Vật chất tối trong một số mô hình 3 3 1 mở rộng làm luận án tiến sĩ vật lý

Đối tượng chủ yếu của DM dạng này là các ngôi sao không phát ra bức xạ và trôi trong không gian Vũ trụ.Các ngôi sao này không có sự liên hệ với hệ thống các sao trong Vũ trụ,chúng được g

bộ giáo dục và đào tạo viện hàn lâm khoa học

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS TS Đặng Văn Soa đã hướng dẫntôi học tập, nghiên cứu trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh và giúptôi hoàn thành luận án này Xin cảm ơn GS TS Hoàng Ngọc Long,

TS Phùng Văn Đồng, TS Đỗ Thị Hương, TS Lê Thọ Huệ, ThS CaoHoàng Nam - Viện Vật lý và TS Nguyễn Huy Thảo, TS Hà ThanhHùng - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và có nhiều đónggóp đối với kết quả của luận án

Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Phạm Văn Đồng nơi tôi đang côngtác đã có những hỗ trợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làmnghiên cứu sinh Xin cảm ơn Viện Vật lý là cơ sở đào tạo đã tạo điềukiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh và bảo

vệ luận án

Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn sâu sắc tới gia đình đã động viên,ủng hộ và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt để tôi có thể yên tâm nghiêncứu và bảo vệ thành công luận án này

Lời cam đoan

Luận án này là kết quả mà bản thân tôi đã thực hiện trong thời gianlàm nghiên cứu sinh tại Viện Vật lý Cụ thể, chương một là phần tổngquan giới thiệu những vấn đề cơ sở có liên quan đến nội dung của luận

án Trong chương hai tôi đã sử dụng kết quả nghiên cứu mà tôi đã thựchiện cùng với thầy hướng dẫn GS TS Đặng Văn Soa và GS TS HoàngNgọc Long Chương ba tôi sử dụng các kết quả nghiên cứu cùng với TS.Phùng Văn Đồng - Viện Vật lý và đồng nghiệp là TS Hà Thanh Hùng

- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Chương bốn là biện luận ý nghĩavật lý dựa trên các kết quả đã nghiên cứu

Cuối cùng tôi xin cam đoan và khẳng định rằng, đây là công trìnhnghiên cứu của riêng tôi Các kết quả có trong luận án "Vật chất tốitrong một số mô hình 3-3-1 mở rộng" là kết quả mới, không trùng lặpvới bất kỳ luận án hay công trình nào đã công bố

Hà Nội, ngày 30 tháng 4 năm 2014

Tác giả luận án

Trần Đình Thám

Mục lục

1 Vật chất tối và sự mở rộng của mô hình chuẩn 5

2 Axion trong mô hình 3-3-1 và thực nghiệm tìm kiếm 15

2.1 Axion trong mô hình Peccei-Quinn 15

2.1.1 Vấn đề strong-CP 16

2.1.2 Đối xứng Peccei-Quinn, bảo toàn CP và sự xuất hiện axion 27

2.2 Axion trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải 32 2.2.1 Tổng quan về mô hình 32

2.2.2 Đối xứng Peccei-Quinn và axion 35

2.2.3 Quá trình rã của axion thành hai photon 37

2.3 Tiết diện tán xạ của quá trình chuyển hóa photon-axion trong trường điện từ ngoài 38

2.3.1 Yếu tố ma trận 38

2.3.2 Sự chuyển hóa trong điện trường tĩnh 40

2.3.3 Sự chuyển hóa trong từ trường tĩnh 42

2.3.4 Sự chuyển hóa trong ống dẫn sóng 45

2.4 Tóm tắt kết quả 47

3 Vật chất tối trong mô hình 3-3-1-1 và thực nghiệm tìm

3.1 Mô hình 3-3-1-1 50

3.1.1 Fermion trung hòa và các hạt lepton sai 50

3.1.2 Đối xứng chuẩn 3-3-1-1 và W -parity 55

3.1.3 Thế vô hướng và khối lượng 59

3.2 Vật chất tối và thực nghiệm tìm kiếm 66

3.2.1 Mật độ tàn dư của boson chuẩn X0 67

3.2.2 Mật độ tàn dư của fermion trung hòa NR 68

3.2.3 Thực nghiệm tìm kiếm vật chất tối NR 70

3.3 Tóm tắt kết quả 72

4 Kết luận 74 4.1 Các kết quả chính của luận án 74

4.2 Các hướng nghiên cứu tiếp theo 75

Các ký hiệu chung

Trong luận án này tôi sử dụng các kí hiệu sau:

Liên hợp điện tích-Chẵn lẻ (Charge conjugation-Parity) CP

Máy gia tốc hadron lớn (Large Hadron Collider) LHC

Trung tâm nghiên cứu hạt nhân Châu Âu

(Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) CERNSắc động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamics) QCD

Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu

(Minimal Supersymmetric Standard Model) MSSM

Danh sách bảng

2.1 Sự phụ thuộc của bề rộng rã Γ và thời gian sống τ của

axion theo khối lượng của nó 38

3.1 Tích L của các đa tuyến trong mô hình 52

3.2 Số lepton của các hạt trong mô hình 53

3.3 Tích B của các đa tuyến trong mô hình 54

3.4 Các đa tuyến trong mô hình 3-3-1-1 với tích N tương ứng 56 3.5 R-parity của các hạt trong mô hình 3-3-1-1 gồm hai loại là các hạt lepton sai và các hạt thông thường 58

Danh sách hình vẽ

2.1 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm2) của quá trình chuyển

hóa photon thành axion trong điện trường tĩnh ứng với

xung lượng q = 10−4 ÷ 10−3eV Đồ thị trên vẽ với 300

điểm và đồ thị dưới vẽ với 3000 điểm 432.2 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm2) của quá trình chuyển

hóa photon thành axion trong từ trường tĩnh ứng với xung

lượng q = 10−4÷ 10−3eV Đồ thị trên vẽ với 300 điểm và

đồ thị dưới vẽ với 3000 điểm 462.3 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm2) của quá trình chuyển

hóa photon thành axion trong ống dẫn sóng với xung

lượng q = 10−5÷ 10−4 eV . 473.1 Các đóng góp chính cho quá trình hủy X0 thành W+W− 673.2 Các đóng góp chính cho quá trình hủy của NR 68

Mở đầu

Lý do chọn đề tài

Trong nhiều thập kỷ qua, việc tìm kiếm các hạt mới trong vật lý hạt

cơ bản đã và đang thu hút rất nhiều nhà vật lý, nhằm tìm hiểu và giảithích cấu trúc cũng như bản chất của Vũ trụ Những thành công về côngnghệ quan sát của thế kỷ 21 đã đem lại cho chúng ta những hiểu biếtsâu hơn, nhưng thực chất vẫn chỉ là một phần rất nhỏ để hiểu bản chấtcủa Vũ trụ Theo thực nghiệm quan sát hiện nay, Vũ trụ hiện tại chứa68.3% năng lượng tối, 26.8% vật chất tối (Dark Matter - DM), chỉ có4.9% là vật chất thông thường (vật chất mà chúng ta quan sát được)[1] Trên thực tế có hai quan niệm về DM Dạng thứ nhất là DM đượctạo ra từ các hạt vật chất thông thường, chúng ta gọi chúng là vật chấttối dạng baryonic (baryonic DM) Đối tượng chủ yếu của DM dạng này

là các ngôi sao không phát ra bức xạ và trôi trong không gian Vũ trụ.Các ngôi sao này không có sự liên hệ với hệ thống các sao trong Vũ trụ,chúng được gọi là MACHO (Massive astrophysical compact halo object).Các ứng cử viên cho dạng DM này là các ngôi sao nơtron hay hố đen.Dạng thứ hai của DM là dạng vật chất không bắt nguồn từ các dạng vậtchất thông thường, chúng được gọi là non-baryonic DM Các ứng cử viêncho non-baryonic DM được cho là các hạt WIMPs (weakly interactingmassive particles), là các hạt có khối lượng nhưng tương tác rất yếu vớivật chất thông thường (các hạt chỉ có tương tác hấp dẫn mà không cócác tương tác khác) Các nhà thiên văn học chủ yếu nghiên cứu các ứng

cử viên của DM là baryonic DM, trong khi đó các nhà vật lý hạt cơ bảnthì tìm kiếm DM là các hạt WIMPs Trong luận án này, chúng tôi tậptrung nghiên cứu DM dựa trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản

Trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản, các hạt DM là các hạt trunghòa, không bị rã hoặc thời gian sống của chúng phải đủ lớn (tức làthời gian sống của DM phải lớn hơn tuổi của Vũ trụ) Hiện tại, các hạt

WIMPs chưa được tìm thấy trong các máy gia tốc và cũng chưa có bằngchứng nào cho ta xác định các thông tin về spin cũng như khối lượng củachúng Chính vì vậy, nghiên cứu bản chất của DM và tìm kiếm chúng

là một trong những vấn đề đã và đang được các nhà khoa học trên thếgiới, kể cả các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm quan tâm

Mặt khác, mô hình lý thuyết mô tả các tương tác của các hạt cơ bảntrong Vũ trụ được thực nghiệm ủng hộ nhất hiện nay là mô hình chuẩn(Standard Model - SM) Tuy nhiên, trong SM không tồn tại ứng cử viênthỏa mãn tính chất của DM Do đó, chúng ta cần phải mở rộng SM đểchúng xuất hiện các ứng cử viên của DM Do tính chất về spin của DM

là không xác định và phổ khối lượng của DM là rộng nên các ứng cửviên của DM là rất phong phú Chúng có thể là hạt vô hướng, hạt véc

tơ hay hạt fermion

Chúng tôi muốn nhấn mạnh, khi mở rộng SM thì vùng không giantham số xuất hiện trong mô hình sẽ rộng hơn Tuy nhiên, dựa vào các sốliệu thực nghiệm về mật độ và thời gian sống của DM, chúng tôi có thểgiới hạn được vùng không gian tham số xuất hiện trong mô hình Dựavào vùng không gian tham số vừa tìm được và các tương tác của chúng,chúng tôi có thể dự đoán được về khả năng tìm kiếm DM một cách trựctiếp hoặc gián tiếp

Vì vậy, tôi chọn đề tài "Vật chất tối trong một số mô hình 3 − 3 − 1

mở rộng" để nghiên cứu về bản chất và khả năng tìm kiếm DM Mô hình

mở rộng chúng tôi nghiên cứu là các mô hình SU(3)C⊗ SU(3)L⊗ U(1)X

có thêm các đối xứng mới

Mục đích nghiên cứu

• Khảo sát vai trò DM của axion trong mô hình 3-3-1 với neutrinophân cực phải Nghiên cứu tương tác của axion với photon trongtrường điện từ ngoài và trên cơ sở đó đưa ra phương án có lợi nhất

để thu axion trong thực nghiệm

• Xây dựng mô hình 3-3-1-1 và khảo sát vai trò DM của fermion trunghòa chứa trong mô hình

Đối tượng nghiên cứu

• Axion trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải

• Fermion trung hòa trong mô hình 3-3-1-1

Nội dung nghiên cứu

• Nghiên cứu nguồn gốc xuất hiện axion trong việc giải quyết vấn

đề strong-CP và tính bền của nó thông qua quá trình rã thành haiphoton trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải và khả năngphát hiện axion trong thực nghiệm

• Đặc điểm của mô hình 3-3-1-1

• Vai trò DM của fermion trung hòa trong mô hình 3-3-1-1 và thựcnghiệm tìm kiếm

Phương pháp nghiên cứu

• Lý thuyết trường lượng tử

• Lý thuyết nhóm

• Sử dụng quy tắc Feyman để tính biên độ tán xạ và bề rộng rã

• Sử dụng các dữ liệu thực nghiệm mới nhất được công bố trên tạpchí Particle Data Group

• Dùng phần mềm Matlab R2008a để tính số và vẽ đồ thị

Đóng góp của luận án

Những kết quả nghiên cứu của luận án là bằng chứng quan trọng gópphần khẳng định sự tồn tại ứng cử viên cho DM là axion và fermiontrung hòa trong các mô hình mở rộng mô hình chuẩn có giả thiết thêmmột số đối xứng mới Đề xuất phương án có lợi nhất để tìm kiếm ứng

cử viên cho vật chất tối trong thực nghiệm

Chương 3: Xây dựng mô hình 3-3-1-1 dựa trên mô hình 3-3-1 có gánvới đối xứng chuẩn mới U(1)N Khảo sát một số thuộc tính DM của cáchạt lepton sai có trong mô hình, từ đó xác định hạt nào là ứng cử viêncho vật chất tối.

Chương 4: Tóm tắt các kết quả chính của luận án và các hướng nghiêncứu tiếp theo

v2 = GNM (r)

Bên ngoài thiên hà (nơi mà ánh sáng không bức xạ) khối lượng M(r) làhằng số thì vận tốc v2 sẽ giảm tỉ lệ nghịch với khoảng cách Tuy nhiên,các phép đo từ thực nghiệm [2] đã chứng tỏ vận tốc v bên ngoài thiên

hà vẫn là hằng số Nghĩa là, khối lượng sẽ phụ thuộc vào khoảng cáchbên ngoài thiên hà M ∝ r Điều này chứng tỏ tồn tại một dạng vật chất

mà chúng ta không nhìn thấy bên ngoài thiên hà

Một bằng chứng thứ hai về DM là thấu kính hấp dẫn Các nhà vật lýthiên văn đã dùng thấu kính hấp dẫn để tìm kiếm DM Thấu kính hấpdẫn là hiện tượng ánh sáng sẽ bị gẫy khúc khi mà tia sáng đi qua cácvật thể có khối lượng lớn Chính vì vậy, khi ánh sáng đi qua hố đen hoặccác ngôi sao nơtron (vật thể là ứng cử viên baryonic DM) thì ánh sáng

bị gẫy khúc Các nhà thiên văn học đã nghiên cứu các bức ảnh chụp bầutrời về hiệu ứng sáng chứng tỏ sự gẫy khúc của ánh sáng trong khônggian Vũ trụ Từ những số liệu thực nghiệm đó, chứng tỏ sự tồn tại củacác vật thể trong Vũ trụ mà chúng ta không quan sát được Chúng ta

gọi chúng là DM.

