Đồ thị phẳng Bài toán tô màu đồ thị

Đồ thị phẳng Bài toán tô màu đồ thị

Đồ thị phẳng

 Bài toán mở đầu:

 Có 3 gia đình, 3 nhà cung cấp điện, nước, gas.

 Các gia đình đều cần điện, nước, gas và đều muốn đi dây riêng.

 Cần nối dây từ các gia đình đến các nhà cung cấp sao cho không dây nào cắt dây nào.

06/10/24

A B C

?

Đồ thị phẳng

 Định nghĩa: Đồ thị vô hướng G là đồ thị phẳng nếu

ta có thể biểu diễn nó trên một mặt phẳng sao cho không có cạnh nào cắt nhau.

VD:

Đồ thị phẳng

Không là

đồ thị phẳng

Công thức Euler

 Xét đồ thị sau:

 Định lý: Cho G là đồ thị phẳng, liên thông với n đỉnh và

m cạnh Gọi r là số miền trong biểu diễn phẳng của G Khi đó, ta có:

r = m - n + 2

1

4

3 2

5

6

Công thức Euler (tt)

 Chứng minh công thức Euler:

06/10/24

 Mỗi miền đều tương ứng với ít nhất 3 cạnh

 Mỗi cạnh tướng ứng với đúng 2 miền

 Gọi bậc của mỗi miền là số cạnh tương ứng với nó

 Suy ra, tổng bậc của các miền ít nhất là bằng 2 lần số cạnh

 Áp dụng công thức Euler suy ra điều phải chứng minh.

2 deg( ) 3.

R

e   R  r

Định lý Kuratowski

 Định lý: Đồ thị G là đồ thị phẳng nếu và chỉ nếu G

không chứa đồ thị con đẳng cấu với K5 hoặc K3x3

 VD: các đồ thị sau đây không là đồ thị phẳng

06/10/24

Tô màu đồ thị

Tô màu đồ thị (tt)

06/10/24

Phải dùng 3 màu để tổ

?

Phải dùng 4 màu để tổ

Tô màu đồ thị (tt)

3 5

1

2 4

3

5 6

7

Bài toán tô màu đồ thị

 Định nghĩa Tô màu một đồ thị vô hướng là một sự

gán màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau phải khác màu nhau.

 Định nghĩa Số màu (sắc số) của một đồ thị là số

màu tối thiểu cần thiết để tô màu đồ thị này.

3 5

3

5 6

7

Bài toán tô màu đồ thị (tt)

 Định lý (Định lý 4 màu) Số màu của một đồ thị

phẳng là không lớn hơn 4.

 Một số thông tin liên quan:

 Bài toán được đưa ra năm 1850

 Có rất nhiều chứng minh sai về bài toán này

 Chứng minh sai nổi tiếng là của Alfred Kempe vào năm 1879

 Percy Heawood phát hiện ra chứng minh sai ở trên vào năm 1890

 Dựa vào đó, năm 1976 Appel và Haken đã chứng minh bằng cách sử dụng máy tính

06/10/24

Bài toán tô màu đồ thị (tt)

 Tìm số màu của các đồ thị sau:

Ứng dụng

 Bài toán lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trong một

trường đại học sao cho không có sinh viên nào thi hai môn cùng một lúc.

Ứng dụng (tt)

 VD: Có 7 môn thi với thông tin như sau:

 Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi

 Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi

 Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi

 Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi

 Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi

 Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi

 Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi

Hãy xếp lịch thi thành các đợt sao cho các sinh viên đều có thể dự thi tuần tự các môn mình đăng ký

Ứng dụng (tt)

06/10/24

 VD: Có 7 môn thi với thông tin như sau:

 Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi

 Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi

 Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi

 Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi

 Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi

 Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi

 Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi

1

2

3

4 5

6 7

Đợt thi Môn thi

Ứng dụng (tt)

 Bài toán phân chia tần số.

 Các kênh truyền hình từ số 2 đến số 13 được phân chia cho các đài truyền hình sao cho không có 2 đài cách nhau không quá 150 dặm lại dùng chung một kênh

 Hãy tìm cách phân sao cho số kênh dùng là ít nhất

Ứng dụng (tt)

 Bài toán các thanh ghi chỉ số:

 Trong lập trình các thanh ghi thường được dùng để lưu trữ giá trị các biến tạm thời

 Tìm số thanh ghi ít nhất cần sử dụng trong một chương trình

 Giải pháp:

 Biểu diễn bằng đồ thị:

tại một thời điểm

 Số thanh ghi ít nhất cần sử dụng sẽ là số màu của đồ thị trên

06/10/24