Tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM VŨ TH± THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY VÀ DÁNG ĐI U TI M C N NGHI M CỦA H PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Ngành: Tốn giải tích Mã so: 946 01 02 LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC NGƯ I HƯ NG DȀN KHOA HOC GS.TSKH Nguyen Minh Trí THÁI NGUYÊN - 2021 i L I CAM ĐOAN Lu n án hoàn thành hướng dan GS.TSKH Nguyen Minh Trí Tơi xin cam đoan ket trình bày lu n án cơng trình nghiên cáu Các ket chưa tàng cơng bo bat kỳ cơng trình khác Tôi xin chịu trách nhi m ve nhǎng lời cam đoan Thái Nguyên, ngày tháng năm 2021 Tác giả Vũ Thị Thùy Dương ii L I CẢM ƠN Lu n án thực hi n hồn thành khoa Tốn, Trường Đại hoc Sư phạm - Đại hoc Thái Nguyên hướng dan t n tình GS.TSKH Nguyen Minh Trí Tác giả rat may man thay hướng dan giúp tác giả làm quen với vi c nghiên cáu khoa hoc tà tác giả hoc viên cao hoc Tác giả xin bày tỏ lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat tới thay giáo hướng dan Thay t n tình dìu dat ln đ®ng viên, khích l tác giả suot trình hoc t p nghiên cáu Tác giả xin trân cảm ơn Ban giám hi u Trường Đại hoc Sư phạm Đại hoc Thái Nguyên, Ban chủ nhi m khoa Tốn, thay phịng Giải tích, Vi n Tốn hoc tạo moi đieu ki n tot nhat đe giúp tác giả hoc t p nghiên cáu Bên cạnh đó, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới Ban giám hi u, khoa Khoa hoc b® mơn Tốn, trường Đại hoc Công nghi p Quảng Ninh tạo đieu ki n thu n lợi đe tác giả có the nghiên cáu hồn thành lu n án Tác giả xin gải lời tri ân chân thành đen người anh, người thay thá hai, TS Đào Quang Khải, phịng Phương trình đạo hàm riêng, Vi n Toán hoc - Vi n Hàn lâm Khoa hoc Cơng ngh Vi t Nam nhi t tình hướng dan giúp tác giả suot trình hoc t p, nghiên cáu hồn thành lu n án Tác giả xin trân cảm ơn quy NAFOSTED tài trợ cho tác giả suot trình hoc nghiên cáu sinh Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình tác giả, nhǎng người ln u thương, chia sẻ, đ®ng viên giúp tác giả vượt qua moi khó khăn suot trình hoc t p, nghiên cáu hoàn thành lu n án Tác giả Vũ Thị Thùy Dương Mnc lnc L i cam đoan i L i cảm ơn ii Mnc lnc iii Danh mnc ký hi u chfi viet tat v M đau Tong quan lu n án M t so kien thfíc chuan bị 17 1.1 M®t so khơng gian hàm 17 1.1.1 Không gian hàm trơn .17 1.1.2 Khơng gian hàm khả tích .18 1.1.3 Không gian hàm suy r®ng 19 1.1.4 Không gian Besov, không gian Triebel 21 1.1.5 Không gian Sobolev 23 1.1.6 Không gian Lorentz .27 1.2 M®t so tốn tả h phương trình Navier-Stokes 29 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Toán tả Helmholtz-Leray 29 Toán tả Stokes .30 Nảa nhóm Stokes e−tA 32 1.3 Nghi m h phương trình Navier-Stokes 34 iii iv Tính quy dáng u ti m c n nghi m h phương trình Navier-Stokes mien tong quát 36 2.1 Tính quy nghi m yeu cho h phương trình NavierStokes mien tőng quát 37 2.1.1 Đ t toán 37 2.1.2 Các tính chat tốn tả song tuyen tính B(u, v) nảa nhóm Stokes e−tA .38 2.1.3 Tính quy nghi m yeu cho h phương trình NavierStokes mien tőng quát 45 2.2 Dáng u ti m c n nghi m yeu cho h phương trình Navier-Stokes mien tőng quát 52 2.2.1 Các tính chat tốn tả Stokes mien tőng quát 2.2.2 Dáng u ti m c n nghi m yeu cho h phương trình Navier-Stokes mien tőng quát 55 Ket lu n chương 52 60 Dáng u ti m c n nghi m h phương trình Navier-Stokes khơng gian ba