Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tham khảo về chuyên đề luyện thi đại học cao đẳng môn toán học của thầy Lưu Huy Tưởng
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ N ỘI, 8/2013 HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: MỞ ĐẦU I. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa và các phép toán • !"#$$#%& '( •)*+, -Qui tắc ba điểm:./0%12./34, AB BC AC+ = -Qui tắc hình bình hành:.5/5$12.64, AB AD AC+ = -Qui tắc hình hộp:.5712.6(1′2′.′6′4, ' 'AB AD AA AC+ + = -Hê thức trung điểm đoạn thẳng:.89$*0%:;'12<*3+( =4, 0IA IB+ = > 2OA OB OI+ = -Hệ thức trọng tâm tam giác:.?9$@ %:%12.<*3+( =4, 0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + = -Hệ thức trọng tâm tứ diện:.?9$@ %:A"B12.6<*3+( =4, 0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + = -Điều kiện hai vectơ cùng phương: ( 0) ! :≠ ⇔ ∃ ∈ = a vaø b cuøng phöông a k R b ka -Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số kC≠D<*3+( =4, ; 1 OA kOB MA kMB OM k − = = − 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ •2@9$E'F*:GHIIJ%7%&'( •Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:./ , ,a b c 4 a vaø b H(K4, , ,a b c E'⇔∃L%∈M, c ma nb= + •./ , ,a b c E' x *3+( K4,∃L%∈M, x ma nb pc= + + 3. Tích vô hướng của hai vectơ • Góc giữa hai vectơ trong không gian: 0 0 , ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC= = ⇒ = ≤ ≤ GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN •Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: -. , 0u v ≠ (K4, . . .cos( , )u v u v u v= -OJ 0 0 u hoaëc v = = (P*J, . 0 u v = - . 0u v u v⊥ ⇔ = - 2 u u= II. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: ./Q<<!<R*4J*S%7$*%70%T<(?@ , ,i j k 9$ AUQ<<!<R(VB/QW!@9$B@7U*4<!R&X9$B @7<!R( Chú ý, 2 2 2 1i j k= = = $ . . . 0i j i k k j= = = ( 2. Tọa độ của vectơ: a) Định nghĩa: ( ) ; ;u x y z u xi y j zk= ⇔ = + + b) Tính chất:. 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k R= = ∈ • 1 1 2 2 3 3 ( ; ; )a b a b a b a b± = ± ± ± • 1 2 3 ( ; ; ) ka ka ka ka = • 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b = = ⇔ = = • 0 (0; 0; 0), (1; 0;0), (0;1; 0), (0; 0;1)i j k= = = = • a H ( 0)b b ≠ ⇔ ( )a kb k R= ∈ 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3 , ( , , 0) a kb a a a a kb b b b b b b a kb = ⇔ = ⇔ = = ≠ = • 1 1 2 2 3 3 . . . . a b a b a b a b= + + • 1 1 2 2 3 3 0 a b a b a b a b⊥ ⇔ + + = • 2 2 2 2 1 2 3 a a a a= + + • 2 2 2 1 2 2 a a a a= + + • 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos( , ) . . a b a b a b a b a b a b a a a b b b + + = = + + + + (với , 0a b ≠ ) 3. Tọa độ của điểm: GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNY a) Định nghĩa: ( ; ; ) ( ; ; ) M x y z OM x y z⇔ = (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 • •• • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 b) Tính chất: . ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z • ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z= − − − • 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z= − + − + − •=;70%Z;12[ITk(k≠1): ; ; 1 1 1 A B A B A B x kx y ky z kz M k k k − − − − − − •=;7*0%Z:;'12, ; ; 2 2 2 A B A B A B x x y y z z M + + + •=;7@ %?:%12., ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G + + + + + + •=;7@ %?:A"B12.6, ; ; 4 4 4 A B C D A B C D A B C C x x x x y y y y z z z z G + + + + + + + + + 4. Tích có hướng của hai vectơ:(Chương trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho 1 2 3 ( , , ) a a a a= 1 2 3 ( , , ) b b b b= ( ( ) 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 , ; ; ; ; a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b = ∧ = = − − − Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: • , ; , ; ,i j k j k i k i j = = = • [ , ] ; [ , ] a b a a b b⊥ ⊥ • ( ) [ , ] . .sin ,a b a b a b= • , a b H [ , ] 0 a b⇔ = c) Ứng dụng của tích có hướng: •Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: , a b $ c E'⇔ [ , ]. 0 a b c = •Diện tích hình bình hành ABCD: , ABCD S AB AD = ▱ • Diện tích tam giác ABC: 1 , 2 ABC S AB AC ∆ = • Thể tích khối hộp ABCD.A ′ ′′ ′ B ′ ′′ ′ C ′ ′′ ′ D ′ ′′ ′ : . ' ' ' ' [ , ]. ' ABCD A B C D V AB AD AA= GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\ • Thể tích tứ diện ABCD: 1 [ , ]. 6 ABCD V AB AC AD= Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. . 0 , 0 , , , . 0 a b a b a vaø b cuøng phöông a b a b c ñoàng phaúng a b c ⊥ ⇔ = ⇔ = ⇔ = 5. Phương trình mặt cầu: •5%&]*C^D %I(a; b; c)/R, 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = •5 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = J 2 2 2 0a b c d+ + − > 9$5%&]* %I(– a; –b; –c)$/R = 2 2 2 a b c d+ + − . BÀI TẬP CƠ BẢN HT 1. ./ , ,a b c (=5%m, n0 ,c a b = , D ( ) ( ) ( ) 3; 1; 2 , 1;2; , 5;1; 7a b m c= − − = = /D ( ) ( ) ( ) 6; 2; , 5; ; 3 , 6;33;10a m b n c= − = − = HT 2. _I#E':/ , ,a b c %`aI* !, D ( ) ( ) ( ) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a b c= − = = /D ( ) ( ) ( ) 4;3; 4 , 2; 1;2 , 1;2;1a b c= = − = D ( ) ( ) ( ) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1a b c= − − = = − "D ( ) ( ) ( ) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1a b c= = = HT 3. =5%m0Y , ,a b c E', D ( ) ( ) ( ) 1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2a m b m c m= = + = − /D (2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)a m m b m m c m m= + − = + + = + HT 4. . , , ,a b c u (.A % / , ,a b c E'( 20*"b u , ,a b c , GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNc D ( ) ( ) ( ) 2;1;0 , 1; 1;2 , 2;2; 1 (3;7; 7) a b c u = = − = − = − /D ( ) ( ) ( ) 2 1; 7;9 , 3; 6;1 , ;1; 7 ( 4;13; 6) a b c u = − = − = − = − − HT 5. .Ad/T , , ,a b c d E', D ( ) ( ) ( ) 2; 6;1 , 4; 3; 2 , 4; 2;2 , ( 2; 11;1)a b c d= − − = − − = − − = − − /D ( ) ( ) ( ) 2; 6; 1 , 2;1; 1 , 4;3;2 , (2;11; 1)a b c d= − = − = − = − HT 6. ./ , ,a b c E'$ d (.A%/7/I*E', D , ,b c d ma nb= + CJm, n ≠ 0) /D , ,a c d ma nb= + CJm, n ≠ 0) HT 7. .0%Z(=5%@75F**4:0%Z, •=U%&'@7,<!<R<!R •=UQ@7,<<!<R D (1;2;3)M /D (3; 1;2)M − D ( 1;1; 3)M − − "D (1;2; 1)M − HT 8. .0%Z(=5%@7:0%Z′TAJ0%Z, •P*T;7•P*%C<!D •P*Q<! D (1;2;3)M /D (3; 1;2)M − D ( 1;1; 3)M − − "D (1;2; 1)M − HT 9. _'$:/7/0%I*, D (1;3;1), (0;1;2), (0; 0;1)A B C /D (1;1;1), ( 4;3;1), ( 9;5;1)A B C− − HT 10. ./0%12.( •.Ad/0%12.;$%7%( •=5%;7@ %?:∆12.( •_0%6I12.69$5/5$( D (1;2; 3), (0; 3;7), (12;5;0)A B C− /D (0;13;21), (11; 23;17), (1; 0;19)A B C− D (3; 4; 7), ( 5;3; 2), (1;2; 3)A B C− − − − "D (4;2; 3), ( 2;1; 1), (3;8;7)A B C− − HT 11. =UQ<!(Ox)5%0%*0%, D (3;1;0)A ( 2;4;1)B − /D (1; 2;1), (11; 0;7)A B− D (4;1; 4), (0; 7; 4)A B − HT 12. =U%&'<!(Oxz, Oyz)5%0%*/0%, D (1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)A B C− − /D ( 3;2;4), (0;0; 7), ( 5;3; 3)A B C− − HT 13. .0%12(a'12e%&'<!R(Oxz, Oxy) ;0%Z( •0%Z;'12[IT$f •=5%@70%Z( D ( ) ( ) 2; 1;7 , 4;5; 2A B− − /D (4; 3; 2), (2; 1;1)A B− − D (10;9;12), ( 20; 3; 4)A B − HT 14. ./T0%12.6( •.A%12.69$/T[:%7A"B( •=5%@7@ %?:A"B12.6( •=4;/g;T"B:A"B12.6( •=0:TA"B12.6( •="B%2.6S4I*!7"$a:A"BhS1( GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNi D (2; 5; 3), (1; 0;0), (3; 0; 2), ( 3; 1;2)A B C D− − − − /D ( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;1;0 , 0; 0;1 , 2;1; 1A B C D − − D ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1; 0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1A B C D "D ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6A B C D HT 15. .5712.6(1j2j.j6j( •=5%;7[k9;( •=0T7( D ( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5A B D C− − /D 2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2A B C A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− − − − D (0;2;1), (1; 1;1), (0;0; 0;), '( 1;1; 0)A B D A− − "D (0;2;2), (0;1;2), ( 1;1;1), '(1; 2; 1)A B C C− − − HT 16. ./T0%^CY>>lND1Cc>Y>D2CN>Y>l\D.C>N>mD( D.A%^1⊥C^2.D^2⊥C^1.D^.⊥C^12D( /D.A%^(12.9$%754*( D_;7 aV:54(^*!7"$a^V( nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNo BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1:(S) 4 % I(a; b; c) $/ R: (S): 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = Dạng 2: (S) 4 % I(a; b; c) $p*0%1, Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3:(S) W;'12J9$%a, – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: ; ; 2 2 2 A B A B A B I I I x x y y z z x y z + + + = = = . – Bán kính R = IA = 2 AB . Dạng 4:(S) p*/T0%12.6(mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = CqD( – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S). Dạng 5:(S)p*/0%12.$4 %8r%U%&'CDJ, Giải tương tự như dạng 4. Dạng 6:(S)4 %8$FGJ%&]*(T)J, – Xác định tâm J và bán kính R ′ của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = J 2 2 2 0a b c d+ + − > thì (S) có %I(–a; –b; –c)$/R = 2 2 2 a b c d+ + − . BÀI TẬP CƠ BẢN HT 17. =5% %$/:%&]*I*, D 2 2 2 8 2 1 0x y z x y+ + − + + = /D 2 2 2 4 8 2 4 0x y z x y z+ + + + − − = D 2 2 2 2 4 4 0x y z x y z+ + − − + = "D 2 2 2 6 4 2 86 0x y z x y z+ + − + − − = HT 18. OF5%&]*4 %8$/M, D (1; 3;5), 3I R− = /D (5; 3;7), 2I R− = D (1; 3;2), 5I R− = "D (2;4; 3), 3I R− = HT 19. OF5%&]*4 %8$p*0%1, D (2; 4; 1), (5;2;3)I A− /D (0; 3; 2), (0;0; 0)I A− D (3; 2;1), (2;1; 3)I A− − HT 20. OF5%&]*4a12J, D (2; 4; 1), (5;2; 3)A B− /D (0;3; 2), (2;4; 1)A B− − D (3; 2;1), (2;1; 3)A B− − GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNs HT 21. OF5%&]*;FA"B12.6J, D ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1; 0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1A B C D /D ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6A B C D HT 22. OF5%&]*p*/0%12.$4 %r%%&'CDJJ, D (1;2;0), ( 1;1; 3), (2;0; 1) ( ) ( ) A B C P Oxz − − ≡ /D (2;0;1), (1; 3;2), (3;2;0) ( ) ( ) A B C P Oxy ≡ HT 23. OF5%&]*C^D4 %8$FGJ%&]*C=DJ, D 2 2 2 ( 5;1;1) ( ) : 2 4 6 5 0 I T x y z x y z − + + − + − + = /D 2 2 2 ( 3;2;2) ( ) : 2 4 8 5 0 I T x y z x y z − + + − + − + = -------------------------------------------------------------------- BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng •O 0n ≠ 9$O==:CαDF*: n *4JCαD( Chú ý: • Nếu n là một VTPT của ( α ) thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của ( α ). 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 2 2 2 0 0Ax By Cz D vôùi A B C+ + + = + + > •tF*CαD45 0Ax By Cz D+ + + = 5 ( ; ; )n A B C= 9$%7O==:CαD( •5%&'p* 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z $4%7O== ( ; ; )n A B C= 9$, 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = 3. Các trường hợp riêng Chú ý: • Nếu trong phương trình của ( α ) không chứa ẩn nào thì ( α ) song song hoặc chứatrục tương ứng. • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 x y z a b c + + = ( α ) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng .%&'CαDCβD45, CαD, 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = CβD, 2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = Các hệ số Phương trình mặt phẳng (α αα α) Tính chất mặt phẳng (α αα α) D = 0 (α) đi qua gốc toạ độ O A = 0 (α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox B = 0 (α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy C = 0 (α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz A = B = 0 (α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy) A = C = 0 (α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz) B = C = 0 (α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz) GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNu • ( α ), ( β ) cắt nhau ⇔ 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C≠ • ( α ) // ( β ) ⇔ 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D = = ≠ • ( α ) ≡ ( β ) ⇔ 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D = = = • ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C+ + = 5. Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng ( α αα α ): Ax + By + Cz + D = 0 ( ) 0 0 0 0 2 2 2 ,( ) Ax By Cz D d M A B C α + + + = + + VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng ( α ) ta cần xác định một điểm thuộc ( α ) và một VTPT của nó. Dạng 1:( α ) p*0% ( ) 0 0 0 ; ;M x y z 4O== ( ) ; ;n A B C= , ( α ): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = Dạng 2:( α ) p*0% ( ) 0 0 0 ; ;M x y z 4&O=. ,a b , Khi đó một VTPT của ( α ) là ,n a b = . Dạng 3: ( α ) p*0% ( ) 0 0 0 ; ;M x y z $IIJ%&'( β ): Ax + By + Cz + D = 0, ( α ): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = Dạng 4: ( α ) p*Y0%'$12., Khi đó ta có thể xác định một VTPT của ( α ) là: ,n AB AC = Dạng 5:( α ) p*%70%Z$%7a'C"DAZ, – Trên (d) lấy điểm A và VTCP u . – Một VTPT của ( α ) là: ,n AM u = Dạng 6:( α ) p*%70%Z$*4J%7a'C"D, VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của ( α ). Dạng 7:( α )p*Na'e*" " N , – Xác định các VTCP ,a b của các đường thẳng d 1 , d 2 . – Một VTPT của ( α ) là: ,n a b = . – Lấy một điểm M thuộc d 1 hoặc d 2 ⇒ M ∈ ( α ). Dạng 8:( α )Aa'" $IIJa'" N (d 1 , d 2 chéo nhau), lXác định các VTCP ,a b của các đường thẳng d 1 , d 2 . . x y z − + + − + − + = -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Vectơ. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ N ỘI, 8 /2013 HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
