Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HỌC TOÀN XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 10[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HỌC TOÀN XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HỌC TOÀN XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 10/2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Bất đẳng thức biến phân số toán liên quan 1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều 1.1.1 Điểm bất động phép chiếu mêtric 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian RN 10 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 15 1.2.1 Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert 15 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 16 1.2.3 Một số tốn mơ tả dạng tốn bất đẳng thức biến phân 17 1.2.4 1.3 Nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 18 Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach 20 1.3.1 Ánh xạ j-đơn điệu 20 1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 23 Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 2.1 25 Nửa nhóm khơng giãn 25 2.1.1 Định nghĩa Ví dụ 25 2.1.2 Một số tính chất 27 iv 2.2 Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 29 2.2.1 Nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 30 2.2.2 Phương pháp lặp hội tụ 31 2.2.3 Ví dụ minh họa 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E R tập số thực R+ tập số thực không âm ∀x với x R(A) miền ảnh toán tử A D(A) miền xác định toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng C[a, b] không gian hàm liên tục đoạn [a, b] lp , ≤ p < ∞ không gian dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], ≤ p < ∞ không gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C lim supn→∞ xn giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn x n → x0 x n ⇀ x0 giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều nhà toán học người Italia G Stampacchia đồng đưa lần vào năm đầu thập niên 60 kỉ XX nghiên cứu toán biên tự (xem [7], [9], [10] [11]) Bài toán bất đẳng thức biến phân có vai trị quan trọng nghiên cứu tốn học lý thuyết toán tối ưu, toán điều khiển, toán cân bằng, toán bù, toán giá trị biên v.v Bên cạnh đó, tốn bất đẳng thức biến phân cịn có nhiều ứng dụng tốn thực tế mơ hình cân kinh tế, giao thơng, tốn khơi phục tín hiệu, tốn cơng nghệ lọc khơng gian, tốn phân phối băng thơng v.v Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đề tài thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước nhiều kết sâu sắc thiết lập Đề tài luận văn giới thiệu trình bày lại hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trong không gian Banach báo [6] công bố năm 2017 Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, khơng gian Hilbert khơng gian Banach, trình bày mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân với số toán liên quan Chương trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn khơng gian Banach, trình bày hội tụ mạnh phương pháp đưa ví dụ minh họa Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy khoa Tốn–Tin thầy trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trung tâm GDNN – GDTX Đan Phượng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K10 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn Trần Học Toàn Chương Bất đẳng thức biến phân số toán liên quan Chương giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều vô hạn chiều số toán liên quan đến bất đẳng thức biến phân Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3], [5] [8] 1.1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều 1.1.1 Điểm bất động phép chiếu mêtric Ký hiệu RN khơng gian Euclid N chiều có tích vơ hướng chuẩn tương ứng ký hiệu h., i k.k Định nghĩa 1.1.1 Cho C tập hợp khác rỗng, F ánh xạ từ C vào C Một điểm x ∈ C gọi điểm bất động ánh xạ F F (x) = x Tập tất điểm bất động F ký hiệu Fix(F ), nghĩa Fix(F ) = x ∈ C : F (x) = x Nhận xét 1.1.2 Điểm bất động ánh xạ F nghiệm phương trình tốn tử F (x) − x = Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian mêtric với khoảng cách d Ánh xạ F : X → X gọi ánh xạ co d(F (x), F (y)) ≤ θd(x, y) x, y ∈ X, (1.1) θ số thỏa mãn ≤ θ < Nếu θ = 1, F gọi ánh xạ không giãn x (hoặc F (x) = cos x) ánh xạ co (tương ứng, ánh xạ khơng giãn) Ví dụ 1.1.4 (a) Ánh xạ F : R → R xác định F (x) = 1 (b) Ánh xạ F : R2 → R2 xác định F (x) = Ax (hoặc F (x) = √ Ax) ! ! 1 x1 với A = x = ánh xạ co (tương ứng, ánh xạ −1 x2 không giãn) Định lý 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) (xem [2]) Nếu X không gian mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ co, tồn điểm bất động ánh xạ F Nhận xét 1.1.6 (a) Định lý 1.1.5 nói chung khơng F ánh xạ không giãn Chẳng hạn F : RN → RN xác định F (x) = x, ánh xạ không giãn Fix(F ) = RN (b) Điều kiện ánh xạ co điều kiện cần, chẳng hạn F : R → R xác định F (x) = sin x ánh xạ không giãn F có điểm bất động Fix(F ) = {0} Định lý 1.1.7 (Định lý điểm bất động Brouwer) (xem [3]) Nếu F ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B ⊂ RN vào F có điểm bất động Chú ý 1.1.8 (a) Nếu F khơng liên tục F có điểm bất động Chẳng hạn F : [0, 1] → [0, 1] xác định F (x) = −1 ≤ x < F (x) = x = ánh xạ không liên tục [0, 1] Fix(F ) = {0, 1} (b) Trong Định lý 1.1.7 ta thay hình cầu đóng B tập lồi compact RN Sau ta nhắc lại số khái niệm tập lồi hàm lồi Cho hai điểm a, b ∈ RN Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.9 Tập C ⊆ RN gọi tập hợp lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Nói cách khác, tập C ⊆ RN tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Ví dụ 1.1.10 Trong khơng gian RN , tập hợp sau tập lồi: (a) hình cầu đóng tâm x0 bán kính r: B(x0 , r) = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ RN : kx − x0 k ≤ r}; (b) nửa khơng gian đóng Hα = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ RN : ha, xi ≤ α}; (c) hình đa diện ∆ = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ RN : hA, xi ≤ b}, x0 ∈ RN , r số thực dương, a ∈ RN , α ∈ R, A ma trận thực cỡ M × N , b ∈ RM Định nghĩa 1.1.11 Cho C tập không gian RN , f : C → [−∞, +∞] hàm tùy ý (a) Miền hữu hiệu hàm f , ký hiệu định nghĩa bởi: domf = x ∈ C : f (x) < +∞ (b) Tập đồ thị hàm f ký hiệu định nghĩa bởi: epif := (x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α (1.2) (1.3) (c) Nếu domf khác rỗng f (x) > −∞ với x ∈ C ta nói hàm f thường