chieu 61 3.1 M®t so tính chat nghi m mạnh cho h phương trình NavierStokes không gian ba chieu 62 3.2 Dáng u ti m c n nghi m mạnh cho h phương trình NavierStokes không gian ba chieu 77 Ket lu n chương 82 Ket lu n chung đe nghị 83 Danh mnc công trình cơng bo liên quan đen lu n án 85 Tài li u tham khảo 86 Danh mnc ký hi u N0 T p hợp so nguyên không âm Rd Không gian Euclide thực d chieu |x| chuȁn Euclid phan tả x không gian Rd ǁuǁX Chuȁn u không gian X X∗ Không gian đoi ngau X lim u(x) Giới hạn u(x) uk → u0 {uk} h®i tụ mạnh tới u0 ⟨ x, y⟩ Tích vơ hướng x y ∇u(x) Gradient hàm u(x) div u(x) Div hàm u(x) ∆u(x) Laplace hàm u(x) P Λ˙ Toán tả Helmholtz-Leray C0∞(Ω) Khơng gian hàm trơn có div u = Ω Lp(Ω) H˙ s Không gian hàm khả tích b c p Ω Lp,r B˙ s,p Không gian Lorentz F˙ qs,p Không gian Triebel thuan nhat Toán tả giả vi phân thuan nhat Calderon q q Không gian Sobolev thuan nhat Không gian Besov thuan nhat v M đau Lịch sfi nghiên cfíu lý chon đe tài Các phương trình đạo hàm riêng cő đien xây dựng nghiên cáu chuyên sâu tà đau the k XIX đại di n cho nen tảng kien thác ve sóng, truyen nhi t, thủy đ®ng lực hoc tốn v t lý khác Vi c nghiên cáu toán thực te thúc đȁy nhà tốn hoc tìm tịi áp dụng phương pháp nghiên cáu toán hoc thuan túy đe giải tốn phương trình đạo hàm riêng Đây m®t đe tài lớn có liên quan m t thiet với ngành khoa hoc khác v t lý, hoc, hóa hoc, khoa hoc ky thu t có rat nhieu dụng cho tốn cơng nghi p M c dù lý thuyet ve phương trình đạo hàm riêng trải qua m®t phát trien lớn the k XX van cịn m®t so tốn đen van chưa the giải quyet, chủ yeu liên quan đen ton tồn cục, tính nhat nghi m, đ® trơn dáng u ti m c n nghi m M®t nhǎng dạng phương trình đạo hàm riêng női tieng rat quan tâm nhà toán hoc phương trình Parabolic phi tuyen Nhac đen dạng phương trình Parabolic phi tuyen, không the không nhac đen m®t bảy tốn thiên niên k női tieng, h phương trình Navier-Stokes Nó phương trình mơ tả m®t chuyen đ®ng m®t chat lỏng, ví dụ dòng chảy đại dương, ho c vi c tạo m®t xốy nước nhỏ bên dịng chảy Tà quan điem tốn hoc, van cịn rat nhieu câu hỏi đoi với h phương trình Navier-Stokes chưa có lời giải ton nghi m mạnh tồn cục, tính nhat nghi m yeu, tính quy hay toc đ® h®i tụ nghi m khơng gian ba chieu Chính xác hơn, cho trước m®t giá trị trơn thời điem ban đau, li u nghi m phương trình Navier-Stokes có tiep tục trơn nhat cho moi khoảng thời gian ve sau hay không? Câu hỏi đ t vào năm 1934 J Leray [56, 57] van chưa có câu trả lời Vào the k XIX, toán ton nghi m xuat phát tà v t lý tốn hoc nghiên cáu với mục đích tìm nghi m xác cho phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên, toán ton nghi m xác trường hợp cụ the, ví dụ rat nghi m xác phương trình Navier-Stokes tìm thay ngoại trà m®t so nghi m dàng nghi m toán tuyen tính Câu hỏi ve tính nhat quy cho phương trình Navier-Stokes van m®t 18 toán mở the k này, xem [67] Cho đen van chưa có lời giải ve tính nhat nghi m ngoại trà khoảng thời gian nhỏ người ta đ t câu hỏi li u phương trình Navier-Stokes có thực mơ tả dịng chảy chung hay khơng? Tuy nhiên, ho khơng cháng minh chúng khơng nhat Có the phương pháp sả dụng cho đen chưa phù hợp h phương trình Navier-Stokes can m®t cách tiep c n khác Tính nhat nghi m phương trình nen tảng vi c nghiên cáu tốn chuyen đ®ng phương trình đạo hàm riêng [19] Neu có nhieu m®t