii) Với a, b tùy ý thuộc R, nếu ab P thì aP hoặc bP . 7 7 Định nghĩa 1.1.4. Cho I là một ideal của vành R. Ideal I được gọi là ideal lũy đẳng trong R nếu 2 II . Mệnh đề 1.1.5. ([13], Hệ quả 6.3). Nếu I là một ideal lũy đẳng hữu hạn sinh thì Ia với 2 aa . Định nghĩa 1.1.6. Ideal I của vành R được gọi là một ideal chính nếu I được sinh bởi một phần tử aR hay Ia . Định nghĩa 1.1.7. Vành R được gọi là một vành p.p nếu mỗi ideal chính là xạ ảnh, tương đương với nếu mỗi linh hóa tử ()ann a được sinh bởi một phần tử lũy đẳng với mọi aR . Định lý 1.1.8. Cho I là một ideal khác không trong miền nguyên R, khi đó ta có các phát biểu sau là tương đương : (1)   I B IB     với mỗi tập hợp những ideal khác rỗng {}B  của R. (2)   I B IB     với mỗi tập những fractional ideals {}B  của vành R. (3) I khả nghịch. (4) I xạ ảnh. Định nghĩa 1.1.9. Vành R được gọi là một vành chính quy Von Neumann nếu aR thì xR sao cho a axa . Mệnh đề 1.1.10. Nếu R là vành chính quy Von Neumann thì P R là trường với mọi ideal tối đại P của R. Định nghĩa 1.1.11. Cho I là một ideal của vành R. Khi đó ( ) {rad I I r R n      sao cho } n rI , là một ideal chứa I của R và được gọi căn của I. Đặc biệt nếu I=(0) thì 0 = {r R n   sao cho 0} n r  được gọi là nilradical của R. Bổ đề 1.1.12. Cho I là một ideal của vành R. Khi đó I là giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa I trong R. Định nghĩa 1.1.13. Cho I là một ideal của vành R. I được gọi là meet-principal nếu ( [ : ])AI B A B I I với mọi ideal A và B của R. 8 8 Định lý 1.1.14. ([7], Định lý 1). Cho I là một ideal, ta có các phát biểu sau là tương đương : (1) I là hữu hạn sinh và chính địa phương. (2) [ : ] xI Rx I R    . 9 9 1.2 Module Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R-module, G là một module con của M và tập hợp JM với J   . Ta ký hiệu ideal   ,r R rj G j J    của R là [G:J]. Chú ý rằng nếu N là một module con của M sinh bởi J thì [G:J]=[G:N]. Với mM , ta ký hiệu [G:m] thay cho [G:{m}]. Đặc biệt khi G=0, ideal [0: ] { , }J r R rj G j J     , được gọi là linh hóa tử của J và được ký hiệu là ann(J). Tương tự, với mM ta gọi [0:m] là linh hóa tử của m và được ký hiệu là ann(m). Nhận xét 1.2.2. Cho N là một module con của R-module M, ta có ann(M/N)=(M:N). Định nghĩa 1.2.3. Cho M là một R-module. Khi đó M được gọi là module trung thành nếu ann(M)=0. Định nghĩa 1.2.4. Cho R là một miền nguyên, M là một R-module. Khi đó tập hợp   ( ) 0,M m M rm r R      là một module con của M và được gọi là module con xoắn của M. (i) Khi ()M  =M thì M được gọi là module xoắn (torsion module). (ii) Khi ()M  =0 thì M được gọi là module không xoắn (torsion-free module). Định nghĩa 1.2.5. Cho M là một R-module. Nếu có một tập con hữu hạn   1 , , n mm của M sao cho 1 n M Rm Rm   thì M được gọi là module hữu hạn sinh. Khi đó   1 , , n mm được gọi là tập sinh của M. Mệnh đề 1.2.6. Ảnh đồng cấu của một module hữu hạn sinh là module hữu hạn sinh. Hệ quả 1.2.7. Module thương của một module hữu hạn sinh là module hữu hạn sinh. [...]... N là một module con M N là một module con thuần khiết nếu và chỉ nếu dãy 0  N  E  M  E là khớp với mỗi R -module E Ví dụ: Ta có không gian véc tơ con của không gian véc tơ trên trường là thuần khiết Module M cũng là module con thuần khiết của M Chú ý : Nếu ideal I của R là một R -module con thuần khiết thì được gọi là ideal thuần khiết Bất kỳ hạng tử trực tiếp N của R -module M là thuần khiết (được... con thuần khiết, và (2) chính là Định nghĩa của Anderson và Fuller về module con thuần khiết, và (3) cũng chính là Định nghĩa của Ribenboim về module con thuần khiết  Ta có Định nghĩa của Cohn dẫn đến Định nghĩa của Anderson và Fuller (Bổ đề 1.4.2), và dễ dàng ta thấy Định nghĩa của Anderson với Fuller dẫn đến Định nghĩa của Ribenbiom  Và từ Mệnh đề 1.4.5 ta có ba định nghĩa