Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ĐIỆP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2019 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ĐIỆP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ĐIỆP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên, năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn "Bài toán Bất đẳng thức biến phân hai cấp" cơng trình nghiên cứu khoa học riêng tơi hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Ngồi ra, luận văn tơi cịn sử dụng số kết quả, nhận xét số tác giả khác có thích trích dẫn nguồn gốc.Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Nếu phát gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ ĐIỆP i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn người thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến thầy, giáo Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau đại học, bạn học viên lớp Cao học K25 Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt q trình học tập làm luận văn Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ ĐIỆP ii Danh mục ký hiệu viết tắt R tập số thực ∈ thuộc phần tử tập hợp ∀x x Rn không gian Euclid thực n-chiều H xn → x xn ⇀ x q kmk = hm, mi không gian Hilbert thực dãy hội tụ mạnh tới x dãy hội tụ yếu tới x chuẩn vectơ m hm, mi tích vơ hướng hai vectơ m n H ×H tích đề H vào H T :A→H P rA (x) ánh xạ từ A vào H hình chiếu x lên tập A TAnat ánh xạ giá tự nhiên T A V I(T, A) toán Bất đẳng thức biến phân CP (T, A) tốn bù xác định nón A ánh xạ T Sol(T, A) tập nghiệm toán VI (T,A) EP (A, f ) toán cân BV I(T, G, A) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp iii Mục lục Lời mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu Dự kiến kết nghiên cứu Chương I: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert số tính chất 1.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương II: Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 22 2.2 Thuật toán 25 Kết luận chương 33 Kết luận 34 Danh mục tài liệu tham khảo 35 iv LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức biến phân Stampacchia, nhà toán học người Ý đưa từ cuối năm 50 đầu năm 60 kỉ XX Trước hết, ơng đưa tốn khơng gian Rn Bài tốn phát biểu sau: Cho A ⊂ Rn tập hợp, T : A → Rn Bài tốn: Tìm x ∈ A cho hT (x), x − xi ≥ với x ∈ A (1) Bài toán gọi toán bất đẳng thức biến phân, x nghiệm (1) Thông thường người ta ký hiệu toán (VI(T,A)), tiếng anh: Variational inequality Sau tốn mở rộng thành trường hợp tổng quát hơn: Cho ϕ : A → R, tốn: Tìm x ∈ A cho hT (x), x − xi + ϕ(x) − ϕ(x) ≥ Bài toán gọi toán bất đẳng thức biến phân suy rộng Hiển nhiên toán bao ln tốn tối ưu Tiếp theo tốn mở rộng sang khơng gian vơ hạn chiều áp dụng vào nhiều toán phương trình vi phân đạo hàm riêng eliptic, tốn phương trình đạo hàm riêng với ràng buộc biên tốn tài chính, tốn giao thơng Trong tốn ta thấy có tập hợp ánh xạ tham gia vào việc phát biểu toán Căn vào ánh xạ, người ta phân thành bất đẳng thức afin bất đẳng thức phi tuyến Ban đầu người ta chứng minh tồn nghiệm tốn với giả thiết tính liên tục ánh xạ T tính lồi compact tập A Tiếp theo người ta phát triển toán cho trường hợp không gian vô hạn chiều, trước hết khơng gian Hilbert Sự tồn nghiệm tốn với điều kiện nhẹ hơn: T ánh xạ đơn điệu, A tập lồi, đóng thỏa mãn điều kiện A Ngồi ra, người ta cịn mở rộng toán cho trường hợp liên quan tới ánh xạ đa trị: T : A → 2A , tốn: Tìm x ∈ A, v ∈ T (x) cho vhx − xi ≥ với x ∈ A Bài toán gọi toán bất đẳng thức biến phân đa trị Tới năm 1994, Blum Oettli phát biểu toán điểm cân tổng quát: Cho X không gian vectơ lồi địa phương thực, A ⊂ X tập lồi đóng, khác rỗng ϕ : A × A → R hàm thỏa mãn ϕ(x, x) = với x ∈ A Bài tốn: Tìm điểm x ∈ A cho ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ A Bài toán gọi toán cân Thơng thường người ta ký hiệu tốn (EP(A, ϕ)) Hàm ϕ gọi song hàm Hiển nhiên toán bất đẳng thức biến phân trường hợp đặc biệt toán cân ta đặt ϕ(x, y) =hT (x, y − x)i Khi ϕ(x, y) ≥ ⇔hT (x, y − x)i ≥ Tức nghiệm toán cân hàm ϕ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Ngồi tốn khác toán điểm yên ngựa, toán cân Nash, toán điểm bất động, toán bất đẳng thức biến phân đa trị, trường hợp riêng toán cân Trong thực tế nhiều ta gặp tình giải toán tập nghiệm toán khác Những toán gọi toán cấp hai Mục đích luận văn viết tổng quan tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân xây dựng thuật tốn tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, tìm Thuật tốn giải tốn bất đẳng thức biến phân cấp hai Việc nghiên cứu tồn nghiệm việc tìm thuật tốn để tìm nghiệm tốn đóng vai trị quan trọng việc đưa tốn học vào giải vấn đề thực tế Chính với mong muốn tìm hiểu nhiều vấn đề trên, với gợi ý giúp đỡ nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, chọn đề tài: "Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp" làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Mục đích mà đề tài đặt nghiên cứu phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Đề tài đề xuất phương pháp để giải toán VIEP(T,ϕ,A) trường hợp toán BV I(T, G, A) với ánh xạ giá T đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược Gần đây, toán P.N Anh cộng đưa phương pháp đạo hàm tăng cường [1] Các thuật toán đề xuất cho dạng hiển, hay tốn phụ cần tính tốn phép chiếu điểm tập lồi Tuy nhiên, điểm hạn chế thuật tốn địi hỏi phải tính tốn thêm vòng lặp bước lặp Điểm phương pháp sử dụng tính chất co ánh xạ Tλ = I˘λF với λ > 0, F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz Khi đó, thuật tốn đề xuất địi hỏi tính tốn phép chiếu bước lặp, thuật tốn có hiệu mặt cấu trúc, tính hội tụ thực thi tính tốn