Chuyên đề luyện thi Đại học: Phép biến hình
Trang 11 Các phép đời hình phẳng § 1 Đại cương về các phép biến hình và các phép dời hình phẳng § 2 § 3 1 OO TAN BW PD Khái niệm về phép biến hình Định nghĩa phép biến hình Thí dụ về phép biến hình
Bài tập về phép biến hình trong tập hợp điểm 7ˆ
Các phần tử bất biến trong một phép biến hình
Phép biến hình đảo ngược
Tích các phép biến hình
Đại cương về các phép dời hình phẳng
Bài tập về đại cương các phép dời hình phẳng
Sự xác định và dạng chính tắc của một phép đời hình phẳng 1 2 Về sự xác định một phép dời hình phẳng
Quan hệ giữa các phép tịnh tiến và các phép quay phẳng với các phép đối xứng - trục trong mặt phẳng Dạng chính tắc của một phép dời hình phẳng Phân loại các phép dời hình phẳng (Bài đọc thêm bổ sung vao cac §1 va 82) ee ee v2 Bài tập về sự xác định và dạng chính tắc cỉa phép đời hình phẳng .Ặ Q Q TQ Quy Vận dụng phép dời hình vào việc giải một số bài tốn hình học phẳng, Thí dụ minh hoạ và bàitập .- 1 2 Ứng dụng phép tịnh tiến và việc khảo sát tính chất của hình và dựng hình Ứng dụng phép đối xứng tâm vào kho sát tính chất của hình và dựng hình
Trang 22_ Các phép đơng dạng phẳng § 4 Sự xác định và dạng chính tắc của một phép đồng dạng phẳng 1 Đại cương về các phép đồng dạng phẳng 2 Phép vịt c Q Q Q Q Ly va 3 Sự xác định một phép đồng dang phang 4 Điểm bất động và dạng chính tắc của một phép đồng dạng phẳng Q Q Q Q Q Q2 5 Bài tập về xác định và dạng chính tắc của một phép đồng dang phang 2 ee ee
§ 5 Van dung phép déng dang vào việc giải một số bài tốn hình học
phẳng - Thí dụ minh hoạ và Bài tập -
1 Ứng dụng phép vị tự vào giải tốn hình học 2 Ứng dụng phép đồng dạng thuận (vị tự quay) vào việc giải
tốn hình học 2.2 ee ee ee
3 Ứng dụng phép đồng dạng nghịch (vị tự - đối xứng) vào
việc giải tốn hình học
Trang 3Các phép dời hình phẳng
§ 1 Đại cương về các phép biến hình và các phép
dời hình phẳng
1 Khái niệm về phép biến hình
Cho hai tập hợp điểm 7 và 7” ta gọi là một song ánh từ 7 vào 7”, mọi phép tương ứng ƒ mà với mỗi điểm ⁄ của 7 đều được gắn với một điểm Ä⁄” duy nhất
của 7", ký hiệu là M' = ƒ(M)
Như vậy, cho một song ánh ƒ : 7 => 7” vào 7” là cho một quy tắc để, với bất kỳ một điểm M € T bao giờ ta cũng cĩ một điểm ƒ(Aƒ) hồn tồn xác định của 7” sao cho
(i) Néu M va N là hai điểm phân biệt của 7 thì ƒ(A⁄) và ƒ(N) là hai điểm phân biệt của 7”; MA N thi ƒ(M) # ƒ(N)
(1đ) Với VAẢ' € 77 thì bao giờ cũng cĩ một diém M € T sao cho f(M) = M’ Diém M’ = f(M) được gọi là ảnh, hay điểm tương ứng hoặc hình biến đổi của điểm M⁄ qya ánh xạ ƒ Ngược lại, điểm M duoc gọi là tạo ảnh của điểm
M' = f(M) qua anh xa f
Nếu A⁄ = ƒ(4⁄) thì ta cịn nĩi rằng ánh xạ ƒ (ở đây là một song ánh rồi) biến điểm Ä/ của 7 thành điểm 3” của 7”
Khi hai tập hợp điểm 7 và 7” là đồng nhất, cũng cĩ nghĩa là trùng nhau, ký hiệu 7 = 7”, ta nĩi rằng ƒ là một phép biến hình trong 7 (hay từ 7 vào chính
nĩ) Như vậy, ta cĩ thể định nghĩa một phép biến hình trên đường thẳng, trong
mặt phẳng hay trong khơng gian tuỳ theo 7 là tập các điểm của một đường thăng
A nào đĩ trong mặt phẳng, hay 7 là tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng
7? hay 7 là tập hợp tất cả các điểm của khơng gian K Thậm chí 7' cĩ thể là tập
Trang 42_ Định nghĩa phép biến hình
Một song ánh ƒ : A — A7 hoặc ? —› 7 từ tập các điểm của đường thẳng A
hay của mặt phẳng 7 lên chính nĩ được gọi là một phép biến hình trên đường
thắng A hay của mặt phẳng 7
Như vậy chẳng hạn cho một phép biến hình của mặt phẳng ƒ : ? -> 7 là một
quy tác để với mọi điểm của 7 ta tìm được một điểm Ä⁄ = ƒ(Mƒ) hồn tồn xác định, thoả mãn hai điều kiện sau đây
(i) Néu M va N déu thudc P, M # Đ thì ƒ(M) và ƒ(N) đều thuộc 7, ƒ(M) #
/(N)
(1) Với VẢ⁄' c 7 thì tồn tại duy nhất điểm A# € 7 sao cho f(M) = M’
Nếu 2 là một hình nào đĩ của 7 thì ta cĩ thể xác định được tập hợp điểm H' = f(H) = {f(M),M © H}; f(H) 1a mot hinh phẳng được gọi là ảnh hay
hình biến đổi hoặc hình tương ứng cua hinh H qua phép biến hình ƒ; ngược lại
hình #4 được gọi là tạo ảnh (hay hình nguyên của hình ƒ(2) qua phép biến hình
ƒ (Hình 1)
Hình 1
Chú thích Phép biến hình định nghĩa như trên cịn được gọi một cách chính
xác hơn là phép biến hình điểm (vì nĩ biến đổi điểm thành điểm) Hai phép biến
hình điểm ƒ và ƒ' là tương đương nếu với mọi điểm 3⁄ của 7 đều cĩ cùng một ảnh trong 7: VM € 7 suy ra M’ = ƒ(Míf) = ƒ(M), ta viết ƒ' = ƒ
3 Thí dụ về phép biến hình
Thí dụ 1 Trong mặt phẳng cho một đường thẳng A và một điểm O cĩ định trên A Với mỗi điểm M # Ĩ trên A ta lấy điểm Ä⁄' đối xứng với M qua O; điều
đĩ cũng cĩ nghĩa là Ä⁄ được hồn tồn xác định bởi đẳng thức véc tơ
——* —>
Trang 5là phép đối xứng tâm Ĩ của đường thẳng A, ta ký hiệu là Đo hay 2(Ĩ) Vậy (O): M r> M' từ A —> A và 7 = A
Chú thích Trong trường hợp này ta cũng cĩ D(O) : M => Mĩ Nếu 7 =7
va M’ = f(M) duoc xdc định bởi (1) thì ƒ : ă + A' từ —> ? là một phép
đối xứng tâm Ĩ của mặt phẳng 7
Thí dụ 2 Gọi 4„, Ø, và Œ„ lần lượt là trung điểm các cạnh ĐŒ, CA và AB cha
một tam giác ABC cho trước trong mặt phẳng Với mỗi điểm Ä# của mặt phẳng
ta lấy lần lượt các điểm A’, ', và C” đối xứng với Ä⁄ theo thứ tự qua 4,, Ư,, và
C2 Chứng tỏ rằng
1/ Các đường thẳng 4A', 8! và CƠ! đồng quy ở một điểm Ä⁄” nào đĩ; 2/ Anh xa f : M +> M' tir ? vào chính nĩ là một phép biến hình của mặt
phẳng
Hình 9
Thật vậy, từ giả thiết dễ dàng suy ra điểm 3⁄/ là đỉnh thứ tư chung của ba hình
bình hành BA’CM,CB'AM, va AC'BM Tit dé suy ra BCB'C',CAC'A! va ABA’'B' déu là những hình bình hành và mỗi hình này nhận hai trong ba đoạn thang AA’, BB’ va CC’ lam cdc đường chéo (Hinh 2)
Do đĩ ba đường thẳng AA’, BB’ va CC’ doi mot cat nhau ỏ cùng một điểm;
đĩ là trung điểm chung 2⁄' của cả ba đoạn thẳng đĩ Như vậy với mỗi điểm Ä⁄ƒ
Trang 6tự đối xứng với 4, ,C qua Mĩ” Thế thì rõ ràng A⁄/ là tâm chung của ba hình
binh hanh BC B’C’,C AC’A' va ABA'B' Bây giờ ta lấy điểm A⁄/ đối xứng với A’ qua A,; néi khác đi, Ä⁄ là đỉnh thứ tư của hình bình hành BA CÄ Từ đĩ
suy ra Ä⁄ là đỉnh thứ tư chung của cả ba hình bình hành BA’C'M,CB'AM và AC'BM Bởi vậy, M đối xứng với ' qua B,, đồng thời cũng đối xứng với C”
qua C, N6i khac di 14, A,.A’, B,B’ va C,C’ déng quy 6 diém M
Như vậy là, với mỗi điểm M’ bat ky của mặt phẳng 7 ta đã chỉ ra được cách
xác định điểm M va diém M nay 1a duy nhat sao cho f(M) = M’ Va do do, f
la mot todn ánh
Kết ludn Anh xa f : Ms M' từ Ð —> ? vừa là đơn ánh, vừa là tồn ánh
nên theo định nghĩa, ƒ là một phép biến hình của mặt phẳng
Chú thích Nếu gọi GŒ là trọng tâm của tam giác ABC”, ta cịn chứng minh
duoc rang duéng thang MM’ dia qua G va cap diém M, M’ thoa man hé thitc
vécto
—> 1 —>
GM' = —5GM (2)
Hệ thức (2) cũng nĩi lên rang quy tac f: M+ M’ ta P — P chi ra trong
thí dụ 2 tương đương với quy tắc (ánh xa) f’, trong d6 với mỗi điểm Ä⁄ bất kỳ của 7 ta xác định được duy nhất diém M’ € P theo (2) Ta sẽ trở lại thí dụ 2 này ở phần sau, § 4
4_ Bài tập về phép biến hình trong tập hợp điểm 7
1.1 Trong mặt phẳng cho một đường trịn (Ĩ) và hai tiếp tuyến ø và b của nĩ Một tiếp tuyến ¿ thay đổi của (Ĩ) cắt ø và b theo thứ tự ở Ä⁄ và W Hỏi ánh
xạ ƒ : M c> N từ a đến ở cĩ phải là một song ánh khơng? Xét hai đường
trường hợp ø song song với ð và ø cắt b
1.2 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng phân biét a va b Goi A va B theo thứ tự là các hình chiếu ?) trên ø và b của một điểm M bất kỳ của một mặt phẳng; Ä⁄' là điểm đối xứng với Ä⁄ qua trung điểm 7 của đoạn thẳng 4Ư Chứng minh rằng ánh xạ ƒ : ă › Ä⁄” từ 7 —› 7 là một phép biến hình của mặt phẳng khi và chỉ khi ø và b khơng vuơng gĩc với nhau
1.3 Trong mặt phẳng cho hai đường thang a va A cắt nhau (nhưng khơng vuơng
gĩc) ở Ĩ và một điểm P cố định khác Ĩ sao cho Ĩ là hình chiếu của P
Trang 7
a) Chứng minh rằng ánh xạ ƒ : ă + N từ A vào chính nĩ là một phép biến hình của đường thẳng A
_
b) Hãy chứng minh 3N khơng đổi với mọi Ä⁄ƒ trên A Từ đĩ cĩ thể gọi
tên được phép biến hình ƒ của A
1.4 Giả sit M là một điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng ? của một tam giác ABC đã cho Dựng các đường thang Ax, By va Cz tuong ứng đối xứng với vác đường thang AM, BM, va CM lần lượt qua phân giác của các gĩc 4, và C' cua tam gidc ABC
a) Néu M nam trong tam gidc ABC, chttng minh rang Ax, By, Cz déng quy 6 mot diém M’ ciing nam trong tam giác AC
b) Chttng minh rang anh xa f : M+ M' ta P — P khong phai là một
phép biến hình của mặt phẳng
c) Chứng minh rằng quỹ tích những điểm ă trong mặt phẳng sao cho Az || By || Cz la đường trịn ngoại tiếp tam giác ABŒ
d) Tìm tập hợp điểm 7 (7T C ?) để ánh xạ ƒ: M -› AM từ 7 — 7 là một phép biến hình của tập hợp điểm 7, một bộ phận của mặt phẳng
?
5_ Các phân tử bất biến trong một phép biến hình
Một điểm ă nào đĩ của tập điểm 7 mà trùng với ảnh f(A) cua né trong một phép biến hình điểm ƒ của 7 gọi là một điểm bất động hay điểm kép đối với phép biến hình ƒ trong 7: Ä# € 7 mà ƒ(Mf) = M, M 1a mot diém bat động của ƒ trong 7 Phép biến hình của mặt phẳng mà mọi điểm của mặt phẳng đều là điểm bất động gọi là phép biến hình đồng nhất hay gọi tắt là phép đồng nhất, ký hiệu là Id hay e, f = Id khi và chỉ khi M = f(M), VM EP
Moi hinh H (của ?) mà trùng với ảnh (hình bién déi) H’ = f(H) cha nĩ trong phép biến hình ƒ được gọi là một hình bất biến đối với phép biến hình ƒ cua P
Nếu một hình bất biến đối với ƒ trong P ma moi điểm của nĩ đều bất động thì ? được gọi là một hình cố định đối với ƒ
Chẳng hạn, trong phép đối xứng 2(Ĩ) thì tâm đối xứng O là một điểm bất
động duy nhất và mọi đường thẳng qua Ĩ đều là bất biến Trong phép đối xứng
Trang 8bất động nào, nhưng mọi đường thẳng cĩ phương của ø (tức song song với 2)
đều là bất biến
6 Phép biến hình đảo ngược
Dễ thấy rằng mọi song ánh ƒ từ 7 —› 7” đều xác định một song ánh ƒ” khác từ 77” —> 7, gọi là ánh xạ ngược của ƒ và ký hiệu là ƒ”!: ƒ = f+ Khi J’ = 7 thì ƒ~! gọi là phép biến hình đảo ngược của ƒ trong 7
Dễ thấy rằng, phép tịnh tiến 7{) theo véctơ ở khác véctơ khơng cĩ phép
biến hình đảo ngược cũng là một phép tịnh tiến, nhưng theo véctơ —U
T (0) =T(- 3)
cịn phép đối xứng tâm ?(Ĩ) hay phép đối xứng trục D(A) thi phép đảo ngược
trùng với chính nĩ: 2~!(Ĩ) = 2(Ĩ), Ð~!{A) = Đ(A)
Một phép biến hình ƒ của ? được gọi là phép biến hình đối hợp nếu mọi điểm
M € P tring với ảnh của điểm tuong ting M’ = f(M) chané: VM EP: M= f(M) thi M = f(M')
Như vậy, ƒ là phép biến hình đối hợp khi và chỉ khi ƒ — ƒ~! Phép đối xứng tâm và phép đối xứng tâm và phép đối xứng trục là những thí dụ vẻ phép biến
hình đối hợp trong mặt phẳng
7 Tích các phép biến hình
Giả sử ƒ¡ và ƒ; là hai phép biến hình của mặt phẳng ƒ¡ : ? -> 7 và fo: P + P; M la mot diém bat ky cha P Thé thi, VM ec ?, HÌAh c7 va M’' € P sao cho M,; = fi(M) va M’ = fo(M,) va do đĩ, ánh xạ ff: MH M’
từ — 7 cũng là một song ánh, nghĩa là ƒ trực tiếp biến Ä/ thành M’ ciing là
một phép biến hình của 7
Như vậy, từ hai phép biến hình ƒ¡ và ƒ; của 7 ta đã xác định một phép biến
hình ƒ cũng của 7 gọi là tích của hai phép biến hình ƒ¡ và ƒạ, ký hiệu là ƒa o fi
Vậy ta cĩ
M' = ƒ(M) = falfi(M)], YM khi và chỉ khi MỸ = ƒso fi(M)
Trang 9tiếp hai phép biến hình: phép biến hình thứ nhất là ƒ¡ và phép biến hình thứ hai la fo, con øg = ƒ¡ o ƒs cũng là một phép biến hình nhưng được thực hiện theo thứ tự ngược lại Nĩi chung, tích ƒ = ƒạo ƒ¡ và tích ø = ƒio ƒ; là hai phép biến hình khác nhau
Tích các phép biến hình cĩ những tính chất sau đây
1/ Kết hợp, nghĩa 1a fs 0 (fo ° fi) = (fa° fo) o fi = fa° foo fir Nhu vay, bao
giờ cũng cĩ thể thay hai hoặc nhiều phép biến hình liên tiếp bởi tích của chúng, hoặc ngược lại, cĩ thể thay một phép biến hình nào đĩ bởi một tích tương đương
2/ Nĩi chung, tích các phép biến hình khơng giao hốn; tích hai phép biến hình ƒ: và ƒs gọi là giao hốn néu f, o fo = foo fi
3/ Trong tập hợp các phép biến hình của điểm ?, phép đồng nhất 7đ là phần
tử trung hồ trong các phép tốn tích
Vf: Idof=fold=f
4/ Tích hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất
ƒfieƒ=ƒsƒƑ '=14ả, (Vf)
Tw d6 suy ra fo f = f? = Id khi và chỉ khi ƒ = ƒ~1' khi và chỉ khi ƒ là
Trang 10đời hình của mặt phẳng, hay gọi vắn tắt là phép dời hình phẳng, là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa bất cứ hai điểm nào của mặt phẳng Vậy là
f © {P} chaP khi va chi khi f(M)f(NV) = MN, (VM,N © P) {?} là ký hiệu tập các phép dời hình của mặt phẳng
Chú thích Chính vì phép dời hình bảo tồn khoảng cách giữa bất cứ hai điểm
nào nên người ta gọi nĩ là phép biến hình đẳng cự hay gọi vắn tắt là phép đẳng cự
Từ định nghĩa của phép dời hình ta suy ra các hệ quả a Phép biến hình đồng nhất 7đ là một phép dời hình
b Phép biến hình đảo ngược của một phép dời hình cũng là một phép dời hình c Tích của hai hay nhiều phép dời hình là một phép dời hình
d Phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục là những phép dời hình
b) Các tính chất của phép đời hình
Định lý 1 Phép đời hình bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm và thứ tự của
chúng trên đường thẳng chứa ba điểm và thứ tự của chúng trên đường thẳng chưa
ba điểm đĩ Cụ thể là
Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng 4, Ð, Œ thành ba điểm A’, B’, C’ thang
hàng cũng theo thứ tự đĩ Phép chứng minh xem như là bài tập cho bạn đọc
Hệ quả 1 Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng nào đĩ
Hệ quả 2 Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nĩ, biến một gĩc thành một gĩc bằng nĩ, biến một đường trịn thành một đường trịn
bằng nĩ, trong đĩ tâm biến thành tâm
Định lý 2 Một phép dời hình phẳng cĩ ba điểm bất động khơng thẳng hàng là phép biến hình đồng nhất
Chúng mình Giả sử f : P — P 1a mot phép doi hình phẳng cĩ ba điểm
Trang 11điểm bất động, và do đĩ ƒ = Tả
Hình 3
Hệ quả 3 Một phép đời hình phẳng ? z# 7d thì hoặc khơng cĩ điểm bất động nào hoặc cĩ một điểm bất động duy nhất, hoặc cĩ một đường thẳng mà mọi
điểm của nĩ đều là điểm bất động, tức là cĩ một đường thẳng cố định
9 Bai tap về đại cương các phép dời hình phẳng 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Chứng minh rằng phép dời hình bảo tồn sự thẳng hàng của bất kỳ ba điểm nào, do đĩ, biến đường thẳng thành đường thẳng (Định lý 1)
Chứng minh rằng phép dời hình bảo tồn quan hệ song song của hai đường thẳng và khoảng cách giữa chúng, nghĩa là, nếu ø || b,a" = D(a), b’ = D(b) thi a’ || 6’ va d(a!,b') = d(a,b), trong đĩ d(z,) chỉ khoảng cách giữa hai đường thẳng song song # và 1
Hãy sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, chứng minh tính chất nêu trong Định lý 2 của phép dời hình phẳng
Chứng minh chi tiết hơn Hệ quả 2 của Định lý 1 về tính chất của 7, tức là Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nĩ, trong đĩ trọng tâm Œ, trực tâm H, các tâm Ï và @ của các đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác tạo ảnh ABC theo thứ tự biến thành các tâm tương ứng G', H',I' va O' cua tam gidc anh A’B'C"
Chứng minh rằng trong một phép tịnh tiến, ảnh #' của một đường thẳng ở thì, hoặc song song với đ hoặc trùng ở Từ đĩ suy ra tập hợp tất cả các đường
Trang 121.10 Chứng minh rằng phép đối xứng tâm 72(Ĩ) bién mét vécto MN = a thành
—> —> —
một véctơ đối MN véi n6, ttc la MN = —M'N’ = —a Tw dé suy ra rang phép đối xứng - tâm bảo tồn phương của mọi đường thẳng: đồng thời tìm được tập hợp tất cả những đường thẳng bất biến qua phép đối xứng - tâm
1.11 Chứng minh rằng phép đối xứng - trục (A) biến một đường thẳng ø thành
đường thang a' đối xứng với ø qua trục A Từ đĩ tìm được những phương
đường thẳng bất biến trong một phép đối xứng - trục
1.12 Hãy tìm những phép dời hình ? biến một tam giác đều 4 BC thành chính nĩ 1.13 Tìm những phép dời hình 7 biến một hình vuơng 4Œ) thành chính nĩ 1.14 Tìm những phép dời hình biến một hình bình hành 4Œ?) thành chính nĩ 1.15 Tìm những phép dời hình Ð biến một hình chữ nhật 4 5Œ thành chính nĩ 1.16 Chứng minh rằng tích của hai phép đối xứng trục cĩ các trục vuơng gĩc ở
điểm Ĩ là phép đối xứng tâm (O) Ngược lại, một phép đối xứng tâm D(O) cé thé phân tích bằng vơ số cách thành tích của hai phép đối xứng trục D(A,) và Đ(As) miễn là hai trục A¡ và Ầa¿ vuơng gĩc với nhau ở Ơ
§ 2 Sự xác định và dạng chính tắc của một phép
dời hình phẳng
Khi chúng ta nĩi cho một phép dời hình Ð mà tổng quát hơn là cho một phép biến hình ƒ của ? (mặt phẳng) tức là chỉ ra đầy đủ các yếu tố để xác định hồn tồn phép đời hình (hay phép biến hình) đĩ của ? Điều đĩ cĩ nghĩa là
Với mỗi điểm M bất kỳ của 7 ta phải chỉ ra cách (quy tắc) dựng, cũng là
cách xác định được điểm tương ứng (ảnh) Ä⁄” của nĩ qua phép dời hình (hay phép biến hình) này
Về phép dời hình, ta đã biết rằng một phép dời hình biến một tam giác 4Œ thành một tam giác 4 B'C” bằng nĩ, trong đĩ các cạnh tương ứng bằng nhau, các
gĩc tương ứng bằng nhau Mệnh đề sau đây khẳng định điều ngược lại
1 Về sự xác định một phép đời hình phẳng
Dinh nghia 3 Cho ABC va A’B'C’ là hai tam giác bằng nhau cho trước trong mat phang P véi B/C’ = BC,C’A' = CA, A'B’ = AB Bao giờ ta cũng
Trang 13thành C’ Déng thời, phép dời hình D nay cĩ thể phân tích thành tích của khơng quá ba phép đối xứng trục
Chứng minh Trước hết, để trình bày được gọn gàng ta quy ước ký hiệu như
sau: #{MƒN] là trung trục của đoạn thẳng AM; ĐA; hoặc Ð(A,) chỉ phép đối
xứng trục cĩ trục là A;, trong đĩ ¿ là chỉ số 1,2, 3
Hình 4
Ton tai Néu A va A’ 1a hai diém phân biệt, ta gọi A¡ = t[AA’] Qua phép (A1) tam giác ABC biến thành tam giác A’B,C, bang né nén AA’B,C, = AA'BIC!, do 46 A'B, = A’B’, (Hình 4.)
Néu B, # B’, ta goi Ay = f[B¡Ï] thì theo chứng minh trên, 4° € Ag
Bởi vậy, qua phép 2(A¿) tam giác A’ B,C; bién thanh tam giác A’B'C» bag nd,
nén AA'B'Cy = AA'B'C' va do d6 A’Cy = A'C’, B’Cy = B’C’ Dén day,
néu Cy 4 C’, ta goi A3 = t[Co,C"] thi A7 và đều thuộc As Và cuối cùng
phép đối xứng trục D(As) bién tam gidc A’B’C thanh tam gidc A’B’C’ Nhu
vay là, thực hiện liên tiếp ba phép đối xứng trục Đ(A;) với ¿ = 1,2,3 thì tích
ƒ= D(A;)e Ð(A;) eÐ(A¡) là một phép dời hình ? biến tam giác 4BƠ thành tam gidc A’B’C” trong dé A’ = D(A), B’ = D(B) va C’ = D(C)
Trong quá trình chứng minh, chúng ta đã ba lần sử dụng đến từ Wiếu” (cũng
cĩ nghĩa là \giả sử rằng") và mỗi lần như thế đều xuất hiện một phép đỗi xứng trục Đ(A;) theo thứ tự ¡ = 1,2,3 Với nhận xét nay, ta thay rang néu A’ = A thi khơng phải thực hiện (A1) Nếu B, = B’ thi khơng phải sử dụng đến Ð(Aa) và nếu Ca = C” thì cũng khơng phải sử dụng đến 2(As)
Nĩi tĩm lại, mỗi lần cĩ một cặp điểm trong ba cặp điểm chỉ ra ở trên mà
trùng nhau thì số phép đối xứng trục cần phải thực hiện giảm đi một
Trang 14cùng biến tam giác 4Œ thành tam giác 4'#'Œ” Thế thì phép biến hình (dời hình) tích Ð; o7; cũng là một phép dời hình ? biến 4 thành 4, thành B va
C thành Œ Như vậy là phép dời hình D = Dy! o ¡ cĩ ba điểm bất động khơng
thang hang 1a A, B va C Theo Định lý 2, phép dời hình D nay phải là phép đồng
nhat (Dy! oD, = Id) va do d6
Dy 0 (Dy! oD,) = Dz 0ld = Dy (1)
Mặt khác, nhờ tính chất kết hợp của tích các phép biến hình ta lại cĩ
Dz 0 (Dy! oD) = (DyDz') oD, = Ido Dy = Dy (2)
Đối chiếu (1) và (2) ta suy ra Đa = 7¡ Và Định lý 3 đã được chứng minh
Hệ quả 1 Tích của n (1 < œ là một số nguyên dương bất kỳ) phép đối xứng trục trong mặt phẳng bao giờ cũng phân tích được thành tích của khơng quá ba phép đối xứng trục
Thật vậy, vì phép đối xứng trục là một phép đời hình nên tích của + tuỳ ý những phép đối xứng - trục, cũng là một phép dời hình ? nào đĩ Bởi vậy theo
Định lý 3, ta cĩ điều cần chứng minh
Hệ quả 2 Mỗi phép dời hình Ð nếu khơng phải là phép đồng nhất thì, hoặc
là một phép đối xứng - trục hoặc là (tương đương với) tích của ba phép đối xứng - Trục
2_ Quan hệ giữa các phép tịnh tiến và các phép quay phẳng với
các phép đối xứng - trục trong mặt phẳng
Chúng ta đã biết phép đối xứng - trục, phép tịnh tiến và phép quay xung quanh một điểm (bao gồm trong đĩ cả phép đối xứng - tâm) đều là những phép đời hình Nhưng Định lý 3 (Hệ quả 2) ở trên lại cho biết bất kỳ phép dời hình phẳng ?
nào, khdc Id đều hoặc bản thân là một phép đối xứng-trục, hoặc tương đương với
tích của hai hay ba phép đối xứng-tưục Vì thế, chúng ta cần phải làm rõ mối quan hệ giữa hai loại tích các phép đối xứng trục này với các phép tịnh tiến và các phép quay Ngồi ra, Định lý 3 và các Hệ quảảá 1, Hệ quảả 2 của nĩ cịn cĩ ý nghĩa hết sức đặc biệt và quan trọng ở chỗ chỉ ra rằng: Các phép đối xứng-trục đĩng vai trị nền tảng trịng việc tạo thành tất cả các phép dời hình phẳng Cũng chính vì vậy người ta cịn nĩi rằng phép đối xứng - trục phẳng là tập hợp phần tử
sinh {2} các phép đời hình phẳng
Tính chất sau đây của phép tịnh tiến phẳng làm rõ mối quan hệ giữa phép tịnh
Trang 15Định lý 4 Tích của hai phép đối xứng-trục (trong mặt phẳng) cĩ trục song song song là một phép tịnh tiến phẳng theo véctơ vuơng gĩc với hai trục và gấp đối véctơ của phép tịnh tiến biến trục thứ nhất A; thành trục thứ hai A2 (Hình 5.)
Hinh 5
Định lý 4' (Định lý đảo của Định lý 4) Đảo lại, mọi phép tịnh tiến phẳng theo một véctơ v (Ff 0) đều cĩ thể thể phân tích được bằng vơ số cách thành tích của hai phép đối xứng - trục cĩ trục song song và vuơng gĩc với véctơ tịnh tiến , trong đĩ trục thứ hai Àa được suy ra từ trục thứ nhất A¡ bởi phép tịnh tiến theo véctơ Ly, Chứng minh cả hai Định lý 4' và 4 xem như là bài tập
Mối quan hệ giữa phép quay xung quanh một điểm, trong đĩ cĩ phép đối xứng - tâm và các phép đối xứng trục, ta cĩ định lý sau:
Định lý 5 Tích của hai phép đối xứng trục trong mặt phẳng qua hai trục cắt nhau điểm Ĩ là phép quay xung quanh tâm Ĩ mà gĩc quay ¿ gấp đơi gĩc quay 8 của phép quay tâm @ biến trục thứ nhất À; thành trục thứ hai A2
Hình 6
D(Ag) o (A1) =Q(O,¿=29 mod 27) (Ai 1 Ay =O, (Ai, Ax) =98 (mod 7))
Định lý 5' (Định lý đảo của Định lý 5) Đảo lại, mọi phép quay phẳng
Trang 16xứng trục qua hai đường thẳng cắt nhau ở tâm quay Ĩ, miễn là trục đối xứng thứ hai A, được suy ra từ trục thứ nhất A¡ bởi phép quay tâm Ơ gĩc 6 = ¿/2 bằng nửa gĩc quay ¿ của phép quay được xét
Về mối quan hệ giữa phép đối xứng tâm (phép quay đặc biệt, gĩc Z) và các phép đối xứng - trục trong mặt phẳng, ta cĩ định lý sau:
Định lý 6 Tích của hai phép đối xứng - trục trong mặt phẳng qua hai đường thẳng vuơng gĩc là một phép đối xứng tâm mà tâm đối xứng Ĩ là giao điểm của hai đường thẳng đĩ Hơn nữa, tích này giao hốn được (Hình 7)
Đảo lại, mọi phép đối xứng - tâm trong mặt phẳng đều cĩ thể xem là hai tích của hai phép đối xứng - trục qua hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau ở tâm đối xứng
An z Aa, An đ Aa = Ĩ; (A2) oO (AI) = D(A) oO (A2) = D(O)
Điều này tuong duong véi A, vudng géc vdi A, tai diém O
Hinh 7
Tổng hợp cả ba Dinh ly 4,5 va 6 (khi xét phép doi hinh D ¥ Jd 1a tich của hai phép đối xứng trục trong mặt phẳng ta đi đến kết luận phát biểu trong định lý sau:
Định lý 7 Mọi phép dời hình ( 7đ) tương đương với tích của hai phép đối xứng trục thì, hoặc là một phép tịnh tiến, hoặc là một phép quay xung quanh một điểm hay đặc biệt là phép đối xứng tâm tuỳ theo hai trục đối xứng song song với
nhau hoặc cắt nhau, hay đặc biệt cắt nhau theo một gĩc vuơng
Bây giờ ta xét trường hợp phép dời hình là tích của ba phép đối xứng trục
Trước hết ta đề cập đến trường hợp đặc biệt ở đĩ hai trục đối xứng song song và
Trang 17Định nghĩa phép đối xứng - trượt Tích giao hốn của một phép đối xứng
- trục D(A) và một phép tịnh tiến J(0) theo phương của trục đối xttng A duoc
gọi là một phép đối xứng - trượt của mặp phẳng, và A được gọi là trục đối xứng
- trượt Ký hiệu: “Đ(A, 0)
Đ(A, ø) =T(v) 0 D(A) = D(A) o T(v)
a ` ye => ` are z rẻ
Điều này tương đương với A || v Trường hợp ba trục đối xứng song song với
nhau, hoặc đồng quy ở một điểm ta cĩ kết qủa sau
Định lý 8 Tích của ba phép đối xứng - trục cĩ các trục song song với nhau hoặc đồng quy ở một điểm là một phép đối xứng - trục (cĩ truc song song với ba trục đầu hoặc đi qua điểm chung của ba trục đĩ) Hãy chứng minh điều đĩ, xem là bài tập bắt buộc
Hình 6
Tĩm lại, ngồi hai trường hợp phép dời hình ? là phép đối xứng- trục hay
phép đối xứng - trượt mà nĩi ở trên, chúng ta chỉ cịn phải xét trường hợp tổng
quất, ở đĩ ba trục đối xứng khơng song song với nhau, cũng khơng đồng quy, tức là
a) Hoặc đơi một cắt nhau tạo thành một tam giác
b) Hoặc một trục nào đĩ cắt hai trục cịn lại song song
Tuy nhiên, chỉ việc sử dụng các Định lý 5 và 5', chúng ta dễ dàng đưa được
trường hợp b) về trường hợp a), hoặc ngược lại (xem Hinh 9ø, 9b) Đặc biệt,
cĩ thể đưa cả hai trường hợp này về trường hợp một trong hai trục thứ hai hoặc thứ ba vuơng gĩc với trục thứ nhất À¡ (trục này vẫn được giữ nguyên từ đầu đến giờ) để tạo thành một tam gidc ADH vuơng gĩc ở #ïƒ (Hình 9e) Nhu vay chúng ta đã thay cặp trục ban đầu As, A¿ hoặc A2, A;, bằng cặp trục dạ, ds trong đĩ đd¿ L A¡ và AzfA¿ = An A2 = dạđ dạ — A4 miễn là các gĩc ở
A la (Ag, As) = (AS, AS) = (dạ,dạ) = œ-+2kz, (k € Z) khơng đổi Ta gọi
quá trình biến đổi tương đương này là quá trình tương đương hố phép đời hình
Trang 18Cuối cùng, ta thấy cặp trục HA, HD vudng géc véi nhau 6 hinh A boi cặp
truc d; = A va d, ciing vudng géc với nhau ở H trong dé H € dị || đa và
A = (HK) vuong goc voi d, 6 H va dz 6 K (Hinh 9d) Dén day ta đã đưa được
tích D = D(A3) 0 D(Ag) o D(A) cha ba phép đối xứng - trục ở dạng tổng quát
(7D khơng phải là phép đối xứng trục) về trường hợp đặc biệt đã xét đến ở trên Đĩ là trường hợp của phép đối xứng - trượt ở đĩ hai trục đối xứng song song cịn trục thứ ba thì vuơng gĩc với hai trục này (Hình 9d suy ra Hình 8)
Hình 9
3 Dạng chính tắc của một phép dời hình phẳng
Sau khi thực hiện việc biến đổi tương đương tích của ba phép đối xứng trục kết hợp với các Định lý 7 va 8 ta thu duoc két qua sau đây nĩi lên mối quan hệ giữa một phép dời hình bất kỳ với phép đối xứng - trục trong mặt phẳng và tích của chúng gọi là dạng chính tắc của một phép dời hình phẳng
Định lý 9 (Về dạng chính tắc của một phép đời hình phẳng) Một phép dời
hình phẳng nếu khơng phải là phép đồng nhất thì, hoặc là một phép đối xứng-trục,
hoặc là một phép quay hay một phép tịnh tiến, hoặc là một phép đối xứng-trượt Chú thích Các phép quay và tịnh tiến nĩi trong Định lý 9 cĩ thể gọi là những phép quay hay tịnh tiến thực sự, tức là gĩc quay ¿ Z 0, véctơ tịnh tiến v z 0 Cịn phép quay gĩc ¿ = 0 hay phép tịnh tiến theo v z 0 đều là khơng thực sự
và là phép đồng nhất: Q(P,0) = Id, T(0 = 1d
Cĩ thể xem phép đối xứng-trục là trường hợp đặc biệt của phép đối xứng -
> >
truot 6 dé vécto truot (vécto tinh tién) bang 0 ttc 1a: D(A, 0) = D(A)
Phép quay (thực sự) cĩ một điểm bất đồng duy nhất là tâm quay; phép tịnh tiến (thực sự) khơng cĩ điểm bất động nào; phép đối xứng - trượt cũng khơng cĩ điểm bất động nào Tuy nhiên, phép đối xứng-trục cĩ một đường thẳng cố định
Trang 194 Phân loại các phép dời hình phẳng (Bài đọc thêm bổ sung
vào các 81 va 82)
1 Sự cần thiết phải đưa vào khái niệm đường thẳng định hướng mặt phẳng định hướng và gĩc định hướng trong mặt phẳng định hướng
Như chúng ta đã biết, đối tượng hình học đầu tiên đề cập đến vấn đề hướng
của một đoạn thẳng đĩ là khái niệm véctơ Sau đĩ người ta đã đưa vào khái niệm
trục, tức là đã định hướng một đường thắng A nào đĩ bằng cách đưa vào đĩ một
điểm O, gọi là điểm gốc của một véctơ đơn vị € Tia Ox cùng hướng với € duoc ——> gọi là tia dương và do đĩ, xác định được hướng dương của trục A Tia Ov’ là age ú „ — as el , ú ˆ tia đối của tia 2z, ngược hướng với e được gọi là tia âm và xác định hướng âm ——>
(hay hướng nghịch) của trục A Tiếp đĩ người ta đưa vào khái niệm độ dài đại số của một véctơ trên một trục đĩ là một số (số đại số) mà nhân với véctơ don vi — — — ẻ của trục thì cho ta một véctơ bằng véctơ đĩ (4B = 4B.ẻ, AB gọi là độ dài —> —> đại số của 4 trên trục A, trong đĩ 4 cũng là ký hiệu độ dài thang thường của đoạn thắng 4)
Đối tượng hình học thứ hai mà chúng ta đã đề cập đến ở các mục 2 và 3 cũng cĩ liên quan đến vấn đề hướng, đĩ là hai phép dời hình phẳng là tích của hai phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng Phép tịnh tiến gần liền với khái niệm véctơ tịnh tiến là một đối tượng hình
học (đoạn thẳng) cĩ hướng Cịn phép quay phẳng xung quanh một điểm (gọi là
tâm quay) thì gần với khái niệm gĩc lượng giác gọi là gĩc quay; đĩ là khái niệm gĩc định hướng của hai véctơ cĩ điểm gốc chung là tâm quay Trong trường hợp này, người ta bắt buộc phải sử dụng đến khái niệm gĩc định hướng của hai véctơ mà độ lớn đại số của nĩ (gĩc quay) được xác định sai khác một bội của 360” hay 27 tuỳ theo đơn vị gĩc là độ hay radian Rõ ràng rằng nếu sử dụng cách thơng
thường thì một điểm M bat ky (khong trùng với tâm quay O) trong mặt phẳng sẽ ứng hai điểm Ä⁄/ và A⁄¿ phân biệt cùng thoả mãn các điều kiện:
OM, =OM, =OM, và “MOM = ZMOM¿ = œ >0, cho trước (0 < ơ # 27)
Ngồi gĩc định hướng của hai véctơ được sử dụng đến trong phép quay người
ta cũng cần đến và sử dụng gĩc định hướng của hai đường thẳng Chẳng hạn, nếu
phép quay Q(O, œ) tâm O gĩc œ (mod 27) bién vécto AB thanh vécto A’B’, thi —> ——> —> —>
(AB, A’B') =a mod 2z Nếu xem 4ð và A'P, là hai trục thì gĩc định hướng
—>
giữa hai trục AB và A7” cũng bằng gĩc giữa hai véctơ đĩ, và xác định sai khác
—> —>
2km Nhưng phép quay Q(Ĩ,œ) đã biến 4B thành 4“' thì cũng biến đường
thăng (4Ø) thành đường thẳng (4') sao cho
—> ——>
Trang 20trong lúc gĩc thơng thường của hai đường thẳng 4 và A'P', theo định nghĩa,
thi bang œ hoặc z — œ nếu 0 < a < z/2 hoặc z/2 < œ< 7
Lẽ tự nhiên, để thuận tiện cho việc nghiên cứu tính chất của các hình hình học trong mặt phẳng, người ta cũng cịn đưa vào khái niệm mặt phẳng định hướng Chúng ta khơng cĩ điều kiện xây dựng chặt chẽ và thật chính xác tốn học các khái niệm hình học liên quan đến vấn để hướng như mặt phẳng định hướng, gĩc định hướng của hai véctơ hay của hai trục, gĩc định hướng của hai đường thẳng, tam giác đinh hướng, v.v trong mặt phẳng định hướng Chúng ta chỉ làm rõ những khái niệm một cách trực quan hình học, thơng qua việc quan sát cụ thể
một cách trực giác sự chuyển động của một điểm trên một đường trịn, hay trên
một tam giác, một đa giác đơn (cũng tức là một đường gấp khúc khép kín khơng
cĩ điểm tự cắt) hay trên một đường cong kín
Mot diém M chuyển động trên một đường trịn (0) cĩ thể di chuyển theo hai
hướng khác nhau Một cách trực quan, chúng ta chấp nhận sự việc quan sát này
trên mọi đường trịn (0) của mặt phẳng 7, tồn tại hai hướng đi Ta cĩ định nghĩa
sau đây
Định nghĩa 1 Định hướng đường trịn (0) là chọn một trong hai hướng đi trên (0)
Khi đã cho hai đường trịn định hướng (0) và (0') trên mặt phẳng 7, chúng ta cĩ khả năng nhận biết rằng (v’) duoc định hướng theo \éng một hướng” với (v) hay theo hướng ngược lại
Hình 10
Một nửa đường thẳng (cũng gọi là một tia) Ởy cĩ gốc trùng với tâm Ĩ của một đường trịn (0) quay xung quan điểm gốc Ĩ của nĩ theo hai hướng khác nhau như hướng chuyển động của điểm M, ở đĩ tia gốc Ĩz cắt (0) trên đường trịn (0)
(Hình 10)
Định nghĩa 2 Định hướng mặt phẳng 7 là chọn cùng một hướng đi trên
Trang 21người ta quy ước hướng thuận của phép quay trong mặt phẳng là hướng tương ứng
với hướng ngược chiều quay của kim đồng hồ (#H»h 10) Hướng ngược lại gọi
là hướng nghịch
Hướng thuận cịn được gọi là hướng dương hay hướng lượng giác, hướng nghịch cịn được gọi là hướng âm, và ký hiệu dương hay âm bởi dấu -Ƒ hay —
Như vậy, mặt phẳng ? gọi là đã được định hướng Chiều đi thuận trên mọi đường cong kín khơng tự cắt và đặc biệt trên mọi đa giác đơn hoặc mọi đường
trịn của mặt phẳng ứng với chiều thuận trong mặt phẳng
Định nghĩa 3 Tà gọi là đường trịn lượng giác, một đường trịn cong bán kính bằng đơn vị dài (đường trong đơn vị) và được định lý theo hướng thuận
Định nghĩa 4 Nếu chiều đi trên các cạnh 4, BƠ và CA của một tam giác
ABC trong mat phẳng định hướng 7 tương ứng với chiều thuận của mặt phẳng
7 thì ta nĩi tam giác 4 BC cĩ hướng dương, hay được định hướng dương (nh
11a) Trái lại nếu chiều đi trên tam giác đĩ ứng với chiều nghịch của 7 thì tam
giác ABŒ cĩ hướng âm, hay được định hướng âm (#h 110) Như vậy, hai tam giác cĩ cùng ba đỉnh 4, Ư và C thi tam giác A BƠ và BAC là hai tam giác trong mặt phẳng định hướng ? cĩ hướng ngược nhau Ngồi ra cũng dễ thấy rằng trong 7 thì hướng của một tam giác định hướng 4Œ trùng với hướng của các gĩc
định hướng 4C trùng với hướng của các gĩc định hướng (45, AC), (BC, BA) và (ŒA,CP)
Từ các nhận xét trên ta cũng thấy rằng hướng của một tam giác khơng thay đổi khi ta hốn vị vịng quanh các đỉnh của nĩ (phù hợp với Định nghĩa 4 ở trên) Cũng vì lẽ đĩ mà người ta ưa dùng định nghĩa sau
Định nghĩa 4' Mộ bộ ba điểm sắp thứ tự {4, Ð,C} của mặt phẳng định
hướng 7 được gọi là một tam giác định hướng (hay cĩ hướng) của mặt phẳng đĩ và ký hiệu là À4 BC như thơng thường (như chú thích đến cách viết) theo thứ tự
các đỉnh
Hình 11
Trang 22thành diện tích đại số và ta cĩ định nghĩa sau
Định nghĩa ð Tà gọi là diện tích đại số của tam giác định hướng 15C (trong mặt phẳng định hướng P), mot số đại số bằng diện tích của A.4BŒC (khơng định
hướng) về giá trị tuyệt đối, nhưng lấy dấu + hay — tuỳ theo tam giác ABC cĩ hướng thuận hay hướng nghịch và ký hiệu là s(4C) hay van tat la ABC Vay
là s(ABC) hay ABC = +s(ABC)
2 Một số vấn đề bổ sung liên quan đến những đối tượng hình học cĩ hướng và số đo đại số của chúng
Như ở mục 2, các Định lý 5 và 5, đã chỉ ra rằng tích của hai phép đối xứng trục
(trong mặt phẳng) cĩ trục cắt nhau là một phép quay phẳng xung quanh giao điểm
O của hai trục đĩ Bởi vậy, ta cũng cĩ thể lấy nội dung Định lý 5 làm định nghĩa của phép quay như một số tác giả đã làm Tuy nhiên, nếu đã đưa vào khái niệm mặt phẳng định hướng gĩc định hướng của hai tia cùng gốc hoặc gĩc giữa hai véctơ thì ta cĩ thể đưa ra định nghĩa phép quay một cách trực quan hình học hơn như sau
Định nghĩa phép quay phẳng Trong mặt phẳng 7 giả sử đã được định hướng
cho một điểm Ĩ cố định và một gĩc định hướng (gĩc lượng giác) 7, xác định sai
khác 2kz (k € Z) Ta gọi là phép quay tâm Ĩ với gĩc quay y, trong mat phẳng
P, ky hiéu 1a Q(O, y) hay Qo,„, một phép biến hình điểm Ĩ thành chính nĩ và
biến mỗi điểm 3⁄ Ĩ thuộc 7 thành điểm A⁄”, cũng thuộc 7, xác định bởi các
hệ thức (Hình 12)
(OM,OM') = ợ, và OM' =OM
Khi điểm A/ vạch nên một hình 2 thì điểm A⁄', tương ứng của nĩ vạch
lên hình tương ứng (hình biến đổi hay ảnh) của ? trong phép quay đĩ, ký hiệu 1“ = Qo„(i)
Hình 12
Theo định nghĩa trên, nếu ¿ và vy’ 1a hai gĩc định hướng mà số đo đại số của
Trang 23người ta thường chọn ¿ sao cho —Z < y < 7 hay đơi khi 0 < ¿ < 27)
Cũng theo Định nghĩa trên thì Q(Ĩ,¿ = Mi la phép déng nhat, va Q(O, 7) hoặc Q(O, —7) la phép đối xứng 2(Ĩ) quan tâm O
Như chúng ta đã biết giữa ba điểm 4, 8, C bất kỳ trên một trục A ta cĩ một
—> —> —>
hệ thức giữa các độ dài đại số của ba véctơ 4B, BŒ và CA trên trục đĩ như sau gọi là hệ thức Salờ (Chasles)
AB+ BC =CA hay là AB+ BC +CA=O, (VA,B,C € A)
Đối với số đo (độ lớn) đại số của các gĩc định hướng giữa hai phương trình định hướng (bao gồm các gĩc giữa hai tia, giữa hai véctơ, giữa hai trục) và gĩc
định hướng giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng định hướng, ta cũng cĩ những
hệ thức tương tự
—>
Hệ thức Salờ (Chasles) uê gĩc định hướng) Với bất cứ ba véctơ a, b, ¢ nao,
hoặc ba đường thang ø, b,c nào trong mặt phẳng, ta đều cĩ những hệ thức sau + G, b) (b,c) =(a, C)+2kr, kEZ @,b6)=—(b,a) (mod 3z) + (b,c) = (a,c) + kr =-(b,ø) (mod 7) (a, (a,b) (a,b)
Đối với diện tích đại số, ta cũng cĩ hệ thức tương tự (hãy tự kiểm nghiệm) Hệ thức Salờ về diện tích đại số của tam giác định hướng Với mọi điểm ⁄ thuộc mặp phẳng định hướng của tam giác định hướng ABC cho trước,
ta cĩ hệ thức sau đây về diện tích đại số của tam giác
s(M BC) + s(MCA) + s(M AB) = s(ABC), VM € mp(ABC)
hay là
M BC + MCA+ M AB = M BC + AMCŒC + ABM = ABC, VM € mp(ABC) Chú thích Khi sử dụng gĩc định hướng giữa hai véctơ và gĩc định hướng giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng, cần lưu ý đặc biệt đến mối quan hệ giữa
gĩc ở tâm và gĩc nối tiếp cùng chắn một cung trên đường trịn Trong một đường
trịn (v), một gĩc ở tâm và một gĩc nối tiếp định hướng được gọi là liên kết khi
chúng chắn cùng một cung định hướng Nếu để ý rằng số đo đại số của cung
định hướng AB của đường trịn (Ĩ) bằng số đo đại số của gĩc ở tâm (OA, OA)
Trang 24cĩ kết qủa sau (đề nghị tự chứng minh)
Định lý 10 Khi ba điểm 4, 8, M⁄ cùng thuộc một đường trịn tâm Ơ thì ta cĩ hệ thức
]l — —
(MA, MB) = 5 (OA, OB) + kr
Dinh lý trên cĩ thể được phát biểu lại như sau: Một gĩc định hướng (của hai đường thẳng) nội tiếp một đường trịn thì bằng một nửa gĩc ở tâm định hướng
(của hai véctơ) liên kết
—> —>
Như vậy nếu (MA, MB) = œ (mod z) thì (OA,OB) = AB =2ø, (mod 2n)
Hình 13
Sau đây là một số hệ quả suy ra từ định lý cơ bản (Định lý 10) trên đây cần thiết cho việc ứng dụng vào giải tốn (tốn chứng minh cũng như quỹ tích)
Định lý 11 Muốn cho bốn diém A, B,C, D (khong thang hàng) cùng thuộc một đường trịn, điều kiện cần và đủ là
(CA,CB) =(DA,DB)=¢ #0; (mod z)
Chú ý Nếu (CA, CB) = (DA, DB) = 0 thi b6n diém A, B, C, D thang hàng
Dinh ly 12
a) {M|(MA, MB) = a (mod z)} 1a mot dudng tron di qua A va B, gọi là đường trịn chứa gĩc định hướng của các đường thẳng di qua A va B
—> —>
b) {A/|(MA, AB) = œ (mod 2)z là một cung trịn 4œ? cĩ hai đầu nút 1a A
và Ð, gọi là cung chứa gĩc định hướng œ của hai tia di qua A va B
Trang 25Định lý 13 Phép đối xứng trục trong mặt phẳng biến một tam giác thành một tam giác bằng nĩ nhưng ngược hướng với nĩ
Chứng minh Ta chỉ cần chứng mĩnh tính chất sau đây là đủ: phép đối
xứng - trục biến một gĩc định hướng (giữa hai véctơ, hoặc giữa hai đường thẳng) trong mặt phẳng định hướng thành gĩc đối với nĩ (sai khác 2k7, hoặc là kz & € Z)
—> —> _> —>
Xét gĩc (4B, AC) và gĩc (A’B’, A’C’) anh của nĩ trong phép đối xứng trục
—> > —> > = —> —> —> 4 ; ,
D(A) Dat AB = b, AC = ¢, A'B’ = W AC' = c, và e là véctơ đơn vi chi
phuong cua truc A Dé thay rang + + (e, Ù) = -(€, b), (e,c’) = —(€,¢) (1) Lại theo hệ thức Salờ ta cĩ —-> — > > — > (U,e)=(°,#)—(°,M) va — (b,c) =(e, €) — (@, b) (ii) Hinh 14 , 3 > Do đĩ, từ các đăng thức dạng (i) va (ii) ta duoc (b’,c') = —(b, c), ttic 1a ——> ——> ——> —> ` (APB,AC")=—(A1B, AC) Từ đây ta được điều phải chứng minh —> —> Cuối cùng vì hướng của tam giác 4Œ trùng với hướng của gĩc (4, AC) —> —>
cũng như hướng của tam giác 4Œ" trùng với hướng của gĩc (A“P', AC") ta suy ra tam gidc A’B’C’ = D,a(ABC) ngược hướng với tam giác ÀŒ, và do đĩ
hai tam giác là phan bằng nhau, tức là A A’B'C’ = AABC
Trang 26cu) phang
Định nghĩa 1 Các phép dời hình phẳng được chia làm hai loại, loại một và loại hai tuỳ theo nĩ bào tồn hướng hay đảo ngược hướng hình Phép dời hình loại một cũng được gọi là phép dời hình thuận, hay gắn gọn là phép đời hình Phép dời hình loại hai cũng gọi là phép dời hình nghịch, hay phép phản chiếu hoặc phép dời hình
Định nghĩa 2 Hai hình 2 và ?/ là ảnh của nhau trong một phép đời hình
thuận được gọi là hai hình bằng nhau thuận, hay ngắn gọn là hai hình bằng nhau; ký hiệu ?' = #
Hai hình 2 và 7/ là ảnh của nhau trong một phép đời hình nghịch được gọi là hình bằng nhau nghịch, hay phan bang nhau, ky hiéuh H’ = H
d) Dạng chính tắc của phép dời hình thuận và phép dời hình nghịch
Định lý 14 (Về dạng chính tắc của các phép dời hình và phản dời hình) Một phép dời hình thuận trong mặt phẳng thì, hoặc là phép biến hình đồng nhất, hoặc là một phép quay xung quanh một điểm, hoặc là một phép tịnh tiến
Một phép dời hình nghịch (phản dời hình) trong mặt phẳng thì, hoặc là một phép đối xứng - trục, hoặc là một phép đối xứng - trượt Chú ý Phép quay thực sự (2 7đ) là phép dời hình thuận cĩ một điểm bất đồng duy nhất là tâm quay Phép đối xứng trục là phép phản dời hình cĩ một đường thẳng cố định gồm tồn những điểm bất động
Phép tịnh tiến là phép dời hình và phép đối xứng - trượt thực sự là phép phản đời hình khơng cĩ điểm bất động
5_ Bài tập về sự xác định và dạng chính tắc cỉa phép dời hình
phẳng
2.1 Chứng minh định lý: Trong mặt phẳng 7 cho hai đoạn thang bằng nhau 4 và A'' thế thì tồn tại hai và chỉ phép đẳng cự ƒ, : ? -> Ð ¡ = 1,2 của
Trang 272.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12
Trong mặt phẳng cho hai tam giác cân bằng nhau ABC và A'E'Œ' và cân ở A và A/ Tìm các phép dời hình và phản dời hình biến tam giác thứ nhất thành tam giác thứ hai
Cho hai tam giác đều, cĩ cạnh băng nhau ABC và AE 'C”, hãy xác định tất cả các phép dời hình và phản dời hình phẳng biến tam giác thứ nhất thành tam giác thif hai
Trên mặt phẳng cho hai tam giác 4 BƠ, A'B'C' nhau và cùng hướng nhưng
khơng cĩ hai cạnh tương ứng nào song song với nhau Chứng minh rằng cĩ
một điểm Ĩ duy nhất cách đều ca ba cap diém A, A’; B, B’; va C,C" Trong mặt phẳng cho hai tam gidc phan bang nhau, AA’B’C’ = AABC
Chứng minh rằng các diém chung A,, B, va C, clia cdc doan thang AJ’, BB', va CC’ ndi cdc cap định tương ứng ma ba điểm thẳng hàng
Chứng minh Định lý 8
Trong mặt phẳng cho ba đường thẳng A;, (2 = 1,2,3) Chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để ba đường thắng A;, (¡ = 1,2,3) đồng quy hoặc
song song 1a tich f = D3 eo Đạ o С cũng là phép đối xứng - trục, trong đĩ
D, = D(A,), i= 1,2,3
Chứng minh rằng tích của hai phép quay Q1(O1, ~1) va Q2(O2, Y2) 1a một
phép quay hay phép tịnh tiến tuỳ theo tổng ¿ + ¿¿ = ¿ của một các gĩc quay khơng là bội của 2z (radian) hay là bội của 2z (cũng tức là ¿ = ƠƯ
(mod 27)
Chứng minh rằng tích của một phép quay và một phép tịnh tiến (theo thứ tự đĩ hay theo thứ tự ngược lại) là một phép quay
Cho ABŒD và A!E'C!D' là hai tứ giác lồi của mặt phẳng ? Chứng
minh rằng nếu 4B' = AB,RC” = BŒ,C A' =CA,AD = AD th
ED' = BD và C'D' = Œ]) và hai tứ giác đĩ bằng nhau (thuận hay nghịch:
A'EBCŒ'D'= ABC] hoặc A'E'Œ*ˆD?'>= ABCD
Cho hanh hình vuơng 4ABŒ7D và A'WŒ7D' cĩ cạnh bằng nhau và cĩ một đỉnh A chung Tim tat cả các phép dời hình và phản đời hình biến hình vuơng thứ nhất thành hình vuơng thứ hai
Giả sử AiAa4:A¿ là một tứ giác (lồi) nối tiếp một đường trịn (Ĩ) Gọi H;
là trực tâm của tam giác 4;4„4; với {¿, 7,k,} = {1,2,3,4, } Chứng minh
rằng hai tứ giác 4i.4a4;.4a và HạH;H¿ bằng nhau thuận
H’' (Hy Hy H3H,4) = H(A, A2A3Ay4)
Hướng dẫn Chứng minh rằng cĩ một phép đối xứng tâm bién A; thanh
Trang 28§ 3 Vận dụng phép dời hình vào việc giải một số bài tốn hình học phẳng, Thí dụ minh hoa và
bài tập
1 Ung dung phép tinh tiến và việc khảo sát tính chất của hình
và dựng hình
Thí dụ 1 Chứng minh tính chất sau đây của trực tâm tam giác Trong mọi tam giác, khoảng cách từ mỗi đỉnh đến trực tâm gấp đơi khoảng cách từ tâm đường trịn ngoại tiếp đến cạnh đối diện
Ching minh Ta cén ching minh d(A, H) = 2d(O, BC) hay AH = 20A,,
trong đĩ đ là ký hiệu khoảng cách va A, là trung điểm cạnh BƠ Nhưng cả hai đoạn thẳng 4H và ĨA„ đều vuơng với BƠ, hơn nữa lại cùng, hướng B Bởi vậy, | ta nghĩ đến sử dụng véctơ và bài tốn trở thành chứng minh AH = = 20A, = = 00",
trong d6 O' = D(O) Tt dé suy ra AH = 20A,
Hinh 15
Thật vậy, vì điểm / đối xứng với trực tâm H cha ÀA ÀŒ qua cạnh BC thuộc
vào đường trịn ngoại tiếp tam giác (H?nh 15) nên các đường tron (ABC) tam O va (HBC) tam O' đối xứng nhau qua ĐC thì bảng nhau (cĩ cùng bán kính) Và do đĩ, chúng lại cịn tương ứng với nhau trong phép tịnh tiến J(0) theo vécto
> v =OO' = 20Ap Vi T(v) biến A thành H nên ta c6 AH = 20A, ^^ ` Sew vane -
Thi du 2 Tam giac ABC n6i tiép tron (O) cho truéc cĩ hai dinh A, B cé
dinh
a) Tim quy tich truc tam H cua tam gidc ABC
—>
b) Chứng minh rằng với mọi vị trí của Œ véctơ Ởï luơn được nhìn từ 4 dưới một gĩc định hướng (của các đường thăng) khơng đổi (Hình 16)
Trang 29a) Trước hết thiết lập hệ thức véctơ Ởƒ = 20C,, trong đĩ Œ, là trung điểm cạnh 4? (xem Thí dụ 1) từ đĩ suy ra, {H rà là đường trịn (Ĩ”) được suy ra từ (Ĩ) bởi phép tịnh tiến 7() theo ở = = 20€,
_y
b) Gọi ' là ảnh của trong phép tịnh tiến theo ¥ = 20C,, thé thi B’ = D(B)
là điểm xuyên tâm - đối của 4 trén dudng tron quy tich (O’) của C Tir dang
—> —> —> —>
thức (G'E',,Ø'H) =(OB,OC) (mod 27) suy ra (AB’, AH) = (AB, AC), (mod 7) và sau đĩ áp dụng hệ thức Salờ, ta được 1l, ,^ › (AC, AH) = (AB, AB’) = 5 (AO, AO’), khơng đổi, (mod 7) Hinh 16 Thí dụ 3 Dựng một hình thang biết độ dài một cạnh đáy, độ dài hai đường chéo và gĩc (gĩc nhọn) giữa chúng Hình 17
Phân tích Giả sử hình thang ABŒCD(AB || CD) đã dựng được, cĩ cạnh đáy AB = a, hai đường chéo AC = m, BD = n va géc (AC, BD) = » < 1/2
Để làm xuất hiện một tam giác cĩ một gĩc bằng ¿ hoặc — ¿ và hai cạnh gĩc
—>
đĩ bằng m và øw, lẽ tự nhiên ta nghĩ đến sử dụng phép tịnh tiến theo vécto DC
Và do đĩ, bài tốn được quy về dựng tam giác AC E cĩ CA =?n,CE = n và
LACE = = 7 — ý trong đĩ È; được suy Ta từ trong phép tịnh tiến theo véctơ ở ~ DC (Hinh 17) nghia la BE = DC hay F 1a dinh thit tu cua hinh binh hanh
Trang 30dựng hình thang cần tìm theo trình tự sau Trước hết dựng tam giác 4Œ như đã nĩi ở trên Sau đĩ, trên tia 4È) dựng điểm ? xác dinh boi AB = a Cudi cùng, dựng diém D xc định bởi CD = EE B, la dinh thir tu cua hinh hanh CE BD Biện luận Bài tốn cĩ nghiệm hình khi va chi khi a < a’, trong d6 a’ = AE =
2 2 2
Vm? +n? + 2mncos @ và do đĩ khi va chi khi 0 < y < yp = arccos 2mn +")
2 Ung dụng phép đối xứng tâm vào kho sát tính chất của hình
và dựng hình
Thí dụ 4 Chứng minh rằng nếu một tam giác cĩ đường trung tuyến và đường
phân giác phát xuất từ cùng một đỉnh mà trùng nhau thì tam giác đĩ là cân
Hình 18
Thật vậy, giả sử tam giác cĩ đường trung tuyến 47 đồng thời là đường phân
giác (Hình 18) Vì sẵn cĩ D là trung điểm cạnh BC réi, hay B va Œ đối xứng với nhau qua điểm nên ta nghĩ đến phép đối xứng - tâm ‘D(D) Phép này biến
A thanh A’ va do d6, A’ 1a đỉnh thứ tư của hình bình hành BACA' tâm D Boi
vay AC = BA' va ZA, = ZA = ZA; suy ra tam gidc BAA’ can 6 B va do đĩ BA’ = BA từ đĩ ta được AB = AC và tam giác ABC cân ở A
Thi du 5 (Vận dụng giải tốn dựng hình) Qua giao điểm của hai đường trịn cắt nhau (4) va (Og) đã cho hãy kẻ một cát tuyến A sao cho nĩ định ra trên các đường trịn đĩ hai dây cung bằng nhau
Phân tích Giả sử đã dựng được cát tuyến A đi qua P cat (O,) ở A va (Op)
ở B sao cho ÁP = PB, cũng tức là A và ? đối xứng nhau qua ? Ta nghĩ đến
Trang 31với P Sau cùng, dựng giao điểm thứ hai B cua tia [BP) va dudng tron (Og) Dé thay rang AP = PB va bài tốn luơn cĩ nghiệm duy nhất
Hình 19
3 Những điều cần lưu ý khi vận dụng phưng pháp biến hình vào việc giải tốn hình học
a) Phương pháp biến hình trong việc giải tốn hình học
Những bài tốn hình học trình bày dưới dạng những thí dụ minh hoạ sắp đặt
vào hai mục 1 và 2 ở trên đề cập tương đối đầy đủ các dạng tốn hình học, chỉ
thiếu dạng tính tốn các đại lượng hình học Dạng chứng minh tính chất hình học
của các hình được đề cấp đến trong các thí dụ 1, thí dụ 2 phần b) và thí dụ 4 Thí dụ 2 phần a) đề cập đến dạng tốn quỹ tích (tìm tập hợp điểm) Tốn dựng hình
đề cập đến trong các thí dụ 3 và thí dụ 5 Tuy nhiên điều muốn nĩi ở đây là cả năm bài tốn trình bày trên đây đều cĩ một đặc điểm chung về phương pháp giải
Phép tịnh tiến đã được sử dụng để giải các bài tốn nêu trong ba thí dụ đầu va phép đối xứng - tâm đã được vận dụng vào hai thí dụ 4 và 5 Bởi vậy cĩ thể gọi tên phương pháp giải các bài tốn đĩ là phương pháp tịnh tiến và phương pháp đối xứng (cụ thể hơn là đối xứng - tâm) gắn với tên gọi của phép biến hình được sử dụng đến
Những bài tốn này đều cĩ thể giải được về cơ bản chỉ cần kiến thức hình
học thuộc các lớp trung học cơ sở, nhưng đã được chúng ta giải lại theo quan điểm biến hình Như vậy là trong việc khảo sát tính chất của các hình học và nĩi
đầy đủ hơn là trong việc giải tốn hình học, ngồi phương pháp tổng hợp, phương
Trang 32b) Cách nhận biết lớp các bài tốn học cĩ khả năng giải được bằng phương pháp biến hình
Về mặt nguyên tắc, bất kỳ bài tốn hình học nào cũng cĩ thể giải bằng phương pháp toạ độ (cũng cịn gọi là phương pháp đại số) Tuy nhiên, nhiều bài tốn hình học giải bằng phương pháp tổng hợp thơng thường lại đi đến kết quả nhanh chĩng
và gọn gàng cũng như đẹp hơn nhiều Cũng vậy, nhiều bài tốn hình học cĩ thể
giải được nhanh chĩng và gọn gàng nếu biết sử dụng phương pháp véctơ
Như chúng ta đã thấy, thường thì một bài tốn hình học cĩ thể giải được bằng nhiều cách khác nhau, chí ít là một cách, phương pháp tổng hợp hay phương pháp toạ độ Tuy nhiên đứng trước một bài tốn mới về hình học ta nên xem xét cẩn thận để lựa chọn phương pháp giải thích hợp sao cho đạt kết quả nhanh, gọn nhất
Để cĩ thể giải một bài tốn hình học bằng phương pháp biến hình, trước hết
phi nhận ra được dấu hiệu của lớp các bài tốn cĩ khả năng giải được bằng phương pháp này Đương nhiên, khơng phải bài tốn nào cũng giải được bằng phương pháp biến hình Một câu hỏi được đặt ra là: làm thế nào để nhận biết được một bài tốn hình học nào đĩ cĩ khả năng giải được bằng phương pháp biến hình?
Muốn vậy, ta hãy trở lại phân tích từng thí dụ đã được chỉ ra ở trên Cơ sở của việc cĩ thể sử dụng phép biến hình này nọ vào mỗi bài tốn (thí dụ) đã được chỉ ra Thường thì trong dữ kiện của bài tốn và (hoặc) trong tính chất của hình địi hỏi phải thiết lập (chứng minh) hoặc trong điều kiện đỏi hỏi ở hình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố cĩ mỗi liện hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụ thể nào đĩ Chẳng hạn, trong thí dụ khi thiết lập một tính chất của trực tâm tam giác, sau khi sử dụng một tính chất khác đã biết của trực tâm là các điểm đối xứng của nĩ qua mỗi cạnh đều nằm trong một đường trịn ngoại tiếp tam giác thì tức
khắc làm xuất hiện hai đường trịn bằng nhau là (ABC) tâm (Ĩ) và (H BC) tâm (O’) trong đĩ ïƒ là trực tâm tam giác 4Œ cịn @' đối xứng với Ĩ qua ĐŒ Hai
đường trịn này vừa là tương ứng với nhau khơng nhưng trong phép đối xứng trục
D(BC) va trong phép đối xứng - tâm (A,) trong đĩ 4, là chung điểm chung của ĐŒ và Q” mà cịn tương ứng với nhau cả trong phép tịnh tiến J(0) theo
—
vécto ở = OO', Chính mối liên n hệ này ‹ của hai 1 đường trịn bằng nhau đã giúp
ra thiết lập được hệ thức véctơ AH = OO! = = 20A, (vé phép tinh tién theo OO! khơng những biến Ĩ thanh O’ va (O) thanh (O’), trong đĩ điểm 4 trén (O) biến
thành điểm H trén (O’)
Trang 33trước hết chúng ta phải xem xét, phân tích nội dung bài tốn để tìm ra yếu tố nào trong đĩ cĩ mối liên hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụ thể nào đĩ Sau đĩ, vận dụng các tính chất của phép biến hình này mà tìm ra lời giải hay đáp số của bài tốn được xét
Đặc biệt đáng chú ý là phương pháp biến hình cũng thường gặp và được sử dụng trong việc giải một bài tốn quỹ tích và dựng hình, nhất là tốn dựng hình
Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp thì hình là một tập hợp điểm nào đĩ
Bởi vậy, việc sử dụng một hình học nào đĩ lại quy về dựng một số điểm hữu hạn
để để xác định, cũng cĩ nghĩa là đủ để tạo nên hình đĩ Trong mặt phẳng thơng
thường một điểm được xác định bởi giao của hai đường, trong đĩ cĩ đường thắng và đường conic mà đường trịn là một elíp đặc biệt Trong hai đường dùng để xác
định điểm phải dựng là một trong các giao điểm của chúng, thường thì một đường
đã cĩ sắn trong giữ kiện của bài tốn cịn đường thứ hai là quỹ tích của những điểm cĩ một tính chất đặc trưng hình học nào đĩ và được suy ra từ một đường đã cho trong dữ kiện của bài tốn bởi một phép biến hình nào đĩ Phép biến hình
này được phát hiện để sử dụng nhờ việc phân tích cụ thể nội dung bài tốn hình
học được đặt ra như đã nĩi ở trên Các thí dụ 3 và 5 trình bày ở trên đã minh hoạ cho những nhận xét chung vừa nêu xoay quanh việc sử dụng phương pháp biến hình vào việc giải tốn dựng hình Bởi vậy, hãy trở lại các thí dụ 3 và 5 này, ta sẽ thấy sáng tỏ hơn trong việc vận dụng về sau
4 Ứng dụng phép đối xứng - trục vào việc giải tốn hình học
phẳng
Thí dụ 6 Giả sử P là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ZPAC =
10°,⁄PŒA = 20°,⁄PAB = 30° và ABC = 40° Hãy xác định độ lớn gĩc
⁄BPU
Hình 20
Nhận xét Đây là một bài tốn thuộc loại tính tốn các đại lượng hình học,
cụ thể là tính độ lớn (số đo) của một gĩc giữa hai tia Bài tốn này vì thế cĩ thể
Trang 34tam gidc ABC ching ta lai nghi đến việc sử dụng một phép biến hình Đĩ chính là phép đối xứng - trục
Thật vậy, theo giả thiết của bài tốn thì, rõ ràng là tam giác ABC cân ở Œ, cĩ gĩc ở đỉnh ⁄Œ = 100° (vì hai gĩc ⁄A và ⁄B mối gĩc 409) Do đĩ,
đường cao hạ từ Œ trùng với trung trực ¿|A] là trục đối xứng của tam giác ABC Goi A =?[AB] A 5 C Dung diém Q = Da(P), ta duoc CP = CQ va ZQCB = ZPCA = 20° Ti d6 suy ra tam gide CPQ 1a déu (Hinh 20) va tinh duoc ZBQP = 150° Vi vay ZBQP = ZBQC = 150° va ABQC’ = ABQP
(c.g.c) Boi thé, BQ kh6ng nhitng 1a phan gidc cua g6c ZC BP ma con 1a phan
giác của gĩc ⁄ŒQP đồng thời phép đối xứng trục 2(ØQ)) biến ABQC thanh ABQP, trong d6 BC > BP,BP + BC va ZBCP + ZBPC Vi vay,
ZBPC = ZBCP = 20° + 60° = 80° va do dé tam gidc BCP can 6 B cé géc &
dinh B bang 20° Tra loi: ZBPC = 80°
Thi du 7 Trong mat phang cho hai đường thẳng đ¡ và đạ cắt nhau ở Ĩ và
một điểm P cố định nằm ngồi đi, dạ Mot dudng thang A quay xung quanh P
cắt dị ở A và dạ ở B Các đường thẳng A;¡, A¿ đối xứng với A lần lượt qua dị
va dz cat nhau 6 M Tim hay quỹ tich cha M
Nhận xét Chúng ta nhận thấy các yếu tố đối xứng - trục đã xuất hiện ngay trong các dữ kiện của bài tốn, vì vậy bài tốn này địi hỏi phải sử dụng tính chất
của phép đối xứng - trục và gĩc định hướng của hai đường thẳng (mod z) để
tìm quỹ tích
Hình 21
Trang 35ra P; © A; = D„,(A) từ đĩ ta ta được
(Ay, A) = 2(Ai, di) = 2(d;, A), (mod z) (A, Ag) = 2(d2, Ag) = 2(A,d2), (mod 7)
Tu d6 suy ra
(Ay, Ag) = 2(d,, dz) = 26 =0, (mod 7) (1) trong đĩ (đi, d¿) = ơ, (mod 7) Vì Aif1Aa¿ = M va P, € Aj, (¢ = 1,2) nén (1)
được viết lại như sau
(MP, MP») = 2(d, đạ), (mod 7) (i)
Mat khac, vi P; = D,,(P), (i = 1,2) và Ĩ = dị đd; nên ta cĩ các đẳng thức »( (
(OP, OP) = Ai, d,) = 2(d,,OP), (mod 7) (2) (OP, OP)) = 2(d2, OP») = 2(OP, dy), (mod 7) (3)
Từ (2) và (3), nhờ hệ thức Salờ ta được
(OP, OP,) = 2(d, da), (mod 7) (ii)
Đối chiéu (i) va (ii) ta suy ra
(MP,, MP2) = (OP,, OP), (mod 7) (1)
Đẳng thức (ii) chứng tỏ bốn điểm O, P,, P2 va M = A, Ag cing thudc mot đường trịn với vị trí của đường thẳng A quay quanh điểm P cố định Vậy, ta đi
đến kết luận
a) Nếu d¡ và dạ khơng vuơng gĩc với nhau ở Ĩ và do đĩ, Ĩ, P¡ và P; khơng
thang hang thi {M = A, M A>} 1A đường trịn ngoại tiếp tam giac OP, P, b) Nếu đ¡ vuơng gĩc với dạ thì {ƒ} là đường thang di qua P, va P»
Thí dụ 8 Tìm đường ởi của một qua bi-a, sao cho sau khi chạm hai lần vào
Trang 36Hinh 22
Trước hết, để ý rằng do tác động của lực đẩy bắn vào quả bi-a của người chơi,
qua bi-a sau khi chạm vào thành bàn (bàn bi-a cĩ dạng hình chữ nhất hoặc vuơng PQRS) thi phan xạ trở lại theo quy luật như phản xạ ánh sáng, tức là gĩc phản xa bằng gĩc tới tia phản xạ đối xứng với tia tới qua pháp tuyến của thành bàn tai điểm chạm (Hình 22) Như vậy, rõ ràng phép đối xứng trục đã phát huy tác dụng
giúp ta giải bài tốn dựng hình này
Goi M va Đ lần lượt là điểm chạm lần thứ nhất và lần thứ hai của quả bi-a với
các thành bàn RS va SP sau khi xuất phát từ điểm 4 (gần điểm gĩc của bàn) trên mặt bàn để rồi trở lại điểm ? (gần điểm gĩc P của bàn) cũng đã được định sẵn trên
mặt bàn bi-a hình chữ nhật PQR.S (Hình 22) Thế thì, theo quy luật phản xạ nĩi trên, đường thẳng Ä⁄ N chứa tia phản xạ Ä⁄Z và cũng là tia tới của phải đi qua các
điểm A' = D(A) va B! = D(B) Từ đĩ suy ra cách xác định các vị trí M và N
của quả bi-a chạm vào các thành bàn #S và SP : [A’BN{[RS], [SP]} = {M, N}
Kết luận Đường gấp khúc bốn đốt AMNB là đường đi phải cua qua bi-a
sau khi chạm hai lần liên tiếp vào các thành ban [RS] va [SP]
Chú ý Biên luận về khả năng cĩ lời giải của bài tốn phụ thuộc vào vị trí của
các điểm 4 và ? (đã đặt sẵn trên mặt ban bi-a)
5 Ứng dụng các phép quay và đời hình (nĩi chung) vào việc
giải tốn
Thí dụ 9 Trong mặt phẳng cho hai tam giác 4BŒ, ADE cĩ các gĩc ở đỉnh
chung 4 bù nhau, déng thoi AB | AD,AB = AD; AC | AE,AC = AE va
hai tam giác đĩ khơng cĩ điểm chung nào khác ngoai dinh A Ching minh rang đường thẳng chứa trung tuyến phát xuất từ đỉnh chung A cua tam giác này cũng chứa đường cao hạ từ 4 của tam giác kia
Trang 37Hinh 23
Goi M 1a trung diém canh 8C, HH là chân đường cao 4H của tam giác
ADE; ta ching minh AM | DE Mu6n vậy, ta thực hién phép quay Q(A, 7/2)
(Hinh 23) Khi d6, néu tam gidc ABC’ cé hu6éng thuan thi phép quay nay bién
tam giac ADE thành tam giác ABF do D + BvaEw F= D(C) Vi BF = Q(DE), trong d6 Q = Q(A, 7/2) nên (theo tính chất của phép quay gĩc
+n/2) thi BF L DE va BF = DE, dong thoi BF || AM va BF = 2AM (do
AM la duong trung binh cha ABC F) Ti dé suy ra AM L DE, cũng tức là
(AM) = (AH) Day là điều phải chứng minh
Thí dụ 10 (Chứng minh định lý Pompiu) Nếu P là một điểm bất kỳ nằm
trong mặt phẳng của một tam giác đều AC cho trước thì bao giờ cũng tồn tại
một tam giác 7 cĩ độ dài ba cạnh bằng các khoảng cách từ điểm P đến các đỉnh
củ tam giác đều đã cho đĩ, kể cả trường hợp khi 7 suy biến thành đoạn thẳng, ký hiệu 7 = 7(PA, PB, PC) Ngồi ra, hãy tìm quỹ tích của điểm P để 7 suy biến
Nhận xét Định lý Pompuu trên đây cho ta biết một tính chất đặc trưng của
tam giác đều Cĩ nhiều cách chứng minh định lý Pompiu Sau đây là cách chứng
minh nhờ sử dụng phép quay gĩc 60°
Phân tích Giả sử PA = max{PA, PB, PC} Nếu 37TPA, PB, PC) thì ắt phải tồn tại một điểm Q trong mặt phẳng sao cho PQ = PB và QA = PC (Hình 24) Thế thì, hai tam giác ĐAQ và BŒCP (đã cĩ BA = BC va AQ = CP) sé bằng nhau khi và chỉ khi ĐQ = BP và do đĩ khi va chi khi 7PBQ = 60° Sự phân tích này làm nảy sinh ý tưởng sử dụng phép quay gĩc 60° xung quanh điểm 5 một cách hết sức tự nhiên
Hình 24
Thật vậy, nếu tam giác đều ABŒ đã cho cĩ hướng thuận thì, phép quay
Q(B,+60°) giữ bất động điểm B, biến Œ thành 4 và biến P thành điểm Q (sao
Trang 38QA = PC Nĩi khác đi là, QAP chính là một tam giác 7{(PA,P?B, PC) đồi hỏi, được sinh ra từ điểm ? do thực hiện phép quay Q(B, 60°) Day 1a diéu phai
chứng minh
Tam giác 7 này được sinh ra bởi điểm P tương ứng sẽ suy biến thành đoạn
thăng khi và chỉ khi P, Q, 4 thẳng hàng, nghĩa là 7(P.A, PB, PC) suy biến tương đương với (QP,Q4) = 0, (mod 1800) (1) Lại do tam giác ÐAQ bằng tam giác BƠP nên ta cĩ (QB,QA) = (PB, PC) hay 1a (QB,QP) + (QP,QA) =
(PB, PC), (mod 180°); VP € mp(ABC) (2) Mặt khác, do ABPQ là đêu —> —> —> —>
và cùng hướng với ABŒA đều, nên ta cĩ (QB,QP) = (AB,AC) = 60°, (mod 360°) (3) Đối chiếu (1), (2) va @) ta suy ra T(PA, PB, PC) = AQAP
suy biến khi và chỉ khi (PB, PC) = (AB, AC) (mod 1809) (4) Hệ thức (4) cho
ta biet {P} dé T(PA, PB, PC) suy biến là đường trịn (48C)
Thi du 11 (Ung dung tich cua hai phép quay)
Dựng ra phía ngồi tam giác 4C (giả sử cĩ hướng thuận) hai hình vuơng ACIM ya BCNP Chứng minh rằng nếu giữ hai đỉnh 4, Ø cố định và cho Œ
chạy khắp nửa mặt phẳng mở (nửa dương) cĩ bờ là đường thẳng (4) thì đường thang MP lu6n di qua một điểm cố định Hãy xác định điểm đĩ
Hình 2ð
Loi giải Thật vậy, khi giữ A và cố định, chuyển động sẽ kéo theo sự chuyển động của hai điểm Mí và P Và ngược lại, điểm P chuyển động kéo theo Œ chuyển động, rồi ă chuyển động nhờ thực hiện liên tiếp hai phếp quay cùng một gĩc œ = +z/2 lần lượt xung quanh các điểm Ư và A Điều đĩ nĩi lên rằng M duoc suy ra từ P bởi phép dời hình 7 là tích của hai phép quay Q(Bz/2) và Q(4,7z/2) theo thứ tự đĩ Vậy 7 là một phép đối xứng - tâm, biến P thành M Để xác định tâm Ĩ của 7, ta hãy phân tích mỗi phép quay Q(Ø,z/2) và Q(4,7/2) thành tích của hai phép đối xứng - trục để đưa D vé dạng chính tắc
(xem bài tập 2,8), ta được dạng phân tích sau
7? = [2(Az) o(AB)| e[Ð(BA) o Đ(BY)| = D(Ar) o D(BY)
Trang 39(AB, Ar) = 7/4, (mod a) (2) Goi O = Ax By, ta duoc OAB là một
tam giác vuơng cân ở Ĩ và cĩ hướng thuan (Hinh 25) Vay O 1a mot diém c6
định thuộc nửa mặt phẳng mở (dương) chứa Œ và cĩ bờ là đường thẳng 4, hồn
tồn được xác định bởi các đẳng thức (2)
Kết luận D = D(Az) o D(By) = O(O) biến P thành ă và do đĩ, đoạn thang MP lu6n nhận điểm Ĩ cố định làm trung điểm với mọi vị trí của Œ thuộc nửa mặt phẳng (mở) dương cĩ bờ là (4)
Thí dụ 12 Trong mặt phẳng cho một cung trịn AaB Mot tia Ax quay xung
quanh 4, đồng thời một động tử Ä⁄ cũng chuyển động trên tia đĩ sao hễ 4z cắt
cung AaB 6 mot diém N nào đĩ thì luơn luơn ta cĩ 4M — BN Tìm hình vạch nên bởi ⁄ khi vạch nên cung trịn đã cho
—> —> ~ —> —>
Dat (NA, NB) = ợ thì {NA} = AaB Thế th, (BA, AM) = —w (mod 2n), BN —= AM Hai đẳng thức này hồn tồn xác định một phép đời hình Ø (xem bài 2.1)
Hình 26
Dé y rang khi N = B thi M = A và ¿ #0, (mod 2z) nên Ð là phép quay Dễ thấy rằng 7 cĩ điểm bất động (tâm quay) duy nhất là trung điểm của cung AaB (6 d6 M = N =w) va do dé D 1a phép quay Q(w, —y) tam w, gdce quay —y, (mod 27) Phép quay nay bién B thanh A va A thanh A’, xác định bởi hệ
—>
thức (wA,wA") = —y vawA' = wA N6 con cho ta biét A’ = D(B) doi xứng với B qua (Aw) (Hinh 26)
Két ludn Quy tich cha M 1A cung trịn Aœ4/ được suy ra ti {N} = AaB bởi phép đối xứng trục D( Aw)
6 Cau hỏi và Bài tập
Trang 403.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
Chứng minh rằng tồn tại một tam gidc ABC nao d6 va diện tích của tam giác 7 mà các cạnh bằng các đường trung tuyến của một tam giác ABŒ nào đĩ và diện tích của 7 bằng 3/4 diện tích tam giác A ĐC
Hình bình hành 4Œ D cĩ đường chéo ÁC = a Qua A kẻ các đường cao AE và AF xuống các cạnh ĐŒ và CD Tính khoảng cách từ A đến trực
tam của tam gidc AEF, cho biétg EF = b(b < a)
Trong mặt phẳng cho một đường thắng A và một điểm 4 cố định Một
đường trịn (0) cĩ bán kính r cho trước chuyển động trong mặt phẳng nhưng
luơn đi qua A Tin quỹ tích các tiếp điểm của các giao tiếp của (0) cĩ phương của đường thẳng A đã cho
Hai diém M va N chuyén dong trên đường thẳng chứa cạnh 4 của một
—> —>
tam giác ABC sao cho MN = AB Goi D va ÿ lần lượt là hình chiếu của
M trên (BC) và của N trên (C4); Š là trung điểm của AN và Q là tâm
đường trịn (C72) Chứng minh S@ cĩ độ dài khơng đổi; từ đĩ suy ra quỹ
——>
tích của Q khi véctơ ă N trượt trên đường thang AB
Cho đường trịn (Ở) đường kính 7 và một dây cung 4 khơng cắt CD
Tìm trên đường trịn một điểm P sao cho gĩc nội tiếp 4P.B chắn trên đường kinh CD mot doan thang MN c6 do dai bang £ cho trước Biên luận
Cho hai đường trịn ngồi nhau (Ĩ) và (Ớ”) và một đường thẳng d Hãy dựng một đường thẳng cĩ phương của đ cat (O) va (Ĩ") sao cho tổng độ dài
các dây cung của chúng định bởi đường thẳng cĩ một độ dài £ cho trước Biện luận B Vận dụng phép đối xứng tâm vào việc giải các bài tốn sau đây 3.7 3.8 3.9
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng của hình bình hành ABCD Qua A,B,C,D kẻ các đường thang theo thứ tự song song với CP,DP,AP,BP Chứng minh rằng các đường thẳng vừa dựng đồng quy
tại một điểm @ nào đĩ và đường thẳng PQ luơn đi qua một điểm cố định khi P đời chỗ trong mặt phẳng
Hình bình hành A⁄ ý P@ nội tiếp hình bình hành ABŒ?” sao cho M,N, P
và @ lần lượt nằm trén cdc canh lién tiép AB, BC,CD va DA cha ABCD
Chứng minh rằng hai hình binh hanh MM NPQ, ABCD néi, ngoại tiếp nhau cĩ cùng tâm đối xứng
Hai người chơi một trd chi \dat đồng xu lên mặt bàn hình chữ nhật” Quy tắc chơi như sau: Đồng xu được phép đặt vào bất cứ chỗ trống nào, hai người
lần lượt đặt các đồng xu lên mặt bàn Ai đến lượt đi mà khơng thé đặt được
đồng xu vào đâu thì bị thua Chứng minh rằng nếu biết cách chơi thì người