��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC �������o0o������� NGUY�N V�N H�I THU�T TO�N �I�M G�N K� �×ÍNG DÈC NH�T GI�I MËT LÎP B�T ��NG THÙC BI�N PH�N TRONG KHÆNG GIAN BANNACH TH�I NGUY�N, 10/2018 c[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN VN HI THUT TON IM GN K ×ÍNG DÈC NHT GII MËT LỴP BT NG THÙC BIN PH N TRONG KHỈNG GIAN BANNACH THI NGUYN, 10/2018 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN VN HI THUT TON IM GN K ×ÍNG DÈC NHT GII MËT LẻP BT NG THC BIN PHN TRONG KHặNG GIAN BANNACH Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M số: 8460112 LUN VN THC S TON HC TP TH GIO VIN HìẻNG DN GS.TS NGUYN B×ÍNG TS NGUYN THÀ THĨY HOA THI NGUYN, 10/2018 c iii Mửc lửc BÊng kỵ hiằu M Ưu Chữỡng Giợi thiằu bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach 1.1 1.2 nh xÔ j - ỡn iằu 1.1.1 Khæng gian Banach lỗi Ãu 1.1.2 nh xÔ ối ngău chuân tc 1.1.3 nh xÔ j - ỡn iằu 1.1.4 To¡n tû gi£i Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach10 1.2.1 Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn j - ỡn iằu v phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt 1.2.2 10 Ph÷ìng ph¡p lai ghp ữớng dốc nhĐt v phữỡng phĂp im gƯn kà tẳm khổng im cừa Ănh xÔ j - ỡn iằu 13 Chữỡng Phữỡng phĂp im gƯn kà ữớng dốc nhĐt xĐp x nghiằm bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 17 2.1 2.2 Phữỡng phĂp lp ân 17 2.1.1 Giỵi hÔn Banach 17 2.1.2 Phữỡng phĂp lp ân v sỹ hởi tử 18 Ph÷ìng ph¡p l°p hi»n 24 2.2.1 24 Mỉ t£ ph÷ìng ph¡p c iv 2.2.2 Sü hëi tö 25 2.2.3 Vẵ dử minh hồa 35 Kát luên Ti liằu tham kh£o 37 38 c BÊng kỵ hiằu H E E SE R R+ ∅ ∀x D(A) R(A) A−1 I d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn * x0 J j Fix(T ) ∂f khæng gian Hilbert thỹc khổng gian Banach khổng gian ối ngău cừa E mt cƯu ỡn v cừa E têp cĂc số thỹc têp cĂc số thỹc khổng Ơm têp rộng vợi måi x mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A mi·n £nh cõa to¡n tû A to¡n tû ng÷đc cõa to¡n tỷ A toĂn tỷ ỗng nhĐt khoÊng cĂch tứ phƯn tỷ x án têp hủp C giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } dÂy {xn } hởi tử mÔnh và x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và x0 Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Ănh xÔ ối ngău chuân tưc ỡn tr têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T dữợi vi phƠn cừa hm lỗi f c M Ưu Cho E l khổng gian Banach thỹc Kỵ hiằu E ∗ l khỉng gian li¶n hđp cõa E , hx∗ , xi l gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n tẵnh liản tửc x X tÔi x E v chuân cừa E v Ãu kỵ hiằu l k à k Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach E ữủc phĂt biu nhữ sau: Cho C l mởt têp lỗi õng, khĂc réng cõa khæng gian Banach thüc E , F : E E l mởt Ănh xÔ xĂc nh trản E Tẳm phƯn tỷ x C cho hF (x∗ ), j(x − x∗ )i ≥ ∀x C, (1) Ơy j l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc ỡn tr cừa E , Ănh xÔ F l Ănh xÔ giĂ, C l têp rng buởc Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ữủc giợi thiằu lƯn Ưu tiản vo nôm 1966 P Hartman v G Stampacchia cổng bố nhỳng nghiản cựu Ưu tiản cừa mẳnh và bĐt ng thực bián phƠn liản quan tợi viằc giÊi cĂc bi toĂn bián phƠn, bi toĂn iÃu khin tối ữu v cĂc bi toĂn biản lỵ thuyát phữỡng trẳnh Ôo hm riảng Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian vổ hÔn chiÃu v cĂc ựng dửng cừa nõ ữủc giợi thiằu s¡ch "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" cõa D Kinderlehrer v G Stampacchia xuĐt bÊn nôm 1980 v cuèn s¡ch "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" cõa C Baiocchi v A Capelo xu§t b£n nôm 1984 Luên vôn trẳnh by ba phữỡng phĂp giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (1) khổng gian Banach lỗi Ãu, cõ chuân khÊ vi GƠteaux c Ãu vợi têp rng buởc C l têp khổng im chung cừa cĂc Ănh xÔ m- j - ỡn