(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(Luận văn thạc sĩ) Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ LỆ THỦY VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ LỆ THỦY VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2014 Mục lục Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Phát biểu tốn ví dụ 1.1.1 Một số kiến thức khơng gian Hilbert 1.1.2 Bài tốn bất đẳng thức biến phân 1.1.3 Các trường hợp riêng ví dụ thực tế 1.2 Sự tồn nghiệm tính chất Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 2.1 Phát biểu toán kiến thức bổ trợ 2.2 Thuật toán hội tụ Kết luận Tài liệu tham khảo 4 11 20 20 23 31 32 Mở đầu Bất đẳng thức biến phân vấn đề quan trọng Tốn học Ứng dụng Bài tốn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Ngồi ra, nhiều tốn quan trọng tối ưu lồi, tốn bù, tốn phương trình vi phân đạo hàm riêng v.v mô tả dạng bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân bắt đầu nghiên cứu từ thập kỷ 60 kỷ trước, nhiên toán vấn đề thời vai trị quan trọng lý thuyết toán học ứng dụng thực tế Một hướng nghiên cứu quan trọng xây dựng phương pháp giải Gần toán bất đẳng thức biến phân hai cấp mà trường hợp riêng quan trọng toán cực tiểu chuẩn tập nghiệm bất đẳng thức biến phân nhiều người quan tâm nghiên cứu Bài toán xuất nhiều vấn đề khác nhau, ví dụ vấn đề hiệu chỉnh toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Việc giải toán áp dụng trực tiếp phương pháp giải bất đẳng thức biến phân thông thường (một cấp) có, cấu trúc lồng phụ thuộc tốn hai cấp Mục đích luận văn giới thiệu cách toán bất đẳng thức biến phân Đặc biệt luận văn sâu vào thuật toán giải toán cực tiểu hàm chuẩn tập nghiệp toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Thuật tốn trình bày luận văn lấy từ báo gần tác giả Bùi Văn Định Lê Dũng Mưu tạp chí ACTA Mathematica Vietnamica Đây thuật toán dựa phương pháp chiếu kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm Armijo siêu phẳng cắt để thu hội tụ mạnh khơng gian Hilbert Bản luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo cịn có hai chương Chương có tiêu đề "Bài tốn bất đẳng thức biến phân." Trong chương tơi trình bày số kiến thức toán bất đẳng thức biến phân toán liên quan Tiếp số kết việc sử dụng toán tử đơn điệu việc chứng minh tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương có tiêu đề là: "Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp" Chương giành để trình bày kiến thức toán bất đẳng thức biến phân hai cấp chủ yếu trình bày thuật tốn dựa theo nguyên lý toán phụ kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm theo tia siêu phẳng cắt để giải tốn Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc Thầy, Thầy dành nhiều thời gian trực tiếp tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm hồn thiện luận văn Qua xin gửi lời cảm ơn Thầy, Cô Đại học Thái Nguyên Viện toán học tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Cuối tơi xin cảm ơn tới quan, gia đình bạn bè ln quan tâm động viên, tạo điều kiện ủng hộ suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, ngày 21 tháng năm 2014 Tác giả Vũ Lệ Thủy Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong toàn chương này, làm việc không gian Hilbert thực H Trước tiên ta trình bày số kiến thức toán bất đẳng thức biến phân tốn liên quan Tiếp số kết việc sử dụng toán tử đơn điệu việc chứng minh tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương lấy tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [7], [8] 1.1 Phát biểu tốn ví dụ 1.1.1 Một số kiến thức không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính Tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định: h., i : H × H −→ R hx, yi 7−→ hx, yi thỏa mãn điều kiện sau: i hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; ii hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; iii hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H α ∈ R; iv.hαx, xi ≥ với x ∈ H, hx, xi = ⇔ x = hx, yi gọi tích vô hướng hai vectơ x y Cặp (H, h., i) gọi không gian tiền Hilbert (hay cịn gọi khơng gian Unita) Sự hội tụ, khái niệm tập mở, ,trong (H, h., i) gắn với chuẩn sinh hx, yi Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ ta nói (H, h., i) không gian Hilbert Định lý 1.1 Cho H không gian tiền Hilbert, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: | hx, yi |2 ≤ hx, xihy, yi, bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Schwarz Định lý 1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi đó: q k x k= hx, xi, x ∈ H, xác định chuẩn H Định lý 1.3 Cho H khơng gian Hilbert, đó: h., i : H × H −→ R, hàm liên tục Định lý 1.4 Với x, y không gian tiền Hilbert, ta có: k x + y k2 + k x − y k2 = 2(k x k2 + k y k2 ) Định nghĩa 1.2 Hai vectơ x, y ∈ H gọi hai vectơ trực giao với nhau, kí hiệu x ⊥ y, hx, yi = Từ định nghĩa dễ dàng suy tính chất sau: i ⊥ x, ∀x ∈ X; ii x ⊥ y ⇒ y ⊥ x; iii x ⊥ {y1 , y2 , , yn } ⇒ x ⊥ α1 y1 + α2 y2 + + αn yn , n ∈ N ∗ , αi ∈ R, i = 1, 2, , n; iv x ⊥ yn , yn → y n → ∞ x ⊥ y Định nghĩa 1.3 Cho tập M ⊂ H, phần bù trực giao M , kí hiệu M ⊥ tập hợp sau: M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ y, ∀y ∈ H} Định lý 1.5 (Tích vơ hướng sinh chuẩn) Cho (X, k · k) khơng gian tuyến tính định chuẩn không gian Hilbert H Giả sử với x, y ∈ X, thỏa mãn: k x + y k2 + k x − y k2 = 2(k x k2 + k y k2 ) Khi X có tích vơ hướng thỏa mãn hx, xi =k x k2 Định nghĩa 1.4 Cho A toán tử không gian Hilbert H, ánh xạ: A∗ : H → H xác định sau: ∀y ∈ H, A∗ y = y ∗ ; đó: hAx, yi = hx, A∗ yi = hx, y ∗ i Khi A∗ gọi tốn tử liên hợp tốn tử A Định lý 1.6 (Định lí F Riesz) Với vectơ a cố định thuộc không gian Hilbert H hệ thức: f (x) = ha, xi (1.1) Xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) không gian Hilbert H với: k f k=k a k (1.2) Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) khơng gian Hilbert H biểu diễn cách dạng (1.1), a vectơ H thỏa mãn (1.2) 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho tập K H ánh xạ F : K → H Bài toán bất đẳng thức kí hiệu V IP (K; F ) tốn tìm x∗ cho: x∗ ∈ K, F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K (1.3) Tập hợp điểm x∗ thỏa mãn (1.3) gọi tập nghiệm V IP (K; F ) kí hiệu SOL − V IP (K; F ) 1.1.3 Các trường hợp riêng ví dụ thực tế Một lớp toán quan trọng trường hợp riêng toán bất đẳng thức biến phân toán bù định nghĩa sau: Định nghĩa 1.5 Cho K tập khác rỗng, lồi, đóng H, K ∗ nón đối ngẫu K cho ánh xạ: F : K → H Bài tốn bù, kí hiệu N CP (K; F ) tốn:   Tìm vectơ x∗ ∈ K cho : F (x∗ ) ∈ K ∗ (N CP (K; F ))  x∗ , F (x∗ ) = Tập hợp nghiệm N CP (K; F ) kí hiệu SOL − N CP (K; F ) Mệnh đề 1.1 Nếu K nón lồi, đóng H tập nghiệm toán N CP (K; F ) toán V IP (K; F ) trùng nhau, tức là: SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ) Chứng minh Giả sử