Chuyên đề Các bài toán tìm GTNN - GTLN của một biểu thức Toán 9

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai BÀI TOÁN TÌM GTNN –GTLN CỦA MỘT BIỂU THỨC 1 Chú ý Dạng toán này gắn liền với bất đẳng thức, phải biết sử dụng BĐT để làm bài toán dạng này Biểu thức A k với k l[.]

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai BÀI TOÁN TÌM GTNN –GTLN CỦA MỘT BIỂU THỨC Chú ý: -Dạng toán gắn liền với bất đẳng thức, phải biết sử dụng BĐT để làm toán dạng - Biểu thức A  k với k số khơng đổi, có giá trị biến để dấu xảy  minA =k - Biểu thức B  m với m số khơng đổi, có giá trị biến để dấu xảy  maxA = m - Giá trị biến để dấu BĐT xảy ta gọi “điểm rơi” Một số kỹ thuật biến đổi để giải toán 2.1 Kỹ thuật dự đoán điểm rơi Đối với tốn mà vai trị biến điểm rơi xảy biến Bài Cho x, y  , x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Khánh Hịa năm học 2012-2013-Đề khơng chun) P 1  xy x  y (Trích tuyển 10 Nhận xét: -Biểu thức P gợi lên dùng BĐT Bunhiacoopky dạng phân thức 1   “Với x > 0, y > 0, ta có: x y x  y -Vai trò x y  điểm rơi Dấu = x = y x y  1 1  2 2  4 x  y  1  1 1 xy  x y       2  2  Đểdùng BĐT số 2 -Nhưng 1 2 2 x  y xy 2xy  hạng thứ hai với phải Ta phải chia cho Từ ta có giải Với x, y  , ta có (x  y) 0  (x  y) 4xy  1     xy (x  y) x y xy Đẳng thức xảy  x y Do đó, với x, y  x  y 1 , ta có P 1  1        4  2   2 xy x  y 2xy  2xy x  y  2xy 2xy  x  y 2xy ???? (Đến ta lại tiếp tục nhận xét : phải cần biến đổi 2xy ) Ta có (x-y)2   x2+y2  2xy   x2+y2 +2xy  2xy +2xy  (x+y)2  4xy 1 2     2 2 xy ( x  y) xy xy  ( x  y) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  P  2+4 = Đẳng thức xảy  x y    x  y 2xy  x y   x  y 1  Vậy Pmin 6  x y  2.2 Kỹ thuật tham số hóa -Trong chứng minh bất đẳng thức biến vai trò ta thường dự đoán điểm rơi để tách triệt tiêu biến Đối với bất đẳng thức toán cực trị mà vai trị biến khơng bình đẳng việc xác định điểm rơi khơng dễ.Có kỹ thuật giải “Tham số hóa” Kỹ thuật đơn giản sau Trong cực trị biến x;y có vai trị khác ta đặt x = ty sau thay vào GT tốn ta tính biến y theo t Tiếp tục thay vào biểu thức ta tìm cực trị biến Bài 2:Cho số thực dương a;b thỏa mãn: ab  a  b  a  b Tìm GTNN P = a+b Giải: tbb  tb  b  tb  b  b  Với a>b>0 , đặt a=tb (t > 0) thay vào ĐK: a  b b(t  1)  Dấu : t 1 t (t  1) : (t  1) (t  1)  4t t  t t t    2 4 t (t  1) t (t  1) t t1 t t1 t1 t   t 3   t1 t Vậy P =  a 2   b 2  a 2   b 2  2.3 Kỹ thuật khai thác GT Nhiều toán cực trị , biểu thức đề cho bí biến đổi, ta cần khai thác GT để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị Bài 3: Cho a;b;c dương thảo điều kiện a+b+c = Tìm GTLN Q= 2a  bc  2b  ca  2c  ab Nhận xét đề bài: Vì GT cho số dương  dùng BĐT si Vai trị biến  điểm rơi a=b=c = ( a+b+c =2) Mỗi số hạng dạng thức bậc hai muốn dùng si phải dạng tích, 2a +bc cịn viết (2a+bc) , điểm rơi 2a+bc