N hó m P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ f(x) = m là phương tr[.]
45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ DẠNG 45 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ KIẾN THỨC CẦN NHỚ f (x) = m phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị y = f (x), y = m Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị y = f (x), y = m f (x) = g(x) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y = f (x), y = g(x) Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị y = f (x), y = g(x) Bảng đạo hàm hàm số Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Hàm x Hàm hợp c = x = (xn ) = n · xn−1 (n ∈ N; n > 1) (un ) = n · un−1 · u (n ∈ N; n > 1) √ x x √ u u u ( x) = √ , ∀x > 1x = − , ∀x 6= ( u) = √ , ∀u > uu = − , ∀u 6= (k · x) = k 11 (cos x) = − sin x 13 (sin x) = cos x 10 (k · u) = k · u 12 (cos u) = −u sin u 14 (sin u) = u · cos u cos2 x 17 (cot x) = − sin x u cos2 u u 18 (cot u) = − sin u 15 (tan x) = 16 (tan u) = Đạo hàm hàm hợp: y = f (u(x)) ⇒ y = u0 (x) · f (u(x)) BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) − −1 +∞ + 0 − +∞ + +∞ −1 y −2 −2 Số nghiệm thuộc đoạn [−π; 2π] phương trình 2f (sin x) + = A B C Lời giải D 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Phân tích hướng dẫn giải a) DẠNG TỐN: Đây dạng toán liên quan đến giao điểm hai đồ thị b) HƯỚNG GIẢI: Bước 1: Từ phương trình 2f (sin x) + = chuyển phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y = f (u), y = C Bước 2: Dựa vào đồ thị y = f (x) ⇒ giá trị u = sin x ⇒ giá trị x Bước 3: Chọn đáp án LỜI GIẢI CHI TIẾT sin x = a1 ∈ (−∞; −1) (1) sin x = a4 ∈ (1; +∞) (2) (3) (4) Các phương trình (1) (4) vơ nghiệm Xét đồ thị hàm số y = sin x [−π; 2π] y π O π π x −1 Ta thấy phương trình (2) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm phân biệt đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π; 2π] Trình bày theo hướng khác: Phân tích hướng dẫn giải a) DẠNG TOÁN: Đây dạng dùng bảng biến thiên hàm số f (x) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [a; b] PT c.f (g(x)) + d = m b) HƯỚNG GIẢI: Bước 1: Đặt ẩn phụ t = g(x) Với x ∈ [a; b] ⇒ t ∈ [a; b] Bước 2: Với c.f (g(x)) + d = m ⇒ f (t) = k Bước 3: Sử dụng BBT hàm số y = f (t) để giải toán số nghiệm thuộc đoạn [a; b] PT f (t) = k 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN sin x = a2 ∈ (−1; 0) Ta có 2f (sin x) + = ⇔ f (sin x) = − ⇔ sin x = a ∈ (0; 1) 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Đặt t = sin x, t ∈ [−1; 1] phương trình 2f (sin x) + = (1) trở thành 2f (t) + = ⇔ f (t) = − (2) Bảng biến thiên hàm số y = f (t), t ∈ [−1; 1]: x −∞ f (x) − −1 + +∞ 0 − +∞ + +∞ −1 y −2 y = − Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm t ∈ [−1; 1] phương trình (1) nghiệm phân biệt t1 ∈ (−1; 0), t2 ∈ (0; 1) Bảng biến thiên hàm số f (x) = sin x, x ∈ [−π; 2π] x −∞ y − π π 3π π 2π 0 −1 −1 + Với t1 ∈ (−1; 0) ⇒ sin x = t1 ∈ (−1; 0) ⇒ phương trình có nghiệm x ∈ [−π; 2π] + Với t2 ∈ (0; 1) ⇒ sin x = t2 ∈ (0; 1) ⇒ phương trình có nghiệm x ∈ [−π; 2π] Vậy số nghiệm thuộc đoạn [−π; 2π] phương trình 2f (sin x) + = + = Chọn phương án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) − −1 +∞ + 0 − +∞ + +∞ −1 y −2 −2 Số nghiệm thuộc đoạn [−π; 3π] phương trình 2f (cos x) + = A B C Lời giải Ta có D 10 cos x = a1 ∈ (−∞; −1) (1) cos x = a2 ∈ (−1; 0) 2f (cos x) + = ⇔ f (cos x) = − ⇔ cos x = a ∈ (0; 1) cos x = a4 ∈ (1; +∞) (2) (3) (4) 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Các phương trình (1) (4) vơ nghiệm Xét đồ thị hàm số y = cos x [−π; 3π] y −π − π π 3π π 5π 3π x 2π O −1 Câu Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) − −1 0 + +∞ − +∞ + +∞ −1 y −2 −2 Số nghiệm thuộc đoạn [−π; 3π] phương trình 2f (− cos x + 2) − = A B C D Lời giải Ta có cos x = − a1 < −1 2f (− cos x + 2) − = ⇔ f (− cos x + 2) = − cos x + = a1 ∈ (−∞; −1) − cos x + = a2 ∈ (−1; 0) ⇔ − cos x + = a ∈ (0; 1) − cos x + = a4 ∈ (1; +∞) cos x = − a1 < −1 cos x = − a2 > ⇔ cos x = − a3 > ñ cos x = − a , a ∈ (1; 3] 4 cos x = − a2 > ⇔ cos x = − a > cos x = − a4 , a4 ∈ (1; +∞) cos x = (2 − a1 ) < −1 cos x = (2 − a2 ) > ⇔ cos x = (2 − a3 ) > ñ cos x = (2 − a ) ∈ [−1; 1) cos x = − a4 , a4 ∈ (3; +∞) Chỉ có phương trình cos x = (2 − a4 ) ∈ [−1; 1) có nghiệm Xét đồ thị hàm số y = cos x [−π; 3π] cos x = (2 − a4 ) < −1 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Ta thấy phương trình (2) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm phân biệt đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π; 3π] Chọn phương án B 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y −π − π π 3π π 5π 3π x 2π O −1 ñ Ta thấy ñ − a4 = −1 ⇔ a4 = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA − a4 = m ∈ (−1; 1) a4 = − m +) Với ® a4 = suy phương trình cos x = (2 − a4 ) = −1 có nghiệm a4 = − m +) Với ⇒ phương trình cos x = m có nghiệm đơn phân biệt −1 (2) Các phương trình (1) (2) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có khơng có nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] Chọn phương án A Câu Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ f (x) + − 0,5 +∞ f (x) −2 D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π; 2π] Chọn phương án B 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] phương trình 3f (tan x) + = A B C Lời giải Ta có đ 3f (tan x) + = ⇔ f (tan x) = − √ ≈ −0, 58 ⇔ Xét đồ thị hàm số y = tan x [0; 2π] \ n π 3π o ; 2 D tan x = m ∈ (1; 2) (1) tan x = n ∈ (2; +∞) (2) : f (0) = 0, f (2π) = y Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA π 3π π O x 2π −1 −2 Ta thấy Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm Đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng n π 3π o Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2π] \ ; 2 Chọn phương án C Câu Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ f (x) + − +∞ f (x) −0,5 −7 Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] phương trình 3f (cot x) + = A B C Lời giải Ta có đ 3f (cot x) + = ⇔ f (cot x) = − √ ≈ −0, 58 ⇔ Xét đồ thị hàm số y = cot x [0; 2π] \ {0; π; 2π} D cot x = m ∈ (−1; 2) (1) cot x = n ∈ (2; +∞) (2) 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y π 3π π O 2π x −1 −2 Ta thấy 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm Đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2π] \ {0; π; 2π} Chọn phương án C Câu Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ f (x) + − +∞ f (x) −∞ −7 Số nghiệm thuộc đoạn [−3; 3] phương trình 2f x2 − 2x + = A B C D Lời giải Ta có x − 2x = a1 ∈ (−∞; −1) 2f x2 − 2x + = ⇔ f x2 − 2x = − ⇔ x2 − 2x = a2 ∈ (−1; 3) Xét đồ thị hàm số y = x2 − 2x [−3; 3] x2 − 2x = a3 ∈ (3; +∞) (1) (2) (3) 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y O x −1 −1 Ta thấy Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Phương trình (1) vơ nghiệm Phương trình (2) có nghiệm Phương trình (3) có nghiệm khơng thuộc [−3; 3] Đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−3; 3] Chọn phương án A Câu Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) + −2 − f (x) −∞ +∞ − Số nghiệm thuộc nửa khoảng (−∞; 2020] phương trình 2f (f (2x − 1)) + = A B C D Lời giải Ta có đ f (2x − 1) = a ∈ (−∞; −2) 2f (f (2x − 1)) + = ⇔ f (f (2x − 1)) = − ⇔ f (2x − 1) = 2x − = b1 ∈ (−∞; −2) (1) ñ ⇔ 2x − = b2 ∈ (−∞; −2), b2 > b1 (2) 2x − = b3 ∈ (−2; 3), b3 > b2 (3) 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Xét đồ thị hàm số y = 2x − (−∞; 2020] Ta thấy y Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm O1 Phương trình (3) có nghiệm thuộc (0; 3) −1 −1 Đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−3; 3] x Chọn phương án A Câu Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ − −1 + +∞ 0 − +∞ + +∞ f (x) −3 −1 Số nghiệm dương phương trình 2f (f (x − 1)) + = A B C Lời giải Ta có D ñ f (x − 1) = a ∈ (−∞; −1) 2f (f (x − 1)) + = ⇔ f (f (x − 1)) = − ⇔ f (x − 1) = b ∈ (−1; 0) ñ x − = b1 ∈ (−∞; −1) (1) x − = b2 ∈ (−1; 0) x − = d ∈ (−∞; −1) ⇔ x − = e ∈ (−1; 0) x − = f ∈ (0; 2) x − = g ∈ (2; +∞) (2) (3) (4) (5) (6) x = b2 + Suy phương trình có nghiệm dương: x = e + x=f +1 Chọn phương án A Câu 10 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ f (x) − −1 +∞ + 0 − + +∞ f (x) −3 +∞ −1 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN f (x) 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ x −∞ f (x) −2 + + −1 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 − +∞ + + +∞ f (x) −∞ −1 Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f (3 cos x + 1) = − đoạn [0; 2π]? A B C Lời giải m Đặt t = cos x + Phương trình trở thành f (t) = − m có nghiệm D (∗) −1 ≤ − m ≤ ⇔ −6 ≤ m ≤ 2 Mà m nguyên nên có tất giá trị Chọn phương án D Câu 23 Cho hàm số y = f (x) hàm bậc ba có bảng biến thiên x y0 −∞ − +∞ + +∞ − y −∞ Ä 2ä Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ex = m có ba nghiệm phân biệt? A B Vô số C D Lời giải Ä 2ä 2 Đặt t = ex , điều kiện t = ex ≥ e0 = Khi phương trình f ex = m (1) trở thành f (t) = m (2) Ta có tương ứng t x sau: giá trị t > cho tương ứng giá trị x, với t = có giá trị tương ứng x = 0, với t < khơng cho giá trị x tương ứng Do phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t1 = < t2 , nghiệm lại khác hai nghiệm (nếu có) phải bé Vì phương trình (2) có nghiệm t1 = nên m = f (1) = Khi dựa vào bảng biến thiên ta thấy m = thỏa mãn tốn Vậy có giá trị ngun m Chọn phương án C 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Khi x ∈ [0; 2π] t ∈ [−2; 4], phương trình cho có nghiệm x ∈ [0; 2π] phương trình (∗) có nghiệm t ∈ [−2; 4] Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t ∈ [−2; 4] tập giá trị hàm số f (t) đoạn [−1; 3], nên phương trình (∗) có nghiệm t ∈ [−2; 4]