x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ) Theo định nghĩa ta có:  x∗ ∈ K; F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K Bằng cách lấy x = ∈ K suy ra: F (x∗ , −x∗ ) ≥ Bằng cách lấy x = 2x∗ ∈ K ta thu được: F (x∗ ), x∗ ≥ Từ (1.4) (1.5) ta kết luận: F (x∗ ), x∗ = Mặt khác từ định nghĩa ta có: ≤ F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x , ∀x ∈ K Điều chứng tỏ: F (x∗ ) ∈ K ∗ Kết hợp với (1.6) ta có: x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ); hay: SOL − V IP (K; F ) ⊂ SOL − N CP (K; F ) (1.4) (1.5) (1.6) Ngược lại, giả sử x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ) Theo định nghĩa ta có:  ∗ ∗ F∗ (x ) ∗∈ K ; x , F (x ) = Mặt khác F (x∗ ) ∈ K ∗ nên với x ∈ K ta có: F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x ≥ Điều suy ra: x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ); hay SOL − N CP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F ) Kết luận lại ta có: SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ) Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.6 Cho K tập khác rỗng, lồi, đóng H ánh xạ F : K → K Điểm x ¯ ∈ K gọi điểm bất động ánh xạ F thỏa mãn điều kiện: ¯ = x¯ F (x) BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng H f : K → R hàm lồi K Bài toán quy hoạch lồi phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ K : f (x∗ ) = minf (x) | x ∈ K (OP) Mệnh đề 1.2 Giả sử : f : K → R hàm lồi khả vi tập lồi K ∈ H Khi x∗ ∈ K nghiệm toán (OP) x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x∗ ∈ K cho ∇f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K; đó: ∇f (x∗ ) đạo hàm f x∗ Ta xét ví dụ thực tế toán bất đẳng thức biến phân 18 tập compact yếu Ta sử dụng định lý tương giao hữu hạn để kết luận tập ∩v∈K S(v) khác rỗng Thực vậy, cho {v1 , , vm } ∈ K Ta khẳng định rằng: S(v1 ) ∩ S(v2 ) ∩ ∩ S(vm ) 6= ∅ (1.21) Lấy M không gian hữu hạn chiều X sinh {v1 , , vm } xác định KM = K ∩ M Từ lập luận trước, có phần tử: uM ∈ K cho: hF v, v − uM i ≥ 0, ∀v ∈ KM Đặc biệt: hF vi , vi − uM i ≥ 0, i = 1, , m, uM ∈ S(vi ), i = 1, , m, Hiển nhiên, với tập hợp {v1 , , vm } hữu hạn ln có (1.21) Vì vậy, theo định lý tương giao hữu hạn tồn phần tử: u ∈ ∩v∈K S(v), điều có nghĩa là:  u
∈ K; F v, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K Dùng bổ đề (1.2) lần ta có:  u
∈ K; F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K Điều chứng tỏ (1.21) có nghiệm định lý chứng minh Nhận xét 1.1 (Xem [7]) Từ Bổ đề 1.2 thấy tập nghiệm bất đẳng thức (1.20) tập lồi đóng tập K Định lý 1.14 (Xem [7]) Cho K tập khác rỗng, lồi, đóng H; cho F : K → H ánh xạ đơn điệu liên tục không gian hữu hạn chiều Điều kiện cần đủ để tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân:  u
∈ K; F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K, ... dụng toán tử đơn điệu việc chứng minh tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương có tiêu đề là: "Bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp" Chương giành để trình bày kiến thức toán bất đẳng thức. .. Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Phát biểu tốn ví dụ 1.1.1 Một số kiến thức không gian Hilbert 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1.3 Các... phương pháp giải Gần toán bất đẳng thức biến phân hai cấp mà trường hợp riêng quan trọng toán cực tiểu chuẩn tập nghiệm bất đẳng thức biến phân nhiều người quan tâm nghiên cứu Bài toán xuất nhiều