nghi m thỏa mãn m®t đieu ki n ban đau người ta nói rang khơng gian nghi m q lớn Tính nhat nghi m có the khôi phục neu loại trà nghi m phi v t lý Chính xác hơn, m®t ket khơng nhat sě mâu thuan với vi c nghiên cáu toán hoc chat lỏng vi c đưa m®t mơ hình phác tạp đe nghiên cáu chuyen đ®ng chat lỏng nhớt thực can thiet [14, 15, 31, 70] Neu toán ve tính nhat liên quan đen khía cạnh dự đốn lý thuyet van đe ton nghi m chạm đen câu hỏi ve tính tự nhat quán mơ hình v t lý liên quan đen phương trình Navier-Stokes, neu khơng có ton nghi m lý thuyet khơng có ý nghĩa Trong the k XX, thay cơng thác tường minh trường hợp đ c bi t, toán ve nghi m phương trình Navier-Stokes nghiên cáu dạng tőng quát chúng Đieu dan đen khái ni m ve nghi m yeu Tuy nhiên, với tốn nghi m yeu, có ton nghi m có the đảm bảo M®t câu hỏi nǎa liên quan m t thiet đen tính nhat tốn hoc chat lỏng tính quy nghi m Các nghi m phương trình Navier-Stokes li u có "bùng nő" thời gian hǎu hạn? Nghi m khoảng thời gian ban đau quy nhat, thời điem T khơng cịn nhat tính quy có the bị mat Người ta có the khȁng định rang bùng nő nghi m khoảng thời gian ban đau khơng xảy ho c sě có khả xảy chuȁn giá trị ban đau tăng lên, ho c bùng nő m®t t p hợp nhỏ với xác suat rat thap Không biet câu trả lời Vi n toán hoc Clay van trao giải thưởng cho vi c giải tốn Như C.L Fefferman [29] nh n xét, bùng nő hǎu hạn phương trình Euler m®t chat lỏng lý tưởng m®t van đe tốn hoc mở đay thách thác P Constantin [18] đe xuat rang vi c bùng nő thời gian hǎu hạn phương trình Euler tốn v t lý quan địi hỏi gradient lớn trường hợp đ® nhớt bang không Ket tot nhat theo hướng đoi với phương trình Navier-Stokes mat đ® trơn thu L Caffarelli, R Kohn L Nirenberg [10, 58] - người cháng minh rang so đo Hausdorff m®t chieu t p hợp điem kỳ dị bang khơng M®t tốn khác liên quan đen h phương trình Navier-Stokes thu hút quan tâm nhà khoa hoc nhǎng năm gan toán ve dáng u ti m c n nghi m thời gian dan đen vơ Bởi biet dáng u ti m c n nghi m, ta có the dự đoán xu the phát trien h tương lai tà có nhǎng đánh giá, đieu chỉnh thích hợp Nói m®t cách đơn giản, có the tóm tat lịch sả nghiên cáu rang có rat trường hợp phương trình Navier-Stokes đ t theo nghĩa Hadamard (ton tại, nhat có tính őn định nghi m) Chȁng hạn, h phương trình Navier-Stokes ton m®t nghi m tồn cục nhat giá trị ban đau ngoại lực đủ nhỏ đ® trơn nghi m tùy thu®c vào đ® trơn dǎ li u ban đau M®t so trường hợp khác liên quan đen so chieu mien xác định Neu so chieu n = toán sě trở nên de dàng nhieu so với so chieu n = hoàn toàn giải được, xem [59, 69] Với n = 3, nhǎng ket đạt ve tính quy dáng u ti m c n nghi m van cịn nhieu hạn che van đe mang tính thời sự, thu hút quan tâm nhà tốn the giới nhǎng năm gan Chính nhǎng lý nêu trên, chúng tơi chon đe tài nghiên cáu cho lu n án là: "Tính quy dáng u ti m c¾n nghi m cia h phương trình Navier-Stokes" Mnc đích đoi tư ng nghiên cfíu • Mục đích nghiên cáu: a Nghiên cáu toán biên ban đau cho h phương trình Navier-Stokes mien tőng quát với n®i dung sau: - Tính quy nghi m yeu - Dáng u ti m c n nghi m yeu b Nghiên cáu toán Cauchy cho h phương trình Navier-Stokes khơng gian ba chieu với n®i dung sau: - Dáng u ti m c n nghi m mạnh • Đoi tượng nghiên cáu: - Đoi tượng nghiên cáu lu n án toán biên ban đau toán Cauchy cho h phương trình Navier-Stokes mien tőng