Sự xuất hiện của các tia X phát ra từ các đám khí nóng trong cácthiên hà Elip chứng tỏ sự tồn tại của DM Dựa trên các mô hình đẳngnhiệt với nhiệt độ kT = 3keV , Fabricant và Gorenstein đã tiên đoántổng khối lượng từ tâm thiên hà đến bán kính 392 kpc là 5.8 × 1013MJ

với MJ là khối lượng Mặt Trời Tuy nhiên, khối lượng khí nóng chỉ cỡ2.8 × 1012MJ Khối lượng quan sát được chỉ cỡ một phần trăm tổngkhối lượng Chi tiết về bằng chứng này được chỉ rõ trong tài liệu [3].Một bằng chứng khác nữa chứng tỏ sự tồn tại của DM là số liệu quansát thực nghiệm PLANCK Theo thực nghiệm quan sát hiện nay, Vũtrụ hiện tại chứa 68.3% năng lượng tối (dark energy), 26.8% DM, chỉ có4.9% là vật chất thông thường (vật chất mà chúng ta quan sát được) [1].Chúng ta không chỉ có những bằng chứng trực tiếp chứng tỏ sự tồntại của DM mà còn có những bằng chứng gián tiếp khác cũng chứng tỏ

sự tồn tại của DM Từ những nghiên cứu về phản vật chất và vật chấttrong Vũ trụ đã đưa ra kết luận vật chất nhìn thấy chỉ đóng góp mộtphần rất nhỏ vào ω trong Vũ trụ Tuy nhiên, số liệu [1] chứng tỏ ω = 1.Điều này chứng tỏ dạng vật chất quan sát được chỉ đóng góp một phầnnhỏ vào mật độ vật chất trong Vũ trụ Phần lớn vật chất và năng lượngđóng góp vào mật độ Vũ trụ là chưa quan sát được

Từ những bằng chứng quan sát trên chứng tỏ sự tồn tại của DM trong

Vũ trụ Tuy nhiên, tìm kiếm và nghiên cứu DM trong Vũ trụ vẫn là mộtcông việc chưa có lời giải Vật chất tối là hạt gì? Làm cách nào có thểphát hiện ra chúng? Khối lượng và spin của chúng như thế nào? Tất cảcác câu hỏi đó vẫn đang được các nhà vật lý hạt cơ bản, cả thực nghiệm

và lý thuyết đang rất quan tâm Theo quan điểm vật lý hạt cơ bản thìngười ta phân loại DM theo vận tốc chuyển động của chúng Cụ thể:

• Vật chất tối nóng (hot dark matter) là các hạt vật chất có khối lượngnhẹ và chuyển động nhiệt với vận tốc rất lớn (tương đối tính) Theoquan điểm như vậy thì neutrino là ứng cử viên cho vật chất tốinóng

• Vật chất tối lạnh (cold dark matter) là các hạt có khối lượng vàchuyển động với vận tốc nhỏ (phi tương đối tính) Các ứng cử viêncủa hạt vật chất tối lạnh là neutralino, boson Higgs, axion,

• Vật chất tối ấm (warm dark matter) là những hạt DM có tính chất

trung gian giữa vật chất tối nóng và vật chất tối lạnh.

Trước đây, các ứng cử viên hàng đầu cho vật chất tối lạnh là các hạt

có khối lượng và không tương tác với vật chất thông thường Người tacũng cho rằng, phần năng lượng bị mất đi trong các máy gia tốc chính

là tín hiệu của DM Tuy nhiên, khoa học hiện nay đã mở rộng đáng kểdanh sách các ứng cử viên và cung cấp nhiều dấu hiệu mới có thể tìmkiếm DM Các số liệu thực nghiệm về tìm kiếm DM một cách gián tiếpcho thấy phổ khối lượng của vật chất tối lạnh là rất rộng Các thông tin

về spin của vật chất tối lạnh cũng không được xác định Chính vì vậy,các ứng cử viên của vật chất tối lạnh là rất phong phú Do đó, trongluận án này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các ứng cử viên của vậtchất tối lạnh Chi tiết, chúng tôi sẽ nghiên cứu các điều kiện cần thiết

để đảm bảo hạt trung hòa là bền Các ứng cử viên của DM chúng tôikhảo sát cũng phong phú Chúng có thể là hạt vô hướng và cũng có thể

là hạt fermion Chúng tôi tập trung chủ yếu khảo sát một ứng cử viêncủa WIMPs là hạt nhẹ (cỡ eV ) và một ứng cử viên của WIMPs là hạtnặng (cỡ T eV )

Chúng tôi muốn nhấn mạnh, một trong những điều kiện quan trọngcủa DM là hạt trung hòa và bền vững Mặt khác, trong lý thuyết hạt

cơ bản, mô hình thành công nhất hiện nay là SM, khi mà hầu hết cáctiên đoán của nó đã được thực nghiệm khẳng định ở vùng năng lượng

≤200 GeV Theo đó, phổ hạt trong SM gồm các fermion có spin 12, cácboson chuẩn spin 1 và boson Higgs spin 0 Fermion là các hạt cấu tạonên vật chất thông thường gồm các quark (up, down, charm, strange,top, bottom), ba thế hệ lepton mang điện (electron, muon, tauon) vàcác neutrino tương ứng Các boson chuẩn là các hạt truyền tương tácbao gồm: photon (γ) truyền tương tác điện từ, 8 gluon g truyền tươngtác mạnh, các boson chuẩn W và Z truyền tương tác yếu Hạt cuối cùngtrong SM được giả thiết là hạt Higgs sinh khối lượng cho tất cả các hạttrong mô hình thông qua cơ chế Higgs [4] Việc tìm thấy hạt Higgs trongnăm 2012 với khối lượng trong khoảng từ 125 GeV đến 126 GeV bởi máygia tốc LHC (CERN) là một thành công nữa của SM [5, 6] Tuy nhiên,không hạt nào trong các hạt nói trên có thể đóng vai trò là ứng cử viêncho DM Hầu hết các hạt đều có khối lượng và không bền, với thời giansống rất ngắn so với tuổi của Vũ trụ Chỉ còn lại các hạt nhẹ còn tồntại trong Vũ trụ bao gồm: electron, các quark u, d và ba neutrino, trong

đó các hạt mang điện có thể tồn tại trong các tổ hợp bền như proton,nơtron Electron có thể cho đóng góp vào DM chỉ khi chúng liên kết vớicác proton để tạo thành các tổ hợp trung hòa nhưng tổ hợp này cho mật

độ năng lượng ΩB nhỏ hơn rất nhiều so với mật độ DM đo được hiện nay.Với các neutrino thì giới hạn trên khối lượng neutrino từ vật lý hạt và vũtrụ học cho thấy mật độ tàn dư của neutrino Ων ' Pimνi/47eV ≤ 0.012[4] Điều này khẳng định các hạt đóng góp vào DM phải là các hạt mớitrong các mô hình mở rộng SM

Ngoài vấn đề DM, SM còn chứa một số vấn đề khác cần phải đượcgiải quyết xuất phát từ các dữ liệu thực nghiệm đã có hiện nay như vấn

đề khối lượng và sự dao động của các neutrino, sự phân bậc thang nănglượng phá vỡ đối xứng điện yếu với thang Plank, vấn đề vi phạm CPtrong tương tác mạnh (strong-CP), sự lượng tử hóa điện tích của cáchạt, giải thích số thế hệ fermion, sự không thống nhất ba hằng số tươngtác, chưa giải thích được các quá trình vật lý xảy ra ở vùng năng lượngcao hơn 200 GeV, Các bằng chứng trên, chứng tỏ chúng ta cần phải