về module con thuần khiết. .. Chứng minh Ta có module xạ ảnh là hạng tử trực tiếp của module tự do (chú ý ở Hệ quả 1.4.1)  18 19 Chương 2 Module nhân Định nghĩa 2.1 Cho M là một R -module M được gọi là module nhân nếu với mỗi module con N của M thì tồn tại một ideal I của R sao cho N  IM Chú ý : Nếu ideal I của R là một R -module nhân thì được gọi là ideal nhân Bổ đề 2.2 Cho M là R -module nhân và N là module con của M Khi đó N ... minh Vì N là module con của module nhân M nên ta có N  IM với ideal I của R Do đó I  [ N : M ] và ta có N  IM  [ N : M ]M  N , vì vậy N  [ N : M ]M  Bổ đề 2.3 Cho M là một R -module nhân, K là một module con của M Khi đó K là module con nhân của M nếu và chỉ nếu N  K  [ N : K ]K với mỗi module con N của M 19 20 Chứng minh Cho A và B là hai R -module, ta chứng tỏ nếu B là module nhân thì ta... tối đại tùy ý của R thì IM là P-xoắn hoặc P-xyclic do đó IM là module nhân  Định lý 2.7 Cho M là một R -module nhân trung thành hữu hạn sinh Cho A là một ideal của R và N là một module con của M Khi đó (i) N là module nhân nếu và chỉ nếu [K:N][N:M]=[K:M] với mỗi module con K của N (ii) I=[IM:M] với mỗi ideal I của R (iii) N là module nhân nếu và chỉ nếu [N:M] là deal nhân (iv) AM là module nhân nếu và... lý 7.14) Bổ đề 1.4.2 Cho M là một R -module Nếu N là một module con thuần khiết M Khi đó (i) IN  N  IM với ideal I của R (ii) rN  N  rM với mỗi r  R Chứng minh Áp dụng ([14], p.155(4.89)) với n=1  Bổ đề 1.4.3 ([11]) Cho M là R -module dẹt Nếu M / N dẹt thì N là module con thuần khiết trong M Mệnh đề 1.4.4 Cho M là một R -module, N là module con của M Nếu M là module dẹt thì ta có những điều sau... 1.2.11 Cho M là một R -module Module con N của M là lũy đẳng trong M nếu N  [ N : M ]N Nhận xét : Khái niệm module con lũy đẳng là mở rộng của khái niệm ideal lũy đẳng trong một vành Thật vậy, cho I là một ideal của R Nếu I là R -module lũy đẳng thì ta có I  [ I : R]I  I 2 Định lý 1.2.12 Cho I là ideal của vành R và N là module con của R -module M Nếu I là ideal lũy đẳng và N là module con lũy đẳng thì... khi M là module dẹt Định nghĩa 1.4.6 Cho I là một ideal của vành R, M là một R -module Ideal vết (trace ideal) của một module M được ký hiệu là T(M) : T (M )   f (M ) f Hom ( M , R ) Mệnh đề 1.4.7 ([26], [27]) Cho M là một R -module. Nếu M là R -module xạ ảnh thì : 1 M  T  M  M  2 annM  ann  T  M   (3)T(M) là ideal thuần khiết Hệ quả 1.4.8 Module xạ ảnh là module con thuần khiết của module. .. là một module con của M Khi đó N là module nhân nếu và chỉ nếu [N:M] là ideal nhân Chứng minh Lấy S  Re và T  R(1  e) do đó R  S  T và M là T -module trung thành hữu hạn sinh Rõ ràng [ N : M ]  Re{[ N : M ]  T } Nếu N là R -module nhân thì N là Tmodule nhân, [ N : M ]  T là ideal nhân của T và từ đó [N:M] là ideal nhân của R Kết quả đã được chứng minh Mệnh đề 2.9 Cho I là một ideal nhân Khi... là module con của M Khi đó do (v) ta có K  N   K  N    [ K : N  ]N      [ K : N ][ N : N ]N  [ K : N ]N  K  N ,  do đó K  N  [ K : N ]N , và từ đó N là module nhân  Định lý 2.15 Cho N (  ) là một tập hợp những module con của R -module M sao cho N    N là module nhân Nếu N  N  là module nhân với mọi  ,    với    , thì tất cả module con N (  ) là module . hai khái niệm module nhân và module con thuần khiết. Chúng tôi nghiên cứu về module con thuần khiết của module nhân. Các tính chất và đặc tính của module con thuần khiết của module nhân được xem. là module nhân trung thành hữu hạn sinh thì một module con N của M là thuần khiết nếu và chỉ nếu [N:M] là ideal thuần khiết của R. Nếu N là module con thuần khiết hữu hạn sinh của R -module nhân. Module M cũng là module con thuần khiết của M. Chú ý : Nếu ideal I của R là một R -module con thuần khiết thì được gọi là ideal thuần khiết. Bất kỳ hạng tử trực tiếp N của R -module M là thuần