quát không gian ba chieu Phương pháp nghiên cfíu - Đe nghiên cáu tính quy nghi m yeu cho h phương trình NavierStokes mien tőng quát sả dụng lý thuyet ve ton nghi m mạnh địa phương tính nhat nghi m mạnh mien tőng quát m®t so ước lượng nảa nhóm - Đe nghiên cáu dáng u ti m c n nghi m yeu cho h phương trình Navier-Stokes mien tőng qt chúng tơi sả dụng lý thuyet ve tính nhat toc đ® h®i tụ nghi m mạnh mien tőng quát, định lý nhúng m®t so ước lượng nảa nhóm - Đe nghiên cáu dáng u ti m c n nghi m mạnh cho h phương trình Navier-Stokes khơng gian ba chieu sả dụng định lý ve ton nghi m mạnh địa phương, tính nhat nghi m mạnh R3, toc đ® h®i tụ nghi m mạnh toàn cục giá trị ban đau đủ nhỏ m®t so cơng cụ giải tích đieu hũa 82 |.| 3/2 ă ă (1 Xn)|u0| ă3 (4) (4) 4t ă t 2p 3/2 ă (4) e |.| 3p , 4t ă p ă ă(1 Xn )|u0 |ăă p,r L ă ă e |.| ¨ ¨ , L 4p∗−3 p∗−1 ¨ 83 3/2 = t2 p p ă p ă 3p ă(1 Xn )|u0 |ă p,r L 84 C1t 1 p p ă ă ăn(1 X )n ă vi moi t > t v t = 2C2(n) (3.35), ta ket lu n rang t2 −1 p Lp∗ ,r 2pp∗ 3(p∗ −p) = C2(n)t 1 − p∗ p < ε (3.35) Tà bat đȁng thác (3.33), (3.34) ǁet∆ |u 0|ǁ < ε với moi t > t∗ (d) Tà Bő đe 1.6 suy hai i lng ă|u0|ăB 2, (R3) v sup tăet|u0|ă 3 tương đương Định lý cháng minh t≥0 85 KET LU N CHƯƠNG Trong chương này, ta nghiên cáu ve dáng u ti m c n nghi m mạnh cho h phương trình Navier-Stokes R3 Giả sả u ∈ C([0, T ); L3(R3)) m®t nghi m mạnh tốn Cauchy cho h phương trình Navier-Stokes với giá trị ban đau u0 Ta cháng minh rang neu u ∈ C([0, ∞); L3(R3)) nghi m mạnh h phương trình Navier-Stokes với giá trị ban đau u0 nghi m u có toc đ® h®i tụ theo thời gian với nghi m phương trình truyen nhi t có giá trị ban đau |u0| Phan cháng minh ket dựa lý thuyet ve ton nghi m mạnh địa phương nghi m mạnh tồn cục, toc đ® h®i tụ nghi m mạnh giá trị ban đau đủ nhỏ tính nhat nghi m h phương trình Navier-Stokes 86 KET LU N CHUNG VÀ ĐE NGH± Lu n án nghiên cáu ve tính quy dáng u ti m c n nghi m yeu cho h phương trình Navier-Stokes mien tőng quát không bị ch n Ω không gian R3 Cụ the, lu n án đạt ba ket sau: Tính quy nghi m yeu cho h phương trình Navier-Stokes mien tőng quát: Giả sả u nghi m yeu h phương trình Navier-Stokes mien tőng quát Ω ⊆ R3 u thỏa mãn bat đȁng thác lượng mạnh Khi đó, ta cháng minh rang nghi m yeu u quy neu đ®ng nng 1ă u(t)ă 22 liờn tc Hăolder trỏi vi so m Hăolder v na chun Hăolder 2 nhỏ Ket mở r®ng ket trước [22, 24, 25, 28] với Ω mien bị ch n ho c ∂Ω thu®c lớp C Ket thá hai phan ta cháng 1 ∈ minh neu u(t) D(A ) lim ¨A u(t − δ) − u(t) ¨ < C với moi t ∈ [0, T ) δ→0+ với C hang so dương đủ nhỏ u quy [0, T ) Ket công bo báo [1] Danh mục cơng trình khoa hoc cơng bo liên quan đen lu n án Dáng u ti m c n nghi m yeu cho h phương trình Navier-Stokes mien tőng quát: Giả sả u m®t nghi m yeu h phương trình Navier-Stokes khơng dàng mien tőng quát R3 Ta cháng minh rang toc đ® h®i tụ theo thời gian nghi m yeu u với chuȁn L2(Ω) bang toc đ® h®i tụ nghi m h Stokes thuan nhat với giá trị ban đau so mũ h®i tụ nhỏ Hơn nǎa, ta rang, thêm m®t so đieu ki n giá trị ban đau nghi m yeu u dan đen nghi m h Stokes thuan nhat với giá trị ban đau u0 thời gian t dan tới vô Ket công bo báo [2] Danh mục cơng trình khoa hoc công bo liên quan đen lu n án Dáng u ti m c n nghi m mạnh cho h phương trình Navier-Stokes khơng gian R3: Giả sả u ∈ C([0, T ); L3(R3)) m®t nghi m mạnh tốn Cauchy