khơng  kg dùng trực tiếp  Mấu chốt giá viết 2a +bc dạng tích!!! Giải: Ta có 2a + bc = (a+b+c).a + bc = a2 +ab + ac + bc = (a+b)(a+c) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Theo BĐT si ta có 2a  bc  ( a  b)(a  c)  Tương tự: a  b  a  c 2a  b  c  2 2b  ac  (b  a )(b  c )  b  a  b  c 2b  a  c  2 2c  ab  (c  a)(b  c)  c  a  b  c 2c  a  b  2 4(b  a  c ) 4.2  4 2 Cộng vế ba BĐT Q  Vậy max Q =  a=b=c = Bài 4: Cho x; y số dương thỏa mãn (4x +6y +2019) (x-y+3) =0 Tìm GTNN P = xy – 5x +2020 Nhận xét : Nhiều lúc hình thức “rất dễ sợ” bình tỉnh nhiền nhận sẻ thấy rấtđơn giản  4x+6y+ 2019 >0 ( ngày thi tuyển 10 đó)  x-y + = GT toán x; y dương Với GT ta dễ dàng rút- đưa biểu thức biến Giải: x; y dương  4x+6y+ 2019 >0 ( ngày thi tuyển 10 đó)  x-y + =  y =x+3 thay vào P = x(x+3) – 5x + 2020 = x2 -2x + 1+2019 = (x-1)2 + 2019  2019 Vậy P = 2019 x = y = Lời kết: Bất đẳng thức toán cực trị chuyên đề lớn, quan trọng học toán Đây chuyên đề dành cho học sinh giỏi Còn nhiều phương pháp giải , nhiều kỹ thuật biến đổi , em phải biết tự đọc , tự tham khảo thêm Trong phạm vi tuyển 10, với nội dung viết điểm tựa cho em mà Hãy nhớ “ Mỗi hành động xuất phát từ suy nghĩ mà ra” Vì ngẫm nghĩ để hiểu rõ vấn đề tìm lời giải! Một số ví dụ x  x 1 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức.Q=  x  1 Giải Điều kiện xác định x 1 Cách 1:   x  x  x  x    x  1  1  1   2 x   x  1 (*)  x  1 Ta có Q=  x  1 1 3  y    2 4 Đặt y = x   Q = 1- y + y2 =   y   x 1 Vậy Q = Cách 2: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 2 3x  x   x  x  3. x  1   x  1  x  1     2 4 x  1 4. x  1 4 x  1 Q Vì  x  1 2 4 x  1 0 Dấu xảy x  0  x 1  Q  x 1 Vậy Q = y Cách 3: Ta coi y giá trị Q để  ( y  1) x  (2 y  1) x  y  0 (1) x  x 1  x  1 2  y. x  1  x  x  Do phương trình (1) phải có nghiệm Nếu y = ta có (1- 1)x2 + ( 2.1-1) x + 1- = => x = Vậy y = giá trị Q Nếu y 1 để phương trình có ngiệm  = ( 2y –1)2 – ( y- 1)(y- 1)   ( 2y –1 – 2y +2)( 2y –1 + 2y – 2)  4y -   y   y = phương trình ( 1) có nghiệm kép x = 3  x 1 Ta lại có  Vậy Q = (Chú ý Cách giải thứ , toán dạng biểu thức hữu tỷ bậc hai giải được- Vậy gặp dạng ta giải cách 3) Ví dụ 2: Tìm GTLN của: A  x   y  biết x + y = (ĐK: x  1; y  2) Cách : Ta nghĩ dạng tổng (a+b) với GT x+y = , sử dụng GT ta phải nghĩ dùng a2 + b2 Ta biết (a-b)2    (a+b)2  2(a2 + b2) dấu = a = b Vậy ta áp dụng có giải  A2  x 1 y   2  x   y   2.(4  3) 2  A   A MaxA = x   y   x – = y – = – x – = – x hay x = ; y= Cách :Vì biểu thức chứa bậc hai, ta bình phương A2 x   x  y   y   x  y   ( x  1)( y  2) 4   ( x  1)( y  2)  1  ( x  1)( y  2) 1   ( x  1)  ( y  2)  1  2 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  A   A MaxA = x   y   x – = y – = – x – = – x hay x = ; y= Cách 3:Nhiều toán cực trị biểu thức vơ tỷ( tức biểu thức có chứa thức), cách đặt thức biến ta đưa biểu