iằu Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng giợi thiằu mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt cừa khổng gian Banach lỗi Ãu, cõ chuân khÊ vi GƠteaux Ãu, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc, Ănh xÔ j - ỡn iằu, toĂn tỷ giÊi khổng gian Banach; ỗng thới trẳnh by phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn, phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt, phữỡng phĂp im gƯn kà tẳm khổng im cừa Ănh xÔ m-j - ỡn iằu khổng gian Banach Chữỡng trẳnh by ba phữỡng phĂp im gƯn kà kát hủp vợi phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt (mởt phữỡng phĂp lp ân v hai phữỡng phĂp lp hiằn) giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn vợi Ănh xÔ giĂ l Ănh xÔ j - ỡn iằu mÔnh v giÊ co cht, têp rng buởc l têp khổng im chung cừa cĂc Ănh xÔ m-j - ỡn iằu khổng gian Banach lỗi Ãu cõ chuân khÊ vi GƠteaux Ãu Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản Ưu tiản, tổi xin kẵnh gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc án thƯy GS.TS Nguyạn Bữớng, ngữới  tên tẳnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh lm luên vôn Tổi xin gỷi cĂm ỡn án cĂc quỵ ThƯy Cổ khoa ToĂn - Tin cừa trữớng Ôi hồc Khoa hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt kián thực v kinh nghiằm quỵ bĂu cho tổi suốt quĂ trẳnh tổi hồc têp tÔi trữớng Tổi xin gỷi cĂm ỡn án cĂc quỵ ThƯy Cổ Phỏng o tÔo cừa Trữớng Ôi hồc Khoa hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi hon thnh chữỡng trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny Ci cịng, tỉi xin gûi líi c¡m ìn ¸n gia ẳnh v bÔn b  ởng viản, tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi hon thnh luên vôn ny ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2018 TĂc giÊ luên vôn Nguyạn Vôn HÊi c Chữỡng Giợi thiằu bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach Chữỡng ny trẳnh by hai mửc Mửc 1.1 giợi thiằu khĂi niằm v trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Banach lỗi Ãu cõ chuân khÊ vi GƠteaux Ãu, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc, Ănh xÔ j - ìn i»u v to¡n tû gi£i khỉng gian Banach Mửc thự hai cừa chữỡng giợi thiằu và bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn j - ỡn iằu khổng gian Banach, trẳnh by phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt giÊi bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn v phữỡng phĂp im gƯn kà trữớng hủp c biằt tẳm khổng im cừa Ănh xÔ j - ỡn iằu Nởi dung cừa chữỡng ữủc viát trản cỡ s cĂc ti liằu [1][3], [11][14] v cĂc ti liằu ữủc tham chiáu õ 1.1 nh xÔ j - ỡn iằu Cho E l khổng gian Banach vợi khổng gian ối ngău kỵ hiằu l E Ta dũng kỵ hiằu k.k cho chuân E v E v viát tẵch ối ngău hx, x i thay cho giĂ tr cừa phiám hm tuyán tẵnh x E tÔi im x ∈ E , tùc l hx, x∗ i = x (x) Vợi mởt Ănh xÔ A : E 2E , ta s³ ành ngh¾a mi·n x¡c ành, mi·n giĂ tr v ỗ th cừa nõ tữỡng ựng c nh÷ sau: D(A) = {x ∈ E : A(x) 6= ∅}, R(A) = ∪{Az : z ∈ D(A)}, v G(A) = {(x, y) ∈ E × E : x D(A), y A(x)} nh xÔ ngữủc A1 cừa Ănh xÔ A ữủc nh nghắa bi: x A1 (y) n¸u v ch¿ n¸u y ∈ A(x) 1.1.1 Khỉng gian Banach lỗi Ãu nh nghắa 1.1.1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l phÊn xÔ, náu vợi mồi phƯn tû x∗∗ ∈ E ∗∗ , khỉng gian li¶n hđp thự hai cừa E , Ãu tỗn tÔi phƯn tỷ x ∈ E cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ N¸u E l khỉng gian Banach phÊn xÔ thẳ mồi dÂy b chn E Ãu cõ dÂy hởi tử yáu õ l nởi dung cừa nh lỵ sau Ơy nh lỵ 1.1.2 (xem [3]) Cho E l khæng gian Banach Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: (i) E l khổng gian phÊn xÔ (ii) Mồi dÂy b chn E Ãu cõ mởt dÂy hởi tử yáu Kỵ hi»u SE := {x ∈ E : kxk = 1} l m°t c¦u ìn cõa khỉng gian Banach E Sau Ơy l nh nghắa khổng gian Banach lỗi cht v lỗi Ãu nh nghắa 1.1.3 (i) Khổng gian Banach E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi iºm x, y ∈ SE , x 6= y , suy k(1 − λ)x + λyk < ∀λ ∈ (0, 1) c (ii) Khæng gian Banach E ữủc gồi l lỗi Ãu náu vợi mồi (0, 2] v c¡c b§t ¯ng thùc kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thäa m¢n thẳ tỗn tÔi = () > cho k(x + y)/2k ≤ − δ Mèi li¶n hằ giỳa khổng gian Banach lỗi Ãu, lỗi cht v phÊn xÔ ữủc cho bi nh lỵ dữợi Ơy nh lỵ 1.1.4 (xem [3]) Mồi khổng gian Banach lỗi Ãu Ãu l lỗi cht v phÊn xÔ nh nghắa 1.1.5 Khổng gian Banach E ữủc gồi l trỡn náu vợi mội im x nơm trản mt cƯu ỡn v SE tỗn tÔi nhĐt mởt phiám hm gx E ∗ cho hx, gx i = kxk v kgx k = nh nghắa 1.1.6 (i) Chuân cừa khổng gian Banach E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux náu vợi mội y SE giợi hÔn kx + tyk kxk (1.1) lim t0 t tỗn tÔi vợi x SE , kỵ hiằu hy, 5kxki Khi õ 5kxk ữủc gồi l Ôo hm GƠteaux cừa chuân (ii) Chuân cừa E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux Ãu náu vợi mội y SE , giợi hÔn (1.1) Ôt ữủc Ãu vợi mồi x SE Mối liản h» giúa khỉng gian Banach trìn v t½nh kh£ vi GƠteaux cừa chuân ữủc cổng bố nh lỵ sau nh lỵ 1.1.7 (xem [3]) Khổng gian Banach E l trìn v ch¿ chu©n cõa E kh£ vi GƠteaux trản E \ {0} 1.1.2 nh xÔ ối ngău chuân tưc nh nghắa 1.1.8 nh xÔ Js : E → 2E , ∗ s > (nâi chung l a trà) x¡c ành bði Js x = {uq ∈ E ∗ : hx, us i = kxkkus k, kus k = kxks−1 }, c r r t (ii) tPk+1 ≤ r vỵi måi k ≥ v limk→∞ t r t − = k+1 k rk+1 tk ∞ k=1 rk tk+1 k+1 k k − < ∞; k k+1 ho°c (iii) {rk } l d¢y sèPthüc cho < r ≤ rk ≤ r vỵi måi k ≥ vỵi < r ≤ r v ∞ k=1 |rk+1 − rk | < ∞; v (C3) Trong [5], Boikanyo v Morosanu ch¿ r¬ng (1.16) tữỡng ữỡng vợi y k+1 = (1 tk+1 )JrAk y k + tk+1 u + ek+1 , (1.17) v  chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa dÂy {y k } tợi PZerA u, náu cĂc iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn (i) tk thọa mÂn iÃu kiằn (C1); (ii) rk thäa m¢n i·u ki»n (C2); v (iii) ho°c (C3) ho°c kek k/tk → c 16 Trong [13], Tian v Song  chựng minh hởi tử mÔnh cừa (1.17) dữợi giÊ thiát X1 trứ iÃu kiằn (ii) GƯn Ơy Sahu v Yao [11] ữa thuêt toĂn Prox-Tikhonov: xk+1 = JrAk ((1 − tk )xk + tk f xk + ek ), k ≥ 1, (1.18) vỵi Ănh xÔ co f v  chựng minh sỹ hởi tử mÔnh vợi giÊ thiát tữỡng tỹ nhữ giÊ thiát X1 B i to¡n x§p x¿ khỉng iºm chung cho mët hồ Ănh xÔ Ai cõ tẵnh chĐt m-j - ỡn iằu mÔnh khổng gian Bannach E vợi i  ữủc nhiÃu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu trản cì sð sû dưng c¡c ¡nh P P P Ai a A vỵi a > v a = ho°c S = i i i i i≥1 i≥1 i≥1 βk,i Jri , P â i≥1 βk,i = 1, < βk,i < v JrAi i = (I + ri Ai )−1 vỵi c¡c sè cè ành ri > Trong [7], º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thực bián phƠn (1.6) C = ZerA, Ceng v cởng sỹ  à xuĐt thuêt toĂn sau xk+1 = (I − λk F ) tk xk + (1 tk )JrAk xk , k 1, (1.19) xÔ A = v  chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa (1.19) khổng gian Bannach trỡn Ãu dữợi nhỳng giÊ thiát tữỡng tỹ nhữ X1 Trong Chữỡng 2, ta s trẳnh by phữỡng phĂp giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (1.6) vợi têp rng buởc l têp khổng im chung cừa cĂc Ănh xÔ m-j - ỡn iằu mÔnh khổng gian Banach trỡn c ... NGUYN VN HI THUT TON IM GN K ×ÍNG DÈC NHT GII MËT LỴP BT NG THÙC BIN PH N TRONG KHặNG GIAN BANNACH Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M số: 8460112 LUN VN THC S TON HÅC TP TH GIO... ng thực bián phƠn khỉng gian Banach10 1.2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bián phƠn j - ỡn iằu v phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt 1.2.2 10 Phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt v phữỡng phĂp im... d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn * x0 J j Fix(T ) ∂f khæng gian Hilbert thüc khæng gian Banach khæng gian ối ngău cừa E mt cƯu ỡn v cừa E têp cĂc số thỹc têp cĂc số thỹc khổng