cho h phương trình Navier-Stokes với giá trị ban đau u0 Ta cháng minh rang nghi m u có toc đ® h®i tụ theo thời gian với 87 nghi m phương trình truyen nhi t có giá trị ban đau |u0| Phan cháng minh ket dựa lý thuyet ve ton nghi m mạnh địa phương nghi m mạnh tồn cục, toc đ® h®i tụ nghi m mạnh giá trị ban đau đủ nhỏ tính nhat nghi m Ket công bo báo [3] Danh mục cơng trình khoa hoc cơng bo liên quan đen lu n án Chúng đe xuat m t so hư ng nghiên cfíu tiep theo cho ket lu n án sau: - Nghiên cáu tính quy nghi m yeu khơng gian khác ho c làm nhe đieu ki n giả thiet - Nghiên cáu dáng u ti m c n nghi m h phương trình NavierStokes với đieu ki n khác - Nghiên cáu tốn ve h phương trình Navier-Stokes theo cách tiep c n giải tích đieu hịa 88 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HOC Đà CƠNG BO LIÊN QUAN ĐEN LU N ÁN [1] Duong V T T., Khai D Q., Tri N M (2020), “On regularity of weak solutions for the Navier-Stokes equations in general domains ”, Mathematische Nachrichten, accepted [2] Duong V T T., Khai D Q (2020), “L2 - decay of weak solutions for the Navier-Stokes equations in general domains ”, Journal of Science and Technology Thai Nguyen University, 225(02), pp 45-51 [3] Duong V.T.T., Khai D.Q., Tri N.M (2020), “Time decay rates of the L3 norm for strong solutions to the Navier-Stokes equations in R3 ”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 485(2), pp 81-98 Ti li u tham kho [1] Bergh J., Lăofstrăom J (1976), Interpolation Spaces An introduction, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin-New York [2] Benameur J (2015), “Long time decay to the Lei-Lin solution of 3D Navier-Stokes equations”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 422, pp 424-434 [3] Borchers W., Miyakawa T (1988), “L2 - decay for the Navier-Stokes flows in halfspaces”, Mathematische Annalen, 282, pp 139-155 [4] Borchers W., Miyakawa T (1990), “Algebraic L2-decay for NavierStokes flows in exterior domains”, Acta Mathematica, 165, pp 189-227 [5] Borchers W., Miyakawa T (1992), “L2 -decay for Navier-Stokes flows in unbounded domains, with application to exterior stationary flows”,Archive for Rational Mechanics and Analysis, 118, pp 273-295 [6] Bourdaud G (1988), “Réalisation des espaces de Besov homogộnes, Arkiv făor Matematik, 26(1), pp 41-54 [7] Bourdaud G (1993), Ce qu’il faut savoir sur les espaces de Besov, Prépublication de l’Universitéde Paris [8] Browder F.E (1964), “Non-linear equations of evolution”, Annals of Mathematics Second Series, 80, pp 485–523 [9] Butzer P L., Berens H (1967), Semi-group of Operator and Approximation, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 145 Springer-Verlag, New York 86 87 [10] Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L (1982), “Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations”, Communications on Pure and Applied Mathematics, 35, pp 771-837 [11] Cannone M (1995), Wavelets, paraproducts and Navier-Stokes, With a preface by Yves Meyer, Diderot Editeur, Paris [12] Cannone M (1997), “A generalization of a theorem by Kato on NavierStokes equations”, Revista Matemática Iberoamericana, 13(3), pp 515-541 [13] Cannone M., Planchon F (1999), “On the non stationary Navier-Stokes equations with an external force”, Advances in Differential Equations, 4(5), pp 697-730 [14] Cannone