thức hữu tỷ ( gọi PP hữu tỷ hóa) Đặt x  a 0  x  a  x a  ; y  b 0  y  b  y b  Vì x+y =  a2 + b2 =1 Ta có A = a+ b  A2 = a2 +b2 +2ab=1+2ab  1+ a2 +b2 =2  A   A Dấu = a = b  x   y   x – = y – = – x – = – x hay x = ; y= Vậy max A = x = ; y= Ví dụ : Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  y2 M xy Nhận xét : x  y2 x y2 x y M     xy xy xy y x sau dùng Cơ si -Sai lầm thường gặp : M x  y2 x y x y x y     2 2 xy xy xy y x y x KL : Min M = x =y Lý sai: x khơng thể y x 2y mà Sửa sai: y y x 2y y    2 y -Điểm rơi x = 2y  x y Cịn y Vậy muốn dùng Cơ si cho x ta phải x x 1 y tìm số k để y k =  2.k =  k = Tóm lại phải dùng Cô si cho x số y +Tương tự ta có nhiều cách giải khác Cách 1: x2  y x2 y x y x y 3x     (  )  xy xy y x 4y x 4y Ta có M = xy W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai x y x y x y  2 1 ; 4y x Vì x, y > , áp dụng bdt Cơ si cho số dương y x ta có y x , dấu “=” xảy  x = 2y Vì x x 2    y , dấu “=” xảy  x = 2y x ≥ 2y  y Từ ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy  x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y Cách 2: x2  y x2 y x y x y 3y     (  )  xy xy y x y x x Ta có M = xy x 4y x 4y x 4y  2 4 ; y x y x y x Vì x, y > , áp dụng bdt Cô si cho số dương ta có , dấu “=” xảy  x = 2y Vì y  3y     x , dấu “=” xảy  x = 2y x ≥ 2y  x Từ ta có M ≥ 4- = , dấu “=” xảy  x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y Cách 3: 4x2 x2 3x x x2 2  y  y   y  y2 x2  y2 x 3x 4  4  4  xy xy xy xy xy 4y Ta có M = xy x2 x2 x2  y 2 y  xy ;y Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ta có , dấu “=” xảy  x = 2y Vì x x 2    y , dấu “=” xảy  x = 2y x ≥ 2y  y xy 3 Từ ta có M ≥ xy + = 1+ = , dấu “=” xảy  x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Cách 4(không sử dụng BĐT Cô Si) x  y ( x  xy  y )  xy  y ( x  y )  xy  y ( x  y ) 3y   4 xy xy xy x Ta có M = xy = Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy  x = 2y y  3y     x , dấu “=” xảy  x = 2y x ≥ 2y  x Từ ta có M ≥ + - = , dấu “=” xảy  x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương laing vàng tảng, Khai sáng tương lain tảng, Khai sáng tương laing, Khai sáng tương laing lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệmc mọc lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệmi lúc, mọc lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệmi nơng laii, mọc lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệmi thiết bi – Tiết kiệmt bi – Tiết bi – Tiết kiệmt kiệmm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệmc Toán Online Chun Gia -Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phíng đồng học tập miễn phíng học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệmc tập miễn phíp miễn phín phí HOC247 TV kênh Video giảng, Khai sáng tương laing miễn phín phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |