C¸c hµm sè lîng gi¸c 139 ch¬ng 2 − hµm sè luü thõa, hµm sè mò vµ hµm sè l«garit A KiÕn thøc cÇn nhí I luü thõa §Þnh nghÜa 1 (Luü thõa víi sè mò nguyªn) Víi a ≠ 0, n = 0 hoÆc n lµ mét sè nguyªn ©m, l[.]
chương hàm số luỹ thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit A Kiến thức cần nhớ I luỹ thừa Định nghĩa 1: (Luỹ thừa với số mũ nguyên): Với a 0, n = n số nguyên âm, luỹ thừa bậc n a số an xác định bởi: a0 = 1, an = n với n nghuyên âm a Định nghĩa 2: (Căn bậc n): Với n nguyên dương bậc n số thực a số thực b (nÕu cã) cho bn = a Ta thõa nhận hai khẳng định sau đây: Khi n số lẻ, số thực a có bËc n, kÝ hiÖu n a Khi n số chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối Căn có giá trị dương kí hiệu n a (còn gọi số học bậc n a), có giá trị âm kí hiệu n a Định nghĩa 3: (Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a số thực dương r số hữu m tỉ Giả sử r = , m số nguyên n số n nguyên dương Khi đó, luỹ thừa a với với sô mũ r số ar xác định bởi: m ar = a n = n am Tõ ®ã n a = a n TÝnh chÊt cđa l thõa: Víi a > 0, b > 0, ta cã: an.am = an + m (ab)n = an.bn m n a an a n−m = a = n n a b b (am)n = am.n Định lí 1: Cho m, n số nguyên Khi ®ã: Víi a > th× am > an vµ chØ m > n Víi < a < am > an m < n II lôgarit Định nghĩa1: Cho < a 1, b > 0, ta định nghÜa α = lnb ⇔ b = eα, α = logab ⇔ b = aα, α = lgb ⇔ b = 10, từ định nghĩa ta được: loga1 = 0, logaaα = α; logaab = b, víi mäi b; a loga b = b víi b > 139 So sánh hai lôgarit số Định lí 1: Cho số dương b c (1) Khi a > th× logab > logac ⇔ b > c HƯ quả: Khi a > logab > b > (2) Khi < a < logab > logac b < c Hệ quả: Khi < a < th× logab > ⇔ b < (3) logab = logac ⇔ b = c Các quy tắc tính lôgarit Định lí 2: Với a dương khác số dương b, c, ta cã: (1) logab + logac = loga(bc), Trêng hợp có bc > loga(xy) = logab + logac b (2) logab − logac = loga , c b trường hợp có bc > loga = logab − logac c α (3) logab = logab, Trường hợp b = 2k, k Z logab = logab Hệ quả: Với n nguyên dương 1 loga = logab; loga n b = logab b n Đổi số lôgarit Định lí 3: Với a, b dương khác số dương c, ta có: log a c logbc = hay logab.logbc = logac log a b HƯ qu¶: Ta cã: log b a Víi a, b dương khác logab = Với a dương khác 1, c số dương 0, ta cã log a c = α Trêng hỵp a ∈ , a ≠ vµ α = 2k, k ∈ th× log a c = α III Hàm số mũ Định nghĩa: Hàm số mũ sè a (0 < a ≠ 1) cã d¹ng y = ax Đạo hàm hàm số mũ: Ta ghi nhận kết sau: ex = a lim x→0 x b Víi mäi x ∈ , ta cã (ex)' = ex vµ (ax) = ax.lna 140 logac α log|a|c α c NÕu u = u(x) hàm số có đạo hàm J th× víi mäi x ∈ J, ta cã (eu)' = u'.eu vµ (au) = u'.au.lna XÐt hµm sè y = ax, < a ≠ 1, ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: Liªn tơc trªn Sù biến thiên: Hàm số đơn điệu với x Víi a > th× a x1 > a x x1 > x2, tức hàm số đồng biÕn Víi < a < th× a x1 > a x ⇔ x1 < x2, tøc hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số có dạng và: Luôn cắt trục Oy A(0; 1) Nằm phía trục hoành Nhận trục hoành làm tiệm cân ngang IV Hàm số lôgarit Định nghĩa: Hàm số logarit số a (0 < a ≠ 1) cã d¹ng y = logax Đạo hàm hàm số mũ: Ta ghi nhận kÕt qu¶ sau: ln(x + 1) a lim = x→0 x 1 vµ (logax)' = b Víi mäi x ∈ (0; +∞), ta cã (lnx)' = x x.ln a c NÕu u = u(x) lµ hµm sè có đạo hàm J với x J, ta cã u' u' (lnu)' = vµ (logau)' = u u.ln a XÐt hµm sè y = logax, víi < a ≠ 1, ta cã c¸c tÝnh chất sau: Hàm số liên tục D = (0, + ) tập giá trị I = Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mäi x Víi a > th× logax1 > logax2 x1 > x2, tức hàm số đồng biÕn Víi < a < th× logax1 > logax2 ⇔ x1 < x2, tøc lµ hµm sè nghịch biến Đồ thị hàm số có dạng và: Luôn cắt trục Oy A(1; 0) Nằm bên phải trục tung Nhận trục tung làm tiệm cân đứng V Hàm số luỹ thừa Định nghĩa: Hàm số lũy thừa hàm số xác định công thức y = x, với số tùy ý Tập xác định (0; +), trừ trường hợp sau: Nếu nguyên dương hàm số có tập xác định Nếu nguyên âm = hàm số có tập xác định * Đạo hàm hàm số lũy thừa: Ta ghi nhận kết sau: a Hàm số y = x có có đạo hàm điểm x > và: 141 (xα)' = α.xα − b NÕu u = u(x) hàm số có đạo hàm u(x) > J thì: (u)' = .u'.u 1, với mäi x ∈ J Chó ý: Víi n số nguyên tùy ý, ta có (xn)' = n.xn − víi mäi x ≠ 0; vµ nÕu u = u(x) hàm số có đạo hàm u(x) J (un)' = n.u'.un 1, víi mäi x ∈ J Ta cã: ( n x )' = n x n −1 n , víi mäi x > nÕu n ch½n, víi mäi x ≠ nÕu n lỴ NÕu u = u(x) hàm số có đạo hàm J tháa m·n ®iỊu kiƯn u(x) > víi mäi x thc J n ch½n, u(x) ≠ víi mäi x thuộc J n lẻ thì: ( n u )' = u' n n u n −1 VI Các dạng phương trình, bất phương trình mũ lôgarit Phương trình mũ có dạng ax = m, a > m số đà cho Khi đó: Nếu m phương trình vô nghiệm Nếu m > phương trình có nghiệm x = logam Ta có kết quả: af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x) Víi a > th× af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x) Víi < a < th× af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x) Phương trình lôgarit có dạng logax = m, m số đà cho Ta phải có điều kiện x > < a Với m phương trình có nghiệm x = am Ta có kết quả: logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) > Víi a > th× logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x) > Víi < a < th× logaf(x) > logag(x) ⇔ < f(x) < g(x) mét số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ lôgarit a Phương pháp đưa số b Phương pháp đặt ẩn phụ 142 c Phương pháp lôgarit hóa: Ta giải phương trình có hai vế dương cách lấy lôgarit hai vế theo số thích hợp d Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến hàm số B Phương pháp giải dạng toán liên quan Đ1 hàm số mũ hàm số lôgarit Dạng toán 1: Giới hạn hàm số mũ lôgarit Phương pháp Chúng ta có dạng giới hạn đặc biÖt sau: a b ex − = x→0 x ln(x + 1) = lim x→0 x lim c d x ) = e x →∞ x lim (1 + x)1/ x = e lim (1 + x→0 Më réng:: Ta cã: e f (x) − =1, x →x0 f(x) f (x) → lim lim ln [ f(x) + 1] x →x0 f (x) f(x) Quy tắc Lôpitan: Nếu f(x), g(x) khả vi lân cận x = trừ ®iĨm x0, th×: lim f(x) = lim g(x) = ∞ g'(x) lân cận x0, x x0 x →x0 ®ång thêi: f '(x) f(x) = A th× lim = A x → x g(x) x x g'(x) lim Quy tắc với x Thí dụ Tìm giới hạn sau: e2 − e3x + x→0 x a lim Gi¶i e2x − e3x x→0 x b lim a Ta biÕn ®ỉi: e2 − e3x + −3e2 (e3x − 1) = lim = −3e2 lim x→0 x→0 3x x b Ta biÕn ®ỉi: e2x − e3x 3(e5x − 1) e2x − + − e3x 2(e2x − 1) = lim = lim − lim lim x→0 x→0 x→0 x→0 x 3x x 2x = − = −1 143 NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn: e f (x) − chóng x →x0 f(x) f (x) câu a), để làm xt hiƯn d¹ng giíi h¹n lim ta thùc hiƯn nhãm nh©n tư chung e2 ë c©u b), chóng ta tách giới hạn ban đầu thành hai giới hạn việc thêm bớt Với quy tắc L«pitan, ta cã: ( ) e2 − e3x + ' e2 − e3x + = lim = lim −3e3x + = −3e2 lim x→0 x→0 x→0 x (x)' ( ( ) ) e2x − e3x ' e2x − e3x = lim = lim 2e2x − 3e3x = − = −1 x→0 x→0 x→0 x (x)' lim ( ) Thí dụ Tìm giới hạn sau: a lim x →0 ex − x +1 −1 b lim x →0 ex − sin 2x Gi¶i a Ta cã: ex − (e x − 1)( x + + 1) = lim = x →0 x x +1 −1 lim x →0 b Ta cã: lim x →0 x x e −1 = lim sin 2x x →0 ( e −1 x ) e + sin 2x = lim x →0 ( ex − 1 x = 2sin 2x ex + 2x ) 5x − x x → x − 3x Thí dụ Tìm giới hạn lim Giải Ta biÕn ®ỉi: x x ln 5x ln 2x e −e −2 = lim x →0 x → x − 3x x(x − 3) lim = ln − ln = − ln 3 Thí dụ Tìm giới hạn sau: 144 = lim x →0 ln e x ln − e x ln − − ln x ln x x −3 ln(2x + 1) x→0 x a lim Gi¶i ln(1 + 2x ) x→0 x b lim a Ta biÕn ®ỉi: ln(2x + 1) ln(2x + 1) = lim = 2.1 = lim → x→0 x 2x x b Ta biÕn ®ỉi: ln(1 + 2x ) 2x ln(1 + 2x ) = lim = 0.1 = lim x→0 x→0 x 2x ThÝ dụ Tìm giới hạn sau: ln(4x + 1) − ln(2x + 1) x →0 x a lim x2 + , víi x > −1 .ln x→0 ex + x +1 b lim Gi¶i a Ta biÕn ®ỉi: ln(2x + 1) ln(4x + 1) − ln(2x + 1) ln(4x + 1) = lim − lim → x →0 x x x x 2ln(2x + 1) 4ln(4x + 1) − = lim = x →0 4x 2x b Ta biÕn ®ỉi: x2 + ln(x + 1) ln(x + 1) ln − ln(x + 1) − ln(x + 1) x x = lim xx + = lim lim x x x→0 x→0 e + x → e +1 e +1 x x.ln(x + 1) ln(x + 1) lim − lim 0.1 − x →0 x →0 x x = = = −1 x e +1 lim x x Dạng toán 2: Tập xác định hàm số mũ lôgarit Thí dụ Tìm tập xác định hàm số: a y = Gi¶i ln(x + 1) x b y = log x x −1 a §iỊu kiƯn: x > −1 x + > ⇔ −1 < x ≠ ⇔ x x 145 Vậy, ta tập xác định D = (1; +)\{0} b Điều kiện: < x ≠ 0 < x ≠ 0 < x ≠ ⇔ x > ⇔ ⇔ x > x − > x > Vậy, ta tập xác định D = (1; +) Thí dụ Tìm tập xác định hàm số y = lg Gi¶i 21− x − 2x + 2x − Hµm sè g(x) = 