điều không tự nhiên đối với các lập luận lý thuyết Do đó, nó được gọi làvấn đề strong-CP Người ta phải tìm cách xây dựng một lý thuyết hợp

lý để giải thích vấn đề này Một trong các cách giải quyết phù hợp nhấtđược chấp nhận hiện nay do Peccei-Quinn đề xuất, có liên quan đến sựphá vỡ đối xứng U(1) chiral dẫn đến sự xuất hiện một hạt giả vô hướngmới có khả năng đóng vai trò DM Năm 1970, Peccei-Quinn [7] đã chỉ rarằng vấn đề strong-CP giải quyết được bằng cách đưa ra một hạt giả vôhướng nhẹ được gọi là axion [8] và việc axion xuất hiện trong lý thuyếtnhư thế nào được trình bày chi tiết ở chương 2 Hiện nay, khối lượngaxion được giới hạn bởi thực nghiệm [9], các giới hạn được đưa ra bởithiên văn học và vũ trụ học [10], phạm vi giới hạn trong khoảng từ 10−6

eV cho đến 10−3 eV Nếu axion có khối lượng gần giới hạn dưới cỡ 10−5

eV thì nó sẽ là ứng cử viên cho DM Nếu axion trong Vũ trụ đóng gópmột tỷ lệ nào đó vào DM chúng có thể được phát hiện bởi các máy dòaxion [11] Hiện nay thực nghiệm vẫn đang tìm kiếm axion sinh ra từMặt trời [12] và axion tàn dư từ thời kỳ Vũ trụ sớm [13]

Ngoài axion vẫn còn có các ứng cử viên khác cho DM xuất hiện trongcác mô hình mở rộng SM đang được nghiên cứu hiện nay như bạn đồnghành siêu đối xứng nhẹ nhất trong các mô hình siêu đối xứng (LightestSupersymmetric Particle - LSP), axino bạn đồng hành siêu đối xứngcủa axion [14, 15, 16, 17], gravitino bạn đồng hành siêu đối xứng củahạt truyền tương tác hấp dẫn graviton, một số hạt mới xuất hiện trongcác mô hình 3-3-1 [21] hay mô hình thêm chiều [18], Trong luận ánnày, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu DM là axion và fermion trunghòa trong các mô hình 3-3-1 có thêm một số đối xứng mới Đây là lớpcác mô hình mở rộng SM theo hướng mở rộng nhóm đối xứng điện yếu

hệ được giải quyết từ điều kiện khử dị thường và điều kiện tiệm cận tự

do [19], (ii) giải thích được sự lượng tử hóa điện tích [20], (iii) giải thích

sự phân bậc khối lượng giữa các thế hệ quark do các thế hệ nằm trongcác đa tuyến khác nhau, (iv) axion và majoron xuất hiện một cách tựnhiên trong một số phiên bản 3-3-1 [21], cho các hạt nhẹ có thể là ứng

cử viên DM Hệ quả của các mô hình 3-3-1 là dự đoán các quá trình vật

lý ở thang năng lượng không quá cao, do đó dễ dàng kiểm chứng bằngthực nghiệm.

Trong lớp các mô hình 3-3-1 không siêu đối xứng, các hạt ứng cử viêncủa DM xuất hiện một cách không tự nhiên Tức là để đảm bảo cho cácứng cử viên của DM là bền thì chúng ta cần phải có các điều kiện ràngbuộc giữa các tham số trong mô hình Tuy nhiên, nhiều điều kiện đưa rakhông thể đảm bảo đúng đắn ở mọi bậc của khai triển nhiễu loạn Chính

vì vậy, chúng ta cần phải đưa thêm vào các đối xứng mới để loại bỏ cáctương tác không mong muốn Đối xứng đưa vào có thể là đối xứng giánđoạn hoặc đối xứng liên tục Trong luận án này, chúng tôi sẽ khảo sát

cả hai cách đưa thêm đối xứng vào các mô hình 3-3-1 Từ đó, chúng tôichứng tỏ sự tồn tại của DM Cụ thể:

Trong chương 2 chúng tôi sẽ nghiên cứu chi tiết nguồn gốc và vai trò

DM của axion trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải gắn vớiđối xứng Z11 ⊗ Z2 Nhìn chung các đối xứng gián đoạn được đưa vàonhằm mục đích loại bỏ các số hạng tương tác không mong muốn nhưngvẫn giữ lại được các số hạng sinh khối lượng cho các hạt phù hợp vớithực nghiệm Theo [21], các mô hình có phổ hạt càng phong phú như lớp

mô hình 3-3-1 thì càng có khả năng tồn tại đối xứng ZN phù hợp với N

có giá trị lớn Người ta chọn N có giá trị lớn để loại bỏ nhiều nhất có thểcác số hạng phức tạp và không cần thiết trong Lagrangian Tuy nhiên,với trường hợp Z13 thì người ta phải xây dựng phổ fermion phức tạphơn để đảm bảo tồn tại đối xứng Peccei-Quinn một cách tự nhiên trong

mô hình Vì vậy, đối xứng Z11 được chọn là phù hợp nhất ở đây chúngtôi lần lượt gán các tích Z11 ⊗ Z2 cho các trường có trong mô hình saocho Lagrangian cuối cùng sẽ bất biến Khi đó, Lagrangian này cũng tựđộng bất biến với đối xứng U(1)P Q với các tích Peccei-Quinn được gánphù hợp Mô hình này chỉ cần một trường vô hướng để phá vỡ đối xứngPeccei-Quinn và sinh axion Tiếp theo, chúng tôi khảo sát thời gian sốngcủa axion thông qua quá trình rã của axion thành hai photon Chúngtôi cũng thảo luận và đề xuất phương án có lợi nhất để phát hiện axionthông qua quá trình chuyển hóa của axion trong trường điện từ ngoài.Như đã đề cập ở trên, ngoài axion thì hạt mới trong các mô hình3-3-1 cũng có thể đóng vai trò là ứng cử viên DM Thật vậy, chúng tôi

sẽ chứng tỏ rằng các hạt này tương ứng với một lớp hạt mới, lẻ dưới đốixứng parity có thể đóng vai trò DM Để giải thích rõ hơn ta nhắc lại

mô hình 3-3-1 với nhóm chuẩn SU(3)C⊗ SU(3)L⊗ U(1)X, trong đó hainhóm cuối được mở rộng từ đối xứng điện yếu của SM, còn đối xứngQCD vẫn được giữ nguyên Các neutrino phân cực phải hoặc các fermiontrung hòa mới có thể được sắp xếp trong các tam tuyến hoặc phản tamtuyến lepton theo đối xứng SU(3)L,

Các hạt mới xuất hiện trong các mô hình 3-3-1 nhưng không có trong

SM (chẳng hạn như các hạt vô hướng, fermion và boson chuẩn) có thểchính là các ứng cử viên cho DM Điều này được chỉ ra từ các tươngtác chuẩn, Lagrangian Yukawa tối thiểu và thế vô hướng tối thiểu, đòihỏi các hạt mới (tương tự như các hạt lepton sai sẽ được định nghĩatrong chương 3) chỉ tương tác theo cặp, giống với trường hợp các hạtbạn đồng hành siêu đối xứng trong các mô hình siêu đối xứng Kết quảnày tự động đến từ bản thân cấu trúc của nhóm đối xứng chuẩn 3-3-1[24, 22] Những nỗ lực đầu tiên trong việc xác định các ứng cử viên cho

DM trong các mô hình 3-3-1 có thể được tìm thấy trong tài liệu [28, 29].Tuy nhiên, tính ổn định và mật độ tàn dư của chúng vẫn chưa đượcgiải quyết triệt để Sự bền của DM trong các mô hình 3-3-1 do các đốixứng khác gây ra được thảo luận đầu tiên trong tài liệu [26, 27] Với mụcđích này, đối xứng số lepton đã được đưa vào sao cho các hạt bileptonnhẹ nhất có thể đảm bảo tính bền [26] Lưu ý rằng, tất cả các tươngtác không mong muốn trong Lagrangian Yukawa và thế vô hướng đều

vi phạm tường minh số lepton [30], những tương tác này bị chặn do đốixứng này (ngoại trừ tương tác của hai lepton và một tam tuyến vô hướngchỉ vi phạm số lepton vị, nhưng lại gây ra phổ khối lượng neutrino khôngphù hợp Tuy nhiên, trong mô hình của chúng tôi thì tương tác này bịkhử do sự vi phạm số lepton toàn phần) Khi đó ta không cần thêm đốixứng Z2 nữa Một vấn đề khác đó là, số lepton bị vi phạm do tương táchiệu dụng 5 chiều đặc trưng cho khối lượng neutrino

Trong [27], sự sắp xếp các hạt mới làm mất đi đặc tính bilepton củachúng và đối xứng số lepton không loại bỏ được các tương tác khôngmong muốn Vì vậy, đối xứng Z2 đã được đưa vào bằng tay, trong đó các

tích Z2 được gán để loại bỏ các số hạng không mong muốn Đối xứngnày được xem như một cách giải quyết tính ổn định của DM [27] Tuynhiên, vì Z2 tác dụng lên các đa tuyến của mô hình phải bị phá vỡ mộtcách tự phát bởi trung bình chân không của Higgs, nên không có lý donào giải thích tại sao các hạt DM vô hướng không mang số lepton lạikhông thể nhận trung bình chân không và phân rã Ngoài ra, trong [27],một đối xứng liên tục U(1)G tác dụng lên các hạt thành phần, khônggiao hoán với đối xứng chuẩn tương tự như tích lepton trước đây được

sử dụng thay cho đối xứng Z2 nhằm mô tả DM Chúng ta nhớ rằng,các tương tác của boson chuẩn với fermion, vô hướng hoặc tự tương tácgiữa các boson chuẩn là các hệ quả và bị giới hạn bởi chính đối xứngchuẩn Chúng luôn luôn tồn tại mà không bị loại bỏ hoặc thêm vào bởicác tương tác khác Để chặn các tương tác và chân không không mongmuốn, rõ ràng có nhiều đối xứng khác có cơ chế như U(1)G hoặc tíchlepton là các cách giải quyết tương ứng của bảo toàn tương tác chuẩn.Tuy nhiên, tất cả các đối xứng liên tục này đều có thể gặp phải nhữngvấn đề khác

Các đối xứng liên tục nói trên được giả thiết là đối xứng chính xácđặc trưng cho tính ổn định của DM Do đó, chúng có thể được xem như

là đối xứng tự nhiên rút gọn từ các đối xứng cao hơn bao gồm nhómđối xứng của 3-3-1 (vì chúng không giao hoán với đối xứng chuẩn) tácdụng ở mức cây lên Lagrangian, ở đó các tương tác không mong muốn bịchặn tường minh Hay nói cách khác, Lagrangian tối thiểu của lý thuyếthiển nhiên chứa các đối xứng cao hơn bao gồm đối xứng chuẩn, là đốixứng sẽ bị phá vỡ tự phát xuống các đối xứng dư tương ứng ở đây tacần nhắc lại một tính chất đặc trưng của các mô hình 3-3-1 Đó là tíchlepton (hay thậm chí bất kỳ loại đối xứng U(1)G nếu được đưa vào độclập, bỏ qua đối xứng tích lepton) sẽ tác dụng như đối xứng chuẩn dưcủa đối xứng cao hơn nào đó và đối xứng này phải bị phá vỡ tự phát đểđảm bảo các boson chuẩn nhận khối lượng đủ lớn làm cho lý thuyết phùhợp thực nghiệm Mặt khác, đối xứng tích lepton hoặc ngay cả đối xứngliên tục tổng quát đã được biết thực tế bị vi phạm do các dị thường

Do đó, các đối xứng này sẽ không đảm bảo được sự bền của DM Đốivới bài toán bền của DM, tương tự như R-parity trong siêu đối xứng,

sẽ tự nhiên hơn khi tìm kiếm một đối xứng chính xác, là đối xứng dưgián đoạn và không bị phá vỡ, có nguồn gốc từ một đối xứng liên tục

và độc lập dị thường nào đó, biểu diễn theo số lepton và các đối xứngcần thiết khác, chẳng hạn như tích baryon hoặc U(1)G Chúng ta cầnphải nhấn mạnh rằng, trong số các đối xứng liên tục đã phân tích thìtích lepton có lẽ là tự nhiên nhất bởi các lý do sau: (i) tất cả các tươngtác không mong muốn trong các mô hình 3-3-1 thông thường sẽ bị loại

bỏ bởi chúng vi phạm số lepton [30]; (ii) đối xứng gián đoạn đặc trưngcho sự bền của DM chẳng hạn như số lepton hoặc baryon có thể bị phá

vỡ theo nhiều cách đảm bảo sinh khối lượng phù hợp cho neutrino vàbất đối xứng baryon Chúng ta sẽ thấy rằng, cách làm trên tương tự vớiviệc mở rộng lý thuyết SU(5) thành lý thuyết SO(10) với tích B − Ltrở thành tích chuẩn định xứ Trong luận án này, tích lepton sẽ được sửdụng khác so với đối xứng U(1)G

Bằng cách khảo sát tính chất số lepton không tầm thường và W parity (tương tự như R-parity trong siêu đối xứng) trong một mô hình3-3-1 cụ thể [23], chúng tôi chỉ ra được lý thuyết có thể chứa các ứng cửviên cho DM một cách tự nhiên Để chi tiết hơn, chúng tôi xét mô hình3-3-1 với fermion trung hòa (NR), là mô hình khác với mô hình trongtài liệu [27] Các fermion trung hòa này không mang số lepton như đãđược nghiên cứu trước đây trong mở rộng seesaw TeV của SM [31] vàtrong mô hình 3-3-1 với các đối xứng vị [23] Chúng tôi khảo sát đốixứng số lepton, động học của nó và các đối xứng khác, mà kết quả dẫnđến một mô hình 3-3-1-1 mới Chúng tôi chứng tỏ rằng tồn tại một đốixứng dư không bị phá vỡ (độc lập dị thường) của mô hình 3-3-1-1 có cơchế giống như đối xứng R-parity trong siêu đối xứng, ở đó dưới đối xứngnày hầu hết các hạt mới đều mang tích lẻ Điều thú vị là mô hình có thểchứa rất nhiều loại ứng cử viên cho DM, chẳng hạn như đơn tuyến vôhướng, fermion và boson chuẩn, là các hạt thường xuất hiện trong cácphiên bản mở rộng khác của SM và giống với kết luận trong tài liệu [27].Tuy nhiên, các ứng cử viên này có thể có khối lượng lớn ở thang TeV,khác với các ứng cử viên của DM nhẹ trong nhiều SM mở rộng quenthuộc Trước công bố [27] và công trình của chúng tôi, các nghiên cứutrước đây cho các mô hình 3-3-1 chỉ xét cho đơn tuyến vô hướng [29] vàcác hạt siêu đối xứng nhẹ nhất tương ứng với phiên bản mở rộng 3-3-1siêu đối xứng Lý do mà chúng tôi đề cập đến các đối xứng như 3-3-1-1

-và W -parity đó là: các ứng cử viên cho DM có tính ổn định động họcchưa hề được nghiên cứu trước đây Hiện tượng luận DM trong mô hình

của chúng tôi sẽ khác so với những mở rộng trước Mô hình có thể làmviệc tốt hơn dưới các giới hạn thực nghiệm so với mô hình 3-3-1 thôngthường với neutrino phân cực phải do W -parity Phương pháp được đềcập ở trên sẽ không phù hợp nữa nếu ta áp dụng cho các mô hình 3-3-1khác, chẳng hạn như mô hình 3-3-1 trong tài liệu [27], mô hình 3-3-1 vớineutrino phân cực phải [22] và mô hình 3-3-1 tối thiểu [24] Trong thực

tế, tất cả các hạt bao gồm cả những hạt mới trong các mô hình đó sẽbiến đổi tầm thường dưới W -parity Vì vậy, đối xứng parity chỉ thực sự

có ý nghĩa trong lớp các mô hình 3-3-1 chứa đối xứng vị [23]

Chương 2

Axion trong mô hình 3-3-1 và thực nghiệm tìm kiếm

Người ta chứng minh được số hạng (1.2) nhận đóng góp từ hai nguồnchính: i) từ trung bình chân không của lý thuyết được gọi là "instantons";ii) từ sự định nghĩa lại pha của các trường có trong lý thuyết có liên quanđến một loại đối xứng U(1) chiral được gọi là đối xứng Peccei-Quinn, kýhiệu U(1)PQ Từ đó người ta đưa ra được một số hướng giải quyết vấn

đề strong-CP Ví dụ, nếu trường fermion có khối lượng bằng không, thìngười ta có thể tùy ý định nghĩa lại pha của trường để đảm bảo cho đónggóp toàn phần θ luôn bằng không với mọi đóng góp bất kỳ từ instantons.Tuy nhiên, thực nghiệm đã cho thấy rằng các quark luôn có khối lượngnên cách xử lý trên không hợp lý Một hướng giải quyết khác, được cho

là hợp lý nhất hiện nay do Peccei-Quinn đề xuất năm 1977 [32] Theo

đó, từ giả thiết lý thuyết ban đầu chứa các fermion không khối lượng,Peccei-Quinn đưa vào các trường vô hướng sinh khối lượng cho các quarkthông qua phá vỡ đối xứng U(1)PQ Tiếp theo, sử dụng hai điều kiện lýthuyết phải thỏa mãn là điều kiện cực tiểu thế của trường vô hướng vàđiều kiện thực của ma trận khối lượng quark, người ta thu được tổngđóng góp từ instantons và định nghĩa lại pha của trường quark luônbằng không Nói cách khác, khi đó lý thuyết thỏa mãn CP bảo toàn vàvấn đề strong-CP được giải quyết trọn vẹn Một điều thú vị khác đối với

lý thuyết trên được Weinberg phát hiện là sự phá vỡ đối xứng U(1)PQ

có liên quan đến sự xuất hiện của một hạt có khối lượng rất nhẹ gọi làaxion [33] Hạt này được xem là một trong các ứng cử viên cho DM và

hiện nay đang được thực nghiệm rất quan tâm và tìm kiếm.

ở đây chúng tôi không đi vào xây dựng và tính toán chi tiết một môhình cụ thể và thực tế nào mà chỉ tập trung vào các vấn đề cơ bản sauđây:

• Giải thích rõ hơn sự xuất hiện các nguồn vi phạm CP, minh họatính toán trong một mô hình đơn giản nhất

• Giải thích lại sự khử số hạng vi phạm CP theo hướng giải quyếtcủa Peccei-Quinn

2.1.1 Vấn đề strong-CP

Đóng góp từ chân không vào số hạng vi phạm CP trong QCD

Như chúng ta đã biết trong QCD tồn tại phép biến đổi U(1) chiral, làmột đối xứng với lý thuyết cổ điển nhưng không là đối xứng đối với lýthuyết lượng tử Cụ thể, phép biến đổi đối xứng U(1) chiral ( U(1)5) códạng [34]:

qD(x) → qD0 (x) = eiαγ5qD(x), (2.1)trong đó, qD(x) là biểu diễn spinor Dirac bốn thành phần, γ5 xét trong

cơ sở chiral có dạng chéo

là các ma trận Dirac còn Dµ là đạo hàm hiệp biến tương ứng được địnhnghĩa theo các trường chuẩn của lý thuyết

e−iα(x)γ5γµ = (cos α − iγ5sin α)γµ = cos αγµ − iγ5γµsin α

= cos αγµ+ iγµγ5sin α

= γµ(cos α + iγ5sin α) = γµeiα(x)γ5 (2.10)Theo định nghĩa đạo hàm hiệp biến trong (2.7), ta có:

S0 = Z d4x iqD(x)γµeiα(x)γ5

× he−iα(x)γ5(−i∂µα(x)γ5) qD(x) + e−iα(x)γ5DµqD(x)i

= Z d4xiqDγµDµqD +Z d4xiqDγµ(∂µα(x)γ5) qD

= S +Z d4x [∂µ(qD(x)γµα(x)γ5qD(x))

− α(x)∂µ(qD(x)γµγ5qD(x))]

= S − Z d4x α(x) ∂µ(qD(x)γµγ5qD(x)) (2.12)Chú ý kết quả có được trong (2.12) là doR d4x∂µ[qD(x)γµα(x)γ5qD(x)] =

0 vì đây là một vi phân toàn phần

Trong (2.12) do α(x) chọn được bất kỳ nên suy ra tác dụng bất biếnphải đúng với mọi cách chọn α(x) Vì vậy số hạng sau phải bằng 0:

∂µ(qD(x)γµγ5qD(x)) = 0,

⇒ ∂µJAµ(x) = 0; JAµ(x) = qD(x)γµγ5qD(x)) (2.13)Như vậy với lý thuyết cổ điển, điều kiện tác dụng cổ điển bất biến tươngứng với dòng JAµ phải bảo toàn

Nếu xét trong lý thuyết lượng tử, đại lượng bất biến là tích phânđường theo tất cả các trường thành phần của lý thuyết

Z = Z D[Aaµ]Z DqDDqDeiSfermion (2.14)

Người ta thấy với phép biến đổi U(1)5, các độ đo D[qD], D[¯qD] khôngbất biến, và phần biến đổi này được chuyển thành biến đổi của tác dụng

S Chính phần biến đổi này gây ra sự không bảo toàn của dòng trục JAµ

Sự không bảo toàn này gọi là dị thường trục (axial anomaly) Ta có thểchỉ ra được theo lập luận dưới đây

Xét riêng phần lấy tích phân theo trường fermion, đặt:

Z[Aµ] = Z DqDDqDeiSfermion (2.15)

Khai triển các trường qD, qD theo các trạng thái riêng φn(x) của toán

tử D/, được mô tả bằng hệ thức:

D/φn(x) = λnφn(x) (2.16)Khi đó ta khai triển được các trường Dirac theo các trạng thái riêng, cụthể là:

qD(x) = X

n anφn(x),

qD(x) = X

n φ+n(x)bn(x), (2.17)

trong đó an, bn(x) là các hệ số khai triển.

Các φn(x) thỏa mãn điều kiện trực chuẩn:

Z

φ+i φj d4x = δij (2.18)Các độ đo tích phân đường chuyển thành:

D[qD] D[qD] → ΠndanΠmdbm (2.19)Khi thực hiện phép biến đổi U(1)5 tác dụng lên các trường, các biến an,

bm cũng biến đổi theo, cụ thể:

qD(x) → q0D(x) = e−iαγ5qD(x)

' (1 − iαγ5)qD(x) = X

n a0nφn(x) (2.20)Người ta biểu diễn được các hệ số a0 theo các hệ số ban đầu theo biểuthức sau:

Πndan → Πnda0n = 1

detCnm

Πndan (2.22)Dựa vào các định nghĩa ở trên, người ta xác định được:

1detCnm ' e−iPn

f |x=∞ = 0; f |x=o = 0, (2.24)đảm bảo tích phân phiếm hàm có giá trị hữu hạn Chọn hàm có dạng:

là toán tử có trạng thái riêng φn Viết lại định thức trên theo dạng địnhthức mới:

1detCnm ' e−iPn α R

φ ∗ γ 5 f (D/ 2 )φ n d 4 x (2.27)Lấy tổng theo tất cả các trạng thái φn, người ta xác định được:

1detCnm ' e−iα

R R d4k

(2π)4 d 4 xT rγ 5 f (−D/ 2 )

tích phân d 4 k

(2π) 4 xuất hiện do khai triển φn trong không gian xung lượng

Sử dụng các tính chất của γ5, khai triển hàm f(−D/2) theo khai triểnTaylor, sau đó thay vào (2.28) số hạng cuối cùng còn lại là:

8 FµνFλσ(−4iµνλσ)



.(2.29)Lấy tích phân theo d4k, chú ý D2 = DµDµ = (k − A)2 và đổi biến

δS = Z d4xδL ⇒ δL = −α

32π2FµνFfµν, (2.33)

Tương tự cho đổi biến b theo biến đổi:

Kết quả cuối cùng Lagrangian biến đổi một lượng gấp đôi giá trị của(2.33):

Như vậy biểu thức (2.37) cho ta thấy dòng trục trong lý thuyết lượng

tử không còn bảo toàn nữa Sự không bảo toàn này gọi là dị thường.Người ta chỉ ra được vế phải (2.37) là một vi phân toàn phần:

tế, biểu thức (2.38) cũng có vật lý khác nhau khi thực hiện phép cácphép biến đổi chuẩn Ω khác nhau Theo (2.38), tác dụng S biến đổi mộtlượng:

δS = 1

16π2 Z

trong đó Kµ phụ thuộc vào các trường chuẩn Aµ Xét trường hợp lýthuyết không giao hoán đơn giản nhất SU(2), ta có Aµ sai khác nhaumột phép biến đổi chuẩn Ω sau (chọn chuẩn Aa

i = 0 Điều kiện này tươngđương với điều kiện chọn Ai = 0 hoặc Ai = i

−→∇ΩΩ−1 Lớp trườngchuẩn thỏa mãn điều kiện này gọi là các trường chuẩn thuần gauge (puregauge) Với điều kiện này thì (2.39) khác không và biến đổi chiral U(1)5không phải là một đối xứng của lý thuyết

Với các lập luận trên ta thấy trường chuẩn bằng không tại vô cùngtrong các điều kiện chuẩn khác nhau Người ta chứng minh được mỗiđiều kiện chuẩn này tương ứng với một cấu hình chân không (vacuumconfiguration) khác nhau Người ta phân lớp các cấu hình chân khôngkhác nhau tương ứng với Ω → 1 khi −→r → ∞ (chân không tương ứngvới trạng thái ở vô cùng) Mỗi chân không được đặc trưng bởi một sốlượng tử n sao cho

khi −→r → ∞ (chân không), với n = 0, ±1, ±2, Điều kiện này tươngđương với Aµ → A0

µ tại vô cùng Số nguyên n còn được gọi là số

’winding’ đặc trưng cho các topo khác nhau của không gian

Người ta có thể chọn các Ωn như sau [60]:

Ω1(~x) = ~x

2 − d2 + 2id~σ.~x

~x2 + d2 ; Ωn = [Ω1]n (2.42)Khi đó các cấu hình chân không khác nhau phân biệt nhau bởi chỉ sốđặc trưng n, ký hiệu trạng thái chân không tương ứng là |ni Theo địnhnghĩa này thì Ω1|ni = |n + 1i và

không thỏa mãn điều kiện bất biến chuẩn Ωk Vì vậy trạng thái chânkhông thực sự phải là tổ hợp của các trạng thái này Trạng thái chânkhông thực sự đặc trưng bởi số θ, gọi là chân không θ, được định nghĩalà:

n tương ứng với phép biến đổi chuẩn Ωn trong (2.42)

Người ta chứng minh được trong chuẩn A0

a = 0 chỉ có J0 6= 0 và giátrị:

+hθ|θi− = X

m +hm|eimθ

! X

trong đó ký hiệu lại

Sử dụng định nghĩa thông thường cho tích phân đường tính biên độchuyển chân không +hθ|θi−, ta được:

Seffective = SQCD[Aµ] + θ

32π2

Z

d4xFaµνFfaµν (2.52)Như vậy, Lagrangian bị biến đổi một lượng do tác dụng của chân khôngtrong QCD Vì vậy trong phần tiếp theo ta mặc định trong Lagrangian

đã có sẵn số hạng này do đóng góp của chân không

Đóng góp từ phép biến đổi U(1) chiral vào số hạng vi phạm CP trong QCD

Để thấy rõ được ảnh hưởng của phép biến đổi pha khi tác dụng lêncác trường fermion sinh ra số hạng vi phạm CP, ta xét một Lagrangianđơn giản nhất gồm một quark dạng qD =



 q

q∗



 trong biểu diễn spinor

4 thành phần, và một trường chuẩn U(1) có tenxơ cường độ trường

Fµν = ∂µFν − ∂νFµ Các spinor hai thành phần q, ¯q là các spinor Weyltrái

Xét số hạng động năng của trường fermion:

L1 = iψγµDµψ = iqDγµDµqD, (2.53)với

ta được số hạng động năng trong biểu diễn hai thành phần,

L1 = q∗q/ + qq/∗ (2.59)Tương tự cho số hạng khối lượng, liên hệ giữa cách viết 4 thành phần

và hai thành phần cho các trường fermion được mô tả theo hệ thức:

L2 = mψψ = mqDqD = m(qq + q∗q∗) (2.60)Trong biểu diễn Dirac thông thường khối lượng m luôn được chuyển

về dạng số thực Với trường hợp tổng quát ta có thể viết biểu thức của

L2 dưới dạng khối lượng phức:

L2 = mqq + m∗q∗q∗ (2.61)Như vậy từ (2.59) và (2.61) ta thu được Lagrangian tổng quát có dạngsau:

= Re m(qq + q∗q∗) + iIm m(qq − q∗q∗)

= Re mqDqD + iIm mqDγ5qD (2.64)

Khối lượng viết dưới dạng Dirac phải là số thực, do đó ta phải loại sốhạng thứ hai trong (2.64) Để làm được điều này ta chọn một phép biếnđổi đối xứng U(1) để khử nhưng phải đảm bảo Lagrangian bất biến.Biến đổi đối xứng viết theo biểu diễn 2 thành phần như sau:

q → q0 = e−iθ2 q ; q → q0 = qe−iθ2 , (2.65)còn theo dạng 4 thành phần:

qD → q0D = e−iθ2 γ 5q ,

qD → q0D = qDe−iθ2 γ 5 (2.66)

Từ đây ta thấy đây chính là đối xứng U(1) chiral Đối xứng này đượcPeccei-Quinn dùng để xử lý vấn đề strong-CP nên thường được gọi làđối xứng Peccei-Quinn, ký hiệu U(1)PQ Khi đó số hạng khối lượng sẽbiến đổi như sau:

mqq+ m∗q∗q∗ = |m|eiθq e−iθ2 e−iθ2 q + (|m|eiθ)∗(e−iθ2 q)∗(e−iθ2 q)∗

= |m|(qq + q∗q∗) (2.67)Biểu thức (2.67) cho thấy, qua phép biến đổi đối xứng (2.65) thànhphần khối lượng phức đã chuyển sang thực tức cho ta khối lượng là sốthực

Thông thường khi thực hiện một phép biến đổi đối xứng mà grangian vẫn bất biến thì các hiệu ứng vật lý không thay đổi Nhưng ởđây lại có sự thay đổi hiệu ứng vật lý do ảnh hưởng của chân không trongQCD, ảnh hưởng này sinh ra một số hạng δLef f vi phạm CP Số hạngnày được xác định theo phương pháp tích phân đường cho lý thuyết cóđối xứng chiral U(1) gọi là U(1)P Q

La-Dùng phương pháp tích phân đường với phiếm hàm:

Z = Z [dAµ]Z [dq] [dq] eiS, (2.68)trong đó S = R d4x L là tác dụng của lý thuyết

Từ (2.68) lấy tích phân theo dq, dq thì S → Sef f, L → Lef f Khi đó:

Z = Z [dAµ]Z eiSef f (2.69)Thực hiện phép biến đổi đối xứng (2.65) tức q → q0, q → q0, sau đó talấy tích phân theo q’, q0 thì S và L lại biến đổi như sau:

S → S0 = Sef f + δSef f (2.70)

L → L0 = Lef f + δLef f, (2.71)trong đó

δLef f = 1

32π2θ T r(FµνFfµν) (2.72)

Số hạng δSef f có trị riêng CP bằng -1 nên gọi là số hạng vi phạm CP

Từ đó ta có thể nói, sự vi phạm CP phụ thuộc vào θ

Như vậy ban đầu Lagrangian QCD được mô tả bởi số hạng khốilượng và số hạng tương tác chuẩn, số hạng động năng xem như hiểnnhiên Nhưng ngay sau đó, từ dị thường trục trong QCD người ta thấyxuất hiện một tham số mới θ trong Lagrangian:

L = θ16π2Faµν fFµνa , (2.73)với

2.1.2 Đối xứng Peccei-Quinn, bảo toàn CP và sự xuất hiện

axion

Có một số cách giải quyết vấn đề strong-CP nhưng cách tốt nhất đượcPeccei-Quinn đưa ra bằng cách giả thiết là lý thuyết có thêm đối xứngchiral toàn cục U(1)P Q, gọi là đối xứng Peccei-Quinn

Xây dựng lý thuyết giải thích θ nhỏ

Từ (2.52), ban đầu ta có số hạng vi phạm CP như sau:

Lef f = L + iθg

2

32π2Fµνa Ffaµν (2.75)

Xét Lagrangian đơn giản nhất gồm một trường fermion ψ, một trường

vô hướng φ và một trường chuẩn Aµ có tenxơ cường độ trường Fa

SM φ là đa tuyến

Để có phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra ở đây ta xét µ2 < 0

Dưới tác dụng của đối xứng U(1)P Q:

ψ → ψ0 = eiσγ5ψ, φ → φ0 = e−2iσφ (2.77)

Sử dụng phương trình tích phân đường ta có Lagrangian biến đổi mộtlượng là vi phân toàn phần δLef f:

L → L0 = L + δLef f, (2.78)làm cho S biến đổi một lượng δSef f ,

Sef f → Sef f0 = Sef f + δSef f, (2.79)trong đó

δLef f = −iσg2

16π2 Fµνa Ffaµν (2.81)Kết quả là Lagrangian hiệu dụng toàn phần Lef f trong (2.75) dướitác dụng của phép biến đổi U(1)P Q có dạng mới sau:

So sánh (2.75) và (2.82) ta có thể nói, qua đối xứng U(1)P Q thì:

nghĩa là qua đối xứng U(1)P Q thì sự vi phạm CP của lý thuyết bây giờlại phụ thuộc vào θ0 Lý thuyết không vi phạm CP tương ứng với θ0 = 0.Peccei-Quinn giải thích θ0 = 0 bằng 2 điều kiện:

1 Khối lượng Dirac phải nhận giá trị thực

2 Cực tiểu thế V (φ) dẫn đến:

arg(eiθ0G < φ >) = α = 0, (2.84)trong đó α được định nghĩa trong tích phân phiếm hàm dưới đây.Thật vậy, xét tích phân phiếm hàm sau:

Đến đây ta biểu diễn φ dưới dạng phức theo các biến vô hướng mới

vì λ là hằng số thực không liên quan đến góc nên trong (2.89) ta bỏ quanó.

Thay (2.87) vào (2.85) và tính toán chi tiết như trong [32], ta thuđược biểu thức trung bình chân không của hai trường vô hướng mới ρ,σ:

Từ điều kiện cực tiểu của thế V (φ) = µ2φ∗φ + h(φ∗φ)2− k|φ| cos α suy

ra α nhận giá trị bằng 0 (α = 0) Như đã nói ở trên, khi α = 0 thì θ0 = 0dẫn đến lý thuyết sẽ bảo toàn CP

Khử số hạng vi phạm CP

Nếu θ0 = 0 thì số hạng vi phạm CP trong Lagrangian hiệu dụng (2.82)biến mất nghĩa là lý thuyết sẽ bảo toàn CP Do đó vấn đề đặt ra là phảigiải quyết như thế nào để cho θ0 = 0

Để giải quyết vấn đề này ta xét Geiθ 0

< φ > trong (2.84) và viết táchphần thực và phần ảo như sau:

Geiθ0 < φ >= |G|ei arg(G) eiθ0 (λeiβ) = (λ|G|)ei[arg(G)+θ0+β] (2.94)Suy ra

α = arg(Geiθ < φ >) = arg(G) + θ0 + β (2.95)Như lập luận ở trên

Kết hơp (2.95) và (2.96) ta suy ra:

|G|e−i(θ0+β)λeiβ(1 − γ5

2 ) + |G|ei(θ0+β)λe−iβ(1 + γ5

Như vậy, phải tồn tại trường vô hướng φ trong lý thuyết, mà φ =

eiβ(λ + ρ + iσ) dẫn đến một thành phần trong khai triển của φ là axion

Z2 Sau khi đối xứng Peccei-Quinn bị phá vỡ dẫn