��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC NGUY�N QUANG KHU� X�P X� NGHI�M CÕA B�I TO�N KHÆNG �I�M CHUNG T�CH TRONG KHÆNG GIAN BANACH LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Chuy¶n ng nh To¡n ùng döng M¢ sè 8 46 0[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN QUANG KHU XP X NGHIM CÕA BI TON KHỈNG IM CHUNG TCH TRONG KHỈNG GIAN BANACH LUN VN THC S TON HC Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M số: 46 01 12 NGìI HìẻNG DN KHOA HC TS Trữỡng Minh Tuy¶n Th¡i Nguy¶n 2018 c ii Líi c£m ỡn Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án TS Trữỡng Minh Tuyản, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cỉ giĂo khoa ToĂn Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn S GiĂo dửc v o tÔo tnh H Giang, Ban GiĂm ốc Trung tƠm GiĂo dửc thữớng xuyản - Hữợng nghiằp tnh H Giang, cụng nhữ ton th cĂc ỗng nghiằp,  quan tƠm v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi thỹc hiằn úng ká hoÔch hồc têp v nghiản cựu c iii Mửc lửc Lới cÊm ỡn ii Mởt số kỵ hiằu v viát tưt iv M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Mởt số vĐn à v· h¼nh håc c¡c khỉng gian Banach 1.2 nh xÔ ối ngău chuân tưc 10 1.3 Ph²p chi¸u mảtric v php chiáu tờng quĂt 14 1.3.1 Php chiáu mảtric 14 1.3.2 Ph²p chi¸u têng qu¡t 16 To¡n tû ìn i»u khæng gian Banach 19 1.4 Ch÷ìng X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch 2.1 2.2 22 X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch 22 2.1.1 Phữỡng phĂp chiáu co hàp 22 2.1.2 Ph÷ìng ph¡p lai chi¸u 25 31 Ùng döng 2.2.1 B i to¡n iºm cüc tiºu t¡ch 31 2.2.2 Bi toĂn chĐp nhên tĂch 33 Kát luên 35 T i li»u tham kh£o 36 c iv Mët sè kỵ hiằu v viát tưt E khổng gian Banach E khổng gian ối ngău cừa R têp hủp cĂc số thỹc R+ têp cĂc số thỹc khổng Ơm php giao inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M số lợn nhĐt têp hủp số M số nhọ nhĐt têp hủp số argminxX F (x) tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m ∅ têp rộng x vợi mồi D(A) miÃn xĂc nh cừa to¡n tû R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A−1 to¡n tỷ ngữủc cừa toĂn tỷ I toĂn tỷ ỗng nhĐt Lp () khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc lp khổng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc E M X A A {xn } lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } xn x0 dÂy {xn } hởi tử mÔnh và xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và c trản A n n F x giợi hÔn trản cừa dÂy số lim sup xn M x0 x0 p tr¶n p Ω v JE Ănh xÔ ối ngău chuân tưc trản jE Ănh xÔ ối ngău chuân tưc ỡn tr trản E () mổ un lỗi cừa khổng gian Banach E ( ) mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach F ix(T ) hoc F (T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ f dữợi vi phƠn cừa hm lỗi M bao õng cừa têp hủp PC php mảtric lản C php chiáu tờng quĂt lản iC hm ch cừa têp lỗi c f M C C C E T E E E Mð ¦u Cho H1 v C H2 , v Q l cĂc têp lỗi, õng v khĂc réng cõa c¡c khỉng gian Hilbert t÷ìng ùng Cho T ∗ : H2 −→ H1 T : H1 −→ H2 l to¡n tû li¶n hđp cõa l mët to¡n tû tuyán tẵnh b chn v T Bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) cõ dÔng nhữ sau: Tẳm mởt phƯn tỷ x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) 6= (SFP) Mổ hẳnh bi toĂn (SFP) lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu v nghiản cựu bi Y Censor v T Elfving [4] cho mổ hẳnh cĂc bi toĂn ngữủc B i to¡n n y âng vai trá quan trång khæi phửc hẳnh Ênh Y hồc, iÃu khin cữớng ở xÔ tr iÃu tr bằnh ung thữ, khổi phửc t½n hi»u (xem [2], [3]) hay câ thº ¡p dưng cho viằc giÊi cĂc bi toĂn cƠn bơng kinh tá, lỵ thuyát trỏ chỡi (xem [13]) GiÊ sỷ C l mởt têp lỗi v õng cừa khổng gian Hilbert H1 Ta biát rơng têp im cỹc tiu cõa h m ch¿ iC (x) = 0, n¸u ∞, l arg minH1 iC (x) vi ph¥n cõa iC Ôi) Ngoi ra, A = I PC = C x ∈ C, n¸u x∈ /C Do â, ta nhên ữủc (Rockafellar [11]  ch rơng C C = (iC )1 (0), iC vợi iC l dữợi l mët to¡n tû ìn i»u cüc cơng l tªp khỉng iºm cõa to¡n tû ìn i»u A x¡c ành bði Do â, ta câ thº xem b i to¡n ch§p nhên tĂch (SFP) l trữớng hủp riảng cừa bi toĂn khæng iºm chung t¡ch B i to¡n khæng iºm chung t¡ch ữủc phĂt biu dÔng sau: Cho v B : H2 −→ 2H2 l c¡c to¡n tû ìn i»u cüc Ôi v cho A : H1 2H1 T : H1 H2 l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn Tẳm mởt phƯn tỷ x S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= ∅ (SCNPP) Cho án Bi toĂn (SCNPP)  v ang l chõ · thu hót nhi·u ng÷íi l m to¡n v ngoi nữợc quan tƠm nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên vôn ny l c trẳnh by lÔi cĂc k¸t qu£ cõa Takahashi c¡c t i li»u [14] v [15] và phữỡng phĂp chiáu co hàp v phữỡng phĂp chi¸u lai gh²p cho B i to¡n (SCNPP) khỉng gian Banach Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à và cĐu trúc hẳnh hồc cừa cĂc khổng gian Banach nhữ khổng gian Banach lỗi Ãu, khổng gian Banach trỡn Ãu, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc; php chiáu mảtric v ph²p chi¸u têng qu¡t; to¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach, to¡n tû gi£i m¶tric v to¡n tû giÊi tờng quĂt Chữỡng XĐp x nghiằm cừa bi toĂn khổng im chung tĂch Trong chữỡng ny luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát cĂc kát quÊ cừa Takahashi [14], [15] và cĂc phữỡng phĂp chiáu co hàp v phữỡng phĂp chiáu lai ghp cho b i to¡n khæng iºm chung t¡ch khæng gian Banach Ngoi ra, chữỡng ny luên vôn cụng à cêp án hai ựng dửng cừa phữỡng phĂp chiáu lai ghp ( nh lỵ 2.2) cho bi toĂn im cỹc tiu tĂch v bi toĂn chĐp nhên tĂch c Chữỡng Kián thực chuân b Chữỡng ny bao bỗm mửc Mửc 1.1 trẳnh by mởt số vĐn à và mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa khổng gian phÊn xÔ, khổng gian Banach lỗi Ãu, trỡn Ãu Mửc 1.2 giợi thiằu và Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Mửc 1.3 trẳnh by và php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt vợi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chóng Mưc 1.4 tr¼nh b y v· to¡n tû ìn i»u khæng gian Banach, to¡n tû gi£i têng qu¡t v toĂn tỷ giÊi mảtric Nởi dung cừa chữỡng ny ữủc tham kh£o c¡c t i li»u [1, 5, 6, 8, 9, 10] 1.1 Mởt số vĐn à và hẳnh hồc c¡c khæng gian Banach Cho E l mët khæng gian Banach v E l khổng gian ối ngău cừa nõ º cho ìn gi£n v thuªn ti»n hìn, chóng tỉi thống nhĐt sỷ dửng kẵ hiằu chuân trản E v E ; Sỹ hởi tử mÔnh v yáu cừa dÂy lƯn lữủt ữủc kẵ hiằu l xn x xn * x v {xn } v· ph¦n tû k.k x ch E ton bở luên vôn Trong luên vôn ny, chúng tổi thữớng xuyản sỷ dửng tẵnh chĐt dữợi Ơy cừa khổng gian Banach phÊn xÔ Mằnh · 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E l mët khæng gian Banach Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng: i) ii) E l khổng gian phÊn xÔ Måi d¢y bà ch°n E , ·u câ mët dÂy hởi tử yáu Mằnh à dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu khổng gian tuyán tẵnh nh chuân c Mằnh à 1.2 Náu C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian khổng gian tuyán tẵnh nh chuân X , thẳ C l têp õng yáu Chùng minh cho xn * x, ng°t x v C, Ta chựng minh bơng phÊn chựng GiÊ sỷ tỗn tÔi dÂy x / C tực l tỗn tÔi Theo nh lỵ tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi >0 {xn } ⊂ C x∗ ∈ X ∗ t¡ch cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vỵi måi y ∈ C °c bi»t, ta câ hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vỵi mồi n Ngoi ra, vẳ ng thực trản, cho n → ∞, xn * x , n¶n hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do â, bĐt ta nhên ữủc hx, x i hx, x i , iÃu ny l vổ lỵ Do õ, i·u gi£ sû l sai, hay C l tªp âng yáu Mằnh à ữủc chựng minh Chú ỵ 1.1 Náu C l têp õng yáu, thẳ hin nhiản C l têp õng Mằnh à dữợi Ơy cho ta mởt iÃu kiằn và sỹ tỗn tÔi im cỹc tiu cừa mởt phiám hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi khổng gian Banach phÊn xÔ Mằnh à 1.3 Cho C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach phÊn xÔ E v f : C (, ] l mởt hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi trản C , cho f (xn ) kxn k Khi õ, tỗn tÔi x0 dom(f ) cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} Chùng minh cho f (xn ) → m {xnk } vỵi °t cõa {xn } m = inf{f (x) : x ∈ C} n → ∞ cho N¸u {xn } kxnk k Khi õ, tỗn tÔi dÂy {xn } C khổng b chn, thẳ tỗn tÔi mởt dÂy Theo giÊ thiát, f (xnk ) , mƠu thuăn m 6= Do õ, {xn } b chn Theo Mằnh à 1.1 v Mằnh à 1.2, tỗn tÔi dÂy c {xnj } {xn } cừa cho x nj * x ∈ C Vẳ f l nỷa liản tửc dữợi tổpổ yáu, n¶n ta câ m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ Do â, m = f (x0 ) Mằnh à ữủc chựng minh Tiáp theo, mửc ny chúng tổi à cêp án mởt số vĐn à cỡ bÊn và cĐu trúc hẳnh hồc cĂc khổng gian Banach, nhữ: tẵnh lỗi, tẵnh trỡn, mổ un lỗi, mổ un trỡn nh nghắa 1.1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi x, y E, x 6= y m kxk = 1, kyk = ta câ x + y < Chú ỵ 1.2 nh nghắa 1.1 cỏn cõ th phĂt biu dữợi cĂc dÔng tữỡng ữỡng E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi x, y SE thäa m¢n kx + yk = 1, suy x = y ho°c vỵi måi x, y ∈ SE v x 6= y ta câ ktx+(1−t)yk < vỵi måi t ∈ (0, 1), â sau: Khỉng gian Banach SE = {x ∈ E : kxk = 1} M»nh · 1.4 Cho E l mët khæng gian Banach lỗi cht Khi õ, vợi mội f E \ {0}, tỗn tÔi nhĐt phƯn tỷ x ∈ E cho kxk = v hx, f i = kf k Chựng minh GiÊ sỷ tỗn tÔi x, y ∈ E thäa m¢n kxk = kyk = v x 6= y cho hx, f i = hy, f i = kf k Khi â, vỵi t (0, 1), tứ tẵnh lỗi cht cừa E, ta câ kf k = thx, f i + (1 − t)hy, f i = htx + (1 − t)y, f i ≤ ktx + (1 − t)ykkf k < kf k Suy mƠu thuăn Vêy tỗn tÔi nhĐt phƯn tỷ hx, f i = kf k c x ∈ E cho kxk = v x xn * Suy kxn k → x ta câ kxn k kxk xnk x x ≤ lim inf ≤ − δ, + 1= kxk k→∞ kxnk k kxk V¼ l khỉng gian lỗi Ãu nản tỗn tÔi suy mƠu thuăn Vêy nh nghắa 1.4 x SE , hay E Cho E fx E cho cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee Khổng gian Banach tỗn tÔi nhĐt nh nghắa 1.5 E xn → x ta câ cho E ữủc gồi l trỡn náu vợi mội hx, fx i = kxk v kfx k = l mët khæng gian tuyán tẵnh nh chuân Chuân trản ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux tÔi im x SE náu vợi mội y SE , tỗn tÔi giợi hÔn nh nghắa 1.6 a) Chuân trản d kx + tyk kxk (kx + tyk)t=0 = lim t→0 dt t Cho E E (1.1) l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Khi õ: ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux náu nõ khÊ vi GƠteaux tÔi mồi x SE c b) Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux Ãu náu vợi mồi (1.1) tỗn tÔi Ãu vợi mồi c) Chuân trản E d) Chuân trản vợi mồi E giợi hÔn x SE ữủc gồi l khÊ vi Frchet náu vợi mồi tỗn tÔi ·u vỵi måi y ∈ SE x ∈ SE , giợi hÔn (1.1) y SE ữủc gồi l khÊ vi Frchet Ãu náu giợi hÔn (1.1) tỗn tÔi Ãu x, y SE nh lỵ 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E l mët khæng gian Banach Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u E l khổng gian lỗi cht thẳ E l khỉng gian trìn b) N¸u E ∗ l khỉng gian trỡn thẳ E l khổng gian lỗi cht nh nghắa 1.7 Mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach E l h m sè x¡c ành bði ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − : kxk = 1, kyk = τ } Nhªn x²t 1.2 Mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach tưc v tông trản khoÊng Vẵ dử 1.3 [10] Náu E [0; +∞) E l h m sè x¡c ành, li¶n (xem [1] trang 95) l khỉng gian lp ho°c Lp (Ω), th¼ ta câ (1 + τ p )1/p − < τ p , < p < 2, p ρE (τ ) = p − p−1 τ + o(τ ) < , p 2 nh lẵ dữợi Ơy cho ta biát và mối liản hằ giỳa mổ un trìn cõa khỉng gian Banach E vỵi mỉ un lỗi cừa nh lỵ 1.2 a) b) E (xem [6] trang 70) v ngữủc lÔi Cho E l mởt khổng gian Banach Khi â ta câ τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > τε ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > ρE ∗ ( ) = sup{ Nhên xt 1.3 Tứ nh lẵ 1.2, suy â ε0 (E ∗ ) ε0 (E) , ρE (τ ) ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 τ ρ0 (E) = c v ρ0 (E ∗ ) = ành ngh¾a 1.8 Khỉng gian Banach E ữủc gồi l trỡn Ãu náu E ( ) = τ →0 τ lim Tø Nhªn x²t 1.3, ta cõ nh lỵ dữợi Ơy: nh lỵ 1.3 Cho E l mët khæng gian Banach Khi â ta (xem [6] trang 70) câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u E l khỉng gian trìn ·u th¼ E ∗ l khổng gian lỗi Ãu; b) Náu E l khổng gian lỗi Ãu thẳ E l khổng gian trỡn Ãu V½ dư 1.4 Måi < p < +∞ ·u l khổng gian Banach lỗi Ãu v trỡn Ãu (xem [5] trang khæng gian Hilbert, khæng lp gian Lp (Ω) hay vợi 54) Cuối mửc ny luên vôn giợi thiằu và giợi hÔn cừa dÂy têp hủp khỉng gian Banach theo ngh¾a cõa Mosco [9] {Cn } Cho l mởt dÂy cĂc têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach phÊn xÔ x s-Lin Cn v ch tỗn tÔi dÂy vợi mồi dÂy E Ta xĂc nh cĂc têp s-Lin Cn n ≥ 1; x ∈ {yk } ⊂ E w-Lsn Cn = C0 , E nh÷ sau: x v x n Cn hởi tử mÔnh và w-Lsn Cn v ch tỗn tÔi dÂy cho th¼ {xn } ⊂ E v w-Lsn Cn cõa C0 yk * x v yk Cnk vợi mồi ữủc gồi l giợi hÔn cừa dÂy {Cnk } k {Cn } cõa{Cn } v N¸u s-Lin Cn = theo nghắa cừa Mosco [9] v giợi hÔn ny ữủc kỵ hiằu bi C0 = M- limn Cn Chú ỵ 1.3 l mởt dÂy giÊm cĂc têp lỗi, õng cừa Ta biát rơng, náu khổng gian Banach phÊn xÔ Thêt vêy, ró rng náu vợi xn = x vỵi måi n≥1 E {Cn } C = ∩∞ n=1 Cn 6= ∅, v x ∈ C0 th¼ x∈ hởi tử mÔnh và thẳ s-Lin Cn v x C0 = M- limn→∞ Cn x∈ Do â, ta câ w-Lsn Cn , vẳ dÂy {xn } C0 C0 ⊂ s-Lin Cn v w-Lsn Cn B¥y gií ta s³ ch¿ r¬ng C0 ⊇ s-Lin Cn v tø nh nghắa cừa s-Lin Cn , tỗn tÔi dÂy xn → x, v måi n → ∞ k ≥ vợi mồi Vẳ Do õ, cho n Suy {Cn } w-Lsn Cn L§y {xn } ⊂ E , xn ∈ Cn l mët d¢y gi£m, nản k x C0 C0 v tứ tẵnh õng cừa v vêy c C0 vợi mồi xn+k ∈ Cn Cn , x∈ s-Lin Cn , n cho vợi mồi ta nhên ữủc n1 x Cn s-Lin Cn Tiáp theo, lĐy bĐt ký 10 y∈ w-Lsn Cn , tø ành ngh¾a cõa w-Lsn Cn , tỗn tÔi mởt dÂy v dÂy d¢y {yk } ⊂ E {Cn }, yk * x cho yk ∈ C n k v vỵi måi k ≥ {Cnk } cõa Tø t½nh gi£m cõa ta câ yk+p ∈ Cnk vỵi måi k ≥ k≥1 p ≥ v V¼ Cnk Do â, (1.2), cho Ck ⊇ Cnk , n¶n y ∈ Ck vỵi måi p → ∞, k ≥ = C nk ta nhên ữủc Suy y C0 v w-Lsn Cn y ∈ C nk v â = C0 E l õng yáu Vêy vợi mồi C0 vợi mồi k Vẳ w-Lsn Cn C0 = M- limn Cn nh xÔ ối ngău chuân tưc nh nghắa 1.9 tr (1.2) l lỗi v õng, nản Tõm lÔi, ta thu ữủc s-Lin Cn 1.2 {Cn } J : X −→ 2X ∗ Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, Ănh xÔ a x¡c ành bði J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} ữủc gồi l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa Chú ỵ 1.4 a)Trong khổng gian Hilbert, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc trũng vợi Ănh xÔ ỗng nhĐt I b) nh xÔ ối ngău chuân tưc J xÔ ỡn tr thẳ ta kỵ kiằu nõ bi Nhên xt 1.4 J(x) 6= ∅ X nâi chung l mët ¡nh xÔ a tr Khi x X, l Ănh j Trong khổng gian tuyán tẵnh nh chuân bĐt kẳ vợi måi J X, ta luæn câ i·u n y suy trỹc tiáp tứ hằ quÊ cừa nh lỵ Hahn - Banach Mằnh à dữợi Ơy à cêp án mởt số tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa Ănh xÔ ối ngău chuân tưc J cừa khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Mằnh · 1.7 (xem [1] trang 69) X Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân v J l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa nõ Khi õ, i) ii) J l mởt Ănh xÔ l, tực l J(−x) = −J(x), ∀x ∈ X ; J l thu¦n nhĐt dữỡng, tực l J(x) = J(x), > 0, ∀x ∈ X ; c 11 iii) J bà ch°n, tực l náu D l mởt têp b chn cừa X thẳ J(D) l mởt têp hủp b chn X ∗ ; iv) v) N¸u X ∗ l lỗi cht thẳ J l ỡn tr; J l ỡn tr v liản tửc Ãu trản mội têp b ch°n cõa X v ch¿ X l khæng gian Banach trìn ·u V½ dư 1.5 gian lp X²t khổng gian lp , p > vợi Vẳ khổng gian ối ngău l lỗi Ãu, nản Ănh xÔ ối ngău chuân tưc J cừa lp lq cừa khổng l ỡn tr v thĐy nõ ữủc xĂc nh nhữ sau: J(x) = θ n¸u x=θ {ηn } ∈ lq â ηk = |ξk |p−1 sgn(ξk )kxk2p náu vợi mồi x = {n } = θ, k ≥ M»nh · 1.8 Gi£ sû X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Khi õ, ta câ a) kx + yk2 ≤ kyk2 + 2hx, j(x + y)i, vỵi måi j(x + y) ∈ J(x + y), b) kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i, vỵi måi j(x) ∈ J(x), vỵi måi x, y E Chựng minh Trữợc hát, ta ch kyk2 − kxk2 ≥ 2hy − x, j(x)i, vỵi måi x, y ∈ E Thªt vªy, ta câ kyk2 − kxk2 − 2hy − x, j(x)i = kxk2 + kyk2 − 2hy, j(x)i ≥ kxk2 + kyk2 − 2kxkkyk = (kxk − kyk)2 ≥ Suy ra, (1.3) óng a) Trong (1.3) thay x bði x + y, ta nhªn ÷đc i·u ph£i chùng minh b) Trong (1.3) thay y bi x + y, ta nhên ữủc iÃu phÊi chựng minh c (1.3) 12 M»nh · 1.9 Cho E l mët khỉng gian Banach trìn Khi â, hx − y, j(x) − j(y)i ≥ vỵi måi x, y ∈ E Hỡn nỳa, náu E l khổng gian lỗi ch°t v hx − y, j(x) − j(y)i = 0, thẳ x = y Chựng minh Vợi mồi x, y ∈ E , ta câ hx − y, j(x) − j(y)i = kxk2 − hx, j(y)i − hy, j(x)i + kyk2 ≥ kxk2 − 2kxkkyk + kyk2 = (kxk kyk)2 Do õ, ta nhên ữủc hx − y, j(x) − j(y)i ≥ vỵi måi x, y ∈ E Gi£ sû E l khæng gian Banach lỗi cht v hx y, j(x) j(y)i = Khi â, tø c¡c ¡nh gi¡ tr¶n, ta nhên ữủc hx, j(y)i = hy, j(x)i = kxk2 = kyk2 Do õ, náu x = 0, thẳ y=0 v ngữủc lÔi GiÊ sỷ kxk = kyk = d > Khi â, ta câ Theo M»nh · 1.4, ta x y h , j(x)i = h , j(x)i = kj(x)k d d x y nhên ữủc = hay x = y d d M»nh · 1.10 Cho s > v cho E l mët khæng gian Banach Khi õ, E l lỗi Ãu v ch tỗn tÔi mởt hm lỗi, liản tửc, tông ngt g : [0, ∞) −→ [0, ∞), g(0) = cho kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i + g(kyk) vỵi måi x, y ∈ {z ∈ E : kzk ≤ s} v måi j(x) ∈ J(x) ành nghắa 1.10 Cho õ, dữợi vi phƠn cừa g g : X (, ] tÔi x0 kỵ hiằu l l mởt hm lỗi, g(x0 ) x0 dom(g) v ÷đc x¡c ành bði ∂g(x0 ) = {f ∈ X ∗ : g(x) − g(x0 ) ≥ hx − x0 , f i} Ta nõi g l khÊ dữợi vi phƠn tÔi x0 náu c g(x0 ) 6= Khi 13 V½ dư 1.6 måi x ∈ X Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, g(x) = kxk2 vỵi Khi â, 0, x = 0, ∂g(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 }, x 6= Thªt vªy, f ∈ ∂g(0) v ch¿ kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X Thay y λy bði vỵi λ > 0, ta nhên ữủc kyk2 hy, f i, y X Cho λ → 0, hy, f i ≥ GiÊ sỷ ta nhên ữủc Suy ra, x 6= 0, hy, f i ≤ hy, f i = vỵi måi y ∈ X Thay y ∈ X Do õ, f = vợi mồi y bi Vêy y ta thu ữủc g(0) = {0} dng kim tra ữủc rơng {f X : hx, f i = kxk2 = kf k2 } ⊂ ∂g(x) Thªt vêy, giÊ sỷ f X thọa mÂn kxk2 = kf k2 Khi â, vỵi måi y ∈ X, ta câ hy − x, f i = hy, f i − kxk2 ≤ kyk.kxk − kxk2 ≤ (kyk2 + kxk2 ) − kxk2 = g(y) − g(x) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f g(x) Khi õ, ta câ hy − x, f i ≤ (kyk2 − kxk2 ) vỵi måi y ∈ X Thay y = x + λz vỵi λ∈R v z ∈ X, theo Mằnh à 1.8 a), ta nhên ữủc 1 λhz, f i ≤ (kx + λzk2 − kxk2 ) ≤ (λ2 kzk2 + 2|λ|kxkkzk) 2 Khi λ > 0, tứ (1.4), ta nhên ữủc hz, f i ≤ (λkxzk2 + 2kxkkzk) c (1.4) ... un lỗi cừa khổng gian Banach Nhên xt 1.1 Mổ un lỗi cừa khổng gian Banach v tông trản oÔn [0; 2] Khổng gian Banach E E lỗi ch°t v ch¿ (xem [1] trang 59) Ngo i ra, khæng gian Banach δE (ε) >... khổng gian Banach nhữ khổng gian Banach lỗi Ãu, khổng gian Banach trỡn Ãu, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc; php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt; toĂn tỷ ìn i»u khỉng gian Banach, to¡n tû gi£i m¶tric... 60) (xem [1] trang 56) Mồi khổng gian Banach lỗi Ãu bĐt kẳ l khổng gian phÊn xÔ nh nghắa 1.3 náu mồi dÂy V½ dư 1.2 Khỉng gian Banach {xn } ⊂ E xn * x Måi khỉng gian Hilbert Thªt vªy, gi£ sû kxn