21 − x − 2x + nghịch biến, có g(1) = 0, nên: g(x) > ⇔ g(x) > g(1) ⇔ x < g(x) < ⇔ g(x) < g(1) ⇔ x > Hµm sè cã nghÜa khi: 2 x − > x > 1− x 2 − 2x + > x < 21− x − 2x + > ⇔ ⇔ ⇔ < x < x x < 2x − 2 − < 21− x − 2x + < x > Vậy, ta tập xác định D = (0; 1) Dạng toán 3: Xét tính liên tục hàm số mũ lôgarit Phương pháp Ta thực theo bước sau: Bước 1: Khẳng định hàm số xác định điểm x0, tính f(x0) Bước 2: Xác định lim f(x) x x0 Bước 3: Kiểm nghiƯm f(x0) = xlim f(x) →x Bíc 4: Kết luận Thí dụ Xác định a để hàm sè sau liªn tơc trªn : ln(x + 1) x ≠ 2x f(x) = e − a − x = Giải Điều kiện cần đủ liên tục liên tục điểm x0 = 0, tức: f(0) = lim f(x) x→0 Ta cã: f(0) = a − 146 (*) ln(x + 1) x.ln(x + 1) ln(x + 1) x2 = lim 2xx = lim = lim f(x) = lim 2x x →0 x →0 x → 2(e 2x − 1) x →0 e e −1 −1 x 2x Khi ®ã, ®iỊu kiƯn (*) trë thµnh: a = = ⇔ a = VËy, víi a = tháa m·n ®iỊu kiƯn đầu Dạng toán 4: Tính đạo hàm hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit hàm số hợp chúng Phương pháp Sử dụng kết phần kiến thức cần nhớ Thí dụ Chứng minh hàm số y = ln Giải tho¶ m·n hƯ thøc xy' + = ey 1+ x Tríc tiªn, ta cã: 1 y = ln = − ln(1 + x) ⇒ y' = − 1+ x 1+ x Khi ®ã: ln x xy' + = − +1= = e 1+ x = ey, ®pcm 1+ x 1+ x ThÝ dơ Tính đạo hàm hàm số sau: a y x e2x + b y x ln x + = = Gi¶i a Ta cã: ( = y' = ) x e2x += ' 2x e2x + + ( ) 2x e2x + + 2x e2x e +1 2x b Ta cã: = y ' 2x.ln x ( +1 + x = ( 2x e2x 4x e2x = 2x e2x + + e2x + e2x + 2x e2x + + xe2x e +1 2x ) ) x2 + ' x2 = 2x.ln x + + = x +1 x2 + D¹ng toán 5: ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số mũ lôgarit Các toán liên quan 147 Thí dụ Cho hàm số (Cm): y = xemx Víi m = −2: a Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm sè (C) b BiƯn ln theo a sè nghiƯm cđa phương trình xe2x = a c Tìm b để phương trình sinx.e2sinx = b có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng [0; ] d Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hòanh độ x = Tìm m để: b Hàm số có cực trị a Hàm số đồng biến c Hàm số có cực tiểu Giải Với m = hàm số có dạng (C): y = xe2x a Ta có: (1) Hàm số xác định D = (2) Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số v« cùc lim y = −∞, lim y = x x + Bảng biến thiên: y' = e−2x − 2xe−2x = e−2x(1 − 2x), y' = ⇔ e−2x(1 − 2x) = ⇔ x = x y' y −∞ −∞ + 1/2 C§ 1/2e − 1/e2 +∞ Kết luận: 1 Hàm số đồng biến khoảng ; nghịch biến kho¶ng ; + ∞ 2 1 Đồ thị hàm số đạt cực đại điểm A ; 2e −2x b Sè nghiƯm cđa phương trình xe = a số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = a Ta có: Với a 0, phương trình có nghiệm nhÊt Víi < a < , phương trình có hai nghiệm phân biệt 2e 1 , phương trình có nghiệm x = Với a = 2e , phương trình vô nghiệm Với a > 2e c Đặt t = sinx, t 1, phương trình có d¹ng te−2t = b (1) 148