M., Karch G (2002), “Incompressible Navier-Stokes equations in abstract Banach spaces Tosio Kato’s method and principle for evolution equations in mathematical physics”, Su¯rikaisekikenkyu¯sho K¯okyu ¯roku, pp 27-41 [15] Cannone M (2004), “Harmonic analysis tools for solving the incompressible Navier-Stokes equations”, Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, Vol III, North-Holland, Amsterdam, pp 161-244 [16] Chemin J Y (2009), “Remarque sur l’existence globale pour le système de Navier-Stokes incompressible”, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 26(2), pp 599-624 [17] Chen Zhi-Min (1991), “A sharp decay result on strong solutions of the Navier-Stokes equations in the whole space ”, Communications in Partial Differential Equations, 16, pp 801-820 [18] Constantin P (1995), “A few results and open problems regarding incompressible fluids”, Notices of the AMS, 42(6), pp 658–663 [19] Dubois S (2003), “Uniqueness for some Leray-Hopf solutions to the Navier-Stokes equations”, Journal of Differential Equations, 189, pp 99-147 88 [20] Farwig R., Kozono H., Sohr H (2005), “An Lq-approach to Stokes and Navier-Stokes equations in general domains”, Acta Mathematica, 195, pp 21-53 [21] Farwig R., Kozono H., Sohr H (2007), “On the Helmholtz decomposition in general unbounded domains”, Archiv der Mathematik, 88, pp 239-248 [22] Farwig R., Kozono H., Sohr H (2008), “Criteria of local in time regularity of the Navier-Stokes equations beyond Serrin’s condition”, Banach Center Publications, Warszawa, 81, pp 175-184 [23] Farwig R., Kozono H., Sohr H (2009), “On the Stokes operator in general unbounded domains”, pp 111-136 Hokkaido Mathematical Journal, 38, [24] Farwig R., Kozono H., Sohr H (2009), “Energy-based regularity criteria for the Navier-Stokes equations”, Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 11, pp 428-442 [25] Farwig R., Kozono H., Sohr H (2010), “Regularity of weak solutions for the Navier-Stokes equations via energy criteria”, Rannacher R., Sequeira A (eds) Advances in Mathematical Fluid Mechanics, Springer, Berlin, Heidelberg, pp 215-227 [26] Farwig R., Sohr H (2010), “On the existence of local strong solutions for the Navier-Stokes equations in completely general domains”, Nonlinear Analysis, 73, pp 1459-1465 [27] Farwig R., Sohr H., Varnhorn W (2012), “Extensions of Serrin’s uniqueness and regularity conditions for the Navier-Stokes equations, Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 14, pp 529-540 [28] Farwig R., Riechwald P F (2016), “Regularity criteria for weak solutions of the Navier-Stokes system in general unbounded domains”, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series S, 9(1), pp 157-172 [29] Fefferman C L (2002), “Existence and uniqueness of the Navier-Stokes equation”, http : //www.claymath.org/MillenniumP rizeP roblems/ 89 [30] Frazier M., Jawerth B., Weiss G (1991), “Littlewood-Paley Theory and the Study of Function Spaces”, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 79, AMS, Providence [31] Friedlander S., Pavlovi’c N (2004), “Remarks concerning a modified Navier-Stokes equation”, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 10(1), pp 269-288 [32] Fujigaki Y., Miyakawa T (2001), “Asymptotic profiles of non stationary incompressible Navier-Stokes flows in the half-space”, Methods and Applications of Analysis, 8, pp 121-158 [33] Gallagher I., Iftimie D., Planchon F (2002), “Non-explosion en temps grand et stabilitéde solutions globales des équations de Navier-Stokes”, Comptes Rendus Mathématique Académie des Sciences Paris, 334(4), pp 289-292 [34] Gallagher I., Iftimie D., Planchon F (2003), “Asympototics and stability for global solutions to the Navier-Stokes equations”, Université de Grenoble Annales de l’Institut Fourier, 53, pp 1387-1424 [35] Giga Y (1981), “Analyticity of the semigroup generated by the Stokes operator in Lr-spaces”, Mathematische Zeitschrift, 178, pp 297-329 [36] Giga Y (1985), “Domains of fractional powers of the Stokes operator in Lr-spaces”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 89, pp 251-265 [37] Grafakos L (2014), Modern Fourier Analysis, Graduate Texts in Mathematics, 250, Springer, New York [38] Han Pigong (2010), “Asymptotic behavior for the Stokes flow and Navier-Stokes equations in half spaces”, Journal of Differential Equations, 249, pp 1817-1852 [39] He C., Hsiao L (2002), “The decay rates of strong solutions for NavierStokes equations”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 268, pp 417-425 90 ¨ ber die Anfangswertaufgabe fu [40] Hopf E (1951), “U ¨ r die hydrodinamischen Grundgleichungen”, Mathematische Nachrichten, 4, pp 213-231 [41] Kajikiya R., Miyakawa T (1986), “On L decay of weak solutions of the Navier-Stokes equations in Rn”, Mathematische Zeitschrift, 192, pp 135-148 [42] Kato T., Fujita H (1962), “On the non-stationary Navier-Stokes system”, Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 32, pp 243-260 [43] Fujita H., Kato T (1964), “On the Navier-Stokes initial value problem I”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 16, pp 269-315 [44] Kato T (1984), “Strong Lp solutions of the Navier-Stokes equation in Rm, with applications to weak solutions”, Mathematische Zeitschrift, 187, pp 471-480 [45] Kato T (1992), “Strong solutions of the Navier-Stokes equations in Morrey spaces”, Boletim da Sociedade Brasileira de Matemática, 22, pp 127-155 [46] Khai D Q., Tri N M (2014), “Solutions in mixed-norm Sobolev-Lorentz spaces to the initial value problem for the Navier-Stokes equations”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 417, pp 819-833 [47] Khai D Q., Tri N M (2016), “Well-posedness for the Navier-Stokes equations with datum in Sobolev-Fourier-Lorentz spaces”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 437, pp 754-781 [48] Khai D Q., Tri N M (2017), “Well-posedness for the Navier-Stokes equations with data in homogeneous Sobolev-Lorentz spaces”, Nonlinear Analysis, 149, pp 130-145 [49] Khai D Q., Tri N M (2016), “On the initial value problem for the Navier-Stokes equations with the initial datum in critical Sobolev and Besov spaces”, Journal of Mathematical Sciences University of Tokyo, 23, pp 499-528 91 [50] Khai D Q (2017), “Well-posedness for the Navier-Stokes Equations with datum in the Sobolev spaces”, Acta Mathematica Vietnamica, 42, pp 431-443 [51] Koch H., Tataru D (2001), “Well-posedness for the Navier-Stokes equations”, Advances in Mathematics, 157(1), pp 22-35 [52] Kozono H , Ogawa T (1994), “Global strong solution and its decay properties for the Navier-Stokes equations in three dimensional domains with non-compact boundaries”, Mathematische Zeitschrift, 216, pp 1-30 [53] Kozono H., Sohr H (2010), “On the existence of local strong solutions for the Navier-Stokes equations in completely general domains”, Nonlinear Analysis, 73, pp 1459-1465 [54] Lemarie-Rieusset P G (1999), “Weak infinite-energy solutions for the Navier-Stokes equaions in R3”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences Série I Mathématique, 328, pp 1133-1138 [55] Lemarie-Rieusset P G (2002), “Recent Developments in the NavierStokes Problem”, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL, 431, pp 395 [56] Leray J (1933), “Etudes de diverses équations intégrales nonlinéaires et de quelques problémes que pose l’hydrodynamique”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Neuvième Série, 12, pp 1-82 [57] Leray J (1934), “Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace”, Acta Mathematica, 63, pp 193-248 [58] Lin F H (1998), “A new proof of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg theorem”, Communications on Pure and Applied Mathematics, 51, pp 240-257 [59] Lions P L (1996), Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Clarendon Press, Oxford, vol 92 [60] Masuda K (1984), “Weak solutions of the Navier-Stokes equations”, The Tohoku Mathematical Journal, 36, pp 623-646 [61] Monguzzi A., Peloso M., Salvatori M (2020), “Fractional Laplacian, homogeneous Sobolev spaces and their realizations”, Annali di Matematica Pura ed Applicata [62] Peetre J (1976), New Thoughts on Besov Spaces, Duke University Mathematics Series [63] Sawada O (2005), “On analyticity rate estimates of the solutions to the Navier-Stokes equations in Bessel-potential spaces”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 312, pp 1-13 [64] Schonbek M.E (1985), “L2 -decay for weak solutions of the Navier-Stokes equations”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 88, pp 209222 [65] Schonbek M.E (1995), “Large time behaviour of solutions to the NavierStokes equations in Hm spaces”, Communications in Partial Differential Equations, 20, pp 103-117 [66] Serrin J (1963), The initial value problem for the Navier-Stokes equations, Nonlinear Problems, Univ Wisconsin Press, Nonlinear problems, Ed R E Langer, pp 69–98 [67] Smale S (1998), “Mathematical problems for the next century”, The Mathematical Intelligencer, 20(2), pp 7-15 [68] Sohr H (2001), The Navier-Stokes Equations, An Elementary Functional Analytic Approach, Birkhăauser Advanced Texts, Birkhăauser Verlag, Basel [69] Temam R (2001), Navier-Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis, reprint of the 1984 edition, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI [70] Triebel H (1992), Theory of Function Spaces II, Monograph in mathematics, Birkhăauser 93 [71] Triebel H (2010), Theory of Function Spaces, Modern Birkhăauser Classics, Birkhăauser/Springer Basel AG, Basel [72] Ukai S (1987), “A solution formula for the Stokes equation in Rn+”, Communications on Pure and Applied Mathematics, 40, pp 611-621 [73] Wiegner M (1987), “Decay results for weak solutions of the NavierStokes equations in Rn”, The Journal of the London Mathematical Society, 35, pp 303-313 [74] Yosida K (1980), Functional Analysis, Springer-Verlag, Heidelberg