ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN-2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRƯƠNG MINH TUYÊN THÁI NGUYÊN-2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung thầy mơn Tốn ứng dụng nói riêng giảng dạy dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Trương Minh Tuyên, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Cuối tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp tận tình giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Học viên Nguyễn Thị Thu c ii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert số đặc trưng 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.3 Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển 11 1.3.1 Phương pháp gradient 13 1.3.2 Phương pháp gradient tăng cường 13 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ gần không giãn 17 2.1 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 17 2.2 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn 25 Tài liệu tham khảo 34 c Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert h., i tích vơ hướng khơng gian Hilbert H k.k chuẩn khơng gian Hilbert H I tốn tử đồng H PC phép chiếu mêtric R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian số thực n chiều ∩ phép giao ∅ tập rỗng ∀ với x lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T 5f gradient phiếm hàm khả vi f c Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" nảy sinh trình nghiên cứu giải toán thực tế toán cân kinh tế, tài chính, tốn mạng giao thơng, lý thuyết trị chơi, phương trình vật lý tốn Bài toán giới thiệu lần Hartman Stampacchia vào năm 1966 tài liệu [8] Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều, vô hạn chiều với ứng dụng giới thiệu chi tiết sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" Kinderlehrer D Stampacchia G xuất năm 1980 [10] Từ đó, tốn bất đẳng thức biên phân nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm nhiều người làm tốn ngồi nước Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đề xuất phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động Một trường hợp đặc biệt tốn bất đẳng thức biến phân tốn có dạng: Tìm phần tử x∗ ∈ C = ∩N i=1 Ci , cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, F ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào nó, Ci , i = 1, 2, , N tập lồi đóng H Bài tốn có ý nghĩa quan trọng việc giải tốn tối ưu lồi có ràng buộc trường hợp đặc biệt c toán chấp nhận lồi tiếng Ta xem tập Ci tập điểm bất động phép chiếu mêtric PCi từ H lên Ci , tốn xem tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn Ngồi ra, nghiên cứu mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm hay khơng đếm ánh xạ khơng giãn Mục đích luận văn giới thiệu số kết tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn hay vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert H Luận văn bao gồm chương: Chương nhắc lại số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, với số toán liên quan số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân Chương trình bày lại kết tác giả Buong N Duong L T [4] dựa phương pháp lặp Mann phương pháp đường dốc cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn kết nghiên cứu Sahu D R., Kang S M Sagar V [17] cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert thực H Bên cạnh đó, chương số ví dụ đơn giản đề cập nhằm minh họa thêm cho phương pháp c Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất đặc trưng không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân cổ điểm không gian hữu hạn chiều, với số tốn liên quan Mục 1.3 trình bày số phương pháp cho toán bất đẳng thức biến phân phương pháp gradient hay gradient tăng cường Mục 1.4 đề cập đến số bổ đề quan trọng thường xuyên dùng đến chứng minh kết chương sau 1.1 Không gian Hilbert số đặc trưng Trong luận văn giả thiết H khơng gian Hilbert thực p với tích vô hướng ký hiệu h., i chuẩn xác định bởi: kxk = hx, xi với x ∈ H Trong mục đề cập đến số vấn đề hội tụ mạnh, hội tụ yếu, tập lồi, tập đóng, tập compact, Định nghĩa 1.1 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, ||xn − x|| → n → ∞ Định nghĩa 1.2 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, hxn , yi → hx, yi n → ∞ với c y ∈ H Chú ý 1.1 a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, điều ngược lại không b) Mọi khơng gian Hilbert có tính chất Kadec-Klee, tức dãy {xn } không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện kxn k → kxk xn * x, xn → x n → ∞ Định nghĩa 1.3 Cho C tập khơng gian Hilbert H Khi C gọi là: a) tập lồi λx + (1 − λ)y ∈ C với x, y ∈ C λ ∈ [0, 1]; b) tập đóng dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x n → ∞, ta có x ∈ C; c) tập đóng yếu dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn * x n → ∞, ta có x ∈ C; d) tập compact dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ phần tử thuộc C; e) tập compact tương đối dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ; f) tập compact yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu phần tử thuộc C; g) tập compact tương đối yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu Nhận xét 1.1 a) Mọi tập compact tập compact tương đối, điều ngược lại khơng b) Mọi tập đóng yếu tập đóng, điều ngược lại khơng c Mệnh đề 1.1 [1] Trong không gian Hilbert H, tập lồi, đóng bị chặn tập compact yếu Tiếp theo, chúng tơi trình bày phép chiếu mêtric không gian Hilbert Mệnh đề 1.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Khi với x ∈ H, tồn PC x ∈ C cho kx − PC xk = inf kx − uk u∈C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kx − uk Khi đó, tồn {un } ⊂ C cho u∈C kx − un k −→ d, n −→ ∞ Từ ta có kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k un + um k = 2kx − un k + 2kx − um k − 4kx − 2 2 ≤ 2(kx − un k + kx − um k ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên kx − uk = d Giả sử tồn v ∈ C n→∞ cho kx − vk = d Ta có ku − vk = k(x − u) − (x − v)k 2 = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4kx − u+v k ≤ Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk Định nghĩa 1.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Ánh xạ PC : H −→ C xác định H x 7→ PC x cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk gọi phép chiếu mêtric từ H lên C c ... đếm ánh xạ không giãn Mục đích luận văn giới thiệu số kết tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn hay vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn không. .. tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn Ngồi ra, nghiên cứu mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm hay